不等式的課件
發(fā)布時間:2023-08-05
不等式課件
不等式的課件收藏。
經驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在幼兒教育工作中,我們都有會準備一寫需要用到資料。資料包含著人類在社會實踐,科學實驗和研究過程中所匯集的經驗。有了資料的協(xié)助我們的工作會變得更加順利!所以,關于幼師資料你究竟了解多少呢?小編現(xiàn)在推薦你閱讀一下不等式的課件收藏,相信能對大家有所幫助。
不等式的課件 篇1
基本不等式是初中數(shù)學比較重要的一個概念,對于求解不等式問題有非常大的作用。在教學中,老師可以通過多學示例,呈現(xiàn)形式多樣,讓學生深刻理解基本不等式的本質和應用,使學生在解決實際問題中靈活掌握相關知識。本文將結合基本不等式的定義、性質和應用,探討其相關主題。
一、基本不等式的定義和性質
基本不等式是在解決實際問題時常用到的一種數(shù)學方法,它可以有效地幫助我們解決很多實際問題。在數(shù)學中,一般把基本不等式定義為,對于任何正整數(shù)a和b,有下列不等關系:
(a+b)^2>=4ab
這個不等式在初中數(shù)學中非常重要,我們還可以把它解釋成下面的形式:對于任何兩個正數(shù)a和b,有下列不等式:
a/b+b/a>=2
這個式子實際上就是基本不等式的一個特例,也說明了基本不等式中的a和b可以指任何兩個正數(shù)。
基本不等式的一些性質:
1、兩邊同時乘以正數(shù)或是開根號(即不改變不等關系的實質)是允許的。
2、當a=b時等號成立。
3、當a不等于b時,不等號成立。
這些性質是我們用基本不等式時需要注意的幾個關鍵點。如果我們了解了這些基本的性質,就可以更加靈活地運用基本不等式解決實際問題。
二、基本不等式的應用
基本不等式的應用非常廣泛,例如可以用它來解決以下問題:
1、證明
√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2
這個問題就可以使用基本不等式來證明,首先得到(a+b)^2>=2(a^2+b^2),將式子化簡可得√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2,這就是想要證明的結論。
2、解決一些最值問題。例如:如何使a+b的值最???這個問題可以用基本不等式來解決,我們設a+b=k,那么a+b的平方就是k^2,代入基本不等式中可得出:
k^2>=4ab,即(a+b)^2>=4ab
這個不等式右邊是4ab,左邊則是(a+b)^2,因此a+b的值取得最小值時,應當使(a+b)^2=4ab,所以a=b,因此a+b的最小值就是2a或是2b。
3、證明一些平方和不等式的結論。例如:
(a/b)^2+(b/a)^2>=2
這個問題可以通過基本不等式進行證明,首先我們設x=a/b,y=b/a,很顯然有x+y>=2,然后通過簡單的運算可得:x^2+y^2>=2,也即(a/b)^2+(b/a)^2>=2。
綜上所述,基本不等式作為初中數(shù)學比較重要的一部分,其定義、性質和應用都與實際問題密切相關。在解決實際問題時,我們可以通過多學示例,靈活運用基本不等式的性質和應用,進而更好地理解其本質和應用,從而使初中數(shù)學知識更加牢固。
不等式的課件 篇2
(1)運用問題的形式幫助學生整理全章的內容,建立知識體系。
(2)在獨立思考的基礎上,鼓勵學生開展小組和全班的交流,使學生通過交流和反思加強對所學知識的理解和掌握,并逐步建立知識體系。
通過問題情境的設立,使學生再現(xiàn)已學知識,鍛煉抽象、概括的能力。解決問題
通過具體問題來體會知識間的聯(lián)系和學習本章所采用的主要思想方法。
通過獨立思考獲取學習的成功體驗,通過小組交流培養(yǎng)合作交流意識,通過大膽發(fā)表自己的觀點,增強自信心。
重點:對一元一次不等式基本性質的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關的問題,建立起相關的知識體系。
不等式有哪些基本性質?它與等式的性質有什么相同和不同之處?
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么異同?引導學生回憶解一元一次方程的步驟.比較兩者之間的不同學生舉例回答.
舉例說明在數(shù)軸上如何表示一元一不等式(組)的解集分組競賽.看哪一組出的題型好,全班一起解答.
舉例說明不等式、函數(shù)、方程的聯(lián)系.引導學生回憶函數(shù)的有關內容.舉例說明三者之間的關系.小組討論,合作回答.函數(shù)性質、圖象
小組交流、討論不等式和函數(shù)、函數(shù)和方程等之間的關系,分別舉例說明.
布置作業(yè)開動腦筋,勇于表達自己的'想法.
(1)在運用所學知識解決具體問題的同時,加深對全章知識體系理解。
(2)發(fā)展學生抽象能力、推理能力和有條理表達自己想法的能力.
教學思考:
體會數(shù)學的應用價值,并學會在解決問題過程中與他人合作.解決問題。在獨立思考的基礎上,積極參與問題的討論,從交流中學習,并敢于發(fā)表自己的觀點和主張,同時尊重與理解別人的觀點。
情感態(tài)度與價值觀:
進一步嘗試學習數(shù)學的成功體驗,認識到不等式是解決實際問題的重要工具,逐漸形成對數(shù)學活動積極參與的意識。
重點:
對一元一次不等式基本性質的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一次不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關的問題,建立起相關的知識體系。
↓ ↓
安排一組練習讓學生充分充分討論解決.
(1)當X取何值時,Y>0(2)當X取何值時,Y=0(3)當X取何值時,Y
3.某工人制造機器零件,如果每天比預定多做一件,那么8天所做零件超過100件;如果每天比預定少做一件,那么8天所做零件不到90件,這個工人預定每天做幾個零件?
不等式的課件 篇3
一元二次不等式是高中數(shù)學中的一個重要概念,是指一個帶有二次項的不等式。在數(shù)學學習中,我們經常需要利用二次不等式來解決問題,掌握這個概念對于深入了解高中數(shù)學知識是至關重要的。因此,學習一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的一大難點,需要認真對待。
一元二次不等式的概念和性質
一元二次不等式可以寫成如下形式:
ax2 + bx + c > 0
或
ax2 + bx + c
其中a、b、c都是實數(shù),a ≠ 0。
我們可以通過一些方法求出不等式的根,比如將其轉化為標準形式。將不等式變形,我們可以得到如下形式:
ax2 + bx
或
ax2 + bx > – c
然后,我們再用求一元二次方程根的方法求出不等式的解,就能夠得到它的解集。
對于不等式ax2 + bx + c > 0,其圖像為二次函數(shù)的上凸形,即開口向上的拋物線,而對于不等式ax2 + bx + c
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法有很多,下面我們介紹其中的兩種:
方法一:化為標準形式,再利用求一元二次方程根的方法求解。
方法二:利用符號法將不等式中的式子化簡,得到一系列不等式,然后將這些不等式求解即可。
實際上,解一元二次不等式還有很多其他的方法,比如絕對值法、圖形法等等。在解題時,我們要根據具體的情況選擇最合適的方法來求解。
一元二次不等式的應用
一元二次不等式廣泛應用于數(shù)學學習以及生活中的各個領域,比如物理學、經濟學、社會學等。下面我們以生活中的一個例子來說明一元二次不等式的應用。
假設你要購買一臺電視機,商家提供了兩種方案供你選擇。方案一:首付1500元,每月還款100元;方案二:首付3500元,每月還款80元。那么,你需要比較兩個方案的總花費,來決定哪個方案更加劃算。
我們假設電視機的總價格為x元。那么,方案一的總花費為:
C1 = 1500 + 100×n
而方案二的總花費為:
C2 = 3500 + 80×n
這里n為分期的期數(shù),即你需要還款的總期數(shù)。為了比較兩種方案的劃算程度,我們可以列出一個一元二次不等式:
1500 + 100×n
經過化簡,我們可以得到:
20n > 2000
n > 100
因此,當還款期數(shù)大于100期時,方案一比方案二更加劃算。這個例子很好地展示了一元二次不等式的應用,它能夠幫助我們在日常生活中做出明智的選擇,也能夠更加深入地理解數(shù)學知識。
總結
一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的重要概念,它在數(shù)學中和生活中都有廣泛的應用。學習一元二次不等式需要我們認真對待,掌握其概念、性質和解法,同時也需要我們理解其實際應用,這樣才能夠更好地掌握高中數(shù)學的知識。
不等式的課件 篇4
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望.根據本節(jié)課的教學內容,應用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應關系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應點位置間的關系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結構美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產生用數(shù)學研究不等關系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關系的相關素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關系,又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應的兩實數(shù)具有怎樣的關系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關內容.
實例1:某天的天氣預報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.YjS21.cOm
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結論.
討論結果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經常使用的方法,應讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據實數(shù)的運算性質與大小順序的關系,歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關系,只需確定它們的差與0的大小關系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關鍵首先是把文字語言轉換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結,從實數(shù)的基本性質的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設計關注了教學方法的優(yōu)化.經驗告訴我們:課堂上應根據具體情況,選擇、設計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中,沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣,可以說與其他所有內容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產生負面影響.
3.本節(jié)設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質,是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大小:(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式的課件 篇5
基本不等式是初中數(shù)學中重要的一章內容,也是高中數(shù)學和競賽數(shù)學的基礎。基本不等式的學習不僅有助于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力,同時也能幫助他們提高邏輯思維能力。本文旨在探討“基本不等式”這一主題。
一、基本不等式的定義與性質
基本不等式是說:對于正實數(shù)x1,x2,…,xn,有
(x1+x2+…+xn)/n≥√(x1x2…xn),當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立。
基本不等式的性質有以下幾條:
(1)當n為偶數(shù)時,等號成立;
(2)當n為奇數(shù)時,當且僅當所有數(shù)相等時等號成立;
(3)兩個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b)/2≥√(ab),其中a,b均為正實數(shù)且a≠b;
(4)當n≥3時,三個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b+c)/3≥√(abc),其中a,b,c均為正實數(shù)且a≠b≠c。
二、基本不等式的應用
基本不等式作為一種重要的數(shù)學工具,可以應用于眾多問題之中。以下是基本不等式的一些常見應用。
1. 求和式的最小值
例題1:已知-x1+x2+x3+x4+x5=-18,其中x1,x2,x3,x4,x5均為正數(shù),并且x1+x2+x3+x4+x5≥5,則x1x2x3x4x5的最小值為多少?
解法:根據已知條件,設x1+x2+x3+x4+x5=5+m(其中m≥0),則有x1+x2+x3+x4+x5+m=5+2m。代入到基本不等式中可得:
(x1+x2+x3+x4+x5+m)/5≥√(x1x2x3x4x5)m/5≥√(x1x2x3x4x5)/5
移項得到x1x2x3x4x5≥1,則x1x2x3x4x5的最小值為1。
2. 比較函數(shù)大小
例題2:比較函數(shù)f(x)=√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)(a,b,c>0)在[0,c]上的最小和最大值。
解法:根據已知條件和基本不等式,將f(x)分解成兩個正數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的形式,即
f(x)=[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]/2+1/2[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]
≥√[(√(a2+x2)×√(b2+(c-x)2)]+1/2(2c)
=√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c
當x=c/3時等號成立,即f(x)的最小值為√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c,最大值為√(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+c。
3. 求極限
例題3:已知數(shù)列{a_n}(n≥1)的通項公式為a_n=(√n+1)/(n+1),則求∑(n從1到∞)a_n的極限。
解法:根據基本不等式,有
a_1+a_2+…+a_n≥n(√(a_1a_2…a_n))^1/n
代入已知條件,可得:
a_1+a_2+…+a_n≥n[(√(1+1)×√(2+1)×…×√(n+1))/((1+1)×(2+1)×…×(n+1))]^(1/n)
= n[√(n+1)/2×1/3×…×1/(n+1)]^(1/n) =n[(n+1)/[2(n+1)]]^(1/n)
極限為1/2。
4. 求證不等式
例題4:已知a,b,c為正實數(shù),且a+b+c=1,證明∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)。
解法:將不等式化簡,得:
∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3[(a+b+c)2-(ab+bc+ca)]/(ab+bc+ca)
由于a+b+c=1,有
(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2,
(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥(a+b+c)2/(a(1-a)+b(1-b)+c(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
其中第一個不等式成立是因為當a=b=c=1/3時,等號成立;第二個不等式用到了基本不等式的形式。
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中的重要概念,掌握了基本不等式的定義、性質和應用方法,將有助于提高人們的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力。在日常生活和學習中,要重視基本不等式的學習和應用,逐步提高自己的數(shù)學水平。
不等式的課件 篇6
學生初步接觸了一點代數(shù)知識(如用字母表示定律,用符號表示數(shù)),是在學生學習了用字母表示數(shù)以后基礎上進行學習。應用方程是解決問題的基礎,有關的幾個概念,教材只作描述不下定義。在教學設計中仍然把理念作為教學的重點,理解方程的意義,判斷“等式”和“方程”知道方程是一個“含有未知數(shù)的等式”,才有可能明確所謂解方程。
學生不夠活潑,學習積極性不是很高,學生數(shù)學基礎不好。方程對學生來說還是比較陌生的,在他們頭腦中還沒有過方程這樣的表象,所以授新課就要從學生原有的`基礎開始,因為在前面學習用字母表示數(shù)的這部分內容時,有了基礎,我想在學習簡易方程應該沒什么大的問題。
1、使學生初步理解和辨析“等式”“不等式”的意義。
2、會按要求用方程表示出數(shù)量關系,
3、培養(yǎng)學生的觀察、比較、分析能力。
教學重點: 用字母表示常見的數(shù)量關系,會用方程的意義去判斷一個式子是否是方程。
教師介紹天平各部分名稱。讓學生操作當天平兩端托盤的物體的質量相等時,天平就會平衡,指針指向中。根據這這個原理來稱物體的質量。(讓學生操作,激發(fā)學生的興趣,借助實物演示的優(yōu)勢。初步感受平衡與不平衡的表象)
1、實物演示,引出方程:
(1)在天平稱出100克的左邊空杯,讓學生觀察是否平衡,感受1只空杯=100克。
(2)往空杯里倒入果汁,另一邊加100克法碼,問學生發(fā)現(xiàn)了什么? (讓學生感受天平慢慢傾斜,水是未知數(shù))引出100+X>200,往右加100克法碼, 問:哪邊重些?(學生初步感受平衡和不平衡的表象) 問:怎樣用式子表示?100+X<300
(3)教學100+X=250 問:如果是天平平衡怎么辦?(讓學生討論交流平衡的方案)把100克法碼換成50克的砝碼,這時會怎樣?(引導學生觀察這時天平出現(xiàn)平衡), 問:現(xiàn)在兩邊的質量怎樣?現(xiàn)在水有多重知道嗎?如果用字母X表示怎樣用式子表示?得出:100+X=250
示題:100+X<250100+X=2504X+50>10040+40=80 X÷2=45X-12=27
請學生觀察合作交流分類:
(一)引出(1)兩邊不相等,叫做不等式。(2)兩邊相等叫做等式。
(2)含有未知數(shù)的等式100+X=250 X÷2=4 揭示:(2)這樣的含有未知數(shù)等式叫做方程(通過分類,培養(yǎng)學生對方程意義的了解) 問:方程的具備條件是什么?(感知必須是等式,而一定含有未知數(shù))你能寫出一些方程嗎?(同桌交流檢查)
(三)練習判斷那些是方程?那些不是方程?
6+2X=14103+X250÷2=1256+X>251÷A=3X+Y=180 (讓學生加深對方程的意義的認識,培養(yǎng)學生的判斷能力。)
教師:我們能夠判斷什么是方程了,方程和等式有很密切的關系,你能畫圖來表示他們的關系嗎?(小組合作討論交流)
方程 等式 (讓學生通過觀察、思考、分析、歸類,自主發(fā)現(xiàn)獲得對方程和等式的關系理解,同時初步滲透教學中的集合思想。)
不等式的課件 篇7
基本不等式作為高中數(shù)學必修內容之一,在學生學習中扮演著極為重要的角色。本篇文章將圍繞基本不等式,探討它的概念、性質、證明方法及應用,并展示基本不等式的魅力和實用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指對于任意正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整數(shù) $n$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
這個不等式也被稱為均值不等式或AM-GM不等式。其中,$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示這些數(shù)的算術平均值,而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示這些數(shù)的幾何平均值。均值不等式的意義在于,算術平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的性質
基本不等式有以下幾個性質:
1. 當且僅當 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 時等號成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一個數(shù)為 id="article-content1">
不等式的課件
發(fā)布時間:2023-08-05 不等式課件 不等式的課件收藏。
經驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在幼兒教育工作中,我們都有會準備一寫需要用到資料。資料包含著人類在社會實踐,科學實驗和研究過程中所匯集的經驗。有了資料的協(xié)助我們的工作會變得更加順利!所以,關于幼師資料你究竟了解多少呢?小編現(xiàn)在推薦你閱讀一下不等式的課件收藏,相信能對大家有所幫助。
不等式的課件 篇1
基本不等式是初中數(shù)學比較重要的一個概念,對于求解不等式問題有非常大的作用。在教學中,老師可以通過多學示例,呈現(xiàn)形式多樣,讓學生深刻理解基本不等式的本質和應用,使學生在解決實際問題中靈活掌握相關知識。本文將結合基本不等式的定義、性質和應用,探討其相關主題。
一、基本不等式的定義和性質
基本不等式是在解決實際問題時常用到的一種數(shù)學方法,它可以有效地幫助我們解決很多實際問題。在數(shù)學中,一般把基本不等式定義為,對于任何正整數(shù)a和b,有下列不等關系:
(a+b)^2>=4ab
這個不等式在初中數(shù)學中非常重要,我們還可以把它解釋成下面的形式:對于任何兩個正數(shù)a和b,有下列不等式:
a/b+b/a>=2
這個式子實際上就是基本不等式的一個特例,也說明了基本不等式中的a和b可以指任何兩個正數(shù)。
基本不等式的一些性質:
1、兩邊同時乘以正數(shù)或是開根號(即不改變不等關系的實質)是允許的。
2、當a=b時等號成立。
3、當a不等于b時,不等號成立。
這些性質是我們用基本不等式時需要注意的幾個關鍵點。如果我們了解了這些基本的性質,就可以更加靈活地運用基本不等式解決實際問題。
二、基本不等式的應用
基本不等式的應用非常廣泛,例如可以用它來解決以下問題:
1、證明
√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2
這個問題就可以使用基本不等式來證明,首先得到(a+b)^2>=2(a^2+b^2),將式子化簡可得√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2,這就是想要證明的結論。
2、解決一些最值問題。例如:如何使a+b的值最???這個問題可以用基本不等式來解決,我們設a+b=k,那么a+b的平方就是k^2,代入基本不等式中可得出:
k^2>=4ab,即(a+b)^2>=4ab
這個不等式右邊是4ab,左邊則是(a+b)^2,因此a+b的值取得最小值時,應當使(a+b)^2=4ab,所以a=b,因此a+b的最小值就是2a或是2b。
3、證明一些平方和不等式的結論。例如:
(a/b)^2+(b/a)^2>=2
這個問題可以通過基本不等式進行證明,首先我們設x=a/b,y=b/a,很顯然有x+y>=2,然后通過簡單的運算可得:x^2+y^2>=2,也即(a/b)^2+(b/a)^2>=2。
綜上所述,基本不等式作為初中數(shù)學比較重要的一部分,其定義、性質和應用都與實際問題密切相關。在解決實際問題時,我們可以通過多學示例,靈活運用基本不等式的性質和應用,進而更好地理解其本質和應用,從而使初中數(shù)學知識更加牢固。
不等式的課件 篇2
(1)運用問題的形式幫助學生整理全章的內容,建立知識體系。
(2)在獨立思考的基礎上,鼓勵學生開展小組和全班的交流,使學生通過交流和反思加強對所學知識的理解和掌握,并逐步建立知識體系。
通過問題情境的設立,使學生再現(xiàn)已學知識,鍛煉抽象、概括的能力。解決問題
通過具體問題來體會知識間的聯(lián)系和學習本章所采用的主要思想方法。
通過獨立思考獲取學習的成功體驗,通過小組交流培養(yǎng)合作交流意識,通過大膽發(fā)表自己的觀點,增強自信心。
重點:對一元一次不等式基本性質的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關的問題,建立起相關的知識體系。
不等式有哪些基本性質?它與等式的性質有什么相同和不同之處?
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么異同?引導學生回憶解一元一次方程的步驟.比較兩者之間的不同學生舉例回答.
舉例說明在數(shù)軸上如何表示一元一不等式(組)的解集分組競賽.看哪一組出的題型好,全班一起解答.
舉例說明不等式、函數(shù)、方程的聯(lián)系.引導學生回憶函數(shù)的有關內容.舉例說明三者之間的關系.小組討論,合作回答.函數(shù)性質、圖象
小組交流、討論不等式和函數(shù)、函數(shù)和方程等之間的關系,分別舉例說明.
布置作業(yè)開動腦筋,勇于表達自己的'想法.
(1)在運用所學知識解決具體問題的同時,加深對全章知識體系理解。
(2)發(fā)展學生抽象能力、推理能力和有條理表達自己想法的能力.
教學思考:
體會數(shù)學的應用價值,并學會在解決問題過程中與他人合作.解決問題。在獨立思考的基礎上,積極參與問題的討論,從交流中學習,并敢于發(fā)表自己的觀點和主張,同時尊重與理解別人的觀點。
情感態(tài)度與價值觀:
進一步嘗試學習數(shù)學的成功體驗,認識到不等式是解決實際問題的重要工具,逐漸形成對數(shù)學活動積極參與的意識。
重點:
對一元一次不等式基本性質的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一次不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關的問題,建立起相關的知識體系。
↓ ↓
安排一組練習讓學生充分充分討論解決.
(1)當X取何值時,Y>0(2)當X取何值時,Y=0(3)當X取何值時,Y
3.某工人制造機器零件,如果每天比預定多做一件,那么8天所做零件超過100件;如果每天比預定少做一件,那么8天所做零件不到90件,這個工人預定每天做幾個零件?
不等式的課件 篇3
一元二次不等式是高中數(shù)學中的一個重要概念,是指一個帶有二次項的不等式。在數(shù)學學習中,我們經常需要利用二次不等式來解決問題,掌握這個概念對于深入了解高中數(shù)學知識是至關重要的。因此,學習一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的一大難點,需要認真對待。
一元二次不等式的概念和性質
一元二次不等式可以寫成如下形式:
ax2 + bx + c > 0
或
ax2 + bx + c
其中a、b、c都是實數(shù),a ≠ 0。
我們可以通過一些方法求出不等式的根,比如將其轉化為標準形式。將不等式變形,我們可以得到如下形式:
ax2 + bx
或
ax2 + bx > – c
然后,我們再用求一元二次方程根的方法求出不等式的解,就能夠得到它的解集。
對于不等式ax2 + bx + c > 0,其圖像為二次函數(shù)的上凸形,即開口向上的拋物線,而對于不等式ax2 + bx + c
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法有很多,下面我們介紹其中的兩種:
方法一:化為標準形式,再利用求一元二次方程根的方法求解。
方法二:利用符號法將不等式中的式子化簡,得到一系列不等式,然后將這些不等式求解即可。
實際上,解一元二次不等式還有很多其他的方法,比如絕對值法、圖形法等等。在解題時,我們要根據具體的情況選擇最合適的方法來求解。
一元二次不等式的應用
一元二次不等式廣泛應用于數(shù)學學習以及生活中的各個領域,比如物理學、經濟學、社會學等。下面我們以生活中的一個例子來說明一元二次不等式的應用。
假設你要購買一臺電視機,商家提供了兩種方案供你選擇。方案一:首付1500元,每月還款100元;方案二:首付3500元,每月還款80元。那么,你需要比較兩個方案的總花費,來決定哪個方案更加劃算。
我們假設電視機的總價格為x元。那么,方案一的總花費為:
C1 = 1500 + 100×n
而方案二的總花費為:
C2 = 3500 + 80×n
這里n為分期的期數(shù),即你需要還款的總期數(shù)。為了比較兩種方案的劃算程度,我們可以列出一個一元二次不等式:
1500 + 100×n
經過化簡,我們可以得到:
20n > 2000
n > 100
因此,當還款期數(shù)大于100期時,方案一比方案二更加劃算。這個例子很好地展示了一元二次不等式的應用,它能夠幫助我們在日常生活中做出明智的選擇,也能夠更加深入地理解數(shù)學知識。
總結
一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的重要概念,它在數(shù)學中和生活中都有廣泛的應用。學習一元二次不等式需要我們認真對待,掌握其概念、性質和解法,同時也需要我們理解其實際應用,這樣才能夠更好地掌握高中數(shù)學的知識。
不等式的課件 篇4
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望.根據本節(jié)課的教學內容,應用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應關系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應點位置間的關系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結構美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產生用數(shù)學研究不等關系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關系的相關素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關系,又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應的兩實數(shù)具有怎樣的關系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關內容.
實例1:某天的天氣預報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.YjS21.cOm
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結論.
討論結果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經常使用的方法,應讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據實數(shù)的運算性質與大小順序的關系,歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關系,只需確定它們的差與0的大小關系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關鍵首先是把文字語言轉換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結,從實數(shù)的基本性質的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設計關注了教學方法的優(yōu)化.經驗告訴我們:課堂上應根據具體情況,選擇、設計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中,沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣,可以說與其他所有內容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產生負面影響.
3.本節(jié)設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質,是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大?。?1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式的課件 篇5
基本不等式是初中數(shù)學中重要的一章內容,也是高中數(shù)學和競賽數(shù)學的基礎?;静坏仁降膶W習不僅有助于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力,同時也能幫助他們提高邏輯思維能力。本文旨在探討“基本不等式”這一主題。
一、基本不等式的定義與性質
基本不等式是說:對于正實數(shù)x1,x2,…,xn,有
(x1+x2+…+xn)/n≥√(x1x2…xn),當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立。
基本不等式的性質有以下幾條:
(1)當n為偶數(shù)時,等號成立;
(2)當n為奇數(shù)時,當且僅當所有數(shù)相等時等號成立;
(3)兩個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b)/2≥√(ab),其中a,b均為正實數(shù)且a≠b;
(4)當n≥3時,三個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b+c)/3≥√(abc),其中a,b,c均為正實數(shù)且a≠b≠c。
二、基本不等式的應用
基本不等式作為一種重要的數(shù)學工具,可以應用于眾多問題之中。以下是基本不等式的一些常見應用。
1. 求和式的最小值
例題1:已知-x1+x2+x3+x4+x5=-18,其中x1,x2,x3,x4,x5均為正數(shù),并且x1+x2+x3+x4+x5≥5,則x1x2x3x4x5的最小值為多少?
解法:根據已知條件,設x1+x2+x3+x4+x5=5+m(其中m≥0),則有x1+x2+x3+x4+x5+m=5+2m。代入到基本不等式中可得:
(x1+x2+x3+x4+x5+m)/5≥√(x1x2x3x4x5)m/5≥√(x1x2x3x4x5)/5
移項得到x1x2x3x4x5≥1,則x1x2x3x4x5的最小值為1。
2. 比較函數(shù)大小
例題2:比較函數(shù)f(x)=√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)(a,b,c>0)在[0,c]上的最小和最大值。
解法:根據已知條件和基本不等式,將f(x)分解成兩個正數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的形式,即
f(x)=[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]/2+1/2[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]
≥√[(√(a2+x2)×√(b2+(c-x)2)]+1/2(2c)
=√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c
當x=c/3時等號成立,即f(x)的最小值為√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c,最大值為√(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+c。
3. 求極限
例題3:已知數(shù)列{a_n}(n≥1)的通項公式為a_n=(√n+1)/(n+1),則求∑(n從1到∞)a_n的極限。
解法:根據基本不等式,有
a_1+a_2+…+a_n≥n(√(a_1a_2…a_n))^1/n
代入已知條件,可得:
a_1+a_2+…+a_n≥n[(√(1+1)×√(2+1)×…×√(n+1))/((1+1)×(2+1)×…×(n+1))]^(1/n)
= n[√(n+1)/2×1/3×…×1/(n+1)]^(1/n) =n[(n+1)/[2(n+1)]]^(1/n)
極限為1/2。
4. 求證不等式
例題4:已知a,b,c為正實數(shù),且a+b+c=1,證明∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)。
解法:將不等式化簡,得:
∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3[(a+b+c)2-(ab+bc+ca)]/(ab+bc+ca)
由于a+b+c=1,有
(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2,
(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥(a+b+c)2/(a(1-a)+b(1-b)+c(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
其中第一個不等式成立是因為當a=b=c=1/3時,等號成立;第二個不等式用到了基本不等式的形式。
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中的重要概念,掌握了基本不等式的定義、性質和應用方法,將有助于提高人們的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力。在日常生活和學習中,要重視基本不等式的學習和應用,逐步提高自己的數(shù)學水平。
不等式的課件 篇6
學生初步接觸了一點代數(shù)知識(如用字母表示定律,用符號表示數(shù)),是在學生學習了用字母表示數(shù)以后基礎上進行學習。應用方程是解決問題的基礎,有關的幾個概念,教材只作描述不下定義。在教學設計中仍然把理念作為教學的重點,理解方程的意義,判斷“等式”和“方程”知道方程是一個“含有未知數(shù)的等式”,才有可能明確所謂解方程。
學生不夠活潑,學習積極性不是很高,學生數(shù)學基礎不好。方程對學生來說還是比較陌生的,在他們頭腦中還沒有過方程這樣的表象,所以授新課就要從學生原有的`基礎開始,因為在前面學習用字母表示數(shù)的這部分內容時,有了基礎,我想在學習簡易方程應該沒什么大的問題。
1、使學生初步理解和辨析“等式”“不等式”的意義。
2、會按要求用方程表示出數(shù)量關系,
3、培養(yǎng)學生的觀察、比較、分析能力。
教學重點: 用字母表示常見的數(shù)量關系,會用方程的意義去判斷一個式子是否是方程。
教師介紹天平各部分名稱。讓學生操作當天平兩端托盤的物體的質量相等時,天平就會平衡,指針指向中。根據這這個原理來稱物體的質量。(讓學生操作,激發(fā)學生的興趣,借助實物演示的優(yōu)勢。初步感受平衡與不平衡的表象)
1、實物演示,引出方程:
(1)在天平稱出100克的左邊空杯,讓學生觀察是否平衡,感受1只空杯=100克。
(2)往空杯里倒入果汁,另一邊加100克法碼,問學生發(fā)現(xiàn)了什么? (讓學生感受天平慢慢傾斜,水是未知數(shù))引出100+X>200,往右加100克法碼, 問:哪邊重些?(學生初步感受平衡和不平衡的表象) 問:怎樣用式子表示?100+X<300
(3)教學100+X=250 問:如果是天平平衡怎么辦?(讓學生討論交流平衡的方案)把100克法碼換成50克的砝碼,這時會怎樣?(引導學生觀察這時天平出現(xiàn)平衡), 問:現(xiàn)在兩邊的質量怎樣?現(xiàn)在水有多重知道嗎?如果用字母X表示怎樣用式子表示?得出:100+X=250
示題:100+X<250100+X=2504X+50>10040+40=80 X÷2=45X-12=27
請學生觀察合作交流分類:
(一)引出(1)兩邊不相等,叫做不等式。(2)兩邊相等叫做等式。
(2)含有未知數(shù)的等式100+X=250 X÷2=4 揭示:(2)這樣的含有未知數(shù)等式叫做方程(通過分類,培養(yǎng)學生對方程意義的了解) 問:方程的具備條件是什么?(感知必須是等式,而一定含有未知數(shù))你能寫出一些方程嗎?(同桌交流檢查)
(三)練習判斷那些是方程?那些不是方程?
6+2X=14103+X250÷2=1256+X>251÷A=3X+Y=180 (讓學生加深對方程的意義的認識,培養(yǎng)學生的判斷能力。)
教師:我們能夠判斷什么是方程了,方程和等式有很密切的關系,你能畫圖來表示他們的關系嗎?(小組合作討論交流)
方程 等式 (讓學生通過觀察、思考、分析、歸類,自主發(fā)現(xiàn)獲得對方程和等式的關系理解,同時初步滲透教學中的集合思想。)
不等式的課件 篇7
基本不等式作為高中數(shù)學必修內容之一,在學生學習中扮演著極為重要的角色。本篇文章將圍繞基本不等式,探討它的概念、性質、證明方法及應用,并展示基本不等式的魅力和實用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指對于任意正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整數(shù) $n$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
這個不等式也被稱為均值不等式或AM-GM不等式。其中,$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示這些數(shù)的算術平均值,而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示這些數(shù)的幾何平均值。均值不等式的意義在于,算術平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的性質
基本不等式有以下幾個性質:
1. 當且僅當 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 時等號成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一個數(shù)為 $0$,則 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=0$,這時等號成立。
3. 基本不等式可以擴展到實數(shù)范圍內。
4. 均值不等式不等式對于大于 $0$ 的實數(shù)都成立。
三、基本不等式的證明方法
基本不等式有多種證明方法,下面列舉其中兩種:
方法一:數(shù)學歸納法
假設基本不等式對于 $n=k$ 時成立,即對于 $k$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_k$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k}+\cdots+\dfrac{a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
現(xiàn)證明它對于 $n=k+1$ 時也成立。將 $a_{k+1}$ 插入到原來的不等式中,得到:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
由于:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
因此,我們只需證明以下不等式:
$\dfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\cdot a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
經過變形化簡,可以得到:
$\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k} \geq \sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
顯然,這是成立的。
因此,按照歸納法的證明方式,基本不等式對于所有的正整數(shù) $n$ 都成立。
方法二:對數(shù)函數(shù)的應用
對于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,我們可以定義函數(shù):
$f(x)=\ln{x}$
顯然,函數(shù) $f(x)$ 是連續(xù)的、單調遞增的。根據式子:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
可以得到:
$\ln\left(\dfrac{a_1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{a_2}{n}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{a_n}{n}\right)\geq\dfrac{1}{n} (\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n)$
即:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)\leq\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}$
對于左邊的式子,有:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)$
對于右邊的式子,有:
$\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
因此,我們可以得到:
$\ln(a_1a_2\cdots a_n)\geq n\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
即:
$a_1a_2\cdots a_n\geq\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n$
這正是均值不等式的形式。因此,基本不等式得證。
四、基本不等式的應用
基本不等式在數(shù)學和物理學中有廣泛的應用。下面介紹幾個常見的應用場景:
1. 最小值求解
如果有 $n$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$,它們的和為 $k$,求它們的積的最大值,即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)$
根據基本不等式,有:
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
因此,可以得到:
$\dfrac{k}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
兩邊同時取冪,可以得到:
$\dfrac{k^n}{n^n}\geq a_1a_2\cdots a_n$
即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)=\dfrac{k^n}{n^n}$
2. 凸函數(shù)的優(yōu)化問題
如果 $f(x)$ 是一個凸函數(shù),$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正實數(shù),$b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是任意實數(shù)且 $\sum_{i=1}^n b_i=1$,則有:
$f(b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n)\leq b_1f(a_1)+b_2f(a_2)+\cdots+b_nf(a_n)$
這是凸函數(shù)的優(yōu)化問題中常用的基本不等式形式。它可以通過Jensen不等式或基本不等式證明。
3. 三角形求證
如果我們可以用 $a,b,c$ 表示一個三角形的三邊長,則有:
$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{4\sqrt{3}}$
這個不等式在三角形求證中也被廣泛應用。
五、結語
基本不等式是高中數(shù)學必修內容之一,但其實它的應用范圍遠不止于此。在實際問題中,基本不等式常常能給我們提供有效的解決方案。通過本文的介紹,希望讀者能夠更加深入地理解基本不等式的概念、性質、證明方法及應用,并能在實際問題中靈活運用。
不等式的課件 篇8
關于基本不等式的主題范文:
基本不等式是數(shù)學中非常重要的一道課題,所以我們需要從以下幾個方面來對基本不等式進行介紹。
一、基本不等式是什么
基本不等式是指數(shù)學中的一個重要定理,它表述的是任意正整數(shù)n及n個正數(shù)a1,a2,…,an的積與它們的和之間的關系。也就是說,對于任意正整數(shù)n和n個正數(shù)a1,a2,…,an,有以下不等式成立:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1×a2×…×an)1/n
其中,等式成立當且僅當a1 = a2 = … = an。
二、基本不等式的證明
下面我們來看一下基本不等式的證明過程。
首先,如果我們令Ai = nai和G = (a1 × a2 × … × an)1/n,則我們可以將原不等式轉化為:
(a1+a2+…+an)/n ≥ G
接下來,我們來看一下如果證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,那么我們就可以證明基本不等式,因為不等式具有對稱性,即如果G ≤ (a1+a2+…+an)/n,則(a1+a2+…+an)/n ≥ G也成立。
接下來,我們證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,即:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
將不等式右邊兩邊平方,得到:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
這時,我們來觀察右邊的式子,將式子中的每一項都乘以(n-1),得到:
(a1 × (n-1) + a2 × (n-1) + … + an × (n-1)) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
繼續(xù)進行簡化,得到:
[(a1 × (n-1)) + (a2 × (n-1)) + … + (an × (n-1))] / n ≥ (n-1) × a1 × a2 × … × an / n
左邊乘以1/n,右邊除以(n-1),得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就完成了基本不等式的證明。
三、基本不等式在實際中的應用
基本不等式在實際中的應用非常廣泛,下面我們來看一下其中的幾個例子。
1. 求平均數(shù)
如果我們已知n個正數(shù)的積,需要求它們的平均數(shù),那么根據基本不等式,我們可以得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
等式兩邊都乘以n-1,得到:
a1 + a2 + … + an ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就可以求得平均數(shù):
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n / n
2. 求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值
假設我們需要從數(shù)列{a1, a2, …, an}中選取n個數(shù),求它們的積的最大值。根據基本不等式,我們有:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
因為我們需要求積的最大值,所以當?shù)仁阶筮叺暮颓『玫扔趎個數(shù)的積時,這個積才能取到最大值。因此,我們可以得到:
a1 = a2 = … = an
這樣,我們就得到了求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值的方法。
三、結論
通過對基本不等式的介紹,我們可以發(fā)現(xiàn)它不僅僅是一道看似簡單的數(shù)學題目,而是一個非常重要的定理,有著廣泛的應用價值。希望大家能夠在今后的學習中更加重視基本不等式,并能夠深刻理解它的實際應用。
不等式的課件 篇9
基本不等式是高中數(shù)學中重要的一部分,也是初學者比較難掌握的一個概念。通過學習基本不等式,可以幫助學生理解不等式的基本概念、性質和運算。同時,對于高中數(shù)學,基本不等式還有很多相關的題型需要掌握,比如極值問題、夾逼定理等。本文將從基本不等式的定義開始,探討其相關概念、性質和應用。
一、基本不等式的定義
基本不等式是指對于任意正實數(shù)a、b,有以下不等式成立:
(a + b)2 ≥ 4ab
這個不等式也可以寫成:
a2 + b2 ≥ 2ab
這個不等式的含義是:對于任意兩個正實數(shù)a、b,它們的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的證明
對于任意實數(shù)x,y,可以用(x-y)2≥0來證明基本不等式:
(x-y)2≥0
x2-2xy+y2≥0
x2+y2≥2xy
將x換成a、y換成b,即可得到基本不等式。
三、基本不等式的相關概念
1. 等式條件:
當且僅當a=b時,等式成立。
2. 平均數(shù)與幾何平均數(shù):
平均數(shù)指的是兩個數(shù)的和的一半,即(a+b)/2;幾何平均數(shù)指的是兩個數(shù)的積的二分之一,即√(ab)。由于基本不等式的成立,可以得出平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)的結論。
3. 關于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關系:
從基本不等式得到如下兩個等式:
(a+b)2=4ab+(a-b)2;ab≥(a+b)/2
以上兩個式子給出了兩個關于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關系。
四、基本不等式的性質
1. 交換律和結合律:基本不等式滿足交換律和結合律。
2. 反比例函數(shù):若f(x)=1/x,x>0,則f(a)+f(b)≤2f((a+b)/2)對于a,b>0成立。
3. 帶約束的基本不等式:若a,b>0,且a+b=k,則(a+b)/2≥√(ab),即k/2≥√(ab)。
五、基本不等式的應用
1. 求證夾逼定理:如果a1≤b1≤c1,且a2≤b2≤c2,則(a1a2+b1b2+c1c2)/3≥(a1b2+b1c2+c1a2)/3≥√(a1b1c1a2b2c2)。
2. 判斷一個二次函數(shù)的最大值或最小值:由于二次函數(shù)的導數(shù)為一次函數(shù),可以通過求導得到函數(shù)的極值。而基本不等式可以用于判斷二次函數(shù)的極值點是否合理,即是否在定義域內。
3. 算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的關系:通過基本不等式可以證明,當兩個數(shù)的和固定時,它們的平均數(shù)越大,它們的幾何平均數(shù)就越小。
總的來說,基本不等式是高中數(shù)學不可缺少的一部分,不僅在考試中占有重要地位,而且還具有很重要的理論意義。希望本文對初學者掌握基本不等式有所幫助。
不等式的課件 篇10
教學目標:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)的關系.
2.會根據題意列出函數(shù)關系式,畫出函數(shù)圖象,并利用不等關系進行比較.
1.通過一元一次不等式與一次函數(shù)的圖象之間的結合,培養(yǎng)學生的數(shù)形結合意識.
2.訓練大家能利用數(shù)學知識去解決實際問題的能力.
體驗數(shù)、圖形是有效地描述現(xiàn)實世界的重要手段,認識到數(shù)學是解決問題和進行交流的重要工具,了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用.
自己根據題意列函數(shù)關系式,并能把函數(shù)關系式與一元一次不等式聯(lián)系起來作答.
1.張大爺買了一個手機,想辦理一張電話卡,開米廣場移動通訊公司業(yè)務員對張大爺介紹說:移動通訊公司開設了兩種有關神州行的通訊業(yè)務:甲類使用者先繳15元基礎費,然后每通話1分鐘付話費0.2元;乙類不交月基礎費,每通話1分鐘付話費0.3元。你能幫幫張大爺選擇一種電話卡嗎?
2.展示學習目標:
(1)、理解一次函數(shù)圖象與一元一次不等式的關系。
(2)、能夠用圖像法解一元一次不等式。
(3)、理解兩種方法的關系,會選擇適當?shù)姆椒ń庖辉淮尾坏仁健?/p>
積極思考,嘗試回答問題,導出本節(jié)課題。
閱讀學習目標,明確探究方向。
問題1:結合函數(shù)y=2x-5的圖象,觀察圖象回答下列問題:
問題2:如果y=-2x-5,那么當x取何值時,y>0?當x取何值時,y
巡回每個小組之間,鼓勵學生用不同方法進行嘗試,尋找最佳方案。答疑展示中存在的問題。
問題3.兄弟倆賽跑,哥哥先讓弟弟跑9m,然后自己才開始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m,列出函數(shù)關系式,畫出函數(shù)圖象,觀察圖象回答下列問題:
(1)何時哥哥分追上弟弟?
(2)何時弟弟跑在哥哥前面?
(3)何時哥哥跑在弟弟前面?
(4)誰先跑過20m?誰先跑過100m?
你是怎樣求解的?與同伴交流。
問題4:已知y1=-x+3,y2=3x-4,當x取何值時,y1>y2?你是怎樣做的?與同伴交流.
讓學生體會數(shù)形結合的魅力所在。理解函數(shù)和不等式的聯(lián)系。
移動通訊公司開設了兩種長途通訊業(yè)務:全球通使用者先繳50元基礎費,然后每通話1分鐘付話費0.4元;神州行不交月基礎費,每通話1分鐘付話費0.6元。若設一個月內通話x分鐘,兩種通訊方式的費用分別為y1元和y2元,那么
(1)寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關系式;
(2)在同一直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象;
(3)求出或尋求出一個月內通話多少分鐘,兩種通訊方式費用相同;
(4)若某人預計一個月內使用話費200元,應選擇哪種通訊方式較合算?
在共同探究的過程中加強理解,體會數(shù)學在生活中的重大應用,進行能力提升。
積極完成導學案上的檢測內容,相互點評。
學生回顧總結學習收獲,交流學習心得。
教材P51.習題2.6知識技能1;問題解決2,3.
一、學習與探究:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關系;
2.做一做(根據函數(shù)圖象求不等式);
四、課后作業(yè):
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不等式課件
不為明天做好準備的人是沒有未來的,當幼兒園教師的工作遇到難題時,我們經常會用提前準備好的資料進行參考。資料通常是指書籍、報刊、圖表、圖片等。有了資料才能更好的在接下來的工作輕裝上陣!所以,關于幼師資料你究竟了解多少呢?在這里,你不妨讀讀不等式課件,歡迎閱讀,希望對你有幫助。
不等式課件【篇1】
教學目標:
了解一元一次不等式的概念,掌握一元一次不等式的解法。
教學重點:
是掌握解一元一次不等式的步驟
教學難點:
是必須切實注意遇到要在不等式兩邊都乘以(或除以)同一負數(shù)時,必須改變不等號的方向。
教學過程:
一、問題導入
復習:
1、不等式的基本性質有哪些?什么是一元一次方程?并舉出兩個例子。
2、觀察不等式x+3<5與x<2,說明解x<2是x+3<5依據什么變形得到的?
3、解一元一次方程:6x+5=7-2x,目的是為了與下面所學的解一元一次不等式進行類比,找到它們的聯(lián)系與區(qū)別。
二、指導自學,小組合作交流
請同學們根據以下提問進行自學,先個人思考,后小組合作學習。
1、觀察下列不等式,說一說這些不等式有哪些共同特點?
(1)2x+5≥8(2)x+1≤—4(3)x<2(4)6—3x>43(x+1)≤0
觀察上面不等式有哪些共同特點,讓學生通過交流,再總結一元一次不等式的概念。老師板書定義。
2、讓學生舉出2或3個一元一次不等式的例子,小組交流。
3、讓學生通過比較解一元一次方程:6x+5=7-2x的解法試解一元一次不等式:6x+5<7-2x,并將解集在數(shù)軸上表示出來。
4、思考:一元一次不等式與一元一次方程的解法有哪些類似之處?有什么不同?
5、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來。
(1)3-x<2x+9(2)2-4(x-1)>3(x+2)-x
(3)(x-1)/3≥(2-x)/2+1
總結:解一元一次不等式的依據和解一元一次不等式的步驟。
三、互動交流,教師點撥
(一)、學生易出錯的問題和注意的事項:
1、確定一個不等式是不是一元一次不等式,要抓住三個要點:左右兩邊都是整式,只有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1。
2、對于(1),讓學生說明不等式3-x<2x+9的每一步變形的依據是什么,特別注意的是:解不等式的移項和解方程的移項一樣。即移項要變號(培養(yǎng)學生運用類比的數(shù)學思想)。
3、不等式兩邊同時除以(-3)時,不等號的方向改變。
2、重點點撥(2)和(3),先讓學生到黑板上板演。老師再講評。
(2)易出錯的地方是:去括號時漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項沒變號,還有移項沒有變號;(3)易出錯的地方是:去分母時漏乘無分母的項。
3、歸納解一元一次不等式的步驟(與解一元一次方程的步驟類比):去分母,去括號,移項,合并同類項,系數(shù)化為1。(在系數(shù)化為1這一步要特別提醒學生注意當系數(shù)為負數(shù)時,要記住改變不等號的方向。)
四、鞏固練習
1、判斷下列不等式是不是一元一次不等式,為什么?
(1)2/x—3
(2)5x+3x–1
(4)x(2x+1)
(5)X+2≥x
2、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來
(1)3x–8
(2)2(x–1)≥x+3
(3)x/5≥1+(x–3)/2
3、[思考]當x取何值時,代數(shù)式(x–2)/2的值比(3x+1)/3的值大?
小結:
(1)不等式兩邊同時除以負數(shù)時,不等號的方向要改變。
(2)注意去括號時不要漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項要變號,還有移項一定要變號
(3)去分母時不要漏乘無分母的項。
不等式課件【篇2】
一、教學目標
(一)知識與技能
1.了解從實際情境中抽象出二元一次不等式(組)模型的過程
2.掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法
3.了解數(shù)學建模的整個過程
(二)過程與方法
1.通過對實際問題的探索,培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光去觀察生活、并且能提出問題、分析問題、解決問題的能力.
2.增強學生的協(xié)作能力.
(三)情感、態(tài)度與價值觀
1.通過學生自主探索、合作交流,親身體驗數(shù)學模型的發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的品質,增強學習的成功心理,激發(fā)學習數(shù)學的興趣,深刻體會數(shù)學是有用的.
2.通過實例的社會意義,培養(yǎng)學生愛護環(huán)境的責任心.
二、教學重點、難點
重點:從具體生活情境中提煉出簡單的二元線性規(guī)劃問題,并且用數(shù)學方法解決問題.
難點:從具體生活情境中提煉出約束條件和目標函數(shù).
三、教學設想
本節(jié)課采用探究式課堂教學模式,即在教學過程中,在教師的啟發(fā)引導下,以學生獨立自主和合作交流為前提,以二元一次不等式(組)模型的發(fā)現(xiàn)為基本探究內容,以周圍世界和生活實際為對象,為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會,讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動,將自己所學知識應用于對實際問題的深入探討.讓學生在“活動”中學習,在“主動”中發(fā)展,在“合作”中增知,在“探究”中創(chuàng)新.設計思路如下:
創(chuàng)設情境→方案討論→數(shù)據篩選→建立模型→解決模型→反饋實際
四、教學過程:
引入
(1)如圖,小明與小聰玩蹺蹺板,大家都不用力時,蹺蹺板左低右高.小明的身體質量為p(kg),小聰?shù)纳眢w質量為q(kg),書包的質量為2kg,怎樣表示p、q之間的關系?
(2)上圖是公路上對汽車的限速標志,表示汽車在該路段行使的速度不得超過40km/h.若用v(km/h)表示車的速度,那么v與40之間的數(shù)量關系用怎樣的式子表示?
(3)據科學家測定,太陽表面的溫度不低于6000℃.設太陽表面的溫度為t(℃),怎樣表示t與6000之間的關系?
歸納:數(shù)學作用之一,我們可以用數(shù)學語言描述客觀世界的某些現(xiàn)象
當然,數(shù)學作用不僅于此,我們還可以通過數(shù)學解決現(xiàn)實生活中的問題.
(一)情景設置
我校環(huán)境優(yōu)美,毗鄰江水,校園內四季常青,但是遠眺圍墻外,有一座小山,那是一座垃圾山.楊府山垃圾場有他的.歷史作用和意義,現(xiàn)在已經完成了它的歷史使命,而且現(xiàn)在有了負面影響,市委市政府打算對其進行改造.經過專家論證,有如下方案可行:發(fā)電、制磚
(二)處理方案討論
現(xiàn)同時用兩種措施對垃圾山進行改造處理,如果你是項目經理,給你500萬采購發(fā)電設備以及制磚設備,你該如何去實施?
(學生自主發(fā)言)
學生問題一、怎樣安排資金?買幾臺發(fā)電設備,幾臺制磚設備?如何決策?
引導:問題轉化為如何安排資金,能取得最大效益?即兩種方案生產產品的利潤(售價減去成本)
學生問題二、如何知道這些信息?(產品售價、設備的單價等)
引導(先提問學生):上網查詢、市場調查、向已建廠取經、參觀展銷會等等.
(三)數(shù)據的篩選
由于教室條件限制,不能現(xiàn)場查取,所以老師幫你們收集了一些資料,希望對你們有所幫助.請分析以下信息,提取你認為有用的數(shù)據.
信息一、
信息二、
焚燒垃圾重量直接關系到垃圾發(fā)電企業(yè)的經濟效益.在BOT的模式下,企業(yè)的效益這樣來保障:
1.每處理1噸垃圾,政府補貼發(fā)電企業(yè)73.8元,
2.保證以0.52元/千瓦時的價格收購全部垃圾發(fā)電量,
3.一臺發(fā)電設備每處理1噸垃圾平均費用為123元
4.一臺發(fā)電設備日處理垃圾能力為225噸,
5.1噸垃圾可發(fā)電300千瓦時,其中30%為自用電
信息三、
發(fā)電設備:120萬/臺制磚設備:35萬/臺
機房總面積為7畝,每臺設備有各自平均占地,其中發(fā)電設備每臺平均占地1畝,制磚機每臺平占地1畝
(四)建立模型
你能從以上信息中提煉出你所需要的信息,并用數(shù)學語言表示出來嗎?
(學生動手)
引導:我們剛才處理的問題即應用題:
例一工廠欲生產甲乙兩種產品,已知生產一件甲產品利潤為60元,一臺甲設備價格為120萬,占地1畝,年生產能力為82125件;生產一件乙產品利潤為0.12元,一臺乙設備價格為35萬,占地1畝,年生產能力為15000000件.現(xiàn)有資金500萬,廠房7畝,該廠該如何添置甲乙兩種設備,使得年利潤最大?
(五)解決模型
該問題即我們上節(jié)課剛學過的線性規(guī)劃問題,請大家動手解決.
(六)反饋實際
我們可以將我們的成果發(fā)到市長信箱,為城市建設出謀劃策,貢獻自己的一份力量.
五、歸納小結
(一)解決生活問題的步驟:
創(chuàng)設情境→方案討論→數(shù)據篩選→建立模型→解決模型→反饋實際
現(xiàn)實問題:給你資金和地皮,購置設備
方案討論:通過1.上網查詢2.市場調查3.吸收已建廠經驗等方法收集信息.
數(shù)據篩選及建立模型:將收集到的信息用數(shù)學語言表示出來.
解決模型:用已學過的數(shù)學知識進行分析、處理,得出結論.
反饋實際:將結論應用于實際問題當中.
(二)順利解決生活問題體要具備的能力
我們要具備信息收集及處理能力、生活語言轉化成數(shù)學語言的能力以及扎實的數(shù)學解題能力.
不等式課件【篇3】
各位領導
你們好!
今天我要為大家講的課題是 : 《 不等式及其解集 》 。
首先,我對本節(jié)教材進行一些分析:
一、教材分析:
1.教材所處的地位和作用:
本節(jié)內容在全書及章節(jié)的地位是:《 不等式及其解集 》是 新人教版 初中數(shù)學教材第 七 冊第 九 章第 1 節(jié)內容。 學生已初步體會到生活中的量與量之間的關系,有相等與不等的情形,就是有大小之分…… 在此之前,學生已學習了 等式 基礎上,這為過渡到本節(jié)的學習起著鋪墊作用。
2教學目標:
根據上述教材分析,考慮到學生已有的認知結構心理特征,制定如下教學目標:
(1)知識目標:
了解不等式及一元一次不等式概念。
理解不等式的解、解集,能正確表示不等式的解集。
(2)能力目標:
通過教學初步培養(yǎng)學生分析問題,解決實際問題,讀圖分析、收集處理信息、團結協(xié)作、語言表達的能力,以及通過師生 互動 ,初步培養(yǎng)學生運用知識的能力,培養(yǎng)學生加強理論聯(lián)系實際的能力。
(3)情感目標:
通過對 《不等式及其解集》 的教學,引導學生從現(xiàn)實生活的經歷與體驗出發(fā),激發(fā)學生對地理問題的興趣,使學生了解地理知識的功能與價值,形成主動學習的態(tài)度,讓學生初步認識到地理知識的優(yōu)越性,同時滲透 安全教育 ;通過理論聯(lián)系實際的方式,通過知識的應用,培養(yǎng)學生唯物主義的思想觀點。
3.重點,難點以及確定的依據:
本課中 不等式相關概念的理解和不等式的解集的表 是重點, 不等式解集的理解 是本課的難點,但由于學生年齡小,解決實際問題能力弱,對理論聯(lián)系實際的問題的理解難度大。下面,為了講清重難點,使學生能達到本節(jié)課設定的教學目標,我再從教法和學法上談談:
二、教學策略(說教法):
(一)教學手段:
如何突出重點,突破難點,從而實現(xiàn)教學目標。我在教學過程中擬計劃進行如下操作:
1.“讀(看)——議——講”結合法
2 .讀圖討論法
3 .教學過程中堅持啟發(fā)式教學的原則
基于本節(jié)課的特點: 第一節(jié)知識性特點 ,應著重采用 自主探討 的教學方法。
(二)教學方法及其理論依據:
堅持“以學生為主體,以教師為主導”的原則,即“以學生活動為主,教師講述為輔,學生活動在前,教師點撥評價在后”的原則,根據學生的心理發(fā)展規(guī)律,聯(lián)系實 際安排教學內容。采用學生參與程度高的學導式討論教學法。在學生看圖片 、討論基礎上,在教師啟發(fā)引導下,運用問題解決式教學法,師生交談法、問答法、課堂討論法,引導學生根據現(xiàn)實生活的經歷和體驗及收集到的信息(感性材料)來理解課文中的理論知識。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題,提問不同層次的學生,面向全體,使基礎差的學生也能有表現(xiàn)的機會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)其學習熱情。有效地開發(fā)各層次學生的潛在智能,力求使每個學生都能在原有的基礎上得到發(fā)展。同時通過課堂練習和課后作業(yè),啟發(fā)學生從書本知識回到社會實踐,學以致用,落實教學目標。
使學生學習對生活有用的數(shù)學,學習對終身發(fā)展有用的數(shù)學的基本理念。提供給學生與其生活和周圍世界密切相關的數(shù)學知識,學習基礎性的知識和技能,在教學中要積極培養(yǎng)學生學習興趣和動機,明確的學習目的。教師應在課堂上充分調動學生的學習積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力
三、學情分析:(說學法) :
1.學生特點分析:
中學生心理學研究指出,初中階段是智力發(fā)展的關鍵年齡,學生邏輯思維從經驗型逐步向理論型發(fā)展,觀察能力、記憶能力和想象能力也隨著迅速發(fā)展。從年齡特點來看,初中學生好動、好奇、好表現(xiàn),抓住學生特點,積極采用形象生動、形式多樣的教學方法和學生廣泛的、積極主動參與的學習方式,定能激發(fā)學生興趣,有效地培養(yǎng)學生能力,促進學生個性發(fā)展。生理上,青少年好動,注意力易分散,愛發(fā)表見解,希望得到老師的表揚,所以在教學中應抓住學生這一生理特點,一方面要運用直觀生動的形象,引發(fā)學生的興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上;另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性。
2.知識障礙上:
(1)知識掌握上,學生原有的知識 等式 ,許多學生出現(xiàn)知識遺忘,所以應 更學生更過的時間分組預習討論 。
(2)學生學習本節(jié)課的知識障礙。 不等式解集的表示方法
知識,學生不易理解,所以教學中教師應予以簡單明白、深入淺出的分析。
3.動機和興趣上:
明確的學習目的。教師應在課堂上充分調動學生的學習積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力。
最后我來具體談一談這一堂課的教學過程:
四、教學程序及設想:
教學程序:
(一)課堂結構: 出示學習目標,預習展示 , 練習反饋 , 課堂自測, 布置作業(yè) 五 個部分。
(二)教學簡要過程:
1、 出示學習目標,課前預習
出示學習目標,學生觀察學習目標,自主預習。
設計意圖:有了明確的學習目標才能激發(fā)起學生的學習熱情,才能充分調動學生學習的積極性。
學生分小組進行自主探究學習,同學之間進行合作交流,教師巡視指導,觀察學生的探究方法,并傾聽學生之間的探討。
【設計意圖】:本次任務為本節(jié)課的核心任務,其目的是通過學生的自主學習,理解本節(jié)幾個概念,并通過學生的舉例回答,從具體的實例中去掌握這幾個概念。
2 、預習反饋
讓學生自己來講解,有利于提高學生的語言表達能力,學生用語言來概括這幾個概念,培養(yǎng)學生的數(shù)學語言表達能力及抽象概念能力。
3 、老師歸納,練習反饋
歸納補充知識點,并進行練習反饋。針對每個知識點設置不同的練習。如
1 ) 、不等式的定義設置 , (判斷)下列各式是否為不等式;
(1)-2<5 (2)x+3> 2x (3)4x-2y<0 (4)a-2b
(5)x2-2x+1<0 (6) a+b≠c (7)5m+3=8 (8)x≤-4
2 ) 、 用不等式表示:
⑴ a與1的和是正數(shù);
⑵ y的2倍與1的和小于3;
⑶ y的3倍與x的2倍的和是非負數(shù) ;
⑷ x乘以3的積加上2最多為5.
3 ) 、下列說法正確的是( )
A. x=3是2x>1的解
B. x=3是2x>1的唯一解
C. x=3不是2x>1的解
D. x=3是2x>1的解集
及認識不等式解集的表示方法有兩種:最簡形式與在數(shù)軸上表示。分組討論找規(guī)律,記口訣。(定界點,定方向)相關題型:
用數(shù)軸表示不等式的解集:
(1)x>-2; (2)x≤3; (3)y≤0
找三名同學上臺展示。
展示學生的成果,讓學生在學習過程中感受學習的樂趣和成功的喜悅,增強學生的學習興趣。
體會不等式是解決實際問題的有效工具。
4 、課堂自測
檢測學習本節(jié)課的掌握情況。
5 、布置作業(yè)
分層作業(yè)。針對學生的學習情況,讓每一名同學都 能完成 老師布置的任務,增強成就感及學習數(shù)學的興趣。 A類: 教科書P119,120:1,2,3;B 類: 卷:能力提高作業(yè)。
五、 反思:
本節(jié)教學,有以下幾點特別值得回味的地方。
1、從生活中來回到生活中去的教學設計
新課標指出:“數(shù)學的教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有知識經驗基礎上?!毙睦韺W的研究表明,學習內容和學生生活背景、知識背景越接近,學生自覺接納知識懂得的程度就越高。導入的恰當、合理會引起學生極大的學習興趣,對知識的銜接和理順起到畫龍點睛的作用,又對新知識起到設疑、點拔的作用。用學生身邊感興趣的實例 過馬路、蹺蹺板體驗生活中的不等式 ,一方面引起學生的參與欲,另一方面也體現(xiàn)了知識拓展的需要。因為這樣既可引出一元一次不等式的意義,又讓學生產生學習不等式的需求,也使學生對解不等式 的方法有了很自然的聯(lián)想 讓學生充分感受到學習一元一次不等式的必要性。使學生進一步認識到“數(shù)學來源于生活,反過來又為生活服務”,增強學好數(shù)學的信心與決定。
2、重視數(shù)學思想方法的滲透
數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂,知識轉化為能力的橋梁。在整節(jié)課的教學中都非常重視數(shù)學思想方法的滲透。學習不等式時,類比方程、不等式解集的概念,滲透“類比”思想。使學生在已有知識上進行遷移,在主動參與、探索交流中不知不覺學到了新知識。利用數(shù)軸求不等式的解集,滲透“數(shù)形結合”思想。掌握不等式的解集 在數(shù)軸上的表示 ,利用數(shù)軸把解集 講解得非常透徹,使學生充分認識到“數(shù)形結合”思想方法的用處。列不等式解決實際問題,滲透“建?!彼枷?,培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識。最后的小結,不是流俗的學習內容小結,而是思想方法的小結,它起到了提綱挈領,梳理總結的目的。
3、重視數(shù)學的“再創(chuàng)造”
課堂教學改革的宗旨和根本出發(fā)點是:改善和促進學生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。建構主義理論強調學習的主動性、社會性和情景性,認為學習者不是知識信息的被動吸收者,而是主動積極的建構者。留給學生的作業(yè):完成課外探究題,借助數(shù)軸歸納求不等式的解集一般規(guī)律。教學時重視了數(shù)學的“再創(chuàng)造”,由學生本人把需學的東西自己去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造出來。學生的學習不再是一種被動地吸收知識,反復練習,強化儲存知識的過程,而是通過反復研究、探索、思考、概括,親身經歷“再創(chuàng)造”的探究性學習過程,從而自主獲得知識。
總之,教學設計時體現(xiàn)新課程標準的思想和理念,注重知識與能力并重,培養(yǎng)發(fā)展學生自主探索的獨立思考精神。
不等式課件【篇4】
一教材分析
1、教材地位和作用
均值不等式又叫做基本不等式,選自人教B版(必修5)的3章的2節(jié)的內容,是在上節(jié)不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究.同時也是為了以后學習中的幾種重要不等式,以及不等式的證明作鋪墊,起著承上啟下的作用。
本節(jié)內容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點,所以本節(jié)課可以培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識靈活解決實際問題的能力。
“均值不等式”在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應用。求最值是高考的熱點。它在科學研究、經濟管理、工程設計上都有廣泛的作用。
2、教學目標
A.知識目標:學會推導并掌握均值不等式,理解這個均值不等式的幾何意義,并掌握定理中取等號的條件.B.能力目標:通過對均值不等式的推導過程,提高學生探究問題,分析與解決問題的能力。參透類比思想,數(shù)形結合的思想,優(yōu)化了學生的思維品質。
C.情感目標:(1)通過探索均值不等式的證明過程,培養(yǎng)探索、研究精神。(2)通過對均值不等式成立的條件的分析,養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài),并形成勇于提出問題、分析問題的習慣。
3、教學重點、難點:
重點:
通過對新課程標準的解讀,教材內容的解析,我認為結果固然重要,但數(shù)學學習過程更重要,它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力,所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點
難點:
很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻,在應用時候常常出錯誤,所以,均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點
二教法學法分析
1.教法
本節(jié)課主要采用探究歸納,啟發(fā)誘導,講練結合的教學方法。以學生為主體,以均值不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學生探究思索。
2、教學手段
為了使抽象變?yōu)榫唧w,我使用了多媒體。為了突出重點我使用了彩色粉筆。3,學法
從實際生活出發(fā),通過創(chuàng)設問題情境,讓學生經歷由實際問題出發(fā),探求均值不等式,發(fā)現(xiàn)均值不等式的實質,利用均值不等式解決實際問題的過程。使學生從代數(shù)證明和幾何證明兩方面理解并掌握基本不等式。
三教學過程
(一)、創(chuàng)設情景,引入課題
從古至今中國人有很多發(fā)明創(chuàng)造推動了和推動著世界的前進,在這璀璨的星空里,最耀眼的一顆就是被奉為2002年北京國際數(shù)學家大會會徽的《趙爽弦圖》(動畫打出)。
如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的,顏色的明暗使它看上去象一個風車,代表中國人民熱情好客。這就是公元前1000多年前我國數(shù)學家趙爽發(fā)現(xiàn)并記錄在《周脾算經》中的發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的《趙爽弦圖》;它比歐洲畢達哥拉斯學派的發(fā)現(xiàn)早了500多年。
你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎?
設計意圖:勾起學生強烈的民族自豪感和強烈的求知欲,并對學生滲透愛國主義教育,同時告訴學生記住我國光輝而燦爛的歷史。
探究圖形中的不等關系(用提問題的方式)
將圖中的“風車”抽象成如圖,在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形。
設直角三角形的兩條直角邊長為a,b
4個直角
22三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為a?b。
由于4個直角三角形的面積和小于正方形的面積,22我們就得到了一個不等式:a?b?2ab。
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即a=b時,22正方形EFGH縮為一個點,這時有a?b?2ab。
22a,b?R,那么a?b?2ab(當且僅當a?b時取“?”號)得到結論:重要不等式:如果
具有這種形式的式子就是我們今天要討論的問題.(二)新課講授。
1給出均值定理(在老師寫均值不等式定理時,要求同學在課本上了解均值定理,并思考怎樣證明。),師生一起證明均值不等式。
a?ba?0,b?0)2要證:?????????①
即證:a?b????????????②
要證②,只要證:a?b??0????③
2要證③,只要證:(-)?0 ??④
點評,強調取等條件;
2.?a?b2的幾何意義 a?b?a?0,b?0)2當a≠b時,OC>CD,即
a?b?當a=b時,OC=CD,即
2我們是否能從圖中看見當D向O點移動時CD是逐漸變長了,當D,O重合時CD最長,并且a=b.a?b
3.在數(shù)學中,我們稱2為正數(shù)a、b的算術平均數(shù),稱ab為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).均值不等式還可敘述為:兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù).設計意圖:探索發(fā)現(xiàn),觀察歸納,形成概念,加深對均值不等式的認識和理解;培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想方法和對比的數(shù)學思想,多方面思考問題的能力.讓學生積極的參與到學習中來,激發(fā)學生的學習興趣。
(三)例題講解(精講第一題)
例,矩形的面積為100 m2,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形周長最短。最短周長是多少?
用波利亞的4環(huán)節(jié)來進行解題
1:審題(把實際問題數(shù)學化)
2:分析(矩形的長與寬的乘積是一個常數(shù),求長與寬的和的2倍的最小值;)3:解題
4:回顧(給出規(guī)律:規(guī)律:兩個正數(shù)的積為常數(shù)時,它們的和有最小值)。
設計意圖:這個例題體現(xiàn)了基本不等式的實用價值。隨著高考綜合科目的確定,聯(lián)系各個學科的試題將會不斷出現(xiàn),數(shù)學作為工具性的學科,學好數(shù)學,也增強了攻讀好其他學科的信心。
為了體現(xiàn)夸美紐斯的鞏固性原則,我設計了下面練習。
練習:已知矩形的周長是36m,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的面積最大?最大面積是多少?
先老師對該練習進行提示,再抽一位同學在黑板上來練習,其他同學在下面練習。做完后大家一起點評該練習,不讓同學通過上面的回顧來終結下面的規(guī)律:
兩個正數(shù)的和為常數(shù)時,它們的積有最大值
四小結(教師引導學生小結本節(jié)課):
知識:均值定理及其成立的條件,及其均值定理的應用
方法:一正,二定,三相等。
思想:類比和數(shù)形結合的思想。
設計意圖:培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力,鞏固所學知識.
五作業(yè):
基礎題:課本 第77頁A組 1.提高題:課本 第77頁A組 3.4研究題:設正數(shù)a、b,試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式
板書設計:
為了更好的板書本節(jié)課的內容,使整個板面重點突出,層次分明,我將黑板分為四版.定理例題練習副版
定理的證明講解講解
不等式課件【篇5】
課題:§3.2.3均值不等式課時:第3課時 授課時間:授課類型:新授課
【教學目標】
1.知識與技能:了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。
2.過程與方法:培養(yǎng)學生的探究能力以及分析問題、解決問題的能力。
3.情態(tài)與價值:激發(fā)學習數(shù)學的熱情,培養(yǎng)善于思考、勤于動手的學習品質。
【教學重點】了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。
【教學難點】了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。
【教學過程】
例
1、已知a、b、c∈R,求證:
不等式的左邊是根式,而右邊是整式,應設法通過適當?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開方式轉化為完全平方式,再利用不等式的性質證得原命題。
a2b2c
2???a?b?c 例
2、若a,b,c?R,則bca?
本題若用“求差法”證明,計算量較大,難以獲得成功,注意到a , b , c∈R,從結論的特點出發(fā),均值不等式,問題是不難獲證的。
+
例
3、已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),求證:a?b?c?ab?bc?ca 證明:∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca
以上三式相加:2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca
∴a?b?c?ab?bc?ca
例
4、已知a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
分析:此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系,從而正確運用,同22222222222222
2證明:∵a,b,c,d都是正數(shù),∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>
得ab?cdac?bd??0,??0.22
(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4由不等式的性質定理4的推論1,得 ?
即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
小結:正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
課堂練習:第73頁習題B 3、4課后作業(yè):第73頁習題B 5、6
板書設計:
教學反思:
不等式課件【篇6】
《均值不等式》說課稿
山東陵縣一中 燕繼龍李國星
尊敬的各位評委、老師們:
大家好!我今天說課的題目是 《均值不等式》,下面我從教材分析,教學目標,教學重點、難點,教學方法,學生學法,教學過程,板書設計,效果分析八個方面說說我對這堂課的設計。
一、教材分析:
均值不等式又稱基本不等式,選自普通高中課程標準實驗教科書(人教B版)必修5第三章第3節(jié)內容。是不等式這一章的核心,在高中數(shù)學中有著比較重要的地位。對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實際問題都起到工具性作用。通過本節(jié)的學習有利于學生對后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值值域進一步研究,起到承前啟后的作用。
二、教學目標:
1、知識與技能:
(1)掌握均值不等式以及其成立的條件;
(2)能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。
2、過程與方法:
(1)探索并了解均值不等式的證明過程、體會均值不等式的證明方法;
(2)培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。
3、情感態(tài)度與價值觀:
(1)通過探索均值不等式的證明過程,培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神;
(2)通過對均值不等式成立條件的分析,養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度;
(3)認識到數(shù)學是從實際中來,通過數(shù)學思維認知世界。
三、教學重點和難點:
重點:通過對新課程標準的解讀,教材內容的解析,我認為結果固然重要,但數(shù)學學習過程更重要,它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力,所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點之一;再者,均值不等式有比較廣泛的應用,需重點掌握,而用好均值不等式,關鍵是對不等式成立條件的準確理解,因此,均值不等式及其成立的條件也是教學重點。
難點:很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻,在應用時候常常出現(xiàn)錯誤,所以,均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點。
四、教學方法:
為了達到目標、突出重點、突破難點、解決疑點,我本著以教師為主導的原則,再結合本節(jié)的實際特點,確定本節(jié)課的教學方法。
突出重點的方法:我將通過引導啟發(fā)、學生展示來突出均值不等式的推導;通過多媒體展示、來突出均值不等式及其成立的條件。
突破難點的方法:我將采用重復法(在課堂的每一環(huán)節(jié),以各種方式進行強調均值不等式和
來突破均值不等式成立的條件這個難點。
此外還將繼續(xù)采用個人和小組積分法,調動學生積極參與的熱情。
五、學生學法:
在學生的學習中,注重知識與能力,過程與方法,情感態(tài)度和價值觀三個方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學生是主體,具體如下:
1、課前預習----學會;、明確重點、解決疑點;
2、分組討論
3、積極參與----敢于展示、大膽質疑、爭相回答;
4、自主探究----學生實踐,鞏固提高;
六、教學過程:
采取“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學模式,運用學案導學開展本節(jié)課的教學,首先進行
:課前預習
(一)成果反饋
1.對課前小組合作完成的現(xiàn)實生活中的問題:
“今有一臺天平,兩臂不等長,要用它稱物體質量,將物體放在左、右托盤各稱一次,稱得的質量分別為a,b,問:能否用a,b的平均值表示物體的真實質量?若不能,這二者是什么關系?”
進行多媒體情景演示,抽小組派代表回答,從而引出均值不等式抽出兩名同學上黑板完成2、32.均值定理:_____________________________________
a?b
2?。
預備定理:a2?b2?2ab(a,b?R),仿照預備定理的證明證明均值定理 3.已知ab>0,求證:?
ab
ab?2,并推導出式中等號成立的條件。
與此同時,其他同學分組合作探究和均值定理有關的以下問題,教師巡視并參與討論,適時點撥。
① 適用范圍a,b?________,x?0,x?
1x??2
對嗎?
② 等號成立的條件,當且僅當__________時,________=_________ ③ 語言表述:兩個___數(shù)的____平均數(shù)_____它們的_______平均數(shù) ④ 把不等式_________________又稱為均值或________不等式 ⑤ 數(shù)列觀點:兩個正數(shù)的______中項不小于它們的_____中項
。⑥ 幾何解釋(見右圖):________________
⑦常見變形a?b?_______
?________,即ab?
___________。例:
4、(1)一個矩形的面積為100 m,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的周長最短?最短周長是多少?(2)已知矩形的周長是36m,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的面積最大?最大面積是多少?
由此題可以得出兩條重要規(guī)律:
兩個正數(shù)的積為常數(shù)時,它們的和有______值; 兩個正數(shù)的和為常數(shù)時,它們的積有______值。
等待兩名同學做完后,適時終止討論,學生各就各位。首先針對黑板上這兩道題發(fā)動學生上來捉錯(用不同色粉筆),然后再由老師完善,以此加深學生對定理及應用條件的認識。其次,老師根據剛才巡視掌握的情況,結合多媒體進行有針對性的講解(重點應強調均值定理的幾何解釋:半徑不小于半弦,以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過程,使定理“形化”),進一步加深學生對定理的認識及應用能力,初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”
第二步:課內探究
(二)精講點撥 1.例:求函數(shù)f(x)?
?2x?x?
3x
(x?0)的最大值,及此時x的值。
先和學生們一起探討該問題的解題思路,先拆分再提出“-”號,為使用均值定理創(chuàng)造條件,后由學生們獨立完成,教師通過巡視或提問發(fā)現(xiàn)問題,通過多媒體演示來解決問題,該例題主要讓學生注意定理的應用條件及一些變形技巧。
2.多媒體展示辨析對錯:
?這幾道辨析題先讓學生們捉錯,再由
多媒體給出答案,創(chuàng)設情境加深學生對用均值定理求函數(shù)最值時注意“一正、二定、三相等”的認識
(三)有效訓練
1.(獨立完成)下列函數(shù)的最小值為2的是()
A、y?x?
1x
B、y?sinx?
1sinx
(0?x?
?)
C、y??
1D、y?tanx?
本題意在鞏固用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”,待學生完成后,隨機抽取幾名學生說一下答案,選D,應該不會有問題。
2.(小組合作探究)一扇形中心角為α,所在圓半徑為R。若扇形周長為一常值C(C>0),當α為何值時,扇形面積最大,并求此最大值。
本題若直接運用均值不等式不會出現(xiàn)定值,需要拼湊。待學生討論過后,先通答案,??2時扇形面積最大值為
c
tanx
(0?x?
?)
。若有必要,抽派小組代表到講臺上講解,及時反饋矯正。
(四)本節(jié)小結
小結本節(jié)課主要內容,知識點,由學生總結,教師完善,不外乎: 1.兩個重要不等式
a?b?2ab(a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)
2a?b2
?a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)
?
2.用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”。
(一)、雙基達標(必做,獨立完成):
1、課本第71頁練習A、B;
2、已知x??1,求y?x?6?
x?
1的最值;
(二)、拓展提高(供選做, 可小組合作完成):
?
23、若a,b?R且a?
b
?1,求a?最大值及此時a,b的值.4、a?0,b?0,且
5、求函數(shù)f(x)?
1a
?
9b
?1,求a?b最小值.x?3x?1x?
1(x??1)的最小值。
通過作業(yè)使學生進一步鞏固本節(jié)課所學內容,注重分層次設計題目,更加關注學生的差異。
七、板書設計:
由于本節(jié)采用多媒體教學,板書比較簡單,且大部分是學生的展示。
八、效果分析:
本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學模式,通過學案導學,多媒體展示,師生互動,生生互動。學生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件;能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。但用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”,說起來容易做起來難,學生還得通過反思和課后訓練進一步體會。
我的說課到此結束,懇請各位評委和老師們批評指正,謝謝!
不等式課件【篇7】
【教學目標】
1.通過具體情境讓學生感受和體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,鼓勵學生用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,使學生感受數(shù)學、走進數(shù)學、改變學生的數(shù)學學習態(tài)度。
2.建立不等觀念,并能用不等式或不等式組表示不等關系。
3.了解不等式或不等式組的實際背景。
4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。
【重點難點】
重點:
1.通過具體的問題情景,讓學生體會不等量關系存在的普遍性及研究的必要性。
2.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關系,并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關系的問題。
3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關系的意義和價值。
難點:
1.用不等式或不等式組準確地表示不等關系。
2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關系的實際問題。
【方法手段】
1.采用探究法,按照閱讀、思考、交流、分析,抽象歸納出數(shù)學模型,從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發(fā)式教學。
2.教師提供問題、素材,并及時點撥,發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用。
3.設計教典型的現(xiàn)實問題,激發(fā)學生的學習興趣和積極性。
【教學過程】
教學環(huán)節(jié)
教師活動
學生活動
設計意圖
導入新課
日常生活中,同學們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關系。你能舉出一些例子嗎?
實例1.某天的天氣預報報道,最高氣溫35℃,最低氣溫29℃。
實例2.若一個數(shù)是非負數(shù),則這個數(shù)大于或等于零。
實例3.兩點之間線段最短。
實例4.三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊。
引導學生想生活中的例子和學過的數(shù)學中的例子。在老師的引導下,學生肯定會迫不及待的能說出很多個例子來。即活躍了課堂氣氛,又激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣。
推進新課
同學們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實生活,又考慮到數(shù)學上常見的數(shù)量關系,非常好。而且大家已經考慮到本節(jié)課的標題《不等關系與不等式》,所舉的實例都是反映不等量的關系。
(下面利用電腦投影展示兩個實例)
實例5:限時40km/h的路標,指示司機在前方路段行使時,應使汽車的速度v不超過40km/h。
實例6:某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%.
同學們認真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。
讓學生們邊看邊思考:生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數(shù)量關系來描述
過程引導
能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經走進了數(shù)學這門學科,但是我們還要能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點、進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,那么我們用什么知識來表示這些不等關系呢?
什么是不等式呢?
用大屏幕展示一組不等式-71+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.
能用不等式及不等式組把這些不等關系表示出來,也就是建立不等式數(shù)學模型的過程通過對不等式數(shù)學模型的'研究,反過來作用于現(xiàn)實生活,這才是學習數(shù)學的最終目的。
思考并回答老師的問題:可以用不等式或不等式組來表示不等關系。
經過老師的啟發(fā)和點撥,學生可以自己總結出:用不等號將兩個解析試連接起來所成的式子叫不等式。
目的是讓學生回憶不等式的一些基本形式,并說明不等號≤,≥的含義,是或的關系?;貞浟瞬坏仁降母拍睿坏仁浇M學生自然而然就清楚了。
此時學生已經迫不及待地想說出自己的觀點了。
合作探究
(一)。下面我們把上述實例中的不等量的關系用不等式或不等式組一一的表示出來,那應該怎么表示呢?
這兩位同學的觀點是否正確?
老師要表揚學生:“很好!這樣思考問題很嚴密?!睉撚貌坏仁浇M來表示此實際問題中的不等量關系,也可以用“且”的形式來表達。
(二)。問題一:設點A與平面的距離為d,B為平面上的任意一點。
請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量的關系。
老師提示:借助于圖形,這個問題是不是可以解決?
(下面讓學生板演,結合三角形草圖來表達)
問題(二):某種雜志原以每本2。5元的價格銷售,可以售出8萬本,據市場調查,若單價每提高0。1元,銷售量就可能相應減少20xx本。若把提價后雜志的定價設為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢?
是不是還有其他的思路?
為什么可以這樣設?
很好,請繼續(xù)講。
這位學生回答的很好,表述得很準確。請同學們對兩種解法作比較。
問題(三):某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種,按照生產的要求,600mm鋼管的數(shù)量不超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關系的不等式?
假設截得500mm的鋼管x根,截得600mm的鋼管y根。根據題意,應當有什么樣的不等量關系呢?
右邊的三個不等關系是“或”還是“且”的關系呢?
這位學生回答得很好,思維很嚴密,那么該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關系呢?
通過上述三個問題的探究,同學們對如何用不等式或不等式組把實際問題中隱藏的不等量關系表示出來,這一點掌握得很好。請同學們完成書本練習第74頁1,2。
課堂小結:
1.學習數(shù)學可以幫助我們解決實際生活中的問題。
2.數(shù)學和我們的生活聯(lián)系非常密切。
3.本節(jié)課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組,并且能用它來解決現(xiàn)實生活中存在的大量不等量關系的實際問題。還要注意思維要嚴密,規(guī)范,并且要注意數(shù)形結合等思想方法的綜合應用。
布置作業(yè):
第75頁習題3.1 A組4,5。
29℃≤t≤35℃
x≥0
|AC|+|BC|>|AB|
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
|AB|-|AC|
如果用表示速度,則v≤40km/h.
f≥2.5%或p≥2.3%
學生自己糾正了錯誤:這種表達是錯誤的,因為兩個不等量關系要同時滿足,所以應該用不等式組來表示次實際問題中的不等量關系,即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
過點A作AC⊥平面于點C,則d=|AC|≤|AB|
可設雜志的定價為x元,則銷售量就減少萬本。銷售量變?yōu)?8-)萬本,則總收入為(8-)x萬元。即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為(8-)x≥20.
解法二:可設雜志的單價提高了0.1n元,(n)
我只考慮單價的增量。
那么銷售量減少了0.2n萬本,單價為(2.5+0.1n)元,則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的不等式,表示為(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.
截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm。
截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。
截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負數(shù)。
它們是同時滿足條件,應該是且的關系。由實際問題的意義,還應有x,y要同時滿足上述三個不等關系,可以用下面的不等式組來表示:
如果學生沒有想到的話,老師可以在黑板上板演示意圖,啟發(fā)學生考慮三邊的大小關系。
此時啟發(fā)學生“或”字可以嗎?學生沒有了聲音,他們在思考著。到底行不行呢?有的回答“行”,有的回答“不行”。
此時學生們在思考,時間長的話,老師要及時點撥。
讓學生知道,在解決問題時應該貫穿數(shù)形結合的思想,以形助數(shù),下面有學生的聲音,有學生在討論,有的學生還有疑問。老師注意關注學生的思維狀況,并且及時的加以指導。
此時學生已經真正進入本節(jié)課的學習狀態(tài),老師再給出問題(三)使學生一直處于跟隨老師積極思考和解決問題的狀態(tài)。問題是教學研究的核心,以問題展示的形式來培養(yǎng)學生的問題意識與探究意識。
【教學反思】(【設計說明】)
本節(jié)課內容很多,都是不等式和不等式組的有關問題,還有很多是生活中的實例,學生學習起來很感興趣,課堂的氣氛也很好,大多數(shù)學生都能很積極地回答問題,使課堂的學習氣氛很濃,確實也做到了愉快教學。設計是按照老師引導式教學,邊講授邊引導,啟發(fā)學習思考問題及能自己解決問題,鍛煉學習能自主的學習能力。
【交流評析】
一是課堂容量適中,二是實例很好,接近生活,學生感興趣。三是學生回答問題積極踴躍,和老師配合很好。四是多媒體應用的恰到好處,教學設備很完善,老師也能很熟練的應用。
不等式課件【篇8】
3.2均值不等式 教案(3)
(第三課時)
教學目標:
了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用
教學重點:
了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用
教學過程
例
1、已知a、b、c∈R,求證:
不等式的左邊是根式,而右邊是整式,應設法通過適當?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開方式轉化為完全平方式,再利用不等式的性質證得原命題.
a2b2c
2???a?b?c 例
2、若a,b,c?R,則bca?
本題若用“求差法”證明,計算量較大,難以獲得成功,注意到a , b , c∈R,從結論的特點出發(fā),均值不等式,問題是不難獲證的.
+
例
3、已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),求證:a?b?c?ab?bc?ca 證明:∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca
以上三式相加:2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca
∴a?b?c?ab?bc?ca
例
4、已知a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab?cd)(ac?bd)?4abcd 22222222222222
2分析:此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系,從而正確運用,同時證明:∵a,b,c,d都是正數(shù),∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>得
ab?cdac?bd??0,??0.22
由不等式的性質定理4的推論1,得
?(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
小結:正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
課堂練習:第77頁練習A、B
課后作業(yè):略
不等式課件【篇9】
教材分析:
上節(jié)課認識了不等式,知道了什么叫不等式和不等式的解。本節(jié)主要學習不等式的解集,這是學好利用不等式解決實際問題的關鍵,同時要求學生會用數(shù)軸表示不等式的解集,使學生感受到數(shù)形結合的作用。并且本課也通過讓學生經歷實驗、觀察、分析、概括過程,自主探索不等式的解集等概念,培學生的思維能力。在情感態(tài)度、價值觀方面要培養(yǎng)學生與他人合作學習的習慣。
教學重點:
理解不等式的解集的含義,明確不等式的解是在某個范圍內的所有解。
教學難點:
對不等式的解集含義的理解。
教學難點突破辦法:
通過實驗、觀察,分析、概括過程,使學生對不等式的解集有了初步的理解,然后通過數(shù)軸直觀地表示出不等式的解集,從而加深了學生對不等式的解集的理解。
教學方法:
1、采用復習法查缺補漏,引導發(fā)現(xiàn)法培養(yǎng)學生類比推理能力,嘗試指導法逐步培養(yǎng)學生獨立思考能力及語言表達能力。充分發(fā)揮學生的主體作用,使學生在輕松愉快的氣氛中掌握知識。
2、讓學生充分發(fā)表自己的見解,給學生一定的時間和空間自主探究每一個問題,而不是急于告訴學生結論。
3、尊重學生的個體差異,注意分層教學,滿足學生多樣化的學習需要。
學習方法:
1、學生要深刻思考,把實際問題轉化為數(shù)學模型,養(yǎng)成認真思考的好習慣。
2、合作類推法:學習過程中學生共同討論,并用類比推理的方法學習。
教學步驟設計如下:
(一)創(chuàng)設問題情境,引入新課:
實驗:將如下重量的砝碼分別放入天平的左邊。
請大家仔細觀察,哪些砝碼放入天平左邊后能使天平向左邊傾斜?如果砝碼重x克,要使x+2>5,即:天平左邊放入x克砝碼后使天平向左邊傾斜。那么這樣的x取應取什么數(shù)?這樣的數(shù)是有限個還是無限個?
學生活動:
1、讓學生觀察實驗,尋找數(shù)量關系回答問題;
2、讓學生采取小組合作的學習方式。
(二)講授新課
通過實驗、討論、交流、歸納得到:大于心不甘的每個數(shù)都是不等式x+2>5的解,而小于3的每一個數(shù)都不是不等式x+2>5的解,因此不等式x+2>5的解有無限多個,它們組成集合,稱為一元不等式x+2>5的解集。即表示為x>3。
由實例概括出不等式的解集以及解不等式的概念:一個不等式的所有解,組成這個不等式的解的集合,簡稱為這個不等式的解集;求不等式的解集過程,叫做解不等式。
我們知道解不等式不能只求個別解,而應求它的解集.一般而言,不等式的解集不是由一個數(shù)或幾個數(shù)組成的,而是由無限多個數(shù)組成的,如x>3.那么如何在數(shù)軸上直觀地表示不等式x+2>5的解集x>3呢?
不等式解集x>3,在數(shù)軸上可以直觀地表示出來。如圖8.2.1
如果某個不等式x≤-2,也可在數(shù)軸上直觀地表示出來,如圖8.2.2
說明:8.2.1在表示范表演的點畫空心圓圈,表不包括這一點,表示大時就往右拐;圖8.2.2在表示-2的點畫黑點表示包括這一點,表示小時不向左拐。
(三)知識拓展
將數(shù)軸上x的范圍用不等式來表示:
(四)嘗試反饋:
課本第44頁“練習”第1、2題。
(五)歸納小結:
這節(jié)課主要學習了不等式的解集的有關概念,并會用數(shù)軸表示不等式的解集。
不等式課件【篇10】
《不等式的基本性質》它是北師大版八年級下冊第一章第二節(jié)的內容。今天我將從教材分析,教學目標,教學重難點,教法學法,教學過程這五個方面談談我對這節(jié)課處理的一些不成熟的看法:
本節(jié)內容不等式,它是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間關系的有效數(shù)學模型,在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用,所以對不等式的學習有著重要的實際意義。同時,不等式的基本性質也為學生以后順利學習解一元一次不等式和解一元一次不等式組的有關內容的理論基礎,起到重要的奠基作用。
根據《新課程標準》的要求,教材的內容兼顧我校八年級學生的特點,我制定了如下教學目標:
知識與技能:
1. 感受生活中存在的不等關系,了解不等式的意義。
2. 掌握不等式的基本性質。
過程與方法:經歷不等式的基本性質的探索過程,初步體會不等式與等式的異同。
情感態(tài)度與價值觀:經歷由具體實例建立不等式模型的過程,進一步符號感與數(shù)學化的能力。
教學重難點:
重點:不等式概念及其基本性質
難點:不等式基本性質3
教法與學法:
1. 教學理念: “ 人人學有用的數(shù)學”
2. 教學方法:觀察法、引導發(fā)現(xiàn)法、討論法.
3. 教學手段:多媒體應用教學
4. 學法指導:嘗試,猜想,歸納,總結
根據《數(shù)學課程標準》的要求,教材和學生的特點,我制定了以下四個教學環(huán)節(jié)。
下面我將具體的教學過程闡述一下:
一、創(chuàng)設情境,導入新課
上課伊始,我將用一個公園買門票如何才劃算的例子導入課題。
世紀公園的票價是:每人5元;一次購票滿30張,每張可少收1元。某班有27名團員去世紀公園進行活動。當領隊王小華準備好了零錢到售票處買27張票時,愛動腦筋的李敏同學喊住了王小華,提議買30張票。但有的同學不明白,明明我們只有27個人,買30張票,豈不是“浪費”嗎?
(此處學生是很容易得出買30張門票需要4X30=120(元), 買27張門票需要5X27=135(元),由于120〈135,所以買30張門票比買27張還要劃算。由此建立了一個數(shù)與數(shù)之間的不等關系式)
緊接著進一步提問:若人數(shù)是x時,又當如何買票劃算?
二、探求新知,講授新課
引例列出了數(shù)與數(shù)之間的不等關系和含有未知量120
接下來我用一組例題來鞏固一下對不等式概念的認知,把表示不等量關系的常用關鍵詞提出。
(1)a是負數(shù);
(2)a是非負數(shù);
(3) a與b的和小于5;
(4) x與2的差大于-1;
(5) x的4倍不大于7;
(6) 的一半不小于3
關鍵詞:非負數(shù),非正數(shù),不大于,不小于,不超過,至少
回到引入課題時的門票問題120
難點突破:通過上面三組算式,學生已經嘗試著歸納出不等式的三條基本性質了。不等式性質3是本節(jié)的難點。在不等式性質3用數(shù)探討出以后,換一個角度讓學生想一想,是否能在數(shù)軸上任取兩個點,用相反數(shù)的相關知識挖掘一下,乘以或除以一個負數(shù)時,任意兩個數(shù)比較是否性質3都成立。通過“數(shù)形結合”的思想,使數(shù)的取值從特殊化到一般化,從對具體數(shù)的感知完成到字母代替數(shù)的升華。讓學生用實例對一些數(shù)學猜想作出檢驗,從而增加猜想的可信程度。同時,讓學生嘗試從不同角度尋求解決問題的方法并能有效地解決問題。
反饋練習:用一個小練習鞏固三條性質。
如果a>b,那么
(1) a-3 b-3 (2) 2a 2b (3) -3a -3b
提出疑問,我們討論性質2,3是好象遺忘了一個數(shù)0。
引出讓學生歸納,等式與不等式的區(qū)別與聯(lián)系
三、拓展訓練
根據不等式基本性質,將下列不等式化為“”的形式
(1)x-13
再次回到開頭的門票問題,讓學生解出相應的x的取值范圍
四、小結
1.新知識
一個數(shù)學概念;兩種數(shù)學思想;三條基本性質
2.與舊知識的聯(lián)系
等式性質與不等式性質的異同
五、作業(yè)的布置
以上是我對這節(jié)課的教學的看法,希望各位專家指正。謝謝!
“讓學生主動參與數(shù)學教學的全過程,真正成為學習的主人”
不等式課件【篇11】
教材分析
本節(jié)課是在系統(tǒng)的學習了不等關系和不等式性質,掌握了不等式性質的基礎上展開的,作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學習奠定基礎。要進一步了解不等式的性質及運用,研究最值問題,此時基本不等式是必不可缺的?;静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作用,同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用,因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材,所以基本不等式應重點研究。
教學中注意用新課程理念處理教材,學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習,而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學,師生互動,教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用,引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。通過本節(jié)學習體會數(shù)學來源于生活,提高學習數(shù)學的樂趣。
課程目標分析
依據《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況,特確定如下目標:
1、知識與能力目標:理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念,學會構造條件使用基本不等式;培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標:按照創(chuàng)設情景,提出問題→剖析歸納證明→幾何解釋→應用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學生的思維能力,體會數(shù)學概念的學習方法,通過運用多媒體的教學手段,引領學生主動探索基本不等式性質,體會學習數(shù)學規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標:通過問題情境的設置,使學生認識到數(shù)學是從實際中來,培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界,通過數(shù)學思維認知世界,從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質。
教學重、難點分析
重點:應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索基本不等式的證明過程及應用。
難點:1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。
教法分析
本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發(fā)誘導、講練結合的教學方法,以學生為主體,以基本不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段,加深學生對基本不等式的理解。
教學準備
多媒體課件、板書
教學過程
教學過程設計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程,符合學生的認知規(guī)律,使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。
具體過程安排如下:
創(chuàng)設情景,提出問題;
設計意圖:數(shù)學教育必須基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”,現(xiàn)實情境問題是數(shù)學教學的平臺,數(shù)學教師的任務之一就是幫助學生構造數(shù)學現(xiàn)實,并在此基礎上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實.基于此,設置如下情境:
上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎?
本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數(shù)量關系,抽象出不等式。在此基礎上,引導學生認識基本不等式。
二、抽象歸納:
一般地,對于任意實數(shù)a,b,有,當且僅當a=b時,等號成立。
[問]你能給出它的證明嗎?
學生在黑板上板書。
特別地,當a>0,b>0時,在不等式中,以、分別代替a、b,得到什么?
設計依據:類比是學習數(shù)學的一種重要方法,此環(huán)節(jié)不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源,突破了重點和難點,而且感受了其中的函數(shù)思想,為今后學習奠定基礎.
答案:。
【歸納總結】
如果a,b都是正數(shù),那么,當且僅當a=b時,等號成立。
我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a,b的算術平均數(shù),稱為a,b的幾何平均數(shù)。
三、理解升華:
1、文字語言敘述:
兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
2、聯(lián)想數(shù)列的知識理解基本不等式
已知a,b是正數(shù),A是a,b的等差中項,G是a,b的正的等比中項,A與G有無確定的大小關系?
兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項。
3、符號語言敘述:
若,則有,當且僅當a=b時,。
[問]怎樣理解“當且僅當”?(學生小組討論,交流看法,師生總結)
“當且僅當a=b時,等號成立”的含義是:
2023不等式課件14篇
經驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在平日里的學習中,幼兒園教師時常會提前準備好有用的資料。資料可以指人事物的相關多類信息、情報。有了資料才能更好地安排接下來的學習工作!你是否收藏了一些有用的幼師資料內容呢?以下是由小編為大家整理的“2023不等式課件14篇”,僅供參考,歡迎大家閱讀。
不等式課件 篇1
七年級數(shù)學不等式課件
教學目標:
通過對具體實例的學習,使學生能夠了解生活中的不等量關系,理解不等式的概念,知道什么是不等式的解,為以后學習不等式的解法奠定基礎.
知識與能力:
1.通過對具體事例的分析和探索,得到生活中不等量的關系.
2.通過理解得到不等式的概念,從而使學生經歷實際問題中數(shù)量的分析、抽象過程,體會現(xiàn)實中有各種各樣錯綜復雜的數(shù)量關系.
3.了解不等式的意義,知道不等式是用來刻畫生活中的數(shù)量關系的.
4.知道什么是不等式的解.
過程與方法:
1.引導學生分析具體事例,從對具體事例的分析中得到不等量關系.
2.引導并幫助學生列出不等式,分析不等式的成立條件.
3.通過分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.
4.通過習題鞏固和加深對概念的理解.
情感、態(tài)度與價值觀:
1.通過學生的分析和抽象過程使他們體會現(xiàn)實中錯綜復雜的數(shù)量關系,然后從而培養(yǎng)其抽象思維能力.
2.通過分組討論學習,體會在解決具體問題的過程中與他人合作的重要性,培養(yǎng)學生的團體協(xié)作精神,使學生獲得合作交流的學習方式.
3.通過聯(lián)系與發(fā)展、對立與統(tǒng)一的思考方法對學生進行辯證唯物主義教育.
4.通過創(chuàng)設問題串,讓學生仔細觀察、對比、歸納、整理,嘗試對有理數(shù)進行分類,然后體驗教學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性.
教學重、難點及教學突破
重點:不等式的概念和不等式的解的概念.
難點:對文字表述的數(shù)量關系能列出不等式.
教學突破:由于學生在以前已經對數(shù)量的大小關系和含數(shù)字的不等式有所了解,但還沒有接觸過含未知數(shù)的不等式,在學生分析問題的時候注意引入現(xiàn)實中大量存在的數(shù)量間的不等關系,研究它們的變化規(guī)律,使學生知道用不等式解決實際問題的方便之處.在本節(jié)的教學中能夠在組織學生討論的過程中適當?shù)貪B透變量的知識,讓學生感受其中的函數(shù)思想,并引導學生發(fā)現(xiàn)不等式的解與方程的解之間的區(qū)別.在處理本節(jié)難點時指導學生練習有理數(shù)和代數(shù)式的知識,準確“譯出”不等式.
教學過程:
一.研究問題:
世紀公園的票價是:每人5元,一次購票滿30張可少收1元.某班有27名少先隊員去世公園進行活動.當領隊王小華準備好了零錢到售票處買了27張票時,愛動腦的李敏同紀學喊住了王小華,提議買30張票.但有的同學不明白.明明只有27個人,買30張票,豈不浪費嗎?
那么,究竟李敏的提議對不對呢?是不是真的浪費呢
二.新課探究:
分析上面的問題:設有x人要進世紀公園,①若x≥30,應該如何買票?②若x
結論:至少要有多少人進公園時,買30張票才合算?
概括:1、不等式的定義:表示不等關系的式子,叫做不等式.不等式用符號>,
2、不等式的解:能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解.
3、不等式的分類:⑴恒不等式:-71+4,a+2>a+1.
⑵條件不等式:x+3>6,a+2>3,y-3>-5.
三、基礎訓練.
例1、用不等式表示:⑴a是正數(shù);⑵b不是負數(shù);⑶c是非負數(shù);⑷x的平方是非負數(shù);⑸x的一半小于-1;⑹y與4的和不小于3.
注:⑴不等式表示代數(shù)式之間的不相等關系,與方程表示相等關系相對應;
⑵研究不等關系列不等式的重點是抓關鍵詞,弄清不等關系.
例2、用不等式表示:⑴a與1的和是正數(shù);⑵x的2倍與y的3倍的差是非負數(shù);⑶x的2倍與1的和大于—1;⑷a的一半與4的差的絕對值不小于a.
例3、當x=2時,不等式x-1
注:⑴檢驗字母的值能否使不等式成立,只要代入不等式的左右兩邊,如果符合不等號所表示的關系,就成立,否則就不成立.⑵代入法是檢驗不等式的解的重要方法.
學生練習:課本P42練習1、2、3.
四、能力拓展
學校組織學生觀看電影,某電影院票價每張12元,50人以上(含50人)的團體票可享受8折優(yōu)惠,現(xiàn)有45名學生一起到電影院看電影,為享受8折優(yōu)惠,必須按50人購團體票.
⑴請問他們購買團體票是否比不打折而按45人購票便宜;
⑵若學生到該電影院人數(shù)不足50人,應至少有多少人買團體票比不打折而按實際人數(shù)購票便宜.
解:⑴按實際45人購票需付錢_________ 元,然后如果按50人購買團體票則需付錢50×12×80%=480元,所以購買團體票便宜.
⑵設有x人到電影院觀看電影,當x_____時,按實際人數(shù)買票______張,需付款_______元,而按團體票購票需付款________元,如果買團體票合算,那么應有不等式________________,
由①得,當x=45時,上式成立,讓我們再取一些數(shù)據試一試,將結果填入下表:
x12x比較480與12x的大小48
由上表可見,至少要__________人時進電影院,購團體票才合算.
五、小結:
⑴不等式的定義,不等式的'解.
⑵對實際問題中探索得到的不等式的解,然后不僅要滿足數(shù)學式子,而且要注意實際意義.
六、作業(yè)課本P42習題8.1第1、2、3題.
補充題:
1.用不等式表示:
(1)與1的和是正數(shù);(2)的與的的差是非負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差的絕對值不小于.
(5)的2倍減去1不小于與3的和;(6)與的平方和是非負數(shù);
(7)的2倍加上3的和大于-2且小于4;(8)減去5的差的絕對值不大于
2.小李和小張決定把省下的零用錢存起來.這個月小李存了168元,然后小張存了85元.下個月開始小李每月存16元,小張每月存25元.問幾個月后小張的存款數(shù)能超過小李?(試根據題意列出不等式,并參照教科書中問題1的探索,找出所列不等式的解)
3.某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農用車12輛和6輛,現(xiàn)需要調往A縣10輛,調往B縣8輛,已知從甲倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為40元和80元,然后從乙倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為30元和50元,(1)設從乙倉庫調往A縣農用車輛,用含的代數(shù)式表示總運費W元;(2)請你用嘗試的方法,探求總運費不超過900元,共有幾種調運方案?你能否求出總運費最低的調運方案.
不等式課件 篇2
(1)本節(jié)內容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質及其解法等知識的基礎上,把實際問題和一元一次不等式結合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎,具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結果所對應的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉化為一元一次不等式并加以解決。
根據以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關系符號化,并根據解集和結合實際情況分類討論得出合理結論。
根據本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1、能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關系的數(shù)學模型,并結合解集解決簡單的實際問題。
2、通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
3、在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
根據教學內容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型的價值。
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的關注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結,布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關系以外,還存在著大量的不等關系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經基本了解了不等式的性質和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的`興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預案 一:教師應關注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應的數(shù)量意義,將之轉化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關系抽象能力弱。應關注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產生的聲音,教師應從估算的角度加以引導。引導學生體會在580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
結論:580人時選擇乙公司能讓每位學生的餐費平均算來更低。
問題(2)你能否用以前學過的知識,在不知道具體人數(shù)的前提下制定一套方案,當其他學校的初一年級也想在這兩家公司之間進行選擇時,不用重復第一題的計算過程,只要知道人數(shù)就馬上能根據你方案的結論作出決策呢?
結合以前的訓練,學生很容易想到要通過設未知數(shù)的方法進行符號表達,將非常關鍵而題目中并未給出的學生人數(shù)設為未知數(shù)。由于本題的具體分析過程仍然是由學生分析討論完成,可能出現(xiàn)的情況是:
預案一:一部分綜合能力較強的同學會根據實際意義直接列出綜合算式:或
此處教師應該引導學生觀察,在化簡不等式的過程中單價并未影響結果(利用不等式性質二將其作為公倍數(shù)約去),即:題目中沒有具體的單價也不會影響本題的決策。
還可以結合小學單位一的思想化簡不等式,引導學生體會并不是題目中出現(xiàn)的所有數(shù)量都會影響不等關系,有可能引發(fā)學生的關于數(shù)量關系的深層次思考。
預案 二:還有一部分學生會因為生活經驗少的關系,綜合思考能力弱,無法快速的理清數(shù)量關系,列出綜合算式,思考受阻,教師應引導學生體會在第一題的算式意義的提示下,如何分別列出表達甲乙公司所需總費用的過程量代數(shù)式。然后在通過將之用不等號連接的方式,來表達兩筆費用的大小,降低因綜合性所引起的思維梯度, 在過程中讓學生體會“分步建模”的思維的條理性。
問題(1)如果你是該企業(yè)的高級管理人員,請你設計該企業(yè)在購買設備時兩種型號有幾種不同的組合方案;
問題(2)若按固定產量預算企業(yè)每月產生的污水量約為20xx噸,為了節(jié)約資金,應選擇哪種購買方案?
實際情景2的選擇除涉及“角色扮演”和“環(huán)?!钡热宋囊蛩氐目紤]以外,在在結合本節(jié)的教學目標上還有如下考慮,
1、 本題取材于真實的實際生活問題,情景中的符號和數(shù)量關系較多,不等關系在文字語言的敘述中顯得比第一題更加隱蔽,需要學生更深化的思考才能列出算式,是在第一個情景的基礎上的擴展和深化。
2、 在學生的討論過程中,教師應注重引導學生體會,用圖表表示的數(shù)字信息比文字表達更便于觀察和有序思考,感受“有序表達”在實際中的價值。
3、 結合本題每一個的具體問題的分析和解決,學生必須要從表格中分析篩選相關的有用數(shù)據,(例如:在第一問設計方案時未用到“處理污水量”和“年消耗費”,在第二問中未用到“價格”和“年消耗費”)這種分析和篩選的思考經歷將有助于加強學生對數(shù)據關系的理解和運用能力。
結合以前的訓練,在思考問題(1)學生很容易想到要通過設A型或B型設備的
例如:(1)設購買污水處理設備A型 臺,則B型(10 – )臺,由題意知:
在此處,將“限額為105萬元”轉化為“≤105”是學生要突破的第一關,教師應在次處多展示同學的對“限額為105萬元”語言解釋,盡可能多的在具有不同經歷基礎的同學心中將這個抽象過程生活化、自然化。
因為在實際情景中往往要根據未知數(shù)所代表的具體含義為未知數(shù)的加一個取值范圍的限定,而這個隱含的限制條件往往是學生中所不容易考慮到的,教師應注意引導學生注意這一問題,
例如:本題中的 是設備的臺數(shù),應用非負整數(shù)的限制,所以 可取0、1、2,因此有三種購買方案:
①購A型0臺,B型10臺;
②購A型1臺,B型9臺;
③購A型2臺,B型8臺。
此處細節(jié)性的思考經歷,有助于提高學生在建模過程中更全面的考慮數(shù)值的實際意義,促進抽象符號與具體意義在頭腦中的融合。
特別的,此處的“0”是學生最容易忽視和丟掉的,教師在此處應重點引導學生思考當“ ”時,往往是企業(yè)最可能選的方案,因為不同的設備涉及到不同的維護問題,單一品種的設備往往更便于管理,這種思考有助于發(fā)散學生的思維,促進其結合實際作更全面的思考。
問題(2)的思維梯度較前幾個問題進一步加大,學生必須理解“節(jié)約資金”這個目的的達成 一定是在“完成任務”的前提下的,要先通過對(1)中所得的三套方案是否能完成任務加以討論和驗證,然后再涉及計算哪個方案費用更低的問題
在驗證三套方案的可行性時,收思維方式的局限,學生往往會選擇逐一列舉計算的討論方式,并且由于數(shù)量少,很容易得出答案,教師可引導學生思考,如果滿足(1)的方案不是三種,而是三十種呢?三百種呢?除了逐一討論以外還有沒有什么更好的方式能幫助我們迅速縮小范圍呢?引導學生將所買設備能否完成任務量轉化為如下不等關系:
(2)同(1)所設購買污水處理設備A型 臺,則B型(10 – )臺,
240 +200(10 – )≥20xx;
因此為了節(jié)約資金,應選購A型1臺,B型9臺。
此處的分析和引導有助于學生體會不等式在有效縮小討論范圍時的實際價值。
通過以上問題的解決,學生對不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型有了進一部的認識,并感受到不等式確實是從實際問題中提出,又為解決實際問題提供明確的幫助有效數(shù)學工具。
本階段通過學習小結進行課堂教學的反饋,組織和指導學生歸納知識、技能、方法,深化對數(shù)學思想方法的認識,為后續(xù)學習打好基礎。
不等式課件 篇3
(1)本節(jié)內容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質及其解法等知識的基礎上,把實際問題和一元一次不等式結合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎,具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結果所對應的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉化為一元一次不等式并加以解決。
根據以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關系符號化,并根據解集和結合實際情況分類討論得出合理結論。
根據本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1.能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關系的數(shù)學模型,并結合解集解決簡單的實際問題。
2.通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
3.在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
三、教學方法的選擇
根據教學內容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型的價值,
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的.關注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結,布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關系以外,還存在著大量的不等關系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經基本了解了不等式的性質和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預案 一:教師應關注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應的數(shù)量意義,將之轉化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關系抽象能力弱。應關注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產生的聲音,教師應從估算的角度加以引導。引導學生體會在 580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
不等式課件 篇4
教學建議
一、知識結構
本書首先結合實例引入一元一次不等式組的解集的概念,然后通過三個例題說明利用數(shù)軸解一元一次不等式組的方法,最后對一元一次不等式組的解法步驟進行了總結.
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是掌握一元一次不等式組的解法步驟并準確地求出解集.難點是正確應用不等式的基本性質對不等式進行變形、求不等式組中各個不等式解集的公共部分.不等式在中學代數(shù)中是研究問題的重要工具,例如求函數(shù)的定義域、值域、研究函數(shù)的單調性,求最大值、最小值,一元二次方程根的討論等,都要用到不等式的知識.不等式也是進一步學習其他數(shù)學內容的基礎.學習和掌握不等式的求解和不等式的證明方法,對培養(yǎng)學生邏輯思維能力也有極其重要的作用.在處理解不等式的問題中,一元一次不等式組的解法,具有特別重要的意義.這是因為,解各類不等式的問題都可以歸結為解一些由簡單不等式所組成的不等式組.
1、在構成不等式組的幾個不等式中
①這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù);
②這里的“幾個”并未確定不等式的個數(shù),只要不是一個,兩個,三個,四個……都行.
2、當幾個不等式的解集沒有公共部分時,我們就說這個不等式組無解.
3、由兩個一元一次不等式組成的不等式的解集,共歸結為下面四種基本情況:
【注意】①其中第(4)個不等式組,實質上是矛盾不等式組,任何數(shù)都不能使兩個不等式同時成立。所以說這個不等式組無解或說其解集為空集。②從上面列出的表中,我們可以概括出來不等式組公共解的一規(guī)律:同大取大,同小取小,一大一小中間找。
三、教法建議
1.解本節(jié)的引例及例1、例2、例3時,注意把解不等式組的思路講清楚,即先分別解每一個不等式,求出解集,再求這些解集的公共部分.求公共部分的過程一定要結合數(shù)軸來講。
2.這節(jié)課的講解自始至終要突出解不等式組的基本思想以及解一元一次不等式組的步驟這兩個重點.準確熟練地解一元一次不等式以及用數(shù)軸上的點表示不等式的解集是這節(jié)課的基礎,因此講新課之前要復習提問這些內容。
3.求公共解集是這節(jié)課的新授內容,教師要充分利用數(shù)軸表示不等式解集具有形象、直觀、易于說明問題這些優(yōu)點.解集的公共部分教師可用彩筆在數(shù)軸的相應部分描畫出來,使學生感到醒目,便于理解記憶。
4.每組不等式不要超過三個,關鍵是使學生理解和掌握解不等式組的基本思想和兩個步驟,不宜做過于難、過于多、重復的機械計算。
不等式課件 篇5
(一)復習提問:
三角形的三邊關系?
(二)列一元一次不等式組
問題:現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm.如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么對木條c的長度有什么要求?
注:這個問題是本節(jié)的'引入問題,三角形木框的形狀不唯一確定,只要能成為三角形即可.
探究:用三根長度分別為14cm,9cm,6cm的木條c1,c2,c3分別試試,其中哪根木條能與木條a和b一起釘成三角形木框?
可以發(fā)現(xiàn),當木條a和b的長度確定后,木條c太長或太短,都不能與a和b一起釘成三角形.
由于“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,設木條c長xcm,則x必須同時滿足不等式x10+3①和x10-3②
注:木條c必須同時滿足兩個條件,即ca+b,ca-b.
類似于方程組,把這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組記作注:這里并未正式給一元一次不等式組下定義,只是說這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組.實際上,兩個或更多的一元一次不等式組合起來,都組成一個一元一次不等式組.
(三)一元一次不等式組的解集
類比方程組的解,怎樣確定不等式組中x的可取值的范圍呢?
不等式組中的各不等式解集的公共部分,就是不等式組中x可以取值的范圍.
注:這里還未正式出現(xiàn)不等式組的解集的概念,但已點出各不等式的解集的公共部分即不等式組中未知數(shù)的可取值范圍.
由不等式①解得x13.
由不等式②解得x7.
從圖9.3—2容易看出,x可以取值的范圍為713.
注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.
這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.
一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.
注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義13.注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義。
不等式課件 篇6
一元一次不等式組(2)
文星中學唐波
一、教學目標
(一)知識與技能目標
1、熟練掌握一元一次不等式組的解法,會用一元一次不等式組解決有關的實際問題。
2、理解一元一次不等式組應用題的一般解題步驟,逐步形成分析問題和解決問題的能力。
(二)過程與方法目標
通過利用列一元一次不等式組解答實際問題,初步學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題、并能綜合運用所學的知識解決問題,發(fā)展應用意識。
(三)情感態(tài)度與價值觀
通過解決實際問題,體驗數(shù)學學習的樂趣,初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系。
二、教學重難點
(一)重點:建立用不等式組解決實際問題的數(shù)學模型。
(二)難點:正確分析實際問題中的不等關系,根據具體信息列出不等式組。
三、學法引導
(一)教師教法:直觀演示、引導探究相結合。
(二)學生學法:觀察發(fā)現(xiàn)、交流探究、練習鞏固相結合。
四、教具準備:多媒體演示
五、教學過程
(一)、設問激趣,引入新課
猜一猜:我屬狗,請同學們根據我的實際情況來猜測我的年齡。(學生大膽猜想,利用不等關系分析得出答案。)
(二)、觀察發(fā)現(xiàn),競賽闖關
1、比一比:填表找規(guī)律
(學生搶答,教師補充。)2利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解不等式組 ?(學生解答,抽生演板。)你可以得到它的整數(shù)解嗎?
(抽生回答:因為大于11小于14的整數(shù)有12和13,所以整數(shù)解為12和13。)3填空:三角形三邊長分別為2、7、c,則 c的取值范圍是__________。如果c是一個偶
數(shù),則 c=__________。
(學生回答,教師補充更正。)
(三)、欣賞圖片,探究新知
1、欣賞“五岳看山”。
2、利用欣賞引出例題(教科書P139例2仿編)
例:3名同學計劃在10天內到嵩山拍照500張(每天拍照數(shù)量相同),按原來的計劃,不能完成任務;如果每人每天比原計劃多拍1張,就能提前完成任務,每個同學原計劃每天............拍多少張?
生齊讀,找出題中的已知條件和未知條件;再默讀,找一找表示數(shù)量關系的句子。師引導分析,并提出問題:
(1)你是怎樣理解“不能完成任務”的數(shù)量含義的?你是怎樣理解“提前完成任務”的數(shù)量含義的?
(2)解決這個問題,你打算怎樣設未知數(shù)?
(3)在本題中,可以找出幾個不等關系,可以列出幾個不等式?(學生交流討論,教師指導。)
?7x?98
?7(x?3)?98
解答完成后,學生自學課本例2。
3、由例解題答過程,類比列二元一次方程組解應用題的步驟,總結列一元一次不等式組的解題步驟:
(1)、分析題意,設未知數(shù); .(2)、利用不等關系,列不等式組; .(3)、解不等式組; .
(4)、檢驗,根據題意寫出答案。.(學生總結,抽生回答,教師補充。)
(四)、闖關練習,鞏固新知
1練一練:為紀念“5·12”大地震一周年,“五一”部分同學到青城山拍照留念,如果每人拍8張則多于如果每人拍9張則不夠問共有多少個同學參加青城山旅游? ..150張;..180張。
教師引導:抓住重點詞語,找到不等關系,列出不等式組。學生獨立完成,抽生回答。
比較列二元一次方程組和列一元一次不等式組解應用題的區(qū)別:
(學生類比找區(qū)別,教師補充。)2練一練(教科書P140練習第2題):一本英語書共98頁,張力讀了一周(7天)還沒讀完,而李永不到一周就已讀完。李永平均每天比張力多讀3頁,張力平均每天讀多少頁(答案取整數(shù))?
學生分析列出不等式組,教師指導。(前面的練習已解出不等式組。)
(五)、暢所欲言,歸納小結 學生暢所欲言,談收獲體會 多媒體展示,本課內容小結:
1、解一元一次不等式組的秘笈:同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了。
2、具有多種不等關系的問題,可通過不等式組解決。
3、列一元一次不等式組解應用題的步驟是:(1)、分析題意,設未知數(shù);(2)、利用不等關系,列不等式組;(3)、解不等式組;
(4)、檢驗,根據題意寫出答案。
(六)、課后演練,終極挑戰(zhàn)
必做題:教材習題第4、5、6題;
選做題:一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個位數(shù)字大1,而且這個兩位數(shù)大于30小于42,則這個兩位數(shù)是多少?
六、板書設計
一元一次不等式組(2)
解:設每個同學原計劃每天拍x張,得
① ?3?10x?500
?
?3?10(x?1)?500②
1、分析題意,設未知數(shù);
解得x
3根據題意,x應為整數(shù),所以x=16 答:每個同學原計劃每天拍16張。
2??
2、找不等關系,列不等式組; ?
?
3、解不等式組; ?步驟
??
?
4、檢驗并根據題意寫出答案。?
不等式課件 篇7
科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍,達到教與學的和諧完美統(tǒng)一。
基于此,我準備采用的教法講授法、討論法。德國教育學家第斯多慧:差的教師只會奉送真理,好的教師則交給學生如何發(fā)現(xiàn)真理,老師的教是為了不教,這才是教學的最高境界,所以我采用的學法是練習法、自主合作法。
在這節(jié)課的教學過程中,我注重突出重點,條理清晰,緊湊合理。各項活動的安排也注重互動、交流,最大限度的調動學生參與課堂的積極性、主動性。
首先是導入環(huán)節(jié),我采用復習舊知的導入方法。我會讓學生回憶不等式的概念以及一元一次方程的概念,明確指出今天學習的內容是《一元一次不等式》。
這樣的設計既可以考查學生對之前知識的掌握情況,還能夠為今天學習一元一次方程的概念打下基礎。而且開門見山的導入方式能夠快速地進入主題。
接下來是新知探索環(huán)節(jié),首先我請學生類比不等式以及一元一次方程的概念,給一元一次不等式下定義。
能夠總結出:含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式。
接下來讓學生回憶上節(jié)課學習的不等式x-7>26如何解決的,通過學生回憶總結可以得到:通過“不等式的兩邊都加7,不等號的方向不變”而得到的。
接下來提問學生有沒有更加簡便的方法解不等式?讓學生類比解一元一次方程的步驟進行解題。可以得到相當于可以用“移項”,來解決。
在這個過程中,強調每一個步驟,在第二題最后一步,強調當不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向改變。
解完不等式,先讓學生回憶解一元一次方程的步驟是什么?并類比解一元一次方程的步驟,總結一下解一元一次不等式的步驟是什么?
從而我們歸納:解一元一次方程,要根據等式的性質,將方程逐步化為x=a的形式;而解一元一次不等式,則要根據不等式的性質,將不等式逐步化為xa的形式。
《數(shù)學課程標準》指出:“學生是數(shù)學學習的主人,教師是數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者”。根據這一教學理念,在本環(huán)節(jié)中,我組織學生進行了自主探究活動,讓學生在保持高度學習熱情和探究欲望的活動過程中,始終以愉悅的心情,親身經歷和體驗知識的形成過程。培養(yǎng)學生的探究能力、分析思維能力,激發(fā)他們的創(chuàng)新意識、參與意識。
第三個環(huán)節(jié)是課堂練習環(huán)節(jié),出示問題,解不等式,并在數(shù)軸上表示數(shù)集:5x+15>4x-1
之所以這樣設計是因為練習是掌握知識、形成技能、發(fā)展思維的重要手段,針對本課的教學重點和難點,上述練習,目的是讓學生進一步鞏固對新知的理解。可以深化教學內容,培養(yǎng)思維的靈活性。
最后一個環(huán)節(jié)為小結作業(yè)環(huán)節(jié),關于課堂小結,我打算讓學生自己來總結今天的收獲。
這樣既發(fā)揮了學生的主體性,又可以提高學生的總結概括能力,讓我在第一時間得到學習反饋,及時加以疏導。
通過這樣的方式能夠為本節(jié)課學習的知識進行進一步的鞏固。
我的板書設計遵循簡潔明了突出重點的意圖,這是我的板書設計:
不等式課件 篇8
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結出求不等式組解集的法則。
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結合”的方法今后經常用到,鍛煉同學們數(shù)形結合的能力,提高學習興趣。
一元一次不等式組的解法。
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設c的長為xcm,則x<____,①x>____,②合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的.解法。
全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
不等式課件 篇9
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關系,向學生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇10
1.了解不等式及一元一次不等式概念。
2.理解不等式的解、解集,能正確表示不等式的解集。
通過類比等式的對應知識,探索不等式的概念和解,體會不等式與等式的異同,初步掌握類比的思想方法。
1.經歷把實際問題抽象為不等式的過程,能夠列出不等關系式。
2.初步體會不等式(組)是刻畫現(xiàn)實世界中不等關系的一種有效數(shù)學模型,培養(yǎng)學生的建模意識。
通過對不等式概念及其解集等有關概念的探索,培養(yǎng)學生的知識遷移能力和建模意識,加強同學之間的使用與交流。
活動一:
感知不等關系,了解不等式的概念。
通過實例,讓學生認識到不等關系在生活中的存在,通過問題的解答,讓學生了解不等式的概念,體會不等式是解決實際問題的有效工具。
活動二:
通過類比方程,繼續(xù)探索出不等式的解、解集及其表示方法。
通過解決上個環(huán)節(jié)的問題,得出不等式的解,再引導學生觀察解的特點,探索出解集的兩種表示方法(符號表示、數(shù)軸表示),并且培養(yǎng)學生用估算方法求解集的技能。
活動三:
繼續(xù)探索,歸納出一元一次不等式的意義。
針對所學的不等式,讓學生歸納出特點,得到一元一次不等式的概念,并對概念進行辨析。
運用本節(jié)所學的知識,解決實際問題,使學生經歷將實際問題轉化為數(shù)學問題,再加以解決的過程,實現(xiàn)對所學知識的鞏固和深化。
讓學生通過自我反思和互相質疑提問,歸納總結本節(jié)課的主要內容,交流在概念、解及解集學習中的心得和體會,不斷積累數(shù)學活動經驗,教師應主動參與學生小結中,作好引導工作,布置好作業(yè),并作及時反饋。
小強準備隨父母乘車去武當山春游。
⑴在車上看到兒童買票所需的測身高標識線。
①x滿足______時,他可免票。
②x滿足______時,他該買全票。
⑵已知襄樊與武當山的距離為150千米,他們上午10點鐘從襄樊出發(fā),汽車勻速行駛。
①若該車計劃中午12點準時到達武當山,車速應滿足什么條件?
②若該車實際上在中午12點之前已到達武當山,車速應滿足什么條件?
用不等式表示:
⑴a是正數(shù);⑵a是負數(shù);⑶a與5的和小于7;⑷a與2的差大于-1;
⑸a的4倍大于8;
⑹a的一半小于3。
學生回答①這兩個由實際生活情境設置的問題,應非常容易.問題②相對①難度加大了,難在題意中的條件不象上面那樣直接明了,并且可從距離和時間兩個角度來分析、解決問題,而七年級學生恰恰缺乏閱讀分析題意、多維度思考解決問題的能力,所以采用小組討論交流的形式解決問題②
學生討論角度估計大都集中在距離這一角度,教師可深入小組討論中,認真聽聽同學們的思路,應鼓勵學生多發(fā)表意見,并適當點撥,直到得出兩種不等式。
此次活動中,教師應重點關注:討論要有足夠的時間和空間,學生在小組討論交流時,是否敢于發(fā)表自己的想法。
再給出不等式概念:
像前面式子一樣用“>”或“
教師可要求學生舉出一些表示大小的式子,學生舉出的不等式中,可能會有一些不含未知數(shù)的,如5>3等。教師此時應總結:不等式中可含有未知數(shù),也可不含未知數(shù)。
教師根據學生舉例給出表示不等關系的第三種符號“≠”,并強調:像前面式子一樣用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。
鞏固練習是讓學生用不等式來刻畫題中6個簡單的不等關系。學生得出答案并不難,所以該環(huán)節(jié)讓學生獨立完成、互相評價,教師可深入到學生的解題過程中,觀察指導學生的解題思路,傾聽學生的評價。
問題1在課本中起導入新課作用,考慮學生實際情況(分析應用題能力尚欠缺)和題目難度,所以設置問題串,降低難度。這樣編排教材我認為更能體現(xiàn)知識呈現(xiàn)的序列性,從易到難,讓學生“列不等式”能力實現(xiàn)螺旋上升。
問題3作用僅僅起鞏固上面所學的知識,所以采用書中的一組習題,讓學生獨立完成,進一步培養(yǎng)學生列不等式能力。
采用學生熟悉的生活情境作為導入內容,然后層層推進,步步設問,環(huán)環(huán)相扣,直至推出不等式的概念及概念理解中應注意的地方。這樣實現(xiàn)了:讓學生從已有的數(shù)學經驗出發(fā),從生活中建構數(shù)學模型,為后面利用“不等式”這一模型解決生活中實際問題作好鋪墊,體現(xiàn)了數(shù)學生活化、生活
不等式課件 篇11
1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式,這樣的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步驟:(1)去分母(2)去括號(3)移項(4)合并同類項(5)將x項的系數(shù)化為1
1、一元一次不等式組的概念:幾個一元一次不等式合在一起,就組成了一個一元一次不等式組。
2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。
3、求不等式組的解集的過程,叫做解不等式組。
4、當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立,我們就說這個不等式組無解或其解為空集。
3、代數(shù)式1-m的值大于-1,又不大于3,則m的取值范圍是( )
A.x≥1 B.x≥-1/2 C.x>1 D.x>-1/2
A.5+4>8 B.2x-1 C.2x-5≤1 D.1/x-3x≥0
A. a>0? B.a≥0? C.a
11、若關于x的不等式組 的解集是x>2a,則a的取值范圍是
A. a>4 B. a>2 C. a=2 D.a≥2
12、若方程組 中,若未知數(shù)x、y滿足x+y>0,則m的取值范圍是
13、不等式2(1) x>-3的解集是 。
14、用代數(shù)式表示,比x的5倍大1的數(shù)不小于x的 與4的差 。
15、若(m-3)x-1,則m .
18、某次個人象棋賽規(guī)定:贏一局得2分,平一局得0分,負一局得反扣1分。在12局比賽中,積分超過15分就可以晉升下一輪比賽,小王進入了下一輪比賽,而且在全部12輪比賽中,沒有出現(xiàn)平局,問小王最多輸 局比賽
1、定義:把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心.這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點。
2、心對稱的兩條基本性質:
(1)關于中心對稱的兩個圖形,對稱點所連線段都經過對稱中心,而且被對稱中心所平分。
(2)關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心。
每上第一次課,我所講的課程內容都和學生的錯題有關。我通常把試卷中的錯題摘抄出幾個典型題,作為課堂的例題再講一遍。而學生的反應,或是像沒有見過,或是對題目非常熟悉,但沒有思路。
這些現(xiàn)象的發(fā)生,都是學生沒有及時總結的原因。所以第一次課后我都建議我的學生做一個錯題本,像寫日記一樣,記錄下自己的錯題和感想。
成也審題敗也審題。如何審題呢?
(1)這個題目有哪些個已知條件?我能不能把已知條件分開?
(2)求解的目標是什么?對求解有什么要求?
(3)能不能畫一個圖幫助思考?好多問題是沒有看清楚題意致錯。審題不清,你做得越多,可能錯的就越多。
(4)所給出的已知條件相互之間有什么關系?能不能從中發(fā)現(xiàn)隱含條件?
(5)已知條件與求解目標有什么聯(lián)系?能不能從中獲得解題的思路?找到進門的門檻?
不等式課件 篇12
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應用到生活的各個領域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據題意列出相應的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內容是向學生設疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應滿足什么條件?
設車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結,師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
不等式課件 篇13
教學重點:掌握不等式的三條基本性質,尤其是不等式的基本性質3.
教學難點:正確應用不等式的三條基本性質進行不等式變形.
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結出不等式的三條基本性質,從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
(設計說明:設置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內容提供必要的知識準備.)
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.
(教學說明: 復習等式的基本性質后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質,從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質.)
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質得出不等式的性質.
觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質1:
不等式基本性質1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.
比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關?由學生概括總結,教師補充完善得出:
不等式基本性質2 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的正數(shù),不等號的方向不變.
不等式基本性質3 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的負數(shù),不等號的方向改變.
通過PPT用圖形演示不等式的基本性質,讓學生更加清楚地認識不等式的基本性質。
不等式有傳遞性嗎?
【學生通過討論能夠比較容易得出結論:不等式有對稱性,但要注意其不等號方向的`變化;不等式也有傳遞性,但要注意的是同向傳遞性?!?/p>
三、鞏固訓練,熟練技能:
1、(1) a - 3____b - 3;
(3) 0.1a____0.1b;
(5) 2a+3____2b+3;
【本題目采用提問的方式,因為內容相對簡單,所以可以迅速得到結論。要讓提問者說清楚答案,并說明利用不等式的性質幾來進行判定的。】
(1)因為7.5>5.7,所以-7.5<-5.7;
(2)因為a+8>4,所以a>-4;
(3)因為4a>4b,所以a>b;
(4)因為-1>-2,所以-a-1>-a-2;
(5)因為3>2,所以3a>2a.
【學生口答,并說明為什么。本題重點是第5小題,要引導學生總結出a的取值會影響到答案。當a>0時,3a>2a.(不等式基本性質2)
當 a=0時,3a=2a.當a<0時,3a<2a.(不等式基本性質3) 】
學生自己完成以下題目,之后進行集體講解。
(1)如果x-5>-1,那么______________________,得:x>4
(2)如果-2x>3,那么那么______________________,得X=______
師生共同小結本節(jié)課所學重點,不等式的基本性質的具體內容。
不等式課件 篇14
基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應用有著密切的關系?;静坏仁降慕夥ê退季S方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質和應用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。下面,讓我們就基本不等式這一主題展開更加深入的探討。
一、基本不等式的定義、證明和性質
基本不等式定義:對于任意實數(shù)$x$,$y$,有$(x^2+y^2)\geq 2xy$,等號成立當且僅當$x=y$時成立。
基本不等式的證明:我們可以通過平方展開和配方進行證明,即:
$(x-y)^2\geq 0$
$x^2-2xy+y^2\geq 0$
$x^2+y^2\geq 2xy$
證畢。
基本不等式的性質:基本不等式可以用于求證其他不等式和解決實際問題,例如可以用基本不等式證明算術平均數(shù)$\ge$幾何平均數(shù),可以用基本不等式求證要想最小化一個多項式,需要使其中的各項等于彼此等于基本不等式中的相等值等。
二、基本不等式的應用及相關例題
基本不等式的應用廣泛,其中最常見的應用就是在證明和求解不等式問題中。下面,我們就通過例題來展示基本不等式的具體應用。
例題一:
已知$a,b,c$均為正實數(shù),求出$abc$與$\frac{(a+b+c)^3}{27}$的大小關系。
解:由于$a,b,c$均為正實數(shù),故可運用基本不等式進行求解,即
$\begin{aligned}
\frac{(a+b+c)}{3}\geq\sqrt[3]{abc}\\
(a+b+c)^3\geq 27abc
\end{aligned}$
因此,
$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
即$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
得證。
例題二:
已知$a+b=3$,$a^2+b^2=5$,求出$a,b$的大小關系。
解:由已知條件可得$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,即
$9=5+2ab$
$ab=\frac{4}{3}$
由基本不等式知得
$2ab=\frac{8}{3}\leq a^2+b^2=5$
即$a^2+b^2>2ab$,因此$a^2>b^2$,
又因為$a+b=3$,所以$b=3-a$,
所以$(3-a)^2
$9+a^2-6a
$a>\frac{3}{2}$
因此,
$a>b>\frac{3}{2}-a$
即$0
例題三:
已知$a,b,c>0$,求證$\frac{(a+b)^2}{c}+\frac{(b+c)^2}{a}+\frac{(c+a)^2}\geq 12(a+b+c)$
解:由基本不等式得
$(a+b)^2\geq 4ab,(b+c)^2\geq 4bc,(c+a)^2\geq 4ac$
將以上三個式子代入原式變化得
$\frac{4ab}{c}+\frac{4bc}{a}+\frac{4ac}\geq 12(a+b+c)$
即$4(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 12abc(a+b+c)$
即$(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 3abc$
由于$a,b,c>0$,故得證。
三、基本不等式的擴展
除了基本不等式外,還有一些基本不等式的擴展形式,例如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。這些擴展形式大大豐富了不等式的證明和應用,并為數(shù)學研究提供了更加廣泛的空間。下面,我們就來簡單介紹一下平均值不等式和柯西施瓦茲不等式的相關內容。
平均值不等式:對于$n$個非負實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$,有
$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$
其中等號成立當且僅當$x_1=x_2=\cdots=x_n$時成立。
柯西施瓦茲不等式:對于任意實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$,有
$(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)\geq(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2$
其中等號成立當且僅當$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdots=\frac{x_n}{y_n}$時成立。
四、總結
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應用有著密切的關系?;静坏仁降慕夥ê退季S方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質和應用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。在學習和應用基本不等式時,我們還需掌握其相關的擴展形式,如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。只有充分掌握了這些知識點,我們才能更加深入地理解并應用不等式的知識。
等式課件
幼兒教師教育網編輯為大家整理的“等式課件”或許能幫助您解決一些疑惑。教案課件是每個老師在開學前需要準備的東西,每個人都要計劃自己的教案課件了。?設計有創(chuàng)意的教學課件可以增加學生的學習趣味。我們提供的樣本僅供參考具體操作請根據實際情況做出調整!
等式課件 篇1
【教材分析】
在新課程改革中,教材是重要的教育教學因素。等式的基本性質是學生解方程的依據,它是系統(tǒng)學習方程的開始。這節(jié)課的內容在簡易方程中就起到了承上啟下的作用。原來的教材中對于等式的基本性質只是初步的認識,并沒有總結成概念性的東西,但學生實際運用時卻需要概念來作支撐,所以在教材中作了調整,讓學生通過觀察天平演示實驗,由具體實物之間的平衡關系抽象概括出等式的兩個基本性質就成了本節(jié)課的教學重點。本課“等式的基本性質”是在上一節(jié)剛剛認識了等式和方程的基礎上進行教學的。,其核心思想是構建等量關系的數(shù)學模型。課程標準要求學生能“理解等式的性質,會利用等式的性質解簡單的方程”。
【教學目標】
1.通過天平演示保持平衡的幾種變換情況,初步認識等式的基本性質。
2.利用觀察天平保持平衡所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,能直接判斷天平發(fā)生變化后能否保持平衡。
3.逐步養(yǎng)成觀察與概括。比較與分析的能力。
【教學重點】
掌握等式的基本性質。
【教學難點】
理解并掌握等式的性質,能根據具體情境列出相應的方程。
【數(shù)學思想】
轉化的思想,數(shù)形結合的思想,符號化的思想
【教學過程】
一。創(chuàng)設情境,引出問題
教師活動
學生活動及達成目標
師:同學們,你們做過天平游戲嗎?這節(jié)課我們要利用天平一起來探索等式的性質。(板書課題:等式的性質)
達成目標:由熟悉的天平引出課題激發(fā)學生的興趣。
二。共同探索,總結方法
教師活動
學生活動及達成目標
(一)等式的基本性質一
1.出示教材第64頁情境圖1第一個天平圖。
讓學生仔細觀察圖,并說一說:通過圖你知道了什么?
教師小結:1個茶壺的重量=2個茶杯的重量。
追問:如果設一個茶壺的重量是a克,1個茶杯的重量是b克,能用式子表示嗎?
(師板書)
引導學生思考:如果在天平的兩邊同時再各放上一個茶杯,天平會發(fā)生什么變化呢?為什么?
教師先進行實際操作天平驗證,再演示這一過程,并明確:兩邊仍然相等。
提問:如果兩邊各放上2個茶杯,還保持平衡嗎?
兩邊各放同樣的一把茶壺呢?
2.出示教材第64頁圖2的第一個天平圖。
(1)如果用a表示一個花盆的重量,用b表示一個花瓶的重量,怎樣用等式來表示這幅圖呢?
(2)如果把兩邊都拿掉1個花瓶,天平還平衡嗎?讓學生嘗試用等式怎樣表示?
從圖上你能知道什么?(出示教材第64頁圖2第二個天平圖)
3.通過這幾個實驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
4.你能用一句話來表示你的發(fā)現(xiàn)嗎?
(二)等式的基本性質二
1.猜猜:除了向前面這樣的變化,天平仍保持平衡外,還可以怎么做能使天平保持平衡?
這時教師一定要及時強調:這都是把等式的兩邊加上或減去同一個數(shù),并提示學生如果把等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)(O除外),會怎么樣呢?
2.出示教材第65頁圖1的第一個天平圖,讓學生觀察并說明。
引導學生用a表示墨水的重量,用b表示鉛筆盒的重量,用式子怎樣表示?
猜一猜:左邊墨水的數(shù)量擴大到原來的2倍,右邊鉛筆盒的數(shù)量也擴大到原來的2倍,天平還保持平衡嗎?
如果把天平的兩邊物品的數(shù)量分別擴大到原來的。3倍。4倍呢?
3.出示教材第65頁圖2的第一個天平圖,讓學生觀察并說明知道了什么。
質疑:如果把兩邊的球都平均分成2份,各去掉一份,天平還能平衡嗎?
教師演示。
4.通過剛才的試驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
5.你能用一句話總結一下等式的這個性質嗎?
6.為什么等式兩邊不能除以O?
1.自主回答,學生可能會回答:天平的左邊放了一把茶壺,右邊放了兩個茶杯,天平保持平衡;這說明一個茶壺的重量與2個茶杯的重量相等。
嘗試寫出:a=2b
先猜一猜,學生可能會猜測出天平仍然平衡,因為兩邊加上的重量一樣多。
觀察小結:實驗證明1個茶壺+1個茶杯的質量=3個茶杯的質量。
同時學生嘗試用字母表示這個式子:a+b=2b+b
學生回答后,教師演示,并讓學生分別用式子表示:a+2b=2b+2ba+a=2b+a
觀察現(xiàn)在的天平是什么樣的?(平衡)
生嘗試寫出:a+b=4b
先猜一猜,再回答,平衡:a+b-b=4b-b
得出1個花盆和3個花瓶同樣重。
3.學生思考后小結:平衡的天平兩邊加上同樣的物品,天平還保持平衡。平衡的天平兩邊減去同樣的物品,天平還保持平衡。
4.學生歸納等式的性質1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:通過演示在天平的兩邊同時放上或拿走同樣的物品,天平仍然平衡。給學生思考。感悟天平保持平衡的變化規(guī)律,提供了直觀的觀察材料。從而得出天平平衡的原理,即等式的一條基本性質:等式兩邊加上或減去相等的數(shù),等式不變。
1.如:學生猜測天平的兩邊同時放2個。3個杯子;同時減去一把茶壺等。
2.學生觀察并說明:
一瓶墨水的重量=一盒鉛筆盒的重量
寫出等式:a=b。
學生猜測平衡后,教師進行實際天平操作,驗證學生的猜測。
學生用等式表示:2a=2b。
天平仍然保持平衡
3.學生觀察得出:
2個排球的質量=6個皮球的質量
有了前面的經驗學生用a表示排球的重量,用6表示皮球的重量,寫出等式:2a=6b。
學生猜測:平衡,并能用等式a=3b表示。
4.學生會發(fā)現(xiàn):平衡的天平兩邊的物品擴大到原來的相同倍數(shù),天平仍然平衡。平衡的天平兩邊的物品都縮小到原來的幾分之一,天平仍然平衡。
5.學生歸納小結:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:等式基本性質2的推導在性質1的基礎上,讓學生自己通過實驗探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
6.學生交流,匯報:O不能做除數(shù)。
三。運用方法,解決問題
教師活動
學生活動及達成目標
出示教材第66頁練習十四第4.5題。
學生試做集體訂正,注意學生列式計算時的取值是否正確。
四。反饋鞏固,分層練習
教師活動
學生活動及達成目標
基礎練習:利用等式的性質填空
1.如果2x-5=9,那么2x=9+()
2.如果5=10+x,那么5x-()=10
3.如果3x=7,那么6x=()
4.如果5x=15,那么x=()
拓展練習:見課件
讓學生回憶等式的性質,再自主完成填空。
達成目標:等式的基本性質一是簡易方程部分重要的概念,不僅要理解,而且還要會應用。
五。課堂總結,提升認識
教師活動
學生活動及達成目標
這節(jié)課你運用了哪些,你有什么收獲?你對自己這堂課的表現(xiàn)是怎么評價的?
學生總結本節(jié)課的收獲,在梳理總結過程中提高學生對性質的認識和理解。
等式課件 篇2
教學內容:教科書第3~4頁的內容,練習一的4~6題。
教學目標:
1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
2、根據等式的性質(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據圖獨立填空。
根據學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然
是等式。這是等式的性質。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據等式的性質把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調書寫的格式。
小結:求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
這時等式的性質。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
教后小記
等式課件 篇3
《不等式及其基本性質》習題
【教學內容】
課本上不等式的五個基本性質,并學會應用.【教學目標】
1、掌握不等式的五個基本性質并且能正確應用.
2、經歷探究不等式基本性質的過程,體會不等式與等式的異同點,發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力.
3、開展研究性學習,使學生初步體會學習不等式基本性質的價值.
【重點難點】
重點:理解不等式的五個基本性質.難點:對不等式的基本性質3的認識.【教學方法】
本節(jié)課采用“類比-實驗-交流”的教學方法.【教學過程】
一、回顧交流.
1、等式的基本性質 解一元一次方程的基本步驟
2、問題牽引:
用“﹥”或“﹤”填空,并總結其中的規(guī)律:
(1)5>3,5+2
3+2,5-2 3-2 ;
(2)–1
-1+2 3+2,-1-3 3-3 ;
結果:
(1)>、>(2)
當不等式兩邊加或減去同一個數(shù)(正數(shù)或負數(shù))時,不等號的方向______
3、繼續(xù)探究,接著又出示(3)、(4)題: 5 2×5,6×(3)6>2,6×(-5)
2×(-5),6 3×6,(4)2
3×(-6).得到:
當不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)時,不等號的方向不變; 當不等式的兩邊同乘以一個負數(shù)時,不等號的方向改變.總結出不等式的性質: 不等式的性質1:不等式的兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.c
> b±c 字母表示為:如果a>b,那么a±不等式的性質2:不等式的兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.字母表示為:如果a>b,c>0那么ac
> bc,不等式的性質3:不等式的兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.字母表示為:如果a>b,c<0那么ac
不等式的對稱性:如果a>b,那么bb,b>c,那么a>c
二、范例學習,應用所學.
1、利用不等式的性質解下列不等式. (1)x-7>26
(2)3x
(4)-4x﹥3
22、逐題分析得出結果.(1)x-7>26 分析:解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為x﹥a或x﹤a的形式.
解:(1)為了使不等式x-7>26中不等號的一邊變?yōu)閤,根據不等式的性質1,不等式兩邊都加7,不等號的方向不變,得 x-7+7﹥26+7 x﹥33(2)3x
為了使不等式3x
23不等號的方向不變,得 x﹥75(4)-4x﹥3
為了使不等式-4x﹥3中的不等號的一邊變?yōu)閤,根據不等式的性質3,不等式兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x
3 4通過(3)(4)的求解過程,類似于解方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)(未知數(shù)系數(shù)化為1),解不等式時要注意未知數(shù)系數(shù)的正負,以決定是否改變不等號的方向.三、課堂探究.
已知a
四、課堂小結提問.不等式性質的作用.
等式課件 篇4
尊敬的各位老師,下午好!
我叫孫有璽,來自音河中學。很高興能把《不等式的性質(1)》一課的教學和大家一起探討。下面我將從學生狀況、教學任務、教學過程、設計說明等四個方面加以分析。
一、學生狀況分析:
七年級下期的學生活潑好動,有一定合作探究意識,在知識方面已經學習了有理數(shù)大小比較,等式及基本性質。這些都為自主探究不等式的性質打下了良好的基礎。
二、教學任務分析:
(一)教材地位與作用:
不等式是初中代數(shù)的重要內容之一,是已知量與未知量的矛盾統(tǒng)一體。數(shù)學關系中的相等與不等是事物運動和平衡的反映,學習研究數(shù)量的不等關系,可以更好地認識和掌握事物運動變化的規(guī)律。“不等式的性質”是學生學習整個不等式知識的理論基礎,為以后學習解不等式(組)起到奠基的作用。
(二)教學目標:
知識目標:
探索不等式的基本性質,并能準確運用不等式的三條性質將不等式變形。
能力目標:
讓學生學會類比的思想對等式性質及不等式性質進行了比較,培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納的能力。
情感目標:
通過“等”與“不等”的比較使學生進一步領會對立統(tǒng)一的思想,培養(yǎng)學生辨證唯物主義的觀點。
(三)教學重點、難點:
不等式的性質是本節(jié)不等式變形的基礎,也是今后解不等式(組)的依據,所以掌握不等式的基本性質,并能正確運用它們將不等式變形是本節(jié)課的重點。
不等式的兩邊同乘以(或除以)負數(shù),不等號方向改變和等式的性質不同,學生學習起來比較困難,因此,不等式性質3的理解與正確使用是本節(jié)課的難點。讓學生自己動口、動手、動腦,進行比較、討論,并加以強化練習達到突破的目的。
(四)教學方法與學法的指導:
本節(jié)課屬于性質類知識,重在探索,意在應用。因此,我采用啟發(fā)誘導、實例探究的方法進行教學,這種教學方法以“主動探索”為基礎,先“引導發(fā)現(xiàn)”后“講評點撥”,讓學生在克服困難與障礙的過程中發(fā)展自己的觀察力、想象力、思維力。引導學生學會類比、歸納的學習方法,幫助他們在自主探究過程中理解和掌握不等式的性質。
三、教學過程
(一)復習提問、引入新課
為了使學生自己能在教師的指導下,自主探究問題,發(fā)現(xiàn)問題,獲得結論。而不是把現(xiàn)成的結論告訴學生。對于不等式性質的發(fā)現(xiàn),我采用了下面的作法,我首先帶領學生復習等式的性質
等式性質1等式兩邊加(或減)同一個數(shù)或式子,結果仍相等。
等式性質2等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為零的數(shù),結果仍相等。
(二)合作交流、探究新知
在復習等式性質后,教師提出不等式是否也有類似的性質呢?先引導學生對不等式的兩邊都加、減同一個數(shù),會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過思考和計算后會說出不等式兩邊都加、減同一個數(shù),“仍是不等式”。此時,教師抓住學生敘述中的問題予以糾正,不能籠統(tǒng)的說“仍是不等式”,因為“=”沒有方向性,而不等號有方向性,所以要改為“不等號的方向不變”。接著,讓學生不等式作兩邊都乘以或除以同一個數(shù)的變形,會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過計算和討論,甚至會發(fā)生爭執(zhí),教師要深入學生,通過共同探討,學生會發(fā)現(xiàn)不等式兩邊都乘以或除以正數(shù),不等號方向不變,兩邊都乘以或除以負數(shù),不等號方向改變。最后由學生歸納出不等式的`性質2和性質3。
我這樣安排的目的是為了讓學生通過動手、動口、動腦發(fā)揮合作精神,學會運用類比、歸納的數(shù)學思想去探究問題,同時學生也會品嘗到成功的喜悅,從而提高他們學習數(shù)學的興趣。
(三)靈活運用、鞏固練習
為使學生能夠準確運用性質將不等式變形,也為例題的教學做一些鋪墊,我先設置了兩組搶答題:
搶答:看誰答的快又準
1·設m>n,用“<”或“>”填空:
(1)m—5___n—5
(2)m+4___n+4
(3)6m___6n(4)
—5m___—5n
2·判斷:
(1)∵3+x>3+y,∴x>y()
(2)∵3>2,∴n+3>2+n()
(3)∵a<b,∴2a+1<2b+1()
(4)∵—2a<6,∴x>—3()
在學生練習過程中,老師特別強調:當不等式兩邊同乘以或除以負數(shù)時,“不等號的方向改變”。
接著,給出例題:
例1·利用不等式的性質解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集:
(1)x+7>10
(2)3x>2x+1
(3)—10x>50
(4)—4x
例2·根據下列已知條件,說出a與b的不等關系:
(1)a—3>b—3
(2)—a>—b
(3)—2a+1
例1由學生分組討論,寫出解題過程,老師展示幾個同學的解答并給予講解。對于例2我采用先引導學生分析解題思路,再讓學生口述解題過程,并說明根據不等式的哪一條性質,由師生共同完成。
為了解學生能否獨立運用性質將練習三,安排學生演板:
3·利用不等式的性質解不等式。
(1)—3x>12
(2)3x—4
請兩位學生演板,其余學生獨立完成,并對學生演板的結果作出評價,教師深入小組,發(fā)現(xiàn)問題及時糾正,通過學生的互相評價找出應用不等式基本性質進行變形中出現(xiàn)的錯誤,以防患于未然。
以上練習完成之后,學生已能準確運用不等式的性質,將不等式變形,為培養(yǎng)學生的解題能力,讓學生更深層地理解不等式的基本性質,在此基礎上我又作出了一些引申和推廣。
4·判斷正誤,并說明理由。
(1)∵5>4,∴5a>4a
(2)不等式2x>5x的兩邊同除以x,得2>5
(3)若ac2>bc2,則a>b
第4題設計說明,當不等式兩邊同乘或除以一個字母,而字母的取值不明確時,需對字母分情況討論。
〔四〕歸納小結、整體把握
為幫助學生從整體把握本節(jié)課所學的知識,培養(yǎng)良好的學習習慣,讓學生自己對本節(jié)課所學知識以及用到的解決問題的方法進行小結。方法是:由學生四人一組互談本節(jié)課的收獲,總結解題方法,并說明解題過程中應該注意的問題,然后請一位同學小結,其他學生補充,達到鞏固知識的目的。
教學設計說明
學生的學習內容應該是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的,而老師則應該創(chuàng)造一個有利于學生主動求知的學習環(huán)境。因此,本節(jié)課把培養(yǎng)學生的學習興趣和思維能力放在首位。教學中采用合作學習的方式,互相交流,集思廣益,突破創(chuàng)新,以達到共同提高的目的。然后,通過多樣化的練習鞏固知識,既調動學生的積極性,又使學習伙伴之間進行了思維的碰撞和溝通。使其在輕松的氛圍中多層次、多角度地掌握“不等式的性質”。
本節(jié)課的設計體現(xiàn)了一個原則:低起點、多練習、勤反饋、快矯正、重能力、以求最大限度提高課堂效率。
等式課件 篇5
均值不等式
教學目標
(一) 知識與技能:明確均值不等式及其使用條件,能用均值不等式解決簡單的最值問題.
(二) 過程與方法:通過對問題主動探究,實現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn),體驗知識與規(guī)律的形成過程.
(三) 情感態(tài)度與價值觀:通過問題的解決以及自身的探索研究領略獲取新知的喜悅.教學重點:均值不等式的推導與證明,均值不等式的應用.教學難點:均值不等式的應用 教學過程
創(chuàng)設情境如圖,AB是圓的直徑,D是CAB上與A、B不重合的一點,AD=a,DB=b,過點D作垂直于AB的弦CD,連AC,BC,AaODbB則CD=__,半徑OC=____E 討論 :(1)CD OC (2)文字敘述(幾何意義): (3)試用含a、b的表達式來表示上述關系 注意:(1)當 時, (2)a、b的取值范圍
探求新知:均值不等式的內容及證明
均值定理:
證明:(比較作差法)
變形應用:(1)
(2)
討論釋疑:
牛刀小試:已知x?0,則x?1x? 例
1、已知ab?0,求證:baa?b?2并推導出式中等號成立的條件
例
2、求函數(shù)f(x)?x2?2x?3x(x?0)的最值,以及此時x的值
精煉鞏固:
?t2 1.設t?0,則函數(shù)f(t)?4t?1的最小值為此時t的值
4 2.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則ab有最值為
點撥提高:
總結本節(jié)課的你的收獲。
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
不等式基本性質教學設計
《等式的性質》教學設計
《等式的性質》教學設計
等式性質教學設計(共8篇)
基本不等式教學設計
等式課件 篇6
教學內容:教科書第3~4頁的內容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
2、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學重點與難點:根據等式的性質(一)學會解決含有加、減號的方程。
教學流程:
一、教學例3
出示圖,學生根據圖獨立填空。
根據學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然
是等式。這是等式的性質。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據等式的性質把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調書寫的格式。
小結:求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第5題。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
這時等式的性質。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
等式課件 篇7
1、具體情境,感受天平平衡
通過課件展示情境圖引導學生小結出等式并用字母表示。
2、猜想假設、小結規(guī)律
先讓學生猜想然后再通過課件在天平上演示過程。驗證學生的猜想,用字母表示。引導學生小結出:等式兩邊同時加上同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
3、觀察思考、總結發(fā)現(xiàn)
通過課件對教材第64頁圖2的演示過程讓學生獨立思考,再通過小組合作討論總結出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。等式的性質1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
4、假設數(shù)據、驗證規(guī)律
得到結論后通過假設物體的具體的數(shù)據驗證學生自己總結出的規(guī)律。
5、口算練習、應用規(guī)律
通過一些簡單的等式問答應用等式兩邊同加或同減相同的數(shù)以加強規(guī)律的應用。
6、設疑思考
提出問題讓學生思考還有沒有其他的運算也能使等式左右兩邊相等。留給學生思維的空間,再通過課件引導學生一步步總結出等式的性質2:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
等式課件 篇8
1、創(chuàng)設情景,引發(fā)認知沖突
以前學生解方程習慣用加減法、乘除法互為逆運算的方式解方程,這樣的思路只適宜解比較簡單的方程,例如:x+3=5、3x=-12等,簡單的一元一次方程的解用估算的方法或逆運算的方式我們都可以求出方程的解;而象19+28x=33x-1這樣比較復雜的方程我們用上述方法還能求出它的解嗎?我利用學生認知上的沖突引入新課。這樣既激發(fā)了學生的學習興趣又明確了本節(jié)課的教學目的。為等式性質的構建做好鋪墊。
2、實驗探索,從特殊到一般
等式性質的呈現(xiàn)屬于實驗探究型課,目的是要學生在活動中體驗等量的變化關系和等式的性質。這里我分段逐步呈現(xiàn)等式的特性。首先出示平衡天平的圖形,給學生一個天平平衡的印象,引導學生用字母構建一個等式,接著在上一個平衡天平的基礎上,兩側同放一個三角形的符號表示物體的重量,讓學生觀察這時出現(xiàn)什么現(xiàn)象,同時提出問題:怎樣做,兩邊才會保持平衡?通過學生實驗得出使天平兩邊平衡的方法,并用字母式子表示實驗的過程,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述,接著通過幾個練習加以鞏固,然后借助上一個實驗的經驗和方法,進一步指導學生完成天平兩邊成倍變化的實驗,最后根據實驗情況觀察歸納結論。同時注意在總結時先讓學生根據實驗,把自己所得到的結論敘述出來,然后教師再對學生的結論給予概括得到等式的性質。
上述講授等式的性質用的是觀察實驗法,實驗觀察是科學研究的一種基本的方法,它是根據客觀事物和現(xiàn)象找出它具有的客觀規(guī)律,有助于發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學事實,抽象出對象的屬性,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述。同時也體現(xiàn)了由特殊到一般的思維認知規(guī)律。
3、強化概念,指導學生嘗試
關于等式概念、等式與方程的聯(lián)系的引出,教法上采用充分利用學生已有的知識、練習回顧、交流的方式。等式的性質的教學,采用師生共同觀察實驗,讓學生通過對直觀圖形的觀察、實驗和猜想,自已發(fā)現(xiàn)結論,并用總結的形式表述結論。等式性質的理解和掌握關鍵在于應用,只有通過大量練習來鞏固和提高,練習的速度越快正確越高,說明知識理解和掌握的越好。因此在教學中得到等式性質后,就用三組嘗試練習加強鞏固和提高,這樣既調動了學生學習的趣味性和主動性,增強了學生積極參與教學活動的意識,又很好地培養(yǎng)了學生的動手操作能力、觀察能力、邏輯思維能力和總結歸納能力,同時,也向學生滲透了實踐——認識——再實踐——再認識的一種學習方法,使新舊知識技能得到了有機的結合。
等式課件 篇9
教學內容:教科書第3~4頁的內容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
2、根據等式的性質(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據圖獨立填空。
根據學生的回答,板書:
20=2020+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然
是等式。這是等式的性質。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據等式的性質把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調書寫的格式。
小結:求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
等式課件 篇10
一、學情分析:作為初一學生(132班和137班)在小學時已經對等量關系和等式的性質有所了解,通過本節(jié)課的學習,目的是要使學生從天平的特點中歸納得出等式的性質。
新課標對本節(jié)課的要求是:掌握等式的性質。在前面一節(jié)課的學習中,學生掌握了一元一次方程的概念和初步應用后,需要解決的是一元一次方程的解法。本節(jié)內容借助于等式的性質這一工具來解一元一次方程。首先,通過天平的實驗操作,使學生學會觀察。嘗試分析歸納等式的性質。然后,利用等式的性質解一元一次方程。通過解方程的學習提高學生的觀察問題、解決問題的能力。
2、教育教學目標。
根據以上對教材的理解與內容分析,考慮到學生已有的知識結構和心理特征,制定如下教學目標:
(1)知識與技能:探究等式的性質,并能利用等式的性質進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
(2)過程與方法:通過實驗培養(yǎng)學生探索能力、觀察能力,歸納能力和應用新知識的能力。
(3)情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式性質過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結論的確定性,建立學生學好數(shù)學的信心。
為了使學生能比較順利地達到教學目標,我確定了本節(jié)課的教學重、難點:
教學重點:探究等式的性質,能根據等式性質進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
教學難點:利用等式的性質把簡單的一元一次方程變形為x=a(常數(shù))的形式;正確理解等式性質2中除數(shù)不能為0。
(一)教學手段:如何突出重點、突破難點,從而實現(xiàn)教學目標,我在教學過程中利用多媒體演示擬計劃進行如下操作:
1、讀(看)――議――講結合法。
2、圖表分析法。
3、讀圖討論法。
4、教學過程中堅持啟發(fā)式教學的`原則。
堅持“以學生為主體,以教師為主導”的原則。即“以學生活動為主導,教師講述為輔,學生活動在前,教師點撥評價在后”的原則。根據初一學生的心理發(fā)展規(guī)律。聯(lián)系實際安排教學內容,采用學生參與高度的學導式討論教學法、師生交談法、圖象信號法、問答法、教學課堂討論法,使學生動口、主動探索、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、互動合作、歸納概括、形成能力,突出學生的主體地位。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題。
提問不同層次的學生面向全體,使基礎差的學生也有表現(xiàn)的機會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)學習熱情,有效開發(fā)各層次學生的潛在能力求使每個學生都在原有基礎上得到發(fā)展,同時通過課堂練習和課后作業(yè)啟發(fā)學生。在教學中要積極培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣和動機。明確學習目的,教師應在課堂上充分調動學生積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力。
實際上,青少年好動,注意力易分散,愛發(fā)表見解。希望得到老師的表揚所以在教學中應抓住學生這一生理特點。一方面運用直觀生動的形象,引發(fā)學生興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上。另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性。
首先我出了一些可以看出方程解的題目,讓學生回答,由易到難,激起學生學習的欲望,緊接著就引入等式的定義,從而使學生明白解方程先要研究等式,從而引入課題。
由于學生的認知結構是由簡單到復雜,由具體到抽象的過程,因此在這一環(huán)節(jié)中,我分兩個方面來教學:等式的性質1由老師課件演示,學生觀察歸納概括。
我利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
通過上面的觀察,讓學生分組討論:如何用算式表示實驗結果?學生交流后,教師進行課件演示。
本節(jié)課,讓學生經歷一種從平衡到不平衡再到新的平衡的過程,體驗變化是怎樣產生的,怎樣從打破平衡,又怎樣達到新的平衡。從而培養(yǎng)了學生觀察能力和抽象概括能力。
我接著提問:如果天平兩邊減去相同的質量,天平會有什么變化?
讓學生先獨立思考,然后教師課件演示。你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?怎樣用等式描述?得出等式兩邊同時減去同一個數(shù),等式仍然成立。并且由以上兩條規(guī)律得出:等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù),等式仍然成立。
如果在天平兩邊同時加上或減去不同的質量,天平會有什么變化?
學生經過思考得出:等式的兩邊加上或減去的必須是同一個數(shù),才能使等式成立。這樣符合學生的認知規(guī)律,從實踐認識,再到實踐認識的過程。
教師再用課件展示天平圖,學生通過觀察,歸納得出:等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)(除數(shù)不能為0),等式仍然成立。
等式基本性質2的推導在性質1的基礎上,讓學生自己通過觀察探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
(2)若a=b,則ac=bc,
注意:
(1)等式兩邊都要參加運算,且是同一種運算。
(2)等式兩邊加或減,乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同一個式子。
(3)等式兩邊不能都除以0,即0不能作除數(shù)或分母。
在這個環(huán)節(jié)中把等式的兩個性質展示出來,我特別提到了三個注意:因為這是在等式性質解方程中容易出錯的地方,就是希望同學們認真細心,正確利用性質解題。
我在練習中設計了三道題,從簡單的填空到判斷變形對錯,到最后的解方程,方程的四道題也是有簡單到復雜,總之練習題的設計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,是那些平時不舉手的同學也積極參與,竟然問題也答得很好。從這些方面培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
作業(yè)設計:
PPT投影出課本第83頁習題3.1第4題。
等式課件 篇11
一、教材分析
等式的基本性質是學生在剛剛認識了等式與方程的基礎上進行教學的。它是系統(tǒng)學習方程的開始,其核心思想是構建等量關系的數(shù)學模型。本節(jié)課的學習是學生在實驗的基礎上,掌握等式的兩個基本性質,引導學生通過比較,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并為今后運用等式的基本性質解方程打基礎。同時培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力。
二、教學目標:
知識與技能:理解并能用語言表述等式的基本性質,能用等式的基本性質解決簡單問題。
過程與方法:在用算式表示實驗結果、討論、歸納等活動中,經歷探索等式基本性質的過程。
情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式基本性質過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結論的確定性。
三、教學重點是:
引導學生探索發(fā)現(xiàn)等式的基本性質,利用等式的基本性質解決簡單問題。
教學難點是抽象歸納出等式的基本性質。
四、教學程序(分三部分教學)
(一)聯(lián)系實際,激趣引入
首先激發(fā)探究興趣:提出問題:“同學們,你用天平做過游戲嗎?”這節(jié)課我們就利用天平一起來探索天平游戲中所包含的數(shù)學知識?!?/p>
(二)自主探索,合作交流
學習等式的基本性質1
1、具體情境,感受天平平衡
利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
圖1、圖2的教學模式:先讓學生觀察,問:你發(fā)現(xiàn)了什么?然后提問:怎樣變換,能使天平仍然保持平衡呢?待學生思考片刻,再進一步提問:往兩邊各放1個杯子,天平會發(fā)生什么變化?生口答,驗證。接下去,繼續(xù)提問:如果兩邊各放上2個茶杯,天平還會保持平衡嗎?兩邊各放上同樣的一把茶壺呢?生答,再一一演示驗證。
圖3、圖4的教學模式和前面一樣。
板書如下:
2、總結抽象,認識規(guī)律
通過上面的觀察,先用一句話歸納圖1和圖2的內容。(1、等式的兩邊都加上或減去相同的數(shù),等式不變。)再以第一句話為基礎歸納出圖3和圖4的內容。(2、等式的兩邊都乘或除以相同的數(shù)(0除外)等式不變。)
教師指出這是等式的一個非常重要的性質。板書:等式的基本性質
(三)鞏固練習,深化認識
練習題的設計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
1、根據圖(1)在下面每幅圖的括號里填上適當?shù)姆柣驍?shù)字,使天平平衡。
2、課堂作業(yè)。(當堂完成)
填一填。(a、b均不為0)
(1) 如果x+a=b,那么x+a-a=b○
(2) 如果x-a=b,那么x-a+a=b○
(3) 如果ax=b,那么a x÷a=b○
(4) 如果x÷a =b,那么x÷a×a=b○
3、拓展訓練。
五、最后,關注學生的和感受,提出:通過本節(jié)課的學習你有什么收獲?
不等式課件精選九篇
為了促進學生掌握上課知識點,老師需要提前準備教案,老師在寫教案課件時還需要花點心思去寫。?教案和課件優(yōu)化可使教學任務的完成更加精細化。幼兒教師教育網小編特意為大家收集整理了“不等式課件”,歡迎參考愿您成為更好的自己!
不等式課件 篇1
不等式的性質 教學設計
十六中 尚進軍
【教學重點與難點】
教學重點:掌握不等式的三條基本性質,尤其是不等式的基本性質3 教學難點:正確應用不等式的三條基本性質進行不等式變形 【教學目標】
1、探索并掌握不等式的基本性質
2、會用不等式的基本性質進行化簡 【教學方法】
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結出不等式的三條基本性質,從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
【教學過程】
一、創(chuàng)設情境 復習引入
(設計說明:設置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內容提供必要的知識準備.)問題:
1、什么是等式?等式的基本性質是什么?
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.(1)3
2×5 3×5
2×(-1)3×(-1)3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5)3×(-5)3+a 7+a
2÷(-2)3÷(-2)(教學說明: 復習等式的基本性質后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質,從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質.)
二、師生互動,探索新知
1、不等式的基本性質
問題1:觀察思考問題3,猜想出不等式的性質
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質得出不等式的性質.觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質1: 不等式基本性質1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變. 比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關?由學生概括總結,教師補充完善得出: 不等式基本性質2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變. 不等式基本性質3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.
問題2:將不等式-2<6兩邊都加上7,-9,兩邊都乘3,-3試一試,進一步驗證上面得出的三條結論. 教師 強調指出:不等式的三條基本性質實質上是對不等式兩邊進行“+”、“-”、“×”、“÷”四則運算,當進行“+”、“-”法時,不等號方向不變;當乘(或除以)同一個正數(shù)時,不等號方向不變;只有當乘(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向才改變.
問題3:嘗試用數(shù)學式子表示不等式的三條基本性質. 學生思考出答案,教師訂正,最后得出:(1)如果a>b,那么a±c>b±c(2)如果a>b,c>0那么ac>bc(或>)(3)如果a>b,ca” 或“x26;(2)3x50;(4)-4x>3.解:(l)根據不等式基本性質1,不等式的兩邊都加上7,不等號的方向不變. 得 x-7+7>26 +>33(2)根據不等式基本性質1,兩邊都減去2x,不等號的方向不變,得3x-2x75,不等號的方向不變,得(4)根據不等式基本性質3,兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x(教學說明:這些不等式比較簡單,可以利用不等式的性質直接求解,從而加深對這些性質的認識.教師板書(1)題解題過程.(2)(3)(4)題由學生在練習本上完成,指定三個學生板演,然后師生共同判斷板演是否正確.解題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,有助于加強知識之間的前后聯(lián)系,突出新知識的特點,并將原題與“x>a” 或“xc, a+c>b, b+c>a 我們現(xiàn)在求的是兩邊之差與第三邊的關系,所以由不等式的性質1將上式變形為: 由a +b>c得a>c-b, b>c-a.同理,由a+c>b, b+c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.這就是說,三角形中任意兩邊之差小于第三邊.(教學說明:此問題應用不等式的性質由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”得出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”這個與已有結論等價的新結論.“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”對應的是三個形式一樣的不等式,而不是一個不等式.由這三個不等式再推出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”.為了加深學生的感性認識,可以通過測量的方法驗證這個結論.)三、鞏固訓練,熟練技能:1、如果a>b,那么(1)a-3 b-3,(2)2a 2b(3)-3a-3b,(4)a-b 0(5)(6)-b_____-、在下列各題橫線上填入不等號,并說明是根據不等式的哪一條基本性質.(1)若a–3<9,則a_____12;(2)若-a<10,則a_____–10;(3)若a>–1,則a_____–4;(4)若-a>0,則a_____0.3、利用不等式的性質解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集(解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為“x>a”或“x<a”的形式)(1)x-1<0;(2)x>-x+6;(3)3x>7;(4)-x<-3.(教學說明:這些練習進一步加深了學生對不等式性質的理解,做此練習題時,應讓學生注意觀察它們是應用不等式的哪條性質,是怎樣由已知變形得到的.注意應用不等式性質3時,不等號要改變方向.做第3題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,讓學生認識到應用不等式的性質1變形,相當于移項.)四、總結反思,課堂小結1、不等式的基本性質是什么?如何用數(shù)學式子表示?2、在本節(jié)課的學習中,你還有什么疑惑? 3.主要用到的思想方法是類比思想.4.注意的問題: 當不等式兩邊同乘(或除以)同一個數(shù)時,一定要看清是正數(shù)還是負數(shù),若是負數(shù),要變兩個號,一個性質符號,另一個是不等號,對于未給定范圍的字母,應分情況討論.六、布置課后作業(yè):1、課本127頁練習2、課本128習題的5、6、7題 【評價與反思】通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質,引導學生用數(shù)學式子表示三條基本性質,同時注意將不等式的三條基本性質與等式的基本性質進行比較,以加深學生的理解.在教學過程中,注重培養(yǎng)學生運用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結概括的能力.同時培養(yǎng)了學生積極主動的參與意識和勇敢嘗試、探索的精神.
不等式課件 篇2
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關系,向學生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇3
基本不等式是數(shù)學中一個重要的基礎公式,也是高中數(shù)學學習的重點之一。此公式廣泛應用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,具有廣泛的實際應用價值。本文將圍繞基本不等式的定義、推導、應用和解題技巧進行講解。
一、基本不等式的定義
基本不等式又稱柯西-施瓦茨不等式,其一般形式為:
∣∣∣∣∑iaibi∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
其中a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn為任意實數(shù)。該不等式的本質含義是,在平面直角坐標系中,向量間的內積不大于它們模的乘積之積,并且當且僅當向量線性相關時取等號。
二、基本不等式的推導
基本不等式的推導涉及到向量的概念。假設有兩個n維向量a和b,它們的內積為∑iaibi,則它們的長度分別為:|a|=√∑iai2和|b|=√∑ibi2。
將a和b定義為Rn中的兩個向量,則它們的夾角為θ,則有:
cosθ=∑iaibi/|a||b|
通過分析cosθ的大小關系,顯然有:
?1≤cosθ≤1
進一步得到基本不等式:
|∑iaibi|≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
三、基本不等式的應用
基本不等式廣泛應用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,下面將分別介紹它們的應用。
1. 求證
基本不等式可以用于求證數(shù)學中的一些定理,比如互余等比數(shù)列的和定理。具體應用時,我們可以將等比數(shù)列拆成兩個向量,然后應用基本不等式即可得到所證定理。
2. 排列組合
在排列組合問題中,基本不等式可以幫助我們確定最優(yōu)解,以最小或最大值為目標得到所需的數(shù)字。例如,在n個數(shù)字中有幾對數(shù)對,他們之間的差值恰好為k,可以通過將原問題轉換為求兩個向量之間的夾角,然后應用基本不等式進行求解。
3. 概率
在概率問題中,基本不等式可以用于推算隨機事件中不等的概率值,例如玩牌游戲中的胡牌概率等。我們可以將每個事件看作向量,然后使用基本不等式計算它們的夾角,從而得到相應的概率值。
四、基本不等式的解題技巧
基本不等式的應用需要掌握一些解題技巧。下面列舉一些常用的技巧:
1. 將數(shù)列表示成向量
在排列組合問題中,將數(shù)列表示成向量,有利于方便運用基本不等式進行計算。
2. 極小化或極大化
當問題中要求最小或最大值時,我們可以使用極小化或極大化的思路,以求解最優(yōu)解。
3. 利用對稱性
當有對稱條件時,可以運用基本不等式中的對稱性質,簡化數(shù)學推理。
4. 運用方法的差異性
在某些情況下,我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)在大小方面的差異,從而確定使用哪個方法進行計算。
綜上所述,基本不等式是高中數(shù)學學習的重點之一,應用范圍廣泛。掌握了基本不等式的定義、推導、應用和解題技巧,能夠在數(shù)學競賽中取得更好的成績,也有利于我們理解、應用其它數(shù)學定理。
不等式課件 篇4
《不等式的性質(1)》教學設計
一、引入
展示任務單的數(shù)據分析,向學生明確本堂課的教學內容。
二、預習檢測
學生回答“什么是不等式的性質” 不等式的性質1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變 不等式的性質2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變 不等式的性質3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變
三、應用1:利用不等式的性質比較大小
【例1】若a?b,判斷3?2a與3?2b的大小關系.小結:利用不等式的性質比較大小的一般思路: 利用不等式的性質將“已知”逐步化成“目標
(1)教師對任務單中錯誤率較高的題目進行講解;
(2)設置類似的問題作為例題,并進行鞏固訓練和變式訓練。
【鞏固】(1)若3a?4?3b?4,則a___b;(2)若?5a?7??5b?7,則a___?b,則: 【變式一】若 ①(k2?1)a___(k2?1)b ②1?k2a___1?k2b
【變式二】若a?b,試比較ka與kb的大小.【鞏固】(1)若a?b,且(k?1)a?(k?1)b,則k的取值范圍是______.1(2)由kx?1變形可得x?,則k的取值范圍是________.k
四、應用2:利用不等式的性質解不等式
(1)針對任務單中學生解不等式時在步驟中出現(xiàn)的問題,教師規(guī)范解題步驟;
(2)教師分享某位同學任務單中對“不等式的性質與等式性質的異同?”的回答,小組討論利用不等式的性質解不等式步驟中需要注意的問題;(3)學生綜合范例和討論結果,進行鞏固訓練和變式訓練?!纠?】利用不等式的性質解不等式:4y?12??2?3y.【鞏固】13用不等式的性質解不等式:y?2?y?522 【變式】13已知y?2?y?5,化簡y?3?(6?2y)
五、課堂小結
小組討論分享:通過本節(jié)課的學習,“我知道了??”“我掌握了??”。
六、課堂檢測
學生獨立完成課堂檢測,由數(shù)據反饋出本堂課的達成度
七、課后思考 布置課后思考題
利用不等式性質1,比較2a與a的大?。╝?0).2,比較2a與a的大?。╝?0).利用不等式性質
不等式課件 篇5
基本不等式是中學數(shù)學中比較重要的知識點,它是一條數(shù)學公式,可以用來證明數(shù)學上的不等式問題。在中學階段,我們通常會學習到關于基本不等式的概念、性質以及應用等方面的知識。接下來,本篇文章將圍繞這一主題展開,詳細說明基本不等式的相關知識點和應用場景。
一、基本不等式的概念和性質
基本不等式實際上是針對于a、b兩個正實數(shù)而言的,它的數(shù)學表述為:(a+b)2≥4ab 。 這個公式被稱為基本不等式的“基本式”。同時,在這個式子中,等號成立的條件是a=b時。接下來,讓我們來看看基本不等式的一些性質。
1.基本不等式的證明:
(a+b)2=a2+2ab+b2≥4ab (由于a2+b2≥2ab)
化簡得:a2+b2≥2ab,即(a-b)2≥0,結合等式左側兩邊同時加上4ab,則得到公式(a+b)2≥4ab,也就是基本不等式。
2. 基本不等式的解釋:
從式子來看,基本不等式的左邊是一個完全平方數(shù),即(a+b)2。右邊是4ab。又因為基本不等式中的變量a和b都是正實數(shù),所以無論a和b的大小關系如何,四倍的乘積4ab一定是大于等于a2+b2、即2ab的。因此,我們可以得到基本不等式的結論:(a+b)2≥4ab。
3. 基本不等式的應用:
基本不等式有非常廣泛的應用,其中一些典型的應用場景包括以下幾種:
a. 使用基本不等式證明其他不等式:
比如,對于x、y兩個正實數(shù),我們可以將不等式(x-y)2≥0 化簡為x2+y2≥2xy 的形式,然后用上基本不等式,即可快速證明(x-y)2≥0 成立。
b. 使用基本不等式解決實際問題:
比如,用4米長的繩子圍成一個矩形獸欄,求獸欄能夠圍住的最大面積是多少? 我們可以將這個問題轉換為求:4m邊長的正方形對面提醒獸欄的最大面積問題。此時,我們可以利用基本不等式,推導出正方形的對角線最大長度即為4√2米,由此可以得出此時正方形的面積即為16平方米,也就是獸欄的最大面積。
c. 使用基本不等式驗證一些數(shù)學結論:
比如,我們可以利用基本不等式來驗證任意兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。 具體的,對于兩個正實數(shù)a和b,我們可以推導得到:
(a+b)2≥4ab
(a+b)2/4≥ab
(√ab+√ab)2/4≥ab
(?ab) ≥ (a+b)/2
由此可得,兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù),即( a+b)/2≥?ab。
二、基本不等式的應用實例
1.題目描述:
小峰有若干元錢,他能夠涵蓋八天的生活物資開銷?,F(xiàn)在,他去買菜了,花掉了R元錢,求他能不能仍然用這筆錢過完余下的那幾天。
2.解題思路:
我們可以設小峰剩下的錢數(shù)為x,應該取得一個不等式來表示這個問題。具體地,設日均消費為m(m 一定是小于R/x 和x/8之間較小數(shù)),則從第9天開始,小峰所存的錢應數(shù)學表達式為:
x-R≥m*(8),
x≥m*(8)+R
這是一個關于x的不等式,為驗證其是否成立,我們需要對它進行推導。為了推導方便,我們將不等式變形如下:
m*(8)+R≤x
然后,我們可以利用基本不等式將其化簡為如下形式:
(mx/?8)^2+(Rx/?8)^2≥2mRx/4
由于 x>0,所以令 t = x/?8,則上式化簡為:
(m/2)t^2+(R/2)^2≥tmR
或者
(t-R/m)^2+(m/2)^2≥R^2/ 4m^2
根據上面的式子,我們可以得出,只要 t≥R/m,即x≥m*(8)+R,則小峰就有足夠的錢過余下的幾天生活了。
3.綜述
基本不等式是非常重要的中學數(shù)學知識點,它不僅有較為實際的應用場景,還能用于證明和推導其他數(shù)學結論。在學習基本不等式的時候,我們需要注意,對于不等式的變量,要理解它們所表示的實際含義和邏輯關系,從而更好地應用基本不等式來解決實際問題。
不等式課件 篇6
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望.根據本節(jié)課的教學內容,應用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應關系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應點位置間的關系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結構美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產生用數(shù)學研究不等關系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關系的相關素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關系,又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應的兩實數(shù)具有怎樣的關系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關內容.
實例1:某天的天氣預報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結論.
討論結果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經常使用的方法,應讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據實數(shù)的運算性質與大小順序的關系,歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關系,只需確定它們的差與0的大小關系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關鍵首先是把文字語言轉換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結,從實數(shù)的基本性質的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設計關注了教學方法的優(yōu)化.經驗告訴我們:課堂上應根據具體情況,選擇、設計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中,沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣,可以說與其他所有內容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產生負面影響.
3.本節(jié)設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質,是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大小:(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式課件 篇7
《課題:實際問題與一元一次不等式》教學設計
【教學目標】:
1.通過列一元一次不等式解決具有不等關系的實際問題,進一步熟練掌握一元一次不等式的解法,體會不等式是解決實際問題的有效的數(shù)學模型。
2.通過應用一元一次不等式解決實際問題,進一步強化應用數(shù)學的意識,從而使學生樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學信息,談論數(shù)學話題,能夠在數(shù)學活動中發(fā)揮積極作用。
3.通過探究,增進學生之間的配合,培養(yǎng)學生敢于面對困難和克服困難的勇氣,樹立學好數(shù)學的自信心。
【重點難點】:
重點:由實際問題中的不等關系列出不等式。
難點:列一元一次不等式描述實際問題中的不等關系
【教學過程】:
回顧舊知、引入新課
師:之前我們學習過利用一元一次方程解決生活中的銷售問題,現(xiàn)在李老師就來考考大家,請看第一題:
出示幻燈片1
1.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利10元,設進價為x元,則可列等式。
(學生解決并給出合理解釋)
師:那我們一起來回顧一下利用一元一次方程解決實際問題的基本步驟是什么?
學生回答后,教師總結:
利用一元一次方程解決實際問題的一般步驟:
審、設、列、解、答
師:好!請看第二題:
2.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利不低于10元,設進價為x元,則。
師:相較于第一題,題目發(fā)生了什么變化?
學生抓住關鍵詞“不低于”,列出不等式。
師:找到不等關系,列一元一次不等式也是解決實際問題的常用方法。今天,我們就來學習實際問題與一元一次不等式。
出示幻燈片
2小組討論、探究新知
師:馬上就要過春節(jié)了,想要給自己準備什么禮物?
師:老師也想給可愛的兒子買禮物,通過考察,已經知道有兩家超市正在舉行優(yōu)惠活動,咱們一起去逛一逛,好不好?
出示幻燈片3
甲超市說:凡在本超市累計購買100元商品后,再購買的商品按原價的90%收費。
乙超市:凡在本超市累計購買50元商品后,再購買的商品按原價的95%收費
師:李老師覺得甲超市優(yōu)惠,因為打9折?你的意見呢?
(學生發(fā)表自己的意見)
師:剛才幾位同學表達了自己的觀點,可是這僅僅是我們的猜想,解決問題不能只靠猜想,運用數(shù)學知識該如何解決這個問題呢?
出示幻燈片
4下面老師就把時間交給大家,4人一小組展開討論,到底該選擇哪家超市購買才能獲得更大優(yōu)惠?
(學生討論的過程中,教師主要巡視并和學生共同探究。)
經過探討,小組形成初步想法,小組派代表分享討論結果,逐一解決列表達式、分類、建模列不等式、解不等式等題目中難點,教師以板書形式將結果呈現(xiàn)在黑板上,并引導學生補充,完善解題過程,并利用多媒體進行展示。
學以致用 挑戰(zhàn)自我?guī)煟和瑢W們理解得非常到位!那么再碰到類似的問題你能解決了嗎?
出示幻燈片
5我校計劃在暑假期間組織學生到某地旅游,參加旅游的人數(shù)估計為10~25人,甲、乙兩家旅行社的服務質量相同,且報價都是每人200元.經過協(xié)商:甲旅行社表示可給予每位學生七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一位學生的旅游費用,其余學生八折優(yōu)惠.我校選擇哪一家旅行社支付的旅游費用較少?
學生獨立思考后進行小組討論,選代表上黑板展示。
梳理過程 總結提高
教師引導學生回顧兩道題的解題過程,談談獲得的感悟,學生獨立思考片刻后進行小組交流討論。
出示幻燈片6
回顧這個問題的解題過程,你有哪些感悟呢?
例如:我感受最深的是??
我感到最困難的是??
我發(fā)現(xiàn)生活中??
我學會了??
布置作業(yè) 測評反饋
出示幻燈片7
作業(yè):
一、在市場上收集兩種手機收費方式,幫爸爸(媽媽)選擇一種合適的消費方式.二、習題(134頁)1.(1)(2)5.
不等式課件 篇8
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應用到生活的各個領域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據題意列出相應的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內容是向學生設疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應滿足什么條件?
設車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結,師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
不等式課件 篇9
不等式的性質(2)教學目標
1.知識與技能:理解不等式的性質,會解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出解集。
2.過程與方法:通過經歷不等式性質的簡單應用,積累數(shù)學活動。通過獨立解題,進一步理解不等式的性質,體會不等式性質的價值。
3.情感態(tài)度和價值觀:認識到通過觀察、實驗、類比可以獲得數(shù)學結論,體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。在獨立思考的基礎上,積極參與對數(shù)學問題的討論,敢于發(fā)表自己的觀點,學會分享別人的想法和結果,并重新審視自己的想法,能從交流中獲益。重點難點
1.重點:不等式的性質及其解法. 2.難點:不等式性質的探索及運用.方法策略
啟發(fā)式教學法——以設問和疑問層層引導,激發(fā)學生,啟發(fā)學生積極思考,培養(yǎng)和發(fā)展學生的抽象思維能力。
探究教學法——引導學生去疑;鼓勵學生去探; 激勵學生去思,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和批判精神。教學過程:
一、梳理舊知,引出新課
問題1: 在前面的學習中,你學到了不等式的哪些性質?(用文字語言敘述)(鼓勵學生回答問題,用電子白版顯示三條性質的符號語言)問題2: 解一元一次方程最終的目的是把方程轉化成哪種形式?其主要的理論依據是什么?
(為問題3做鋪墊)
二、合作交流,探究新知
問題3: 利用不等式的性質解下列不等式:
(1)x?7?26(2)3x?2x?1 2(3)x?50(4)?4x?3 3(類比著解一元一次方程的方法教師先解(1),并用數(shù)軸表示其解集,然后讓學生試解(2)(3)(4)并和同學交流,最后教師點評。)
思考1:(3)(4)的求解過程,類似于解方程的哪一步變形? 思考2:依據不等式性質3解不等式時應注意什么? 隨堂練習:1.完成課本P119練習1 問題4: 2011年北京的最低氣溫是19℃,最高氣溫是28℃,你能把北京的氣溫用不等式表示出來嗎?
(符號“≥”讀作“大于或等于”,也可以說是“不小于”;符號“≤”讀作“小于或等于”,也可以說是“不大于”.形如a≥b或a≤b的式子也是不等式,它們具有類似前面所說的不等式的性質).隨堂練習:完成課本119頁練習2.問題5: 某長方體形狀的容器長5 cm,寬3 cm,高10 cm.容器內原有水的高度為3cm,現(xiàn)準備向它繼續(xù)注水.用V(單位:cm3)表示新注入水的體積,寫出V的取值范圍.(學生先合作探究,然后讓學生交流探究結果,最后老師講評并強調在解決實際問題的時候,要考慮取值的現(xiàn)實意義。)
三、歸納完善,豐富新知
1:如何利用不等式的性質解簡單不等式? 2:依據不等式性質3解不等式時應注意什么? 3:請說明符號“≥”和“≤”的含義?
四、布置作業(yè)
必做題:P120第5,7,8題.選做題:P120第9題
一元一次不等式課件
每位老師不可或缺的課件是教案課件,因此教案課件可能就需要每天都去寫。教案是課程開展的向導。今天小編為大家?guī)砹艘黄P于“一元一次不等式課件”的相關文章,如果你希望長期關注我的分享請不要忘記將它收藏起來!
一元一次不等式課件 篇1
【知識與技能】
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
【過程與方法】
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結出求不等式組解集的法則。
【情感態(tài)度】
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結合”的方法今后經常用到,鍛煉同學們數(shù)形結合的能力,提高學習興趣。
【教學重點】
一元一次不等式組的解法。
【教學難點】
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1 現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設c的長為xcm,則x<____,①x>____,②
合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2 由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的解法。
【教學說明】全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
【歸納結論】
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
一元一次不等式課件 篇2
一元一次不等式教案
教學目標
1、能夠根據實際問題中的數(shù)量關系,列一元一次不等式(組)解決實際問題.
2、通過例題教學,學生能夠學會從數(shù)學的角度認識問題,理解問題,提出問題,?? 學會從實際問題中抽象出數(shù)學模型.
3、能夠認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系,培養(yǎng)學生應用所學數(shù)學知識解決實際問題的意識.
教學重點? 能夠根據實際問題中的數(shù)量關系,列出一元一次不等式(組)解決 實際問題
教學難點? 審題,根據實際問題列出不等式.
例題? 甲、乙兩商場以同樣的。價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案:在甲商場累計購物超過100元后,超出100元的部分按90%收費;在乙商場累計購物超過50元后,超出50元的部分按95%收費。顧客到哪家商場購物花費少??
解:設累計購物x元,根據題意得
(1)當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
(2)當50< x≤100時,到乙商場購物 m. 花費少;
(3)當x > 100時,到甲商場的花費為100+0.9(x-100) , 到乙商場的花費為50+0.95(x-50)則
50+0.95(x-50) > 100+0.9(x-100),解之得x >150
50+0.95(x-50) < 100+0.9(x-100),解之得x < 150
50+0.95(x-50) = 100+0.9(x-100),?? 解之得x = 150
答:當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
當50< x≤100時,到乙商場購物花費少;當x>150時,到甲商場購物花費少;當100 < x <150時,到乙商場購物花費少;當x=150時,到甲、乙兩商場購物花費一樣。
變式練習? 學校為解決部分學生的午餐問題,聯(lián)系了兩家快餐公司,兩家公司的報價、質量和服務承諾都相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費。問:選擇哪家公司較好?
解:設購買午餐x份,每份報價為“1”,根據題意得
0.9x > 100+0.8(x-100),解之得x >200
0.9x < 100+0.8(x-100),解之得x < 200
0.9x = 100+0.8(x-100),解之得x = 200
答:當x>200時,選乙公司較好;當0 < x <200時,選甲公司較好;當x=200時,兩公司實際收費相同。
作業(yè)
1、某商店5月1號舉行促銷優(yōu)惠活動,當天到該商店購買商品有兩種方案,方案一:用168元購買會員卡成為會員后,憑會員卡購買商店內任何商品,一律按商品價格的8折優(yōu)惠;方案二:若不購買會員卡,則購買商店內任何商品,一律按商品價格的9.5折優(yōu)惠。已知小敏5月1日前不是該商店的會員。請幫小敏算一算,采用哪種方案更合算?
2、某單位計劃10月份組織員工到杭州旅游,人數(shù)估計在10~25之間。甲乙兩旅行社的服務質量相同,且組織到杭州旅游的價格都是每人200元。該單位聯(lián)系時,甲旅行社表示可以給予每位旅客七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一帶隊領導的旅游費用,其余游客八折優(yōu)惠。問該單位怎樣選擇,可使其支付的旅游總費用較少?
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一元一次不等式課件 篇3
尊敬的各位老師:
大家好,今天,我說課的內容是一元一次不等式。
對于本節(jié)課,我將從教什么、怎么教、為什么這么教來闡述本次說課。
新課標指出:數(shù)學課程要面向全體學生,適應學生個性發(fā)展的需要,使得人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上都能得到不同的發(fā)展。今天我將貫徹這一理念從教材分析、學情分析、教學過程等幾個方面展開我的說課。
教材是連接教師和學生的紐帶,在整個教學過程中起著至關重要的作用,所以,先談談我對教材的理解。
本節(jié)課主要講述的是一元一次不等式的概念及其解法。
在本節(jié)課之前學生已經掌握了一元一次方程的相關知識和不等式的性質,所以,本節(jié)課類比一元一次方程的解法,利用不等式的性質解一元一次不等式。另外,本節(jié)課為后續(xù)學習解一元一次不等式組奠定基礎。
不等式在日常生產生活中的應用很廣泛,它與數(shù)、式、方程、函數(shù)甚至幾何圖形有著密切的聯(lián)系,它幾乎滲透到初中數(shù)學的每一部分。所以,本節(jié)課在數(shù)學領域中起著非常重要的地位。
合理把握學情是上好一堂課的基礎,本次課所面對的學生群體具有以下特點。
本學段的學生逐漸掌握抽象概念和復雜的概念系統(tǒng),能作科學定義,抽象邏輯思維逐步占優(yōu)勢。
本階段的學生類比推理能力都有了一定的發(fā)展,并且在生活中已經遇到過很多關于一元一次方程的具體的事例,所以在生活上面有了很多的經驗基礎。為本節(jié)課的順利開展做好了充分準備。
根據以上對教材的.分析以及對學情的把握,我制定了如下三維目標:
通過對比解一元一次方程的步驟,學生自己總結歸納一元一次不等式步驟的過程,提高歸納能力,并學會類比的學習方法。
通過數(shù)學建模,提高對數(shù)學的學習興趣。
本著新課程標準,吃透教材,了解學生特點的基礎上我確定了以下重難點:
掌握一元一次不等式的概念,會解一元一次不等式并能夠在數(shù)軸上表示出來。
一元一次不等式課件 篇4
人教版七年級數(shù)學下冊《一次函數(shù)與一元一次不等式》教學反思
例1:請畫出函數(shù)y=-3x+12的圖像,你能利用圖像解決下列問題嗎?
(1)方程-3x+12=0的解(2)不等式-3x+12>0的解集.
(3)如果y的值在-6≤y≤6的范圍內,那么相應的x的值在什么范圍內?
問題一提出,就有學生不假思索,答案脫口而出,前兩問也太簡單了吧?我提醒學生注意題目要求,這時有學生開始畫函數(shù)圖像。讓學生自己動手,畫出一次函數(shù)y=-3x+12的圖像,目的是讓學生從畫圖的過程中感受從左至右,直線是呈“下降”趨勢的。即y隨x的增大而減小。對于前兩問,學生還比較好理解,但到第3問,有些學生就找不到答案了。這時就要引導學生從第2問,開始延伸,當解-3x+12>0,即函數(shù)值為正數(shù)時,對應的函數(shù)的圖像在x軸的上方,y>0時,坐標系中表示的`是一個平面區(qū)域,在這個區(qū)域中找出對應的自變量x的取值范圍即為不等式的解。讓學生對第3問,再次進行探究,由圖像找出函數(shù)值在-6--6之間的部分,對應地可以找出自變量x的取值范圍。要求學生能在函數(shù)圖像上找到這個區(qū)域,老師再用多媒體進行動態(tài)演示。進一步激發(fā)學生思考,你能用其他方法解決這個問題嗎?學生能聯(lián)想到第3問也可以利用解不等式組的方法求出x的取值范圍。通過本題的解決,讓學生初步感受不等式與方程、函數(shù)的內在聯(lián)系
一元一次不等式課件 篇5
一元一次不等式的應用教案
一元一次不等式的應用教案 孫云云 一、前置作業(yè) 請自學課本12、13頁,相信你會有很大的收獲!帶著的你的例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 二、教學過程 一)導入 在現(xiàn)實中的許多問題,可以借助于一元一次不等式來解決。本節(jié)課我們來研究用元一次不等式解決實際 問題。 二、檢查前置作業(yè),交流組內存在問題 怎樣借助一元一次不等式解決實際問題 三、班級匯報展示 帶著你的`例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 四、總結提升 你學會了什么? 五、布置作業(yè) 教學反思:開始課堂沉悶,學生有些緊張,后來在教師的調解下,氣氛活躍了。樊廣文出的題中缺少一個條件,馬悅出的三道題所提出的問題都有不正確,盡管學生在編的實際問題中出現(xiàn)了失誤,但學生真的動起來了,在思想的相互碰撞中,每個問題都得到了解決。但也有不足,如小組的時效性較小,雖然經歷了小組交流,但問題并未深入的解決,馬悅的三道題是代表小組的,但小組只停留在馬悅出題了,也沒有交流她出題的正確性。導致三道題都出現(xiàn)同一個問題。在今后的教學中教師更應該關注小組的時效性。2023一元二次不等式課件
今天筆者為大家?guī)砹艘黄P于一元二次不等式課件的精彩文章,歡迎保存本網站,并時刻關注我們的最新動態(tài)。每位教師都應該在授課前準備充分的教案課件,只要在課前認真編寫好教案,便可以有效地促進學校的不斷發(fā)展。教案是推進教育教學創(chuàng)新的有力工具。
一元二次不等式課件 篇1
《一元二次不等式及其解法》
教 學 設 計 說 明
《一元二次不等式及其解法》教學設計說明
一.教學內容分析:
1.本節(jié)課內容在整個教材中的地位和作用.
必修五第三章不等式第二節(jié)一元二次不等式及其解法共有三個課時,本節(jié)課是第一課時,教學內容的地位體現(xiàn)在它的基礎性,作用體現(xiàn)在它的工具性.一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化,對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用.許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法.因此,一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學教學中具有很強的基礎性,體現(xiàn)出很大的工具作用. 2.教學目標定位.
根據教學大綱要求、高考考試大綱說明、新課程標準精神、高一學生已有的知識儲備狀況和學生心理認知特征,我確定了四個層面的教學目標.第一層面是面向全體學生的知識目標:熟練掌握一元二次不等式的解法,正確理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系.第二層面是能力目標,培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合與分類討論等數(shù)學思想方法解決問題的能力,提高運算和作圖能力.第三層面是德育目標,通過對解不等式過程中等與不等對立統(tǒng)一關系的認識,向學生逐步滲透辨證唯物主義思想.第四層面是情感目標,在教師的啟發(fā)引導下,學生自主探究,交流討論,培養(yǎng)學生的合作意識和創(chuàng)新精神. 3.教學重點、難點確定.
本節(jié)課是在復習了一元二次方程和二次函數(shù)之后,利用二次函數(shù)的圖象研究一元二次不等式的解法.只要學生能夠理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系,并利用其關系解不等式即可.因此,我確定本節(jié)課的教學重點為一元二次不等式的解法,關鍵是一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系. 二.教法學法分析:
數(shù)學是發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生良好意志品質和美好情感的重要學科,在教學中,我們不僅要使學生獲得知識、提高解題能力,還要讓學生在教師的啟發(fā)引導下學會學習、樂于學習,感受數(shù)學學科的人文思想,使學生在學習中培養(yǎng)堅強的意志品質、形成良好的道德情感.為了更好地體現(xiàn)課堂教學中“教師為主導,學生為主體”的教學關系和“以人為本,以學定教”的教學理念,在本節(jié)課的教學過程中,將緊緊圍繞教師組織——啟發(fā)引導,學生探究——交流發(fā)現(xiàn),組織開展教學活動.我設計了①回憶舊知,服務新知,②創(chuàng)設情境,提出問題,③合作交流,探究新知,④數(shù)學運用,深化認知,⑤練習檢測,反饋新知,⑥談談收獲,強化思想,⑦布置作業(yè),實踐新知,環(huán)環(huán)相扣、層層深入的教學環(huán)節(jié),在教學中注意關注整個過程和全體學生,充分調動學生積極參與教學過程的每個環(huán)節(jié). 三.教學過程分析:
(一)聯(lián)系舊知,構建新知
設置一系列的問題喚起學生對舊知識的回憶. 問題1:一元二次方程的解法有哪些呢?
(意圖:讓學生回顧一元二次方程的解法,為解一元二次不等式做準備.)
問題2:同學們還記得二次函數(shù)嗎?二次函數(shù)的形式是怎樣的?你記得二次函數(shù)的性質嗎?
(意圖:引導學生從圖象的角度出發(fā),并啟發(fā)學生二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,其開口方向由二次項系數(shù)決定,為突出重點做準備)
(二)創(chuàng)設情景,提出問題
1、讓學生動手畫直角坐標系,然后沿x軸方向上下對折這張紙,觀察它們的值有什么特點?
22、請在剛才的坐標系中畫出y=x-7x+6的圖像 問題1:
(1)x軸上方有無圖像?若有請用紅線描出。這部分圖像對應的y值如何?(2)x軸下方有無圖像?若有請用藍線描出。這部分圖像對應的y值如何?(3)紅線與藍線有無交點?若有請用綠色標出。
(4)你能找出上述各種情況的x的取值范圍嗎?請在圖中寫出。
問題2:你能說一說這兩個不等式有何共同特點么?(1)含有一個未知數(shù)x;
(2)未知數(shù)的最高次數(shù)為2。通過兩問題得出一元二次不等式的概念:一般地,只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式,叫做一元二次不等式。
問題3:判斷下列式子是不是一元二次不等式?
問題4:一元二次函數(shù)、一元二次方程之間有何聯(lián)系呢?
一元二次方程的解即一元二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標,也就是說方程的解即對應函數(shù)的零點。
問題5:一元二次不等式如何求解呢?
(三)合作交流,探究新知
1. 探究一元二次不等式x2?x?2?0的解.
容易知道:一元二次方程x2?x?2?0的有兩個實數(shù)根:x1??1或x2?2. 二次函數(shù)y?x2?x?2與x軸有兩個交點:??1,0?和?2,0?. 思考1:觀察圖象一元二次方程的根與二次函數(shù)之間有什么關系? 思考2:觀察圖象,當x為何值時,y?0;
當x為何值時,y?0; 當x為何值時,y?0.
(設計意圖 : ①體現(xiàn)學生的主體性;②有利于加強對圖象的認識,從而加強數(shù)形結合的數(shù)學思想 ;③有利于加強學生理解一元二次不等式的解相關的三個因素;④為歸納解一元二次不等式做好準備.根據前面探討的問題引導學生歸納一元二次不等式的解.)
2. 探究一元二次不等式ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0?a?0?的解法. 組織討論:從上面的例子出發(fā),綜合學生的意見,可以歸納出確定一元二次不等式的解集,關鍵要考慮:
2拋物線y?ax?bx?c與x軸的相關位置的情況,也就是一元二次方程2ax2?bx?c=0的根的情況,而一元二次方程根的情況是由判別式??b?4ac三 3 種取值情況(??0,??0,??0)來確定.
(設計意圖:這里我將運用多媒體圖標的形式來展現(xiàn)出其解法思路,學生有一個完整的邏輯思維,讓學生在探究中建立知識間的聯(lián)系,體會數(shù)形結合,強調突出本節(jié)的難點.)
(四)數(shù)學運用,深化認知.
2例1.求不等式2x?3x?2?0的解集. 2變式為:求不等式2x?3x?2?0的解集.
2例2.解不等式?x?2x?3?0.
(設計意圖:先讓學生來解答例題,若教師巡視、指導,講評學生完成情況,尋找學生中的閃光點,給予熱情表揚.)總結:
解一元二次不等式的步驟:
一化:化二次項前的系數(shù)為正(a>0).二判:判斷對應方程的根.三求:求對應方程的根.四畫:畫出對應函數(shù)的圖象.五解集:根據圖象寫出不等式的解集.(五)練習檢測,鞏固收獲
(設計意圖:為了鞏固和加深一元二次不等式的解法,讓學生學以致用,接下來及時組織學生進行課堂練習.然后就學生在解題中出現(xiàn)的問題共同糾正.)
(六)歸納小結,強化思想
設計意圖:梳理本節(jié)課的知識點,總結一元二次不等式解法的步驟:“一化,二判,三求根,四畫圖,五寫解集”的口訣來幫助學生記憶和歸納,讓學生掌握嚴謹?shù)淖鲱}方法,知曉本節(jié)課的重難點.
(七)布置作業(yè),拓展延伸
必做題:課本第80頁習題A組 1,2.選做題:(1)若關于m的一元二次方程x
2?(m?1)x?m?0有兩個不相 等的實數(shù)根,求m的取值范圍.2(2)已知不等式x?ax?b?0的解集為x2?x?3?,求a,b的
?值.(設計意圖:以作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性為出發(fā)點,我設計了必做題和選做題,必做題是對本節(jié)課內容的反饋,選做題是對本節(jié)課知識的延伸,整體的設計意圖是反饋教學,鞏固提高.)四.教學總結
本節(jié)課的所有內容以習題的形式展現(xiàn)給學生,學生始終在解題中探究,在解題中發(fā)現(xiàn),學生參與教學的全過程,成為課堂教學的主體和學習的主人,而老師只須時刻關注學生的活動過程,不時給予引導,及時糾正.
一元二次不等式課件 篇2
高中數(shù)學《一元二次不等式的解法(2)》教案
一、教學目標
【知識與技能】
掌握求解一元二次不等式的簡單方法,能正確求解一元二次不等式的解集。
【過程與方法】
在探究一元二次不等式的解法的過程中,提升邏輯推理能力。
【情感、態(tài)度與價值觀】
感受數(shù)學知識的前后聯(lián)系,提升學習數(shù)學的熱情。
二、教學重難點
【重點】一元二次不等式的解法。
【難點】一元二次不等式的解法的探究過程。
三、教學過程
(一)導入新課
回顧一元二次不等式的一般形式,組織學生舉例一些簡單的一元二次不等式。
提問:如何求解?引出課題。
(二)講解新知
結合課前回顧的一元二次不等式的一般形式,對比之前所學內容,引導學生發(fā)現(xiàn)其與一元二次方程和二次函數(shù)的共同特點。
一元二次不等式課件 篇3
新課程理念下的教學更多的關注學生自主探究、關注學生的個性發(fā)展,鼓勵學生勇于提出問題,培養(yǎng)學生思維的批評性。在課堂上學生往往會提出讓老師感到“意外”的問題,我在平時的教學中重視對“課堂意外預案”的探索和思考,備課時盡量設想課堂中可能會出現(xiàn)的各種情況,做到有備無患,以免在課堂中學生提出讓自己出乎意料的問題,使自己陷入被動尷尬境地。結合以往經驗,在本節(jié)課,我提出兩個“意外預案”。
1、學生在做課本練習1(x+2)(x-3)>0時,可能會問到轉化為不等式組{或{求解對不對。學生提出的問題,想法非常好,應給予肯定和鼓勵,這與下節(jié)簡單分式不等式和高次不等式的解法有關,是解不等式的另一種解法——等價轉化法,不在本節(jié)課之列。
2、根據以往的經驗,在解(x-1)(x+2)>1一類的不等式的時候,由于受方程(x+1)(x+2)=0可轉化為x-1=0或x+2=0求解的影響,有可能會出現(xiàn)將不等式轉化為不等式組{來求解的錯誤做法,教師要關注學生,及時發(fā)現(xiàn)問題并給予糾正,指出上面的轉化不是等價轉化。
以上是我對本節(jié)課的一些粗淺的認識和構想,如有不妥之處,懇請各位專家、各位同仁批評指正。謝謝大家!
一元二次不等式課件 篇4
一、教材分析
1、地位和作用。本課是五年制高等師范教材南京大學出版社《數(shù)學》教材第一冊第二章第二節(jié)的教學內容,從知識結構看:它是一元一次不等式的延續(xù)和拓展,又是以后研究函數(shù)的定義域、值域等問題的重要工具,起到承前啟后的作用;
從思想層次上看:它涉及到數(shù)形結合、分類轉化等數(shù)學思想方法,在整個教材中有很強的基礎性。
2、教材內容剖析。本節(jié)課的主要內容是通過二次函數(shù)的圖像探究一元二次不等式的解法。教材中首先復習引入了“三個一次”的關系,然后依舊帶新,揭示“三個二次”的關系,其次通過變式例題討論了△=0和△
3、重難點剖析。重點:一元二次不等式的解法。難點:一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)的關系。難點突破:
(1)教師引導,學生自主探究,分組討論。
(2)借助多媒體直觀展示,數(shù)形結合。
(3)采用由簡單到復雜,由特殊到一般的教學策略。
二、目的分析
知識目標:掌握一元二次不等式的解法,理解“三個二次”之間的關系
能力目標:培養(yǎng)學生“從形到數(shù)”的轉化能力,由具體到抽象再到具體,從特殊到一般的歸納概括能力。
情感目標:在自主探究與討論交流過程中,培養(yǎng)學生的合作意識。
三、教法分析
教法:“問題串”解決教學法
以“一串問題”為出發(fā)點,指導學生“動腦、動手、動眼、動口”,參與知識的形成過程,注重學生的內在發(fā)展。
學法:合作學習(1)以問題為依托,分組探究,合作交流學習。(2)以現(xiàn)有認知結構為依托,指導學生用類比方法建構新知,用化歸思想解決問題。
四、過程分析
本節(jié)課的教學,設計了四個教學環(huán)節(jié):
創(chuàng)設情景、提出問題
問題1:用一根長為10m的繩子能圍成一個面積大于6m2的矩形嗎?“數(shù)學來源于生活,應用于生活”,首先,以生活中的一個實際問題為背景切入,通過建立簡單的數(shù)學模型,抽象出一個一元二次不等式,引入課題。
設計意圖:激發(fā)學生學習興趣,體現(xiàn)數(shù)學的科學價值和使用價值。
自主探究,發(fā)現(xiàn)規(guī)律
問題2:解下列方程和不等式。①2x—4=0②2x—4>0③2x—4
歸納、類比法是我們發(fā)現(xiàn)問題、尋求規(guī)律,揭示問題本質最常用的方法之一。尋求一元二次不等式的解法,首先從一元一次不等式的解法著手。展示問題2。學生:用等式和不等式的基本性質解題。教師:還有其他的解決方法嗎?展示問題3。
問題3:畫出一次函數(shù)y=2x—4的圖像,觀察圖像,縱坐標y=0、y>0、y
學生:發(fā)現(xiàn)可以借用圖像解題。此問題揭示了“三個一次”的關系。
設計意圖:為后面學習二次不等式的解法提供鋪墊。
問題4:用圖像法能不能解決一元二次不等式的解呢?已知二次函數(shù)y=x2—2x—8。
(1)求出此函數(shù)與x軸的交點坐標。
(2)畫出這個二次函數(shù)的草圖。
(3)在拋物線上找到縱坐標y>0的點。
(4)縱坐標y>0(即:x2—2x—8>0)的點所對應的橫坐標x取哪些數(shù)呢?
(5)二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的關系是什幺?
教師:展示問題4。此環(huán)節(jié),要注意下面幾個問題:
(1)啟發(fā)引導學生運用歸納、類比的方法,組織學生分組討論,自主探究。(2)及時解決學生的疑點,實現(xiàn)師生合作。(3)先讓學生自己思考,最后教師和學生一起歸納步驟。(求根—畫圖—找解),抓住問題本質,畫圖可省去y軸。教師抓住時機,展示例題1,鞏固方法(△>0的情況),規(guī)范步驟,板書做題步驟,起到示范的作用。設計意圖:運用“解決問題”的教學方法,使每位學生參與知識的形成過程,體現(xiàn)了教師主導學生主體的地位。
變式提問,啟發(fā)誘導
方程:ax2+bx+c=0的解情況函數(shù):y=ax2+bx+c的圖象
不等式的解集
ax2+bx+c>0ax2+bx+c
⊿>0
⊿=0
⊿
教師:展示例題2(1)—x2+x+6≥0(2)x2—4x+40。
學生:嘗試通過畫圖求解。
此環(huán)節(jié)要注意:引導學生把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題解決;對于△=0,△
設計意圖:通過探索、嘗試的過程,培養(yǎng)了學生大膽猜想,勇于探索的精神。
自我嘗試,反饋小結。
教師:展示練習題,把學生分成兩個小組,要求當堂完成,看哪個組做的好做的快。教師對出現(xiàn)的問題及時反饋。同時,進一步啟發(fā)引導學生將特殊、具體問題的結論推廣到一般化。展示表格。
學生:填寫內容。
學生理解了“三個二次”的關系,得到一般結論應該是水到渠成。最后,教師做本節(jié)課的小結,布置作業(yè)。設計意圖:激發(fā)了學生的求知欲,培養(yǎng)了學生的主動參與意識。
五、評價分析
1、重視學生學習的結果評價,更重視過程評價。
2、本節(jié)課貫徹了新課程的理念,教學形式開放,體現(xiàn)了“教師主導,學生主體”的教學關系。以上是我對本節(jié)課的粗淺認識,如有不妥之處,懇求各位專家、各位同仁批評指正。
一元二次不等式課件 篇5
一元二次不等式及其解法教學反思
塘沽中專-----戚衛(wèi)民
我在13級電子班教室上了一節(jié)課,由此我進行了深刻的反思:
我教的是一個普通中專的班,學生基礎比較差。因此,第一,課前組織很重要,給 學生 做思想 工 作,這 節(jié) 課很重要,是大家表現(xiàn) 自己 的好機會,同 學 們應該遵守紀律,積極發(fā)言,展示 自己 班良好的素質和班風。這樣學生激情會高一些,自然課堂也會活躍一些。第二,把握本節(jié)課的難點,課前做好鋪墊。一元二次不等式及其解法看上去好像很簡單,但是它需要同學們有很好的基礎,解一元二次方程的基礎。而學生在初中只是熟悉用求根公式解方程,對于十字相乘法分解因式只有極個別會,對于這種情形我在課前把一元二次方程的解法好好的補了一下。還有二次函數(shù)的圖象畫法,也好好的復習一下,加深鞏固,突破難點,使得這節(jié)課能順利進行下去。
盡管這樣我的課堂效果也不是很好,這是為什么呢?我陷入迷茫之中可能是我的學生不適應教學方式?可能是學生緊張?弄錯?后來想想可能我沒有好好地備學生。我覺得這節(jié)課的教案應該這樣設計,可能會更好:課前引入去掉,應該在復習時讓學生解一元二次方程,畫二次函數(shù)圖象,這樣學生容易進入狀態(tài)。然后直接導入新課,有特殊到 一般,由具體到抽象,逐步揭開解一元二次不等式的方法。給出例題應由淺入深,先給出形如這樣的:(x-2)(x-3)
讓他們好求方程的根,從而畫圖求不等式的解集,為后續(xù)例題做鋪墊。作為教師我應該很規(guī)范的板書。以給學生榜樣。然后給出形如這樣的不等式:x2+3x-4≥0 由上道題的啟示他們自然會去驗證Δ,用十字相乘法求一元二次方程x2+3x-4=0 的根,畫函數(shù)的圖像,從而求出解集。從這兩道題讓他們自己歸納一下解一元二次不等式的步驟,再出課本習題,這樣他們一定可以解出來,此種做法可以提高他們的解興趣,把課堂氣氛變得濃烈一些。接著給出-x2-3x+4>0提醒他們要把二項式系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)。用課本課后題做練習。再給出x2-3x+4>0這種Δ0Δ=0的情形。根據二次函數(shù)的圖像學生應該可以解決。
一節(jié)課究竟要解決什么問題,怎樣解決這是課堂的首要。貼近學生實際,層層深入,各個擊破,幫學生排憂解難,同時發(fā)揮他們的主觀能動性,讓學感受到自己是課堂的主人,這是教師課堂的主旨。還有一點非常重要,老師必須要有很強的親和力。其實親和力的前提是要有愛心,有愛才會親。一個孩子在班上是六十分之一,但在一個家庭是百分百,所以我覺得我們應該向愛我們自己的孩子一樣去愛他們,讓學生感受到我們的關懷,怎樣做到愛學生,我覺得自己以后可這樣努力 :記住每一個學生的名字,在路上和他們打招呼,下課和他們談談心,說笑說笑,不 要說一些傷學生人 格的話語,適當鼓勵他們,人心都是肉長的呀,他們會感覺得到的。成績差的學生其實是非常敏感的,也是很容易叛逆的,在任何時候老師都要想到自己是成年人,是長者,要站在一定的高度考慮我們的學生,設身處地為他們想象。這樣就不會有芥蒂,沖突,代溝。這節(jié)課我比較真實展現(xiàn)我的學生和我自己。無論從哪一方面,業(yè)務能力,管理能力,對學生的掌控能力,課堂的把握能力。我都有待學習提高。我會努力的!
一元二次不等式課件 篇6
《一元二次不等式解法》說課稿范文
一、 教材簡析
1、地位和價值
一元二次不等式解法是高中數(shù)學新教材第一冊(上)第一章第5節(jié)的內容。在此之前,學生在初中已學習了一元一次不等式,一元一次不等式組,一元二次方程,二次函數(shù),絕對值不等式(高中),這為過渡到本節(jié)的學習起著鋪墊作用。一元二次不等式解法是解不等式的基礎和核心,它在高中代數(shù)中起著廣泛應用的工具作用,蘊藏著“數(shù)與形結合”的重要思想方法,它已成為代數(shù)、三角、解析幾何交匯綜合的重要部分,是高考綜合題的熱點。
2、教材結構簡介
教材首先以一個一次函數(shù)圖象的應用解一元一次不等式,引出圖象法,然后給出一個二次函數(shù),通過具體畫圖象,提出問題。再一般地給出了二次函數(shù)圖象解二次不等式的結論。課本精選了四個解不等式的例題,并配有相應的練習和習題。它的后一小節(jié)為解可轉化為一元二次不等式的分式不等式。
二、 教育教學觀
1、 學生為主體,重學生參與學習活動。
2、 重過程。按照認知規(guī)律及學生認知特點,由淺入深,由表及里,設計一系列教學活動過程。體現(xiàn)由“實踐……觀察……歸納 ……猜想…… 結論…… 驗證應用”的循環(huán)往復的認知過程。
3、 重能力與態(tài)度的培養(yǎng),在活動中培養(yǎng)學生自主、交流合作、探究、發(fā)現(xiàn)的能力。重科學嚴謹?shù)膫€性品質。重參與學習的興趣和體驗。
4、 重指導點撥。在學生自主探究、實踐的基礎上,相機啟發(fā),恰當點撥,促進學生知識由感性向理性提升,由具體到概括抽象,形成師生間的有效互動。
三、 教學目標
基于上述認識,及不等式的基本知識,同時學生在初中已學過二次函數(shù),考慮到學生已有的認知結構心理特征,制訂如下教學目標:
1、 知識目標:一元二次方程,一元二次不等式及二次函數(shù)間的聯(lián)系,及利用二次函數(shù)的圖象求解一元二次不等式。
2、 能力目標:數(shù)形結合的思想(應用二次函數(shù)圖象解不等式)
3、 情感態(tài)度目標:通過問題解決,培養(yǎng)學生自主參與學習,以及嚴謹求實的.態(tài)度。
四、 教與學重點、難點
1、重點:用圖象解一元二次不等式。
2、難點:圍繞二次函數(shù)圖象、性質這一主線,解決三個“二次”的聯(lián)系和應用。
五、 教法與學法
1、學情分析及學法:函數(shù)與圖象應用是初中生數(shù)學的薄弱之處,同時剛進入高中的學生,對高中學習還很不適應,需要加強主動學習的指導?;诖?,在學生初中知識經驗的基礎上,以舊探新;以一系列問題,促進主體的學習活動(如畫圖象、讀圖等),建構知識;以問題情景激勵學生參與,在恰當時機進行點撥啟發(fā),練、導結合,講練結合;通過學生自己做數(shù)學,教師啟發(fā)指導,以及學生領悟,實現(xiàn)學生對知識的再創(chuàng)造和主動建構;具體通過教材中的問題及設計的問題情景,給予學生活動的空間,通過這些問題(“腳手架”)的解決,使學生逐步攀升,達到知識與能力的目標。
2、教法:數(shù)學教學是數(shù)學教與學活動過程的教學,學生是在探究與發(fā)現(xiàn)中建構知識,發(fā)展能力的,因而確定以“問題解決”為教法。實現(xiàn)學生在教師指導下的發(fā)現(xiàn)探索。同時所學內容適宜用“計算機高中數(shù)學問題處理系統(tǒng)”輔助教學。
六、教學手段及工具:
多媒體教學手段,高中數(shù)學問題處理系統(tǒng)。
七、教學設計及教學過程
1、復習設問,引入新課
高中數(shù)學新教材第一冊(上)《一元二次不等式解法》(第一課時)說課稿.rar
一元二次不等式課件 篇7
解一元二次不等式化為標準型。判斷△的符號。若△<0,則不等式是在R上恒成立或恒不成立。
若△>0,則求出兩根,在數(shù)軸上標出,每個根上畫一條豎線,再從右到左相間標正負號,不等式大于0則取標正的范圍,小于0則取標負的范圍。
2.解簡單一元高次不等式
a.化為標準型。
b.將不等式分解成若干個因式的積。
c.求出各個根,在數(shù)軸上標出,每個根上畫一條豎線,再從右到左相間標正負號,不等式大于0則取標正的范圍,小于0則取標負的范圍。
3.解分式不等式的解
a.化為標準型。
b.可將分式化為整式,將整式分解成若干個因式的積。
c.求出各個根,在數(shù)軸上標出,每個根上畫一條豎線,再從右到左相間標正負號,不等式大于0則取標正的范圍,小于0則取標負的范圍。(如果不等式是非嚴格不等式,則要注意分式分母不等于0。)
4.解含參數(shù)的一元二次不等式
a.對二次項系數(shù)a的討論。
若二次項系數(shù)a中含有參數(shù),則須對a的符號進行分類討論。分為a>0,a=0,a<0。
b.對判別式△的討論
若判別式△中含有參數(shù),則須對△的符號進行分類討論。分為△>0,△=0,△<0。
c.對根大小的討論
若不等式對應的方程的根x1、x2中含有參數(shù),則須對x1、x2的大小進行分類討論。分為x1>x2,x1=x2,x1<x2。
5.一元二次方程的根的分布問題
a.將方程化為標準型。(a的符號)
b.畫圖觀察,若有區(qū)間端點對應的函數(shù)值小于0,則只須討論區(qū)間端點的函數(shù)值。
若沒有區(qū)間端點對應的函數(shù)值小于0,則須討論區(qū)間端點的函數(shù)值、△、軸。
6.一元二次不等式的應用
⑴在R上恒成立問題(恒不成立問題相反,在某區(qū)間恒成立可轉化為實根分布問題)
a.對二次項系數(shù)a的符號進行討論,分為a=0與a≠0。
b.a=0時,把a=0帶入,檢驗不等式是否成立,判斷a=0是否屬于不等式解集。
a≠0時,則轉化為二次函數(shù)圖像全在x軸上方或下方。
若f(x)>0,則要求a>0,△<0。
若f(x)<0,則要求a<0,△<0。
⑵特殊題型:已知一不等式的解集(含有字母),求另一不等式的解集(與原不等式系數(shù)大小相同,位置不同)。a.寫出原不等式對應的方程,由韋達定理得出解集字母與方程系數(shù)間的關系。
b.寫出變換后不等式對應的方程,由由韋達定理得出解集字母與方程系數(shù)間的關系。
c.將a中得到的關系變化后帶入b的關系中,得到變換后方程的兩根。
d.判斷兩根的大小,變換后不等式二次項的系數(shù),從而寫出所求解集。
一元二次不等式課件 篇8
一、教材分析
(一)教材的地位和作用
“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知識上的延伸和發(fā)展,又是本章集合知識的運用與鞏固,也為下一章函數(shù)的定義域和值域教學作鋪墊,起著鏈條的作用。同時,這部分內容較好地反映了方程、不等式、函數(shù)知識的內在聯(lián)系和相互轉化,蘊含著歸納、轉化、數(shù)形結合等豐富的數(shù)學思想方法,能較好地培養(yǎng)學生的觀察能力、概括能力、探究能力及創(chuàng)新意識。
(二)教學內容
本節(jié)內容分2課時學習。本課時通過二次函數(shù)的圖象探索一元二次不等式的解集。通過復習“三個一次”的關系,即一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關系;以舊帶新尋找“三個二次”的關系,即二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關系;采用“畫、看、說、用”的思維模式,得出一元二次不等式的解集,品味數(shù)學中的和諧美,體驗成功的樂趣。
二、教學目標分析
根據教學大綱的要求、本節(jié)教材的特點和高一學生的認知規(guī)律,本節(jié)課的教學目標確定為:
知識目標——理解“三個二次”的關系;掌握看圖象找解集的方法,熟悉一元二次不等式的解法。
能力目標——通過看圖象找解集,培養(yǎng)學生“從形到數(shù)”的轉化能力,“從具體到抽象”、“從特殊到一般”的歸納概括能力。
情感目標——創(chuàng)設問題情景,激發(fā)學生觀察、分析、探求的學習激情、強化學生參與意識及主體作用。
三、重難點分析
一元二次不等式是高中數(shù)學中最基本的不等式之一,是解決許多數(shù)學問題的重要工具。本節(jié)課的重點確定為:一元二次不等式的解法。
要把握這個重點。關鍵在于理解并掌握利用二次函數(shù)的圖象確定一元二次不等式解集的方法——圖象法,其本質就是要能利用數(shù)形結合的思想方法認識方程的解,不等式的解集與函數(shù)圖象上對應點的橫坐標的內在聯(lián)系。由于初中沒有專門研究過這類問題,高一學生比較陌生,要真正掌握有一定的難度。因此,本節(jié)課的難點確定為:“三個二次”的關系。要突破這個難點,讓學生歸納“三個一次”的關系作鋪墊。
四、教法與學法分析
(一)學法指導
教學矛盾的主要方面是學生的學。學是中心,會學是目的。因此在教學中要不斷指導學生學會學習。本節(jié)課主要是教給學生“動手畫、動眼看、動腦想、動口說、善提煉、勤鉆研”的研討式學習方法,這樣做增加了學生自主參與,合作交流的機會,教給了學生獲取知識的途徑、思考問題的方法,使學生真正成了教學的主體;只有這樣做,才能使學生“學”有新“思”,“思”有新“得”,“練”有新“獲”,學生也才會逐步感受到數(shù)學的美,會產生一種成功感,從而提高學生學習數(shù)學的興趣;也只有這樣做,課堂教學才富有時代特色,才能適應素質教育下培養(yǎng)“創(chuàng)新型”人才的需要。
(二)教法分析
本節(jié)課設計的指導思想是:現(xiàn)代認知心理學——建構主義學習理論。
建構主義學習理論認為:應把學習看成是學生主動的建構活動,學生應與一定的知識背景即情景相聯(lián)系,在實際情景下進行學習,可以使學生利用已有知識與經驗同化和索引出當前要學習的新知識,這樣獲取的知識,不但便于保持,而且易于遷移到陌生的問題情景中。
本節(jié)課采用“誘思引探教學法”。把問題作為出發(fā)點,指導學生“畫、看、說、用”。較好地探求一元二次不等式的解法。
五、課堂設計
本節(jié)課的教學設計充分體現(xiàn)以學生發(fā)展為本,培養(yǎng)學生的觀察、概括和探究能力,遵循學生的認知規(guī)律,體現(xiàn)理論聯(lián)系實際、循序漸進和因材施教的教學原則,通過問題情境的創(chuàng)設,激發(fā)興趣,使學生在問題解決的探索過程中,由學會走向會學,由被動答題走向主動探究。
(一)創(chuàng)設情景,引出“三個一次”的關系
本節(jié)課開始,先讓學生解一元二次方程x2—x—6=0,如果我把“=”改成“>”則變成一元二次不等式x2—x—6>0讓學生解,學生肯定感到很突然。但是“思維往往是從驚奇和疑問開始”,這樣直奔主題,目的在于構造懸念,激活學生的思維興趣。
為此,我設計了以下幾個問題:
1、請同學們解以下方程和不等式:
①2x—7=0;②2x—7>0;③2x—7
一元二次不等式課件 篇9
1.創(chuàng)設情景——引入新課。我們常說“興趣是最好的老師”,長期以來,學生對學習數(shù)學缺乏興趣,甚至失去信心,一個重要的原因,是老師在教學中不重視學生對學習的情感體驗,教學應該充分考慮學生的情感和需要,想方設法讓學生在學習中樹立信心,感受學習的樂趣。根據教材內容的安排,我以學生熟悉的畫一次函數(shù)圖象、求一次方程和一次不等式的解為背景知識切入,設置一個練習題組,一方面讓學生總結復習已有知識,為后面學習二次不等式的解法打下基礎,做好鋪墊,另一方面,使學生在自己熟悉的問題中首先獲得解題成功的快樂體驗,然后以20xx年江蘇省的一道高考試題為引子,引入本節(jié)課的新授內容。對于本題,引導學生,利用上面解練習題組1的方法,畫出二次函數(shù)圖象來解答。二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內容,本題又給出了函數(shù)圖象上許多點,相信學生畫出圖象應該不成問題,只要教師適當點撥,學生不難得到正確答案。以高考試題為背景引入新課,可以提高學生興趣,抓住學生眼球,吸引學生注意力,還可以讓學生實實在在感受到,高考題就在我們的課本中,就在我們平常的練習中。
2.探究交流——發(fā)現(xiàn)規(guī)律。從特殊到一般是我們發(fā)現(xiàn)問題、尋求規(guī)律、揭示問題本質最常用的方法之一。我把課本例題1、2編為練習題組(一),交由學生用上面解高考題的方法——圖象法去解,學生由于熟知二次函數(shù)圖象,求解應該不會有太大的問題。在這個過程中,教師要啟發(fā)引導學生注意對比兩題的異同,組織引導學生展開交流討論,探討第(2)題能不能先把二次項系數(shù)化正以后再構造函數(shù)畫圖求解。然后達成共識,如果二次項系數(shù)為負數(shù)時,先做等價轉化,把二次項系數(shù)化為正數(shù)再解,課本19頁例3、例4作為題組(二),繼續(xù)讓學生用上面的圖象法,由學生自己求解,這時我及時提示學生注意這兩題與題組(一)中兩題的不同(例1、例2對應方程都有兩個不等實根,例3對應方程有兩相等實根,例4對應方程無實根)。兩個題組的練習之后,可以尋求解二次不等式的一般規(guī)律。
3.啟發(fā)引導——形成結論。前面兩個題組的四個小題,基本涵蓋了一般一元二次不等式解的各種情況,進一步啟發(fā)引導學生將特殊、具體題目的結論做一般化總結,與學生一起就△>0,△<0,△=0的三種情況,總結二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解的情況應該水到渠成。至此,學生可以感受到,解二次不等式只須①將二次項系數(shù)化為正數(shù),②求解二次方程ax2+bx+c=0的.根。③根據①后的二次不等式的符號寫出解集即可,必要時也可以結合圖象寫解集。這樣我們就得到了二次不等式的另外一種解法(可稱為“三步曲”法)。
4.訓練小結——鞏固深化。為了鞏固和加深二次不等式的兩種解法,接下來及時組織學生進行課堂練習,完成課本21頁練習1—4題。本環(huán)節(jié)請不同層次的學生在黑板上書寫解題過程,之后師生共同糾正問題,規(guī)范解題過程的書寫。
5.延伸拓寬——提高能力。課堂教學既要面向全體學生,又應關注學生的個體差異。體現(xiàn)分類推進,分層教學的原則。為此,我又設計了一個提高練習題組,共有三道備選題目,以供程度較好學有余力的學生能夠更好的展示自己的解題能力,取得更進一步的提高。
一元二次不等式課件 篇10
展過程一元二次不等式教學設計
一、教學內容分析:
1、教材地位和作用
本節(jié)課是數(shù)學(基礎模塊)上冊第二章第三節(jié)《一元二次不等式》。從內容上看它是我們初中學過的一元一次不等式的延伸,同時它也與一元二次方程、二次函數(shù)之間聯(lián)系緊密,涉及的知識面較多。從思想層面看,本節(jié)課突出本現(xiàn)了數(shù)形結合思想。同時一元二次不等式是解決函數(shù)定義域、值域等問題的重要工具,因此本節(jié)課在整個中學數(shù)學中具有較重要的地位和作用。
2、教學目標
知識目標:正確理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)的關系。熟練掌握一元二次不等式的解法。
能力目標:培養(yǎng)數(shù)形結合思想、抽象思維能力和形象思維能力。
思想目標:在教學中滲透由具體到抽象,由特殊到一般,類比猜想、等價轉化的數(shù)學思想方法。
情感目標:通過具體情境,使學生體驗數(shù)學與實踐的緊密聯(lián)系,感受數(shù)學魅力,激發(fā)學生求知欲望。
3、重難點
重點:一元二次不等式的解法。
難點:一元二次方程,一元二次不等式與二次函數(shù)的關系。
二、學生情況分析:
我們的學生是在學習了一元一次不等式,一元一次方程、一元一次函數(shù),一元二次方程的基礎上學習一元二次不等式。但大都數(shù)學生的基礎都不是很好,解一元二次方程有一定的困難。
三、教學環(huán)境分析:教學環(huán)境應包括和諧的師生關系、多媒體的合理應用、良好的課堂組織、合理的問題情境。創(chuàng)設和諧的師生關系有利于提高學習效率,我們學校要建立和諧的師生關系是需要花很多心思的,特別是就業(yè)班的同學,且要有一個相當長的適應時間。我們學校的每位老師都有手提電腦,每間教室都有寬屏電子顯示器,老師都能熟練掌握多媒體設備的運用。運用多媒體教學效果好、學生容易理解、學習的積極性高。上課時比較注意創(chuàng)設合適的問題情境,效果會不錯,學生從生活實際出發(fā),回答所提的問題,不知不覺學習了新的知識,他們不會感覺到學習疲勞,反而能積極主動地學習。
四、教學目標分析:
知識與技能:正確理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)的關系。熟練掌握一元二次不等式的解法。
過程與方法:通過看圖象找解集,培養(yǎng)學生從從形到數(shù)的轉化能力,從具體到抽象、從特殊到一般的歸納概括能力;通過對問題的思考、探究、交流,培養(yǎng)學生良好的數(shù)學交流能力,增強其數(shù)形結合的思維意識。在教學中滲透由具體到抽象,由特殊到一般,類比猜想、等價轉化的數(shù)學思想方法。
情感態(tài)度與價值觀:通過具體情境,使學生體驗數(shù)學與實踐的緊密聯(lián)系,激發(fā)學生學習研究一元二次不等式的積極性和對數(shù)學的情感,使學生充分體驗獲取知識的成功感受;在探究、討論、交流過程中培養(yǎng)學生的合作意識和團隊精神,使其養(yǎng)成嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和良好的思維習慣。
一元二次不等式課件 篇11
《一元二次不等式及其解法(第1課時)》教學設計
Eric 一 內容分析
本節(jié)課內容的地位體現(xiàn)在它的基礎性,作用體現(xiàn)在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化,對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用,也與后面的函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、線形規(guī)劃、直線與圓錐曲線以及導數(shù)等內容密切相關。許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法。因此,一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學教學中具有很強的基礎性,體現(xiàn)出很大的工具作用。
二 學情分析
學生已經掌握了高中所學的基本初等函數(shù)的圖象及其性質, 能利用函數(shù)的圖象及其性質解決一些問題。學生知道不等關系, 掌握了不等式的性質, 通過這部分內容的學習, 學生將學會利用二次函數(shù)的圖象, 通過數(shù)形結合的思想, 掌握一元二次不等式的解法。
三 教學目標
1.知識與技能目標:(1)熟練應用二次函數(shù)圖象解一元二次不等式的方法(2)了解一元二次不等式與相應函數(shù), 方程的聯(lián)系 2.過程與方法:(1)通過學生已學過的一元一次不等式為例引入一元二次不等式的有關概及解法(2)讓學生觀察二次函數(shù),在此基礎上, 找到一元二次不等式的解法并掌握此解法(3)在學生尋找一元二次不等式的過中程中培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思想 3.情感與價值目標:(1)通過新舊知識的聯(lián)系獲取新知,使學生體會溫故而知新的道理
(2)通過對解不等式過程中等與不等對立統(tǒng)一關系的認識,向學生逐步滲透辨證唯物主義思想。
(3)在教師的啟發(fā)引導下,學生自主探究,交流討論,培養(yǎng)學生的合作意識和創(chuàng)新精神。
四 教學重點、難點 1.重點
一元二次不等式的解法 2.難點
理解元二次方程與一元二次不等式解集的關系
五 教學方法
啟發(fā)式教學法,討論法,講授法
六 教學過程
1.創(chuàng)設情景,提出問題(約10分鐘)
師:在初中,我們解過一元一次不等式,如解不等式x – 1 > 0,現(xiàn)在請同學們先畫出函數(shù)y = x – 1 的圖象,并通過觀察圖象回答以下問題: 1)x 為何值時,y = 0;2)x 為何值時,y > 0;3)x 為何值時,y 0的解集能從函數(shù)y = x – 1上看出來嗎?
學生畫圖,思考。先把問題交給學生自主探究,過一段時間,再小組交流,此間教師巡視并指導。提問學生代表。
通過對上述問題的探究,學生得出以下結論:
因為上述方程x – 1 = 0以及不等式x – 1 > 0的左邊恰好是上述函數(shù)y = x3x – 2 > 0;2)4x23x – 2 = 0的解是x1 =-1/2, x2 = 2.所以2x24x + 1 = 0 的解是x1 = x2 = 1/2, 所以不等式4x22x + 3
練習:課本80頁練習第1題(1)-(3)【靈活掌握】.師:今天我們這節(jié)課的內容有兩個: 1)會一元二次不等式的解法 2)理解三個“二次”的關系
作業(yè):課本第80頁 習題 A
4.板書設計
§ 一元二次不等式及其解法
解不等式x2 – x – 6 > 0, 請先畫出二次函數(shù) y = x2 – x – 6的圖像,并回答以下問題: 1)x 為何值時,y = 0;y > 0;y 0的解集呢?
七 教學反思
組1、2題 例,解不等式:
1)2x24x + 1 > 0;3)-x2 + 2x – 3
解:1)因為Δ =(-3)2 – 4×2×(-2)= 25 > 0, 方程的2x23x – 2 > 0的解集是{x| x1 2}.2)因為Δ = 0,方程4x24x + 1 > 0的解集是{x|x ≠ 1/2}.
一元二次不等式課件 篇12
各位評委、各位老師:
大家好!
我叫,來自。今天我說課的課題是《一元二次不等式的解法》(第一課時)。下面我將圍繞本節(jié)課“教什么?”、“怎樣教?”以及“為什么這樣教?”三個問題,從教材內容分析、教法學法分析、教學過程分析和課堂意外預案等幾個方面逐一加以分析和說明。
一、教材內容分析:
1、本節(jié)課內容在整個教材中的地位和作用。
概括地講,本節(jié)課內容的地位體現(xiàn)在它的基礎性,作用體現(xiàn)在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化,對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用,也與后面的函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、線形規(guī)劃、直線與圓錐曲線以及導數(shù)等內容密切相關。許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法。因此,一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學教學中具有很強的基礎性,體現(xiàn)出很大的工具作用。
2、教學目標定位。
根據教學大綱要求、高考考試大綱說明、新課程標準精神、高一學生已有的知識儲備狀況和學生心理認知特征,我確定了四個層面的教學目標。第一層面是面向全體學生的知識目標:熟練掌握一元二次不等式的兩種解法,正確理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系。第二層面是能力目標,培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合與等價轉化等數(shù)學思想方法解決問題的能力,提高運算和作圖能力。第三層面是德育目標,通過對解不等式過程中等與不等對立統(tǒng)一關系的認識,向學生逐步滲透辨證唯物主義思想。第四層面是情感目標,在教師的啟發(fā)引導下,學生自主探究,交流討論,培養(yǎng)學生的合作意識和創(chuàng)新精神。
3、教學重點、難點確定。
本節(jié)課是在復習了一次不等式的解法之后,利用二次函數(shù)的圖象研究一元二次不等式的解法。只要學生能夠理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系,并利用其關系解不等式即可。因此,我確定本節(jié)課的教學重點為一元二次不等式的解法,關鍵是一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系。
二、教法學法分析:
數(shù)學是發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生良好意志品質和美好情感的重要學科,在教學中,我們不僅要使學生獲得知識、提高解題能力,還要讓學生在教師的啟發(fā)引導下學會學習、樂于學習,感受數(shù)學學科的人文思想,使學生在學習中培養(yǎng)堅強的意志品質、形成良好的道德情感。為了更好地體現(xiàn)課堂教學中“教師為主導,學生為主體”的教學關系和“以人為本,以學定教”的教學理念,在本節(jié)課的教學過程中,我將緊緊圍繞教師組織——啟發(fā)引導,學生探究——交流發(fā)現(xiàn),組織開展教學活動。我設計了①創(chuàng)設情景——引入新課,②交流探究——發(fā)現(xiàn)規(guī)律,③啟發(fā)引導——形成結論,④練習小結——深化鞏固,⑤思維拓展——提高能力,五個環(huán)環(huán)相扣、層層深入的教學環(huán)節(jié),在教學中注意關注整個過程和全體學生,充分調動學生積極參與教學過程的每個環(huán)節(jié)。
$,則 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=0$,這時等號成立。
3. 基本不等式可以擴展到實數(shù)范圍內。
4. 均值不等式不等式對于大于 id="article-content1">
不等式的課件
發(fā)布時間:2023-08-05 不等式課件 不等式的課件收藏。
經驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在幼兒教育工作中,我們都有會準備一寫需要用到資料。資料包含著人類在社會實踐,科學實驗和研究過程中所匯集的經驗。有了資料的協(xié)助我們的工作會變得更加順利!所以,關于幼師資料你究竟了解多少呢?小編現(xiàn)在推薦你閱讀一下不等式的課件收藏,相信能對大家有所幫助。
不等式的課件 篇1
基本不等式是初中數(shù)學比較重要的一個概念,對于求解不等式問題有非常大的作用。在教學中,老師可以通過多學示例,呈現(xiàn)形式多樣,讓學生深刻理解基本不等式的本質和應用,使學生在解決實際問題中靈活掌握相關知識。本文將結合基本不等式的定義、性質和應用,探討其相關主題。
一、基本不等式的定義和性質
基本不等式是在解決實際問題時常用到的一種數(shù)學方法,它可以有效地幫助我們解決很多實際問題。在數(shù)學中,一般把基本不等式定義為,對于任何正整數(shù)a和b,有下列不等關系:
(a+b)^2>=4ab
這個不等式在初中數(shù)學中非常重要,我們還可以把它解釋成下面的形式:對于任何兩個正數(shù)a和b,有下列不等式:
a/b+b/a>=2
這個式子實際上就是基本不等式的一個特例,也說明了基本不等式中的a和b可以指任何兩個正數(shù)。
基本不等式的一些性質:
1、兩邊同時乘以正數(shù)或是開根號(即不改變不等關系的實質)是允許的。
2、當a=b時等號成立。
3、當a不等于b時,不等號成立。
這些性質是我們用基本不等式時需要注意的幾個關鍵點。如果我們了解了這些基本的性質,就可以更加靈活地運用基本不等式解決實際問題。
二、基本不等式的應用
基本不等式的應用非常廣泛,例如可以用它來解決以下問題:
1、證明
√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2
這個問題就可以使用基本不等式來證明,首先得到(a+b)^2>=2(a^2+b^2),將式子化簡可得√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2,這就是想要證明的結論。
2、解決一些最值問題。例如:如何使a+b的值最???這個問題可以用基本不等式來解決,我們設a+b=k,那么a+b的平方就是k^2,代入基本不等式中可得出:
k^2>=4ab,即(a+b)^2>=4ab
這個不等式右邊是4ab,左邊則是(a+b)^2,因此a+b的值取得最小值時,應當使(a+b)^2=4ab,所以a=b,因此a+b的最小值就是2a或是2b。
3、證明一些平方和不等式的結論。例如:
(a/b)^2+(b/a)^2>=2
這個問題可以通過基本不等式進行證明,首先我們設x=a/b,y=b/a,很顯然有x+y>=2,然后通過簡單的運算可得:x^2+y^2>=2,也即(a/b)^2+(b/a)^2>=2。
綜上所述,基本不等式作為初中數(shù)學比較重要的一部分,其定義、性質和應用都與實際問題密切相關。在解決實際問題時,我們可以通過多學示例,靈活運用基本不等式的性質和應用,進而更好地理解其本質和應用,從而使初中數(shù)學知識更加牢固。
不等式的課件 篇2
(1)運用問題的形式幫助學生整理全章的內容,建立知識體系。
(2)在獨立思考的基礎上,鼓勵學生開展小組和全班的交流,使學生通過交流和反思加強對所學知識的理解和掌握,并逐步建立知識體系。
通過問題情境的設立,使學生再現(xiàn)已學知識,鍛煉抽象、概括的能力。解決問題
通過具體問題來體會知識間的聯(lián)系和學習本章所采用的主要思想方法。
通過獨立思考獲取學習的成功體驗,通過小組交流培養(yǎng)合作交流意識,通過大膽發(fā)表自己的觀點,增強自信心。
重點:對一元一次不等式基本性質的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關的問題,建立起相關的知識體系。
不等式有哪些基本性質?它與等式的性質有什么相同和不同之處?
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么異同?引導學生回憶解一元一次方程的步驟.比較兩者之間的不同學生舉例回答.
舉例說明在數(shù)軸上如何表示一元一不等式(組)的解集分組競賽.看哪一組出的題型好,全班一起解答.
舉例說明不等式、函數(shù)、方程的聯(lián)系.引導學生回憶函數(shù)的有關內容.舉例說明三者之間的關系.小組討論,合作回答.函數(shù)性質、圖象
小組交流、討論不等式和函數(shù)、函數(shù)和方程等之間的關系,分別舉例說明.
布置作業(yè)開動腦筋,勇于表達自己的'想法.
(1)在運用所學知識解決具體問題的同時,加深對全章知識體系理解。
(2)發(fā)展學生抽象能力、推理能力和有條理表達自己想法的能力.
教學思考:
體會數(shù)學的應用價值,并學會在解決問題過程中與他人合作.解決問題。在獨立思考的基礎上,積極參與問題的討論,從交流中學習,并敢于發(fā)表自己的觀點和主張,同時尊重與理解別人的觀點。
情感態(tài)度與價值觀:
進一步嘗試學習數(shù)學的成功體驗,認識到不等式是解決實際問題的重要工具,逐漸形成對數(shù)學活動積極參與的意識。
重點:
對一元一次不等式基本性質的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一次不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關的問題,建立起相關的知識體系。
↓ ↓
安排一組練習讓學生充分充分討論解決.
(1)當X取何值時,Y>0(2)當X取何值時,Y=0(3)當X取何值時,Y
3.某工人制造機器零件,如果每天比預定多做一件,那么8天所做零件超過100件;如果每天比預定少做一件,那么8天所做零件不到90件,這個工人預定每天做幾個零件?
不等式的課件 篇3
一元二次不等式是高中數(shù)學中的一個重要概念,是指一個帶有二次項的不等式。在數(shù)學學習中,我們經常需要利用二次不等式來解決問題,掌握這個概念對于深入了解高中數(shù)學知識是至關重要的。因此,學習一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的一大難點,需要認真對待。
一元二次不等式的概念和性質
一元二次不等式可以寫成如下形式:
ax2 + bx + c > 0
或
ax2 + bx + c
其中a、b、c都是實數(shù),a ≠ 0。
我們可以通過一些方法求出不等式的根,比如將其轉化為標準形式。將不等式變形,我們可以得到如下形式:
ax2 + bx
或
ax2 + bx > – c
然后,我們再用求一元二次方程根的方法求出不等式的解,就能夠得到它的解集。
對于不等式ax2 + bx + c > 0,其圖像為二次函數(shù)的上凸形,即開口向上的拋物線,而對于不等式ax2 + bx + c
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法有很多,下面我們介紹其中的兩種:
方法一:化為標準形式,再利用求一元二次方程根的方法求解。
方法二:利用符號法將不等式中的式子化簡,得到一系列不等式,然后將這些不等式求解即可。
實際上,解一元二次不等式還有很多其他的方法,比如絕對值法、圖形法等等。在解題時,我們要根據具體的情況選擇最合適的方法來求解。
一元二次不等式的應用
一元二次不等式廣泛應用于數(shù)學學習以及生活中的各個領域,比如物理學、經濟學、社會學等。下面我們以生活中的一個例子來說明一元二次不等式的應用。
假設你要購買一臺電視機,商家提供了兩種方案供你選擇。方案一:首付1500元,每月還款100元;方案二:首付3500元,每月還款80元。那么,你需要比較兩個方案的總花費,來決定哪個方案更加劃算。
我們假設電視機的總價格為x元。那么,方案一的總花費為:
C1 = 1500 + 100×n
而方案二的總花費為:
C2 = 3500 + 80×n
這里n為分期的期數(shù),即你需要還款的總期數(shù)。為了比較兩種方案的劃算程度,我們可以列出一個一元二次不等式:
1500 + 100×n
經過化簡,我們可以得到:
20n > 2000
n > 100
因此,當還款期數(shù)大于100期時,方案一比方案二更加劃算。這個例子很好地展示了一元二次不等式的應用,它能夠幫助我們在日常生活中做出明智的選擇,也能夠更加深入地理解數(shù)學知識。
總結
一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的重要概念,它在數(shù)學中和生活中都有廣泛的應用。學習一元二次不等式需要我們認真對待,掌握其概念、性質和解法,同時也需要我們理解其實際應用,這樣才能夠更好地掌握高中數(shù)學的知識。
不等式的課件 篇4
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望.根據本節(jié)課的教學內容,應用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應關系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應點位置間的關系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結構美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產生用數(shù)學研究不等關系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關系的相關素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關系,又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應的兩實數(shù)具有怎樣的關系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關內容.
實例1:某天的天氣預報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.YjS21.cOm
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結論.
討論結果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經常使用的方法,應讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據實數(shù)的運算性質與大小順序的關系,歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關系,只需確定它們的差與0的大小關系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關鍵首先是把文字語言轉換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結,從實數(shù)的基本性質的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設計關注了教學方法的優(yōu)化.經驗告訴我們:課堂上應根據具體情況,選擇、設計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中,沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣,可以說與其他所有內容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產生負面影響.
3.本節(jié)設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質,是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大?。?1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式的課件 篇5
基本不等式是初中數(shù)學中重要的一章內容,也是高中數(shù)學和競賽數(shù)學的基礎?;静坏仁降膶W習不僅有助于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力,同時也能幫助他們提高邏輯思維能力。本文旨在探討“基本不等式”這一主題。
一、基本不等式的定義與性質
基本不等式是說:對于正實數(shù)x1,x2,…,xn,有
(x1+x2+…+xn)/n≥√(x1x2…xn),當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立。
基本不等式的性質有以下幾條:
(1)當n為偶數(shù)時,等號成立;
(2)當n為奇數(shù)時,當且僅當所有數(shù)相等時等號成立;
(3)兩個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b)/2≥√(ab),其中a,b均為正實數(shù)且a≠b;
(4)當n≥3時,三個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b+c)/3≥√(abc),其中a,b,c均為正實數(shù)且a≠b≠c。
二、基本不等式的應用
基本不等式作為一種重要的數(shù)學工具,可以應用于眾多問題之中。以下是基本不等式的一些常見應用。
1. 求和式的最小值
例題1:已知-x1+x2+x3+x4+x5=-18,其中x1,x2,x3,x4,x5均為正數(shù),并且x1+x2+x3+x4+x5≥5,則x1x2x3x4x5的最小值為多少?
解法:根據已知條件,設x1+x2+x3+x4+x5=5+m(其中m≥0),則有x1+x2+x3+x4+x5+m=5+2m。代入到基本不等式中可得:
(x1+x2+x3+x4+x5+m)/5≥√(x1x2x3x4x5)m/5≥√(x1x2x3x4x5)/5
移項得到x1x2x3x4x5≥1,則x1x2x3x4x5的最小值為1。
2. 比較函數(shù)大小
例題2:比較函數(shù)f(x)=√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)(a,b,c>0)在[0,c]上的最小和最大值。
解法:根據已知條件和基本不等式,將f(x)分解成兩個正數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的形式,即
f(x)=[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]/2+1/2[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]
≥√[(√(a2+x2)×√(b2+(c-x)2)]+1/2(2c)
=√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c
當x=c/3時等號成立,即f(x)的最小值為√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c,最大值為√(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+c。
3. 求極限
例題3:已知數(shù)列{a_n}(n≥1)的通項公式為a_n=(√n+1)/(n+1),則求∑(n從1到∞)a_n的極限。
解法:根據基本不等式,有
a_1+a_2+…+a_n≥n(√(a_1a_2…a_n))^1/n
代入已知條件,可得:
a_1+a_2+…+a_n≥n[(√(1+1)×√(2+1)×…×√(n+1))/((1+1)×(2+1)×…×(n+1))]^(1/n)
= n[√(n+1)/2×1/3×…×1/(n+1)]^(1/n) =n[(n+1)/[2(n+1)]]^(1/n)
極限為1/2。
4. 求證不等式
例題4:已知a,b,c為正實數(shù),且a+b+c=1,證明∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)。
解法:將不等式化簡,得:
∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3[(a+b+c)2-(ab+bc+ca)]/(ab+bc+ca)
由于a+b+c=1,有
(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2,
(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥(a+b+c)2/(a(1-a)+b(1-b)+c(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
其中第一個不等式成立是因為當a=b=c=1/3時,等號成立;第二個不等式用到了基本不等式的形式。
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中的重要概念,掌握了基本不等式的定義、性質和應用方法,將有助于提高人們的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力。在日常生活和學習中,要重視基本不等式的學習和應用,逐步提高自己的數(shù)學水平。
不等式的課件 篇6
學生初步接觸了一點代數(shù)知識(如用字母表示定律,用符號表示數(shù)),是在學生學習了用字母表示數(shù)以后基礎上進行學習。應用方程是解決問題的基礎,有關的幾個概念,教材只作描述不下定義。在教學設計中仍然把理念作為教學的重點,理解方程的意義,判斷“等式”和“方程”知道方程是一個“含有未知數(shù)的等式”,才有可能明確所謂解方程。
學生不夠活潑,學習積極性不是很高,學生數(shù)學基礎不好。方程對學生來說還是比較陌生的,在他們頭腦中還沒有過方程這樣的表象,所以授新課就要從學生原有的`基礎開始,因為在前面學習用字母表示數(shù)的這部分內容時,有了基礎,我想在學習簡易方程應該沒什么大的問題。
1、使學生初步理解和辨析“等式”“不等式”的意義。
2、會按要求用方程表示出數(shù)量關系,
3、培養(yǎng)學生的觀察、比較、分析能力。
教學重點: 用字母表示常見的數(shù)量關系,會用方程的意義去判斷一個式子是否是方程。
教師介紹天平各部分名稱。讓學生操作當天平兩端托盤的物體的質量相等時,天平就會平衡,指針指向中。根據這這個原理來稱物體的質量。(讓學生操作,激發(fā)學生的興趣,借助實物演示的優(yōu)勢。初步感受平衡與不平衡的表象)
1、實物演示,引出方程:
(1)在天平稱出100克的左邊空杯,讓學生觀察是否平衡,感受1只空杯=100克。
(2)往空杯里倒入果汁,另一邊加100克法碼,問學生發(fā)現(xiàn)了什么? (讓學生感受天平慢慢傾斜,水是未知數(shù))引出100+X>200,往右加100克法碼, 問:哪邊重些?(學生初步感受平衡和不平衡的表象) 問:怎樣用式子表示?100+X<300
(3)教學100+X=250 問:如果是天平平衡怎么辦?(讓學生討論交流平衡的方案)把100克法碼換成50克的砝碼,這時會怎樣?(引導學生觀察這時天平出現(xiàn)平衡), 問:現(xiàn)在兩邊的質量怎樣?現(xiàn)在水有多重知道嗎?如果用字母X表示怎樣用式子表示?得出:100+X=250
示題:100+X<250100+X=2504X+50>10040+40=80 X÷2=45X-12=27
請學生觀察合作交流分類:
(一)引出(1)兩邊不相等,叫做不等式。(2)兩邊相等叫做等式。
(2)含有未知數(shù)的等式100+X=250 X÷2=4 揭示:(2)這樣的含有未知數(shù)等式叫做方程(通過分類,培養(yǎng)學生對方程意義的了解) 問:方程的具備條件是什么?(感知必須是等式,而一定含有未知數(shù))你能寫出一些方程嗎?(同桌交流檢查)
(三)練習判斷那些是方程?那些不是方程?
6+2X=14103+X250÷2=1256+X>251÷A=3X+Y=180 (讓學生加深對方程的意義的認識,培養(yǎng)學生的判斷能力。)
教師:我們能夠判斷什么是方程了,方程和等式有很密切的關系,你能畫圖來表示他們的關系嗎?(小組合作討論交流)
方程 等式 (讓學生通過觀察、思考、分析、歸類,自主發(fā)現(xiàn)獲得對方程和等式的關系理解,同時初步滲透教學中的集合思想。)
不等式的課件 篇7
基本不等式作為高中數(shù)學必修內容之一,在學生學習中扮演著極為重要的角色。本篇文章將圍繞基本不等式,探討它的概念、性質、證明方法及應用,并展示基本不等式的魅力和實用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指對于任意正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整數(shù) $n$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
這個不等式也被稱為均值不等式或AM-GM不等式。其中,$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示這些數(shù)的算術平均值,而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示這些數(shù)的幾何平均值。均值不等式的意義在于,算術平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的性質
基本不等式有以下幾個性質:
1. 當且僅當 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 時等號成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一個數(shù)為 $0$,則 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=0$,這時等號成立。
3. 基本不等式可以擴展到實數(shù)范圍內。
4. 均值不等式不等式對于大于 $0$ 的實數(shù)都成立。
三、基本不等式的證明方法
基本不等式有多種證明方法,下面列舉其中兩種:
方法一:數(shù)學歸納法
假設基本不等式對于 $n=k$ 時成立,即對于 $k$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_k$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k}+\cdots+\dfrac{a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
現(xiàn)證明它對于 $n=k+1$ 時也成立。將 $a_{k+1}$ 插入到原來的不等式中,得到:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
由于:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
因此,我們只需證明以下不等式:
$\dfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\cdot a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
經過變形化簡,可以得到:
$\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k} \geq \sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
顯然,這是成立的。
因此,按照歸納法的證明方式,基本不等式對于所有的正整數(shù) $n$ 都成立。
方法二:對數(shù)函數(shù)的應用
對于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,我們可以定義函數(shù):
$f(x)=\ln{x}$
顯然,函數(shù) $f(x)$ 是連續(xù)的、單調遞增的。根據式子:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
可以得到:
$\ln\left(\dfrac{a_1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{a_2}{n}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{a_n}{n}\right)\geq\dfrac{1}{n} (\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n)$
即:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)\leq\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}$
對于左邊的式子,有:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)$
對于右邊的式子,有:
$\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
因此,我們可以得到:
$\ln(a_1a_2\cdots a_n)\geq n\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
即:
$a_1a_2\cdots a_n\geq\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n$
這正是均值不等式的形式。因此,基本不等式得證。
四、基本不等式的應用
基本不等式在數(shù)學和物理學中有廣泛的應用。下面介紹幾個常見的應用場景:
1. 最小值求解
如果有 $n$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$,它們的和為 $k$,求它們的積的最大值,即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)$
根據基本不等式,有:
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
因此,可以得到:
$\dfrac{k}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
兩邊同時取冪,可以得到:
$\dfrac{k^n}{n^n}\geq a_1a_2\cdots a_n$
即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)=\dfrac{k^n}{n^n}$
2. 凸函數(shù)的優(yōu)化問題
如果 $f(x)$ 是一個凸函數(shù),$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正實數(shù),$b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是任意實數(shù)且 $\sum_{i=1}^n b_i=1$,則有:
$f(b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n)\leq b_1f(a_1)+b_2f(a_2)+\cdots+b_nf(a_n)$
這是凸函數(shù)的優(yōu)化問題中常用的基本不等式形式。它可以通過Jensen不等式或基本不等式證明。
3. 三角形求證
如果我們可以用 $a,b,c$ 表示一個三角形的三邊長,則有:
$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{4\sqrt{3}}$
這個不等式在三角形求證中也被廣泛應用。
五、結語
基本不等式是高中數(shù)學必修內容之一,但其實它的應用范圍遠不止于此。在實際問題中,基本不等式常常能給我們提供有效的解決方案。通過本文的介紹,希望讀者能夠更加深入地理解基本不等式的概念、性質、證明方法及應用,并能在實際問題中靈活運用。
不等式的課件 篇8
關于基本不等式的主題范文:
基本不等式是數(shù)學中非常重要的一道課題,所以我們需要從以下幾個方面來對基本不等式進行介紹。
一、基本不等式是什么
基本不等式是指數(shù)學中的一個重要定理,它表述的是任意正整數(shù)n及n個正數(shù)a1,a2,…,an的積與它們的和之間的關系。也就是說,對于任意正整數(shù)n和n個正數(shù)a1,a2,…,an,有以下不等式成立:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1×a2×…×an)1/n
其中,等式成立當且僅當a1 = a2 = … = an。
二、基本不等式的證明
下面我們來看一下基本不等式的證明過程。
首先,如果我們令Ai = nai和G = (a1 × a2 × … × an)1/n,則我們可以將原不等式轉化為:
(a1+a2+…+an)/n ≥ G
接下來,我們來看一下如果證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,那么我們就可以證明基本不等式,因為不等式具有對稱性,即如果G ≤ (a1+a2+…+an)/n,則(a1+a2+…+an)/n ≥ G也成立。
接下來,我們證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,即:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
將不等式右邊兩邊平方,得到:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
這時,我們來觀察右邊的式子,將式子中的每一項都乘以(n-1),得到:
(a1 × (n-1) + a2 × (n-1) + … + an × (n-1)) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
繼續(xù)進行簡化,得到:
[(a1 × (n-1)) + (a2 × (n-1)) + … + (an × (n-1))] / n ≥ (n-1) × a1 × a2 × … × an / n
左邊乘以1/n,右邊除以(n-1),得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就完成了基本不等式的證明。
三、基本不等式在實際中的應用
基本不等式在實際中的應用非常廣泛,下面我們來看一下其中的幾個例子。
1. 求平均數(shù)
如果我們已知n個正數(shù)的積,需要求它們的平均數(shù),那么根據基本不等式,我們可以得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
等式兩邊都乘以n-1,得到:
a1 + a2 + … + an ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就可以求得平均數(shù):
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n / n
2. 求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值
假設我們需要從數(shù)列{a1, a2, …, an}中選取n個數(shù),求它們的積的最大值。根據基本不等式,我們有:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
因為我們需要求積的最大值,所以當?shù)仁阶筮叺暮颓『玫扔趎個數(shù)的積時,這個積才能取到最大值。因此,我們可以得到:
a1 = a2 = … = an
這樣,我們就得到了求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值的方法。
三、結論
通過對基本不等式的介紹,我們可以發(fā)現(xiàn)它不僅僅是一道看似簡單的數(shù)學題目,而是一個非常重要的定理,有著廣泛的應用價值。希望大家能夠在今后的學習中更加重視基本不等式,并能夠深刻理解它的實際應用。
不等式的課件 篇9
基本不等式是高中數(shù)學中重要的一部分,也是初學者比較難掌握的一個概念。通過學習基本不等式,可以幫助學生理解不等式的基本概念、性質和運算。同時,對于高中數(shù)學,基本不等式還有很多相關的題型需要掌握,比如極值問題、夾逼定理等。本文將從基本不等式的定義開始,探討其相關概念、性質和應用。
一、基本不等式的定義
基本不等式是指對于任意正實數(shù)a、b,有以下不等式成立:
(a + b)2 ≥ 4ab
這個不等式也可以寫成:
a2 + b2 ≥ 2ab
這個不等式的含義是:對于任意兩個正實數(shù)a、b,它們的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的證明
對于任意實數(shù)x,y,可以用(x-y)2≥0來證明基本不等式:
(x-y)2≥0
x2-2xy+y2≥0
x2+y2≥2xy
將x換成a、y換成b,即可得到基本不等式。
三、基本不等式的相關概念
1. 等式條件:
當且僅當a=b時,等式成立。
2. 平均數(shù)與幾何平均數(shù):
平均數(shù)指的是兩個數(shù)的和的一半,即(a+b)/2;幾何平均數(shù)指的是兩個數(shù)的積的二分之一,即√(ab)。由于基本不等式的成立,可以得出平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)的結論。
3. 關于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關系:
從基本不等式得到如下兩個等式:
(a+b)2=4ab+(a-b)2;ab≥(a+b)/2
以上兩個式子給出了兩個關于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關系。
四、基本不等式的性質
1. 交換律和結合律:基本不等式滿足交換律和結合律。
2. 反比例函數(shù):若f(x)=1/x,x>0,則f(a)+f(b)≤2f((a+b)/2)對于a,b>0成立。
3. 帶約束的基本不等式:若a,b>0,且a+b=k,則(a+b)/2≥√(ab),即k/2≥√(ab)。
五、基本不等式的應用
1. 求證夾逼定理:如果a1≤b1≤c1,且a2≤b2≤c2,則(a1a2+b1b2+c1c2)/3≥(a1b2+b1c2+c1a2)/3≥√(a1b1c1a2b2c2)。
2. 判斷一個二次函數(shù)的最大值或最小值:由于二次函數(shù)的導數(shù)為一次函數(shù),可以通過求導得到函數(shù)的極值。而基本不等式可以用于判斷二次函數(shù)的極值點是否合理,即是否在定義域內。
3. 算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的關系:通過基本不等式可以證明,當兩個數(shù)的和固定時,它們的平均數(shù)越大,它們的幾何平均數(shù)就越小。
總的來說,基本不等式是高中數(shù)學不可缺少的一部分,不僅在考試中占有重要地位,而且還具有很重要的理論意義。希望本文對初學者掌握基本不等式有所幫助。
不等式的課件 篇10
教學目標:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)的關系.
2.會根據題意列出函數(shù)關系式,畫出函數(shù)圖象,并利用不等關系進行比較.
1.通過一元一次不等式與一次函數(shù)的圖象之間的結合,培養(yǎng)學生的數(shù)形結合意識.
2.訓練大家能利用數(shù)學知識去解決實際問題的能力.
體驗數(shù)、圖形是有效地描述現(xiàn)實世界的重要手段,認識到數(shù)學是解決問題和進行交流的重要工具,了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用.
自己根據題意列函數(shù)關系式,并能把函數(shù)關系式與一元一次不等式聯(lián)系起來作答.
1.張大爺買了一個手機,想辦理一張電話卡,開米廣場移動通訊公司業(yè)務員對張大爺介紹說:移動通訊公司開設了兩種有關神州行的通訊業(yè)務:甲類使用者先繳15元基礎費,然后每通話1分鐘付話費0.2元;乙類不交月基礎費,每通話1分鐘付話費0.3元。你能幫幫張大爺選擇一種電話卡嗎?
2.展示學習目標:
(1)、理解一次函數(shù)圖象與一元一次不等式的關系。
(2)、能夠用圖像法解一元一次不等式。
(3)、理解兩種方法的關系,會選擇適當?shù)姆椒ń庖辉淮尾坏仁健?/p>
積極思考,嘗試回答問題,導出本節(jié)課題。
閱讀學習目標,明確探究方向。
問題1:結合函數(shù)y=2x-5的圖象,觀察圖象回答下列問題:
問題2:如果y=-2x-5,那么當x取何值時,y>0?當x取何值時,y
巡回每個小組之間,鼓勵學生用不同方法進行嘗試,尋找最佳方案。答疑展示中存在的問題。
問題3.兄弟倆賽跑,哥哥先讓弟弟跑9m,然后自己才開始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m,列出函數(shù)關系式,畫出函數(shù)圖象,觀察圖象回答下列問題:
(1)何時哥哥分追上弟弟?
(2)何時弟弟跑在哥哥前面?
(3)何時哥哥跑在弟弟前面?
(4)誰先跑過20m?誰先跑過100m?
你是怎樣求解的?與同伴交流。
問題4:已知y1=-x+3,y2=3x-4,當x取何值時,y1>y2?你是怎樣做的?與同伴交流.
讓學生體會數(shù)形結合的魅力所在。理解函數(shù)和不等式的聯(lián)系。
移動通訊公司開設了兩種長途通訊業(yè)務:全球通使用者先繳50元基礎費,然后每通話1分鐘付話費0.4元;神州行不交月基礎費,每通話1分鐘付話費0.6元。若設一個月內通話x分鐘,兩種通訊方式的費用分別為y1元和y2元,那么
(1)寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關系式;
(2)在同一直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象;
(3)求出或尋求出一個月內通話多少分鐘,兩種通訊方式費用相同;
(4)若某人預計一個月內使用話費200元,應選擇哪種通訊方式較合算?
在共同探究的過程中加強理解,體會數(shù)學在生活中的重大應用,進行能力提升。
積極完成導學案上的檢測內容,相互點評。
學生回顧總結學習收獲,交流學習心得。
教材P51.習題2.6知識技能1;問題解決2,3.
一、學習與探究:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關系;
2.做一做(根據函數(shù)圖象求不等式);
四、課后作業(yè):
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不等式課件
不為明天做好準備的人是沒有未來的,當幼兒園教師的工作遇到難題時,我們經常會用提前準備好的資料進行參考。資料通常是指書籍、報刊、圖表、圖片等。有了資料才能更好的在接下來的工作輕裝上陣!所以,關于幼師資料你究竟了解多少呢?在這里,你不妨讀讀不等式課件,歡迎閱讀,希望對你有幫助。
不等式課件【篇1】
教學目標:
了解一元一次不等式的概念,掌握一元一次不等式的解法。
教學重點:
是掌握解一元一次不等式的步驟
教學難點:
是必須切實注意遇到要在不等式兩邊都乘以(或除以)同一負數(shù)時,必須改變不等號的方向。
教學過程:
一、問題導入
復習:
1、不等式的基本性質有哪些?什么是一元一次方程?并舉出兩個例子。
2、觀察不等式x+3<5與x<2,說明解x<2是x+3<5依據什么變形得到的?
3、解一元一次方程:6x+5=7-2x,目的是為了與下面所學的解一元一次不等式進行類比,找到它們的聯(lián)系與區(qū)別。
二、指導自學,小組合作交流
請同學們根據以下提問進行自學,先個人思考,后小組合作學習。
1、觀察下列不等式,說一說這些不等式有哪些共同特點?
(1)2x+5≥8(2)x+1≤—4(3)x<2(4)6—3x>43(x+1)≤0
觀察上面不等式有哪些共同特點,讓學生通過交流,再總結一元一次不等式的概念。老師板書定義。
2、讓學生舉出2或3個一元一次不等式的例子,小組交流。
3、讓學生通過比較解一元一次方程:6x+5=7-2x的解法試解一元一次不等式:6x+5<7-2x,并將解集在數(shù)軸上表示出來。
4、思考:一元一次不等式與一元一次方程的解法有哪些類似之處?有什么不同?
5、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來。
(1)3-x<2x+9(2)2-4(x-1)>3(x+2)-x
(3)(x-1)/3≥(2-x)/2+1
總結:解一元一次不等式的依據和解一元一次不等式的步驟。
三、互動交流,教師點撥
(一)、學生易出錯的問題和注意的事項:
1、確定一個不等式是不是一元一次不等式,要抓住三個要點:左右兩邊都是整式,只有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1。
2、對于(1),讓學生說明不等式3-x<2x+9的每一步變形的依據是什么,特別注意的是:解不等式的移項和解方程的移項一樣。即移項要變號(培養(yǎng)學生運用類比的數(shù)學思想)。
3、不等式兩邊同時除以(-3)時,不等號的方向改變。
2、重點點撥(2)和(3),先讓學生到黑板上板演。老師再講評。
(2)易出錯的地方是:去括號時漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項沒變號,還有移項沒有變號;(3)易出錯的地方是:去分母時漏乘無分母的項。
3、歸納解一元一次不等式的步驟(與解一元一次方程的步驟類比):去分母,去括號,移項,合并同類項,系數(shù)化為1。(在系數(shù)化為1這一步要特別提醒學生注意當系數(shù)為負數(shù)時,要記住改變不等號的方向。)
四、鞏固練習
1、判斷下列不等式是不是一元一次不等式,為什么?
(1)2/x—3
(2)5x+3x–1
(4)x(2x+1)
(5)X+2≥x
2、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來
(1)3x–8
(2)2(x–1)≥x+3
(3)x/5≥1+(x–3)/2
3、[思考]當x取何值時,代數(shù)式(x–2)/2的值比(3x+1)/3的值大?
小結:
(1)不等式兩邊同時除以負數(shù)時,不等號的方向要改變。
(2)注意去括號時不要漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項要變號,還有移項一定要變號
(3)去分母時不要漏乘無分母的項。
不等式課件【篇2】
一、教學目標
(一)知識與技能
1.了解從實際情境中抽象出二元一次不等式(組)模型的過程
2.掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法
3.了解數(shù)學建模的整個過程
(二)過程與方法
1.通過對實際問題的探索,培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光去觀察生活、并且能提出問題、分析問題、解決問題的能力.
2.增強學生的協(xié)作能力.
(三)情感、態(tài)度與價值觀
1.通過學生自主探索、合作交流,親身體驗數(shù)學模型的發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的品質,增強學習的成功心理,激發(fā)學習數(shù)學的興趣,深刻體會數(shù)學是有用的.
2.通過實例的社會意義,培養(yǎng)學生愛護環(huán)境的責任心.
二、教學重點、難點
重點:從具體生活情境中提煉出簡單的二元線性規(guī)劃問題,并且用數(shù)學方法解決問題.
難點:從具體生活情境中提煉出約束條件和目標函數(shù).
三、教學設想
本節(jié)課采用探究式課堂教學模式,即在教學過程中,在教師的啟發(fā)引導下,以學生獨立自主和合作交流為前提,以二元一次不等式(組)模型的發(fā)現(xiàn)為基本探究內容,以周圍世界和生活實際為對象,為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會,讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動,將自己所學知識應用于對實際問題的深入探討.讓學生在“活動”中學習,在“主動”中發(fā)展,在“合作”中增知,在“探究”中創(chuàng)新.設計思路如下:
創(chuàng)設情境→方案討論→數(shù)據篩選→建立模型→解決模型→反饋實際
四、教學過程:
引入
(1)如圖,小明與小聰玩蹺蹺板,大家都不用力時,蹺蹺板左低右高.小明的身體質量為p(kg),小聰?shù)纳眢w質量為q(kg),書包的質量為2kg,怎樣表示p、q之間的關系?
(2)上圖是公路上對汽車的限速標志,表示汽車在該路段行使的速度不得超過40km/h.若用v(km/h)表示車的速度,那么v與40之間的數(shù)量關系用怎樣的式子表示?
(3)據科學家測定,太陽表面的溫度不低于6000℃.設太陽表面的溫度為t(℃),怎樣表示t與6000之間的關系?
歸納:數(shù)學作用之一,我們可以用數(shù)學語言描述客觀世界的某些現(xiàn)象
當然,數(shù)學作用不僅于此,我們還可以通過數(shù)學解決現(xiàn)實生活中的問題.
(一)情景設置
我校環(huán)境優(yōu)美,毗鄰江水,校園內四季常青,但是遠眺圍墻外,有一座小山,那是一座垃圾山.楊府山垃圾場有他的.歷史作用和意義,現(xiàn)在已經完成了它的歷史使命,而且現(xiàn)在有了負面影響,市委市政府打算對其進行改造.經過專家論證,有如下方案可行:發(fā)電、制磚
(二)處理方案討論
現(xiàn)同時用兩種措施對垃圾山進行改造處理,如果你是項目經理,給你500萬采購發(fā)電設備以及制磚設備,你該如何去實施?
(學生自主發(fā)言)
學生問題一、怎樣安排資金?買幾臺發(fā)電設備,幾臺制磚設備?如何決策?
引導:問題轉化為如何安排資金,能取得最大效益?即兩種方案生產產品的利潤(售價減去成本)
學生問題二、如何知道這些信息?(產品售價、設備的單價等)
引導(先提問學生):上網查詢、市場調查、向已建廠取經、參觀展銷會等等.
(三)數(shù)據的篩選
由于教室條件限制,不能現(xiàn)場查取,所以老師幫你們收集了一些資料,希望對你們有所幫助.請分析以下信息,提取你認為有用的數(shù)據.
信息一、
信息二、
焚燒垃圾重量直接關系到垃圾發(fā)電企業(yè)的經濟效益.在BOT的模式下,企業(yè)的效益這樣來保障:
1.每處理1噸垃圾,政府補貼發(fā)電企業(yè)73.8元,
2.保證以0.52元/千瓦時的價格收購全部垃圾發(fā)電量,
3.一臺發(fā)電設備每處理1噸垃圾平均費用為123元
4.一臺發(fā)電設備日處理垃圾能力為225噸,
5.1噸垃圾可發(fā)電300千瓦時,其中30%為自用電
信息三、
發(fā)電設備:120萬/臺制磚設備:35萬/臺
機房總面積為7畝,每臺設備有各自平均占地,其中發(fā)電設備每臺平均占地1畝,制磚機每臺平占地1畝
(四)建立模型
你能從以上信息中提煉出你所需要的信息,并用數(shù)學語言表示出來嗎?
(學生動手)
引導:我們剛才處理的問題即應用題:
例一工廠欲生產甲乙兩種產品,已知生產一件甲產品利潤為60元,一臺甲設備價格為120萬,占地1畝,年生產能力為82125件;生產一件乙產品利潤為0.12元,一臺乙設備價格為35萬,占地1畝,年生產能力為15000000件.現(xiàn)有資金500萬,廠房7畝,該廠該如何添置甲乙兩種設備,使得年利潤最大?
(五)解決模型
該問題即我們上節(jié)課剛學過的線性規(guī)劃問題,請大家動手解決.
(六)反饋實際
我們可以將我們的成果發(fā)到市長信箱,為城市建設出謀劃策,貢獻自己的一份力量.
五、歸納小結
(一)解決生活問題的步驟:
創(chuàng)設情境→方案討論→數(shù)據篩選→建立模型→解決模型→反饋實際
現(xiàn)實問題:給你資金和地皮,購置設備
方案討論:通過1.上網查詢2.市場調查3.吸收已建廠經驗等方法收集信息.
數(shù)據篩選及建立模型:將收集到的信息用數(shù)學語言表示出來.
解決模型:用已學過的數(shù)學知識進行分析、處理,得出結論.
反饋實際:將結論應用于實際問題當中.
(二)順利解決生活問題體要具備的能力
我們要具備信息收集及處理能力、生活語言轉化成數(shù)學語言的能力以及扎實的數(shù)學解題能力.
不等式課件【篇3】
各位領導
你們好!
今天我要為大家講的課題是 : 《 不等式及其解集 》 。
首先,我對本節(jié)教材進行一些分析:
一、教材分析:
1.教材所處的地位和作用:
本節(jié)內容在全書及章節(jié)的地位是:《 不等式及其解集 》是 新人教版 初中數(shù)學教材第 七 冊第 九 章第 1 節(jié)內容。 學生已初步體會到生活中的量與量之間的關系,有相等與不等的情形,就是有大小之分…… 在此之前,學生已學習了 等式 基礎上,這為過渡到本節(jié)的學習起著鋪墊作用。
2教學目標:
根據上述教材分析,考慮到學生已有的認知結構心理特征,制定如下教學目標:
(1)知識目標:
了解不等式及一元一次不等式概念。
理解不等式的解、解集,能正確表示不等式的解集。
(2)能力目標:
通過教學初步培養(yǎng)學生分析問題,解決實際問題,讀圖分析、收集處理信息、團結協(xié)作、語言表達的能力,以及通過師生 互動 ,初步培養(yǎng)學生運用知識的能力,培養(yǎng)學生加強理論聯(lián)系實際的能力。
(3)情感目標:
通過對 《不等式及其解集》 的教學,引導學生從現(xiàn)實生活的經歷與體驗出發(fā),激發(fā)學生對地理問題的興趣,使學生了解地理知識的功能與價值,形成主動學習的態(tài)度,讓學生初步認識到地理知識的優(yōu)越性,同時滲透 安全教育 ;通過理論聯(lián)系實際的方式,通過知識的應用,培養(yǎng)學生唯物主義的思想觀點。
3.重點,難點以及確定的依據:
本課中 不等式相關概念的理解和不等式的解集的表 是重點, 不等式解集的理解 是本課的難點,但由于學生年齡小,解決實際問題能力弱,對理論聯(lián)系實際的問題的理解難度大。下面,為了講清重難點,使學生能達到本節(jié)課設定的教學目標,我再從教法和學法上談談:
二、教學策略(說教法):
(一)教學手段:
如何突出重點,突破難點,從而實現(xiàn)教學目標。我在教學過程中擬計劃進行如下操作:
1.“讀(看)——議——講”結合法
2 .讀圖討論法
3 .教學過程中堅持啟發(fā)式教學的原則
基于本節(jié)課的特點: 第一節(jié)知識性特點 ,應著重采用 自主探討 的教學方法。
(二)教學方法及其理論依據:
堅持“以學生為主體,以教師為主導”的原則,即“以學生活動為主,教師講述為輔,學生活動在前,教師點撥評價在后”的原則,根據學生的心理發(fā)展規(guī)律,聯(lián)系實 際安排教學內容。采用學生參與程度高的學導式討論教學法。在學生看圖片 、討論基礎上,在教師啟發(fā)引導下,運用問題解決式教學法,師生交談法、問答法、課堂討論法,引導學生根據現(xiàn)實生活的經歷和體驗及收集到的信息(感性材料)來理解課文中的理論知識。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題,提問不同層次的學生,面向全體,使基礎差的學生也能有表現(xiàn)的機會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)其學習熱情。有效地開發(fā)各層次學生的潛在智能,力求使每個學生都能在原有的基礎上得到發(fā)展。同時通過課堂練習和課后作業(yè),啟發(fā)學生從書本知識回到社會實踐,學以致用,落實教學目標。
使學生學習對生活有用的數(shù)學,學習對終身發(fā)展有用的數(shù)學的基本理念。提供給學生與其生活和周圍世界密切相關的數(shù)學知識,學習基礎性的知識和技能,在教學中要積極培養(yǎng)學生學習興趣和動機,明確的學習目的。教師應在課堂上充分調動學生的學習積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力
三、學情分析:(說學法) :
1.學生特點分析:
中學生心理學研究指出,初中階段是智力發(fā)展的關鍵年齡,學生邏輯思維從經驗型逐步向理論型發(fā)展,觀察能力、記憶能力和想象能力也隨著迅速發(fā)展。從年齡特點來看,初中學生好動、好奇、好表現(xiàn),抓住學生特點,積極采用形象生動、形式多樣的教學方法和學生廣泛的、積極主動參與的學習方式,定能激發(fā)學生興趣,有效地培養(yǎng)學生能力,促進學生個性發(fā)展。生理上,青少年好動,注意力易分散,愛發(fā)表見解,希望得到老師的表揚,所以在教學中應抓住學生這一生理特點,一方面要運用直觀生動的形象,引發(fā)學生的興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上;另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性。
2.知識障礙上:
(1)知識掌握上,學生原有的知識 等式 ,許多學生出現(xiàn)知識遺忘,所以應 更學生更過的時間分組預習討論 。
(2)學生學習本節(jié)課的知識障礙。 不等式解集的表示方法
知識,學生不易理解,所以教學中教師應予以簡單明白、深入淺出的分析。
3.動機和興趣上:
明確的學習目的。教師應在課堂上充分調動學生的學習積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力。
最后我來具體談一談這一堂課的教學過程:
四、教學程序及設想:
教學程序:
(一)課堂結構: 出示學習目標,預習展示 , 練習反饋 , 課堂自測, 布置作業(yè) 五 個部分。
(二)教學簡要過程:
1、 出示學習目標,課前預習
出示學習目標,學生觀察學習目標,自主預習。
設計意圖:有了明確的學習目標才能激發(fā)起學生的學習熱情,才能充分調動學生學習的積極性。
學生分小組進行自主探究學習,同學之間進行合作交流,教師巡視指導,觀察學生的探究方法,并傾聽學生之間的探討。
【設計意圖】:本次任務為本節(jié)課的核心任務,其目的是通過學生的自主學習,理解本節(jié)幾個概念,并通過學生的舉例回答,從具體的實例中去掌握這幾個概念。
2 、預習反饋
讓學生自己來講解,有利于提高學生的語言表達能力,學生用語言來概括這幾個概念,培養(yǎng)學生的數(shù)學語言表達能力及抽象概念能力。
3 、老師歸納,練習反饋
歸納補充知識點,并進行練習反饋。針對每個知識點設置不同的練習。如
1 ) 、不等式的定義設置 , (判斷)下列各式是否為不等式;
(1)-2<5 (2)x+3> 2x (3)4x-2y<0 (4)a-2b
(5)x2-2x+1<0 (6) a+b≠c (7)5m+3=8 (8)x≤-4
2 ) 、 用不等式表示:
⑴ a與1的和是正數(shù);
⑵ y的2倍與1的和小于3;
⑶ y的3倍與x的2倍的和是非負數(shù) ;
⑷ x乘以3的積加上2最多為5.
3 ) 、下列說法正確的是( )
A. x=3是2x>1的解
B. x=3是2x>1的唯一解
C. x=3不是2x>1的解
D. x=3是2x>1的解集
及認識不等式解集的表示方法有兩種:最簡形式與在數(shù)軸上表示。分組討論找規(guī)律,記口訣。(定界點,定方向)相關題型:
用數(shù)軸表示不等式的解集:
(1)x>-2; (2)x≤3; (3)y≤0
找三名同學上臺展示。
展示學生的成果,讓學生在學習過程中感受學習的樂趣和成功的喜悅,增強學生的學習興趣。
體會不等式是解決實際問題的有效工具。
4 、課堂自測
檢測學習本節(jié)課的掌握情況。
5 、布置作業(yè)
分層作業(yè)。針對學生的學習情況,讓每一名同學都 能完成 老師布置的任務,增強成就感及學習數(shù)學的興趣。 A類: 教科書P119,120:1,2,3;B 類: 卷:能力提高作業(yè)。
五、 反思:
本節(jié)教學,有以下幾點特別值得回味的地方。
1、從生活中來回到生活中去的教學設計
新課標指出:“數(shù)學的教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有知識經驗基礎上?!毙睦韺W的研究表明,學習內容和學生生活背景、知識背景越接近,學生自覺接納知識懂得的程度就越高。導入的恰當、合理會引起學生極大的學習興趣,對知識的銜接和理順起到畫龍點睛的作用,又對新知識起到設疑、點拔的作用。用學生身邊感興趣的實例 過馬路、蹺蹺板體驗生活中的不等式 ,一方面引起學生的參與欲,另一方面也體現(xiàn)了知識拓展的需要。因為這樣既可引出一元一次不等式的意義,又讓學生產生學習不等式的需求,也使學生對解不等式 的方法有了很自然的聯(lián)想 讓學生充分感受到學習一元一次不等式的必要性。使學生進一步認識到“數(shù)學來源于生活,反過來又為生活服務”,增強學好數(shù)學的信心與決定。
2、重視數(shù)學思想方法的滲透
數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂,知識轉化為能力的橋梁。在整節(jié)課的教學中都非常重視數(shù)學思想方法的滲透。學習不等式時,類比方程、不等式解集的概念,滲透“類比”思想。使學生在已有知識上進行遷移,在主動參與、探索交流中不知不覺學到了新知識。利用數(shù)軸求不等式的解集,滲透“數(shù)形結合”思想。掌握不等式的解集 在數(shù)軸上的表示 ,利用數(shù)軸把解集 講解得非常透徹,使學生充分認識到“數(shù)形結合”思想方法的用處。列不等式解決實際問題,滲透“建模”思想,培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識。最后的小結,不是流俗的學習內容小結,而是思想方法的小結,它起到了提綱挈領,梳理總結的目的。
3、重視數(shù)學的“再創(chuàng)造”
課堂教學改革的宗旨和根本出發(fā)點是:改善和促進學生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。建構主義理論強調學習的主動性、社會性和情景性,認為學習者不是知識信息的被動吸收者,而是主動積極的建構者。留給學生的作業(yè):完成課外探究題,借助數(shù)軸歸納求不等式的解集一般規(guī)律。教學時重視了數(shù)學的“再創(chuàng)造”,由學生本人把需學的東西自己去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造出來。學生的學習不再是一種被動地吸收知識,反復練習,強化儲存知識的過程,而是通過反復研究、探索、思考、概括,親身經歷“再創(chuàng)造”的探究性學習過程,從而自主獲得知識。
總之,教學設計時體現(xiàn)新課程標準的思想和理念,注重知識與能力并重,培養(yǎng)發(fā)展學生自主探索的獨立思考精神。
不等式課件【篇4】
一教材分析
1、教材地位和作用
均值不等式又叫做基本不等式,選自人教B版(必修5)的3章的2節(jié)的內容,是在上節(jié)不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究.同時也是為了以后學習中的幾種重要不等式,以及不等式的證明作鋪墊,起著承上啟下的作用。
本節(jié)內容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點,所以本節(jié)課可以培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識靈活解決實際問題的能力。
“均值不等式”在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應用。求最值是高考的熱點。它在科學研究、經濟管理、工程設計上都有廣泛的作用。
2、教學目標
A.知識目標:學會推導并掌握均值不等式,理解這個均值不等式的幾何意義,并掌握定理中取等號的條件.B.能力目標:通過對均值不等式的推導過程,提高學生探究問題,分析與解決問題的能力。參透類比思想,數(shù)形結合的思想,優(yōu)化了學生的思維品質。
C.情感目標:(1)通過探索均值不等式的證明過程,培養(yǎng)探索、研究精神。(2)通過對均值不等式成立的條件的分析,養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài),并形成勇于提出問題、分析問題的習慣。
3、教學重點、難點:
重點:
通過對新課程標準的解讀,教材內容的解析,我認為結果固然重要,但數(shù)學學習過程更重要,它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力,所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點
難點:
很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻,在應用時候常常出錯誤,所以,均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點
二教法學法分析
1.教法
本節(jié)課主要采用探究歸納,啟發(fā)誘導,講練結合的教學方法。以學生為主體,以均值不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學生探究思索。
2、教學手段
為了使抽象變?yōu)榫唧w,我使用了多媒體。為了突出重點我使用了彩色粉筆。3,學法
從實際生活出發(fā),通過創(chuàng)設問題情境,讓學生經歷由實際問題出發(fā),探求均值不等式,發(fā)現(xiàn)均值不等式的實質,利用均值不等式解決實際問題的過程。使學生從代數(shù)證明和幾何證明兩方面理解并掌握基本不等式。
三教學過程
(一)、創(chuàng)設情景,引入課題
從古至今中國人有很多發(fā)明創(chuàng)造推動了和推動著世界的前進,在這璀璨的星空里,最耀眼的一顆就是被奉為2002年北京國際數(shù)學家大會會徽的《趙爽弦圖》(動畫打出)。
如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的,顏色的明暗使它看上去象一個風車,代表中國人民熱情好客。這就是公元前1000多年前我國數(shù)學家趙爽發(fā)現(xiàn)并記錄在《周脾算經》中的發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的《趙爽弦圖》;它比歐洲畢達哥拉斯學派的發(fā)現(xiàn)早了500多年。
你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎?
設計意圖:勾起學生強烈的民族自豪感和強烈的求知欲,并對學生滲透愛國主義教育,同時告訴學生記住我國光輝而燦爛的歷史。
探究圖形中的不等關系(用提問題的方式)
將圖中的“風車”抽象成如圖,在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形。
設直角三角形的兩條直角邊長為a,b
4個直角
22三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為a?b。
由于4個直角三角形的面積和小于正方形的面積,22我們就得到了一個不等式:a?b?2ab。
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時,22正方形EFGH縮為一個點,這時有a?b?2ab。
22a,b?R,那么a?b?2ab(當且僅當a?b時取“?”號)得到結論:重要不等式:如果
具有這種形式的式子就是我們今天要討論的問題.(二)新課講授。
1給出均值定理(在老師寫均值不等式定理時,要求同學在課本上了解均值定理,并思考怎樣證明。),師生一起證明均值不等式。
a?ba?0,b?0)2要證:?????????①
即證:a?b????????????②
要證②,只要證:a?b??0????③
2要證③,只要證:(-)?0 ??④
點評,強調取等條件;
2.?a?b2的幾何意義 a?b?a?0,b?0)2當a≠b時,OC>CD,即
a?b?當a=b時,OC=CD,即
2我們是否能從圖中看見當D向O點移動時CD是逐漸變長了,當D,O重合時CD最長,并且a=b.a?b
3.在數(shù)學中,我們稱2為正數(shù)a、b的算術平均數(shù),稱ab為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).均值不等式還可敘述為:兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù).設計意圖:探索發(fā)現(xiàn),觀察歸納,形成概念,加深對均值不等式的認識和理解;培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想方法和對比的數(shù)學思想,多方面思考問題的能力.讓學生積極的參與到學習中來,激發(fā)學生的學習興趣。
(三)例題講解(精講第一題)
例,矩形的面積為100 m2,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形周長最短。最短周長是多少?
用波利亞的4環(huán)節(jié)來進行解題
1:審題(把實際問題數(shù)學化)
2:分析(矩形的長與寬的乘積是一個常數(shù),求長與寬的和的2倍的最小值;)3:解題
4:回顧(給出規(guī)律:規(guī)律:兩個正數(shù)的積為常數(shù)時,它們的和有最小值)。
設計意圖:這個例題體現(xiàn)了基本不等式的實用價值。隨著高考綜合科目的確定,聯(lián)系各個學科的試題將會不斷出現(xiàn),數(shù)學作為工具性的學科,學好數(shù)學,也增強了攻讀好其他學科的信心。
為了體現(xiàn)夸美紐斯的鞏固性原則,我設計了下面練習。
練習:已知矩形的周長是36m,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的面積最大?最大面積是多少?
先老師對該練習進行提示,再抽一位同學在黑板上來練習,其他同學在下面練習。做完后大家一起點評該練習,不讓同學通過上面的回顧來終結下面的規(guī)律:
兩個正數(shù)的和為常數(shù)時,它們的積有最大值
四小結(教師引導學生小結本節(jié)課):
知識:均值定理及其成立的條件,及其均值定理的應用
方法:一正,二定,三相等。
思想:類比和數(shù)形結合的思想。
設計意圖:培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力,鞏固所學知識.
五作業(yè):
基礎題:課本 第77頁A組 1.提高題:課本 第77頁A組 3.4研究題:設正數(shù)a、b,試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式
板書設計:
為了更好的板書本節(jié)課的內容,使整個板面重點突出,層次分明,我將黑板分為四版.定理例題練習副版
定理的證明講解講解
不等式課件【篇5】
課題:§3.2.3均值不等式課時:第3課時 授課時間:授課類型:新授課
【教學目標】
1.知識與技能:了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。
2.過程與方法:培養(yǎng)學生的探究能力以及分析問題、解決問題的能力。
3.情態(tài)與價值:激發(fā)學習數(shù)學的熱情,培養(yǎng)善于思考、勤于動手的學習品質。
【教學重點】了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。
【教學難點】了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。
【教學過程】
例
1、已知a、b、c∈R,求證:
不等式的左邊是根式,而右邊是整式,應設法通過適當?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開方式轉化為完全平方式,再利用不等式的性質證得原命題。
a2b2c
2???a?b?c 例
2、若a,b,c?R,則bca?
本題若用“求差法”證明,計算量較大,難以獲得成功,注意到a , b , c∈R,從結論的特點出發(fā),均值不等式,問題是不難獲證的。
+
例
3、已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),求證:a?b?c?ab?bc?ca 證明:∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca
以上三式相加:2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca
∴a?b?c?ab?bc?ca
例
4、已知a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
分析:此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系,從而正確運用,同22222222222222
2證明:∵a,b,c,d都是正數(shù),∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>
得ab?cdac?bd??0,??0.22
(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4由不等式的性質定理4的推論1,得 ?
即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
小結:正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
課堂練習:第73頁習題B 3、4課后作業(yè):第73頁習題B 5、6
板書設計:
教學反思:
不等式課件【篇6】
《均值不等式》說課稿
山東陵縣一中 燕繼龍李國星
尊敬的各位評委、老師們:
大家好!我今天說課的題目是 《均值不等式》,下面我從教材分析,教學目標,教學重點、難點,教學方法,學生學法,教學過程,板書設計,效果分析八個方面說說我對這堂課的設計。
一、教材分析:
均值不等式又稱基本不等式,選自普通高中課程標準實驗教科書(人教B版)必修5第三章第3節(jié)內容。是不等式這一章的核心,在高中數(shù)學中有著比較重要的地位。對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實際問題都起到工具性作用。通過本節(jié)的學習有利于學生對后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值值域進一步研究,起到承前啟后的作用。
二、教學目標:
1、知識與技能:
(1)掌握均值不等式以及其成立的條件;
(2)能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。
2、過程與方法:
(1)探索并了解均值不等式的證明過程、體會均值不等式的證明方法;
(2)培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。
3、情感態(tài)度與價值觀:
(1)通過探索均值不等式的證明過程,培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神;
(2)通過對均值不等式成立條件的分析,養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度;
(3)認識到數(shù)學是從實際中來,通過數(shù)學思維認知世界。
三、教學重點和難點:
重點:通過對新課程標準的解讀,教材內容的解析,我認為結果固然重要,但數(shù)學學習過程更重要,它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力,所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點之一;再者,均值不等式有比較廣泛的應用,需重點掌握,而用好均值不等式,關鍵是對不等式成立條件的準確理解,因此,均值不等式及其成立的條件也是教學重點。
難點:很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻,在應用時候常常出現(xiàn)錯誤,所以,均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點。
四、教學方法:
為了達到目標、突出重點、突破難點、解決疑點,我本著以教師為主導的原則,再結合本節(jié)的實際特點,確定本節(jié)課的教學方法。
突出重點的方法:我將通過引導啟發(fā)、學生展示來突出均值不等式的推導;通過多媒體展示、來突出均值不等式及其成立的條件。
突破難點的方法:我將采用重復法(在課堂的每一環(huán)節(jié),以各種方式進行強調均值不等式和
來突破均值不等式成立的條件這個難點。
此外還將繼續(xù)采用個人和小組積分法,調動學生積極參與的熱情。
五、學生學法:
在學生的學習中,注重知識與能力,過程與方法,情感態(tài)度和價值觀三個方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學生是主體,具體如下:
1、課前預習----學會;、明確重點、解決疑點;
2、分組討論
3、積極參與----敢于展示、大膽質疑、爭相回答;
4、自主探究----學生實踐,鞏固提高;
六、教學過程:
采取“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學模式,運用學案導學開展本節(jié)課的教學,首先進行
:課前預習
(一)成果反饋
1.對課前小組合作完成的現(xiàn)實生活中的問題:
“今有一臺天平,兩臂不等長,要用它稱物體質量,將物體放在左、右托盤各稱一次,稱得的質量分別為a,b,問:能否用a,b的平均值表示物體的真實質量?若不能,這二者是什么關系?”
進行多媒體情景演示,抽小組派代表回答,從而引出均值不等式抽出兩名同學上黑板完成2、32.均值定理:_____________________________________
a?b
2?。
預備定理:a2?b2?2ab(a,b?R),仿照預備定理的證明證明均值定理 3.已知ab>0,求證:?
ab
ab?2,并推導出式中等號成立的條件。
與此同時,其他同學分組合作探究和均值定理有關的以下問題,教師巡視并參與討論,適時點撥。
① 適用范圍a,b?________,x?0,x?
1x??2
對嗎?
② 等號成立的條件,當且僅當__________時,________=_________ ③ 語言表述:兩個___數(shù)的____平均數(shù)_____它們的_______平均數(shù) ④ 把不等式_________________又稱為均值或________不等式 ⑤ 數(shù)列觀點:兩個正數(shù)的______中項不小于它們的_____中項
。⑥ 幾何解釋(見右圖):________________
⑦常見變形a?b?_______
?________,即ab?
___________。例:
4、(1)一個矩形的面積為100 m,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的周長最短?最短周長是多少?(2)已知矩形的周長是36m,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的面積最大?最大面積是多少?
由此題可以得出兩條重要規(guī)律:
兩個正數(shù)的積為常數(shù)時,它們的和有______值; 兩個正數(shù)的和為常數(shù)時,它們的積有______值。
等待兩名同學做完后,適時終止討論,學生各就各位。首先針對黑板上這兩道題發(fā)動學生上來捉錯(用不同色粉筆),然后再由老師完善,以此加深學生對定理及應用條件的認識。其次,老師根據剛才巡視掌握的情況,結合多媒體進行有針對性的講解(重點應強調均值定理的幾何解釋:半徑不小于半弦,以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過程,使定理“形化”),進一步加深學生對定理的認識及應用能力,初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”
第二步:課內探究
(二)精講點撥 1.例:求函數(shù)f(x)?
?2x?x?
3x
(x?0)的最大值,及此時x的值。
先和學生們一起探討該問題的解題思路,先拆分再提出“-”號,為使用均值定理創(chuàng)造條件,后由學生們獨立完成,教師通過巡視或提問發(fā)現(xiàn)問題,通過多媒體演示來解決問題,該例題主要讓學生注意定理的應用條件及一些變形技巧。
2.多媒體展示辨析對錯:
?這幾道辨析題先讓學生們捉錯,再由
多媒體給出答案,創(chuàng)設情境加深學生對用均值定理求函數(shù)最值時注意“一正、二定、三相等”的認識
(三)有效訓練
1.(獨立完成)下列函數(shù)的最小值為2的是()
A、y?x?
1x
B、y?sinx?
1sinx
(0?x?
?)
C、y??
1D、y?tanx?
本題意在鞏固用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”,待學生完成后,隨機抽取幾名學生說一下答案,選D,應該不會有問題。
2.(小組合作探究)一扇形中心角為α,所在圓半徑為R。若扇形周長為一常值C(C>0),當α為何值時,扇形面積最大,并求此最大值。
本題若直接運用均值不等式不會出現(xiàn)定值,需要拼湊。待學生討論過后,先通答案,??2時扇形面積最大值為
c
tanx
(0?x?
?)
。若有必要,抽派小組代表到講臺上講解,及時反饋矯正。
(四)本節(jié)小結
小結本節(jié)課主要內容,知識點,由學生總結,教師完善,不外乎: 1.兩個重要不等式
a?b?2ab(a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)
2a?b2
?a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)
?
2.用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”。
(一)、雙基達標(必做,獨立完成):
1、課本第71頁練習A、B;
2、已知x??1,求y?x?6?
x?
1的最值;
(二)、拓展提高(供選做, 可小組合作完成):
?
23、若a,b?R且a?
b
?1,求a?最大值及此時a,b的值.4、a?0,b?0,且
5、求函數(shù)f(x)?
1a
?
9b
?1,求a?b最小值.x?3x?1x?
1(x??1)的最小值。
通過作業(yè)使學生進一步鞏固本節(jié)課所學內容,注重分層次設計題目,更加關注學生的差異。
七、板書設計:
由于本節(jié)采用多媒體教學,板書比較簡單,且大部分是學生的展示。
八、效果分析:
本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學模式,通過學案導學,多媒體展示,師生互動,生生互動。學生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件;能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。但用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”,說起來容易做起來難,學生還得通過反思和課后訓練進一步體會。
我的說課到此結束,懇請各位評委和老師們批評指正,謝謝!
不等式課件【篇7】
【教學目標】
1.通過具體情境讓學生感受和體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,鼓勵學生用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,使學生感受數(shù)學、走進數(shù)學、改變學生的數(shù)學學習態(tài)度。
2.建立不等觀念,并能用不等式或不等式組表示不等關系。
3.了解不等式或不等式組的實際背景。
4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。
【重點難點】
重點:
1.通過具體的問題情景,讓學生體會不等量關系存在的普遍性及研究的必要性。
2.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關系,并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關系的問題。
3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關系的意義和價值。
難點:
1.用不等式或不等式組準確地表示不等關系。
2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關系的實際問題。
【方法手段】
1.采用探究法,按照閱讀、思考、交流、分析,抽象歸納出數(shù)學模型,從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發(fā)式教學。
2.教師提供問題、素材,并及時點撥,發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用。
3.設計教典型的現(xiàn)實問題,激發(fā)學生的學習興趣和積極性。
【教學過程】
教學環(huán)節(jié)
教師活動
學生活動
設計意圖
導入新課
日常生活中,同學們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關系。你能舉出一些例子嗎?
實例1.某天的天氣預報報道,最高氣溫35℃,最低氣溫29℃。
實例2.若一個數(shù)是非負數(shù),則這個數(shù)大于或等于零。
實例3.兩點之間線段最短。
實例4.三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊。
引導學生想生活中的例子和學過的數(shù)學中的例子。在老師的引導下,學生肯定會迫不及待的能說出很多個例子來。即活躍了課堂氣氛,又激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣。
推進新課
同學們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實生活,又考慮到數(shù)學上常見的數(shù)量關系,非常好。而且大家已經考慮到本節(jié)課的標題《不等關系與不等式》,所舉的實例都是反映不等量的關系。
(下面利用電腦投影展示兩個實例)
實例5:限時40km/h的路標,指示司機在前方路段行使時,應使汽車的速度v不超過40km/h。
實例6:某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%.
同學們認真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。
讓學生們邊看邊思考:生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數(shù)量關系來描述
過程引導
能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經走進了數(shù)學這門學科,但是我們還要能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點、進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,那么我們用什么知識來表示這些不等關系呢?
什么是不等式呢?
用大屏幕展示一組不等式-71+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.
能用不等式及不等式組把這些不等關系表示出來,也就是建立不等式數(shù)學模型的過程通過對不等式數(shù)學模型的'研究,反過來作用于現(xiàn)實生活,這才是學習數(shù)學的最終目的。
思考并回答老師的問題:可以用不等式或不等式組來表示不等關系。
經過老師的啟發(fā)和點撥,學生可以自己總結出:用不等號將兩個解析試連接起來所成的式子叫不等式。
目的是讓學生回憶不等式的一些基本形式,并說明不等號≤,≥的含義,是或的關系?;貞浟瞬坏仁降母拍睿坏仁浇M學生自然而然就清楚了。
此時學生已經迫不及待地想說出自己的觀點了。
合作探究
(一)。下面我們把上述實例中的不等量的關系用不等式或不等式組一一的表示出來,那應該怎么表示呢?
這兩位同學的觀點是否正確?
老師要表揚學生:“很好!這樣思考問題很嚴密。”應該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關系,也可以用“且”的形式來表達。
(二)。問題一:設點A與平面的距離為d,B為平面上的任意一點。
請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量的關系。
老師提示:借助于圖形,這個問題是不是可以解決?
(下面讓學生板演,結合三角形草圖來表達)
問題(二):某種雜志原以每本2。5元的價格銷售,可以售出8萬本,據市場調查,若單價每提高0。1元,銷售量就可能相應減少20xx本。若把提價后雜志的定價設為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢?
是不是還有其他的思路?
為什么可以這樣設?
很好,請繼續(xù)講。
這位學生回答的很好,表述得很準確。請同學們對兩種解法作比較。
問題(三):某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種,按照生產的要求,600mm鋼管的數(shù)量不超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關系的不等式?
假設截得500mm的鋼管x根,截得600mm的鋼管y根。根據題意,應當有什么樣的不等量關系呢?
右邊的三個不等關系是“或”還是“且”的關系呢?
這位學生回答得很好,思維很嚴密,那么該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關系呢?
通過上述三個問題的探究,同學們對如何用不等式或不等式組把實際問題中隱藏的不等量關系表示出來,這一點掌握得很好。請同學們完成書本練習第74頁1,2。
課堂小結:
1.學習數(shù)學可以幫助我們解決實際生活中的問題。
2.數(shù)學和我們的生活聯(lián)系非常密切。
3.本節(jié)課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組,并且能用它來解決現(xiàn)實生活中存在的大量不等量關系的實際問題。還要注意思維要嚴密,規(guī)范,并且要注意數(shù)形結合等思想方法的綜合應用。
布置作業(yè):
第75頁習題3.1 A組4,5。
29℃≤t≤35℃
x≥0
|AC|+|BC|>|AB|
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
|AB|-|AC|
如果用表示速度,則v≤40km/h.
f≥2.5%或p≥2.3%
學生自己糾正了錯誤:這種表達是錯誤的,因為兩個不等量關系要同時滿足,所以應該用不等式組來表示次實際問題中的不等量關系,即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
過點A作AC⊥平面于點C,則d=|AC|≤|AB|
可設雜志的定價為x元,則銷售量就減少萬本。銷售量變?yōu)?8-)萬本,則總收入為(8-)x萬元。即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為(8-)x≥20.
解法二:可設雜志的單價提高了0.1n元,(n)
我只考慮單價的增量。
那么銷售量減少了0.2n萬本,單價為(2.5+0.1n)元,則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的不等式,表示為(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.
截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm。
截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。
截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負數(shù)。
它們是同時滿足條件,應該是且的關系。由實際問題的意義,還應有x,y要同時滿足上述三個不等關系,可以用下面的不等式組來表示:
如果學生沒有想到的話,老師可以在黑板上板演示意圖,啟發(fā)學生考慮三邊的大小關系。
此時啟發(fā)學生“或”字可以嗎?學生沒有了聲音,他們在思考著。到底行不行呢?有的回答“行”,有的回答“不行”。
此時學生們在思考,時間長的話,老師要及時點撥。
讓學生知道,在解決問題時應該貫穿數(shù)形結合的思想,以形助數(shù),下面有學生的聲音,有學生在討論,有的學生還有疑問。老師注意關注學生的思維狀況,并且及時的加以指導。
此時學生已經真正進入本節(jié)課的學習狀態(tài),老師再給出問題(三)使學生一直處于跟隨老師積極思考和解決問題的狀態(tài)。問題是教學研究的核心,以問題展示的形式來培養(yǎng)學生的問題意識與探究意識。
【教學反思】(【設計說明】)
本節(jié)課內容很多,都是不等式和不等式組的有關問題,還有很多是生活中的實例,學生學習起來很感興趣,課堂的氣氛也很好,大多數(shù)學生都能很積極地回答問題,使課堂的學習氣氛很濃,確實也做到了愉快教學。設計是按照老師引導式教學,邊講授邊引導,啟發(fā)學習思考問題及能自己解決問題,鍛煉學習能自主的學習能力。
【交流評析】
一是課堂容量適中,二是實例很好,接近生活,學生感興趣。三是學生回答問題積極踴躍,和老師配合很好。四是多媒體應用的恰到好處,教學設備很完善,老師也能很熟練的應用。
不等式課件【篇8】
3.2均值不等式 教案(3)
(第三課時)
教學目標:
了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用
教學重點:
了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用
教學過程
例
1、已知a、b、c∈R,求證:
不等式的左邊是根式,而右邊是整式,應設法通過適當?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開方式轉化為完全平方式,再利用不等式的性質證得原命題.
a2b2c
2???a?b?c 例
2、若a,b,c?R,則bca?
本題若用“求差法”證明,計算量較大,難以獲得成功,注意到a , b , c∈R,從結論的特點出發(fā),均值不等式,問題是不難獲證的.
+
例
3、已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),求證:a?b?c?ab?bc?ca 證明:∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca
以上三式相加:2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca
∴a?b?c?ab?bc?ca
例
4、已知a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab?cd)(ac?bd)?4abcd 22222222222222
2分析:此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系,從而正確運用,同時證明:∵a,b,c,d都是正數(shù),∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>得
ab?cdac?bd??0,??0.22
由不等式的性質定理4的推論1,得
?(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
小結:正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
課堂練習:第77頁練習A、B
課后作業(yè):略
不等式課件【篇9】
教材分析:
上節(jié)課認識了不等式,知道了什么叫不等式和不等式的解。本節(jié)主要學習不等式的解集,這是學好利用不等式解決實際問題的關鍵,同時要求學生會用數(shù)軸表示不等式的解集,使學生感受到數(shù)形結合的作用。并且本課也通過讓學生經歷實驗、觀察、分析、概括過程,自主探索不等式的解集等概念,培學生的思維能力。在情感態(tài)度、價值觀方面要培養(yǎng)學生與他人合作學習的習慣。
教學重點:
理解不等式的解集的含義,明確不等式的解是在某個范圍內的所有解。
教學難點:
對不等式的解集含義的理解。
教學難點突破辦法:
通過實驗、觀察,分析、概括過程,使學生對不等式的解集有了初步的理解,然后通過數(shù)軸直觀地表示出不等式的解集,從而加深了學生對不等式的解集的理解。
教學方法:
1、采用復習法查缺補漏,引導發(fā)現(xiàn)法培養(yǎng)學生類比推理能力,嘗試指導法逐步培養(yǎng)學生獨立思考能力及語言表達能力。充分發(fā)揮學生的主體作用,使學生在輕松愉快的氣氛中掌握知識。
2、讓學生充分發(fā)表自己的見解,給學生一定的時間和空間自主探究每一個問題,而不是急于告訴學生結論。
3、尊重學生的個體差異,注意分層教學,滿足學生多樣化的學習需要。
學習方法:
1、學生要深刻思考,把實際問題轉化為數(shù)學模型,養(yǎng)成認真思考的好習慣。
2、合作類推法:學習過程中學生共同討論,并用類比推理的方法學習。
教學步驟設計如下:
(一)創(chuàng)設問題情境,引入新課:
實驗:將如下重量的砝碼分別放入天平的左邊。
請大家仔細觀察,哪些砝碼放入天平左邊后能使天平向左邊傾斜?如果砝碼重x克,要使x+2>5,即:天平左邊放入x克砝碼后使天平向左邊傾斜。那么這樣的x取應取什么數(shù)?這樣的數(shù)是有限個還是無限個?
學生活動:
1、讓學生觀察實驗,尋找數(shù)量關系回答問題;
2、讓學生采取小組合作的學習方式。
(二)講授新課
通過實驗、討論、交流、歸納得到:大于心不甘的每個數(shù)都是不等式x+2>5的解,而小于3的每一個數(shù)都不是不等式x+2>5的解,因此不等式x+2>5的解有無限多個,它們組成集合,稱為一元不等式x+2>5的解集。即表示為x>3。
由實例概括出不等式的解集以及解不等式的概念:一個不等式的所有解,組成這個不等式的解的集合,簡稱為這個不等式的解集;求不等式的解集過程,叫做解不等式。
我們知道解不等式不能只求個別解,而應求它的解集.一般而言,不等式的解集不是由一個數(shù)或幾個數(shù)組成的,而是由無限多個數(shù)組成的,如x>3.那么如何在數(shù)軸上直觀地表示不等式x+2>5的解集x>3呢?
不等式解集x>3,在數(shù)軸上可以直觀地表示出來。如圖8.2.1
如果某個不等式x≤-2,也可在數(shù)軸上直觀地表示出來,如圖8.2.2
說明:8.2.1在表示范表演的點畫空心圓圈,表不包括這一點,表示大時就往右拐;圖8.2.2在表示-2的點畫黑點表示包括這一點,表示小時不向左拐。
(三)知識拓展
將數(shù)軸上x的范圍用不等式來表示:
(四)嘗試反饋:
課本第44頁“練習”第1、2題。
(五)歸納小結:
這節(jié)課主要學習了不等式的解集的有關概念,并會用數(shù)軸表示不等式的解集。
不等式課件【篇10】
《不等式的基本性質》它是北師大版八年級下冊第一章第二節(jié)的內容。今天我將從教材分析,教學目標,教學重難點,教法學法,教學過程這五個方面談談我對這節(jié)課處理的一些不成熟的看法:
本節(jié)內容不等式,它是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間關系的有效數(shù)學模型,在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用,所以對不等式的學習有著重要的實際意義。同時,不等式的基本性質也為學生以后順利學習解一元一次不等式和解一元一次不等式組的有關內容的理論基礎,起到重要的奠基作用。
根據《新課程標準》的要求,教材的內容兼顧我校八年級學生的特點,我制定了如下教學目標:
知識與技能:
1. 感受生活中存在的不等關系,了解不等式的意義。
2. 掌握不等式的基本性質。
過程與方法:經歷不等式的基本性質的探索過程,初步體會不等式與等式的異同。
情感態(tài)度與價值觀:經歷由具體實例建立不等式模型的過程,進一步符號感與數(shù)學化的能力。
教學重難點:
重點:不等式概念及其基本性質
難點:不等式基本性質3
教法與學法:
1. 教學理念: “ 人人學有用的數(shù)學”
2. 教學方法:觀察法、引導發(fā)現(xiàn)法、討論法.
3. 教學手段:多媒體應用教學
4. 學法指導:嘗試,猜想,歸納,總結
根據《數(shù)學課程標準》的要求,教材和學生的特點,我制定了以下四個教學環(huán)節(jié)。
下面我將具體的教學過程闡述一下:
一、創(chuàng)設情境,導入新課
上課伊始,我將用一個公園買門票如何才劃算的例子導入課題。
世紀公園的票價是:每人5元;一次購票滿30張,每張可少收1元。某班有27名團員去世紀公園進行活動。當領隊王小華準備好了零錢到售票處買27張票時,愛動腦筋的李敏同學喊住了王小華,提議買30張票。但有的同學不明白,明明我們只有27個人,買30張票,豈不是“浪費”嗎?
(此處學生是很容易得出買30張門票需要4X30=120(元), 買27張門票需要5X27=135(元),由于120〈135,所以買30張門票比買27張還要劃算。由此建立了一個數(shù)與數(shù)之間的不等關系式)
緊接著進一步提問:若人數(shù)是x時,又當如何買票劃算?
二、探求新知,講授新課
引例列出了數(shù)與數(shù)之間的不等關系和含有未知量120
接下來我用一組例題來鞏固一下對不等式概念的認知,把表示不等量關系的常用關鍵詞提出。
(1)a是負數(shù);
(2)a是非負數(shù);
(3) a與b的和小于5;
(4) x與2的差大于-1;
(5) x的4倍不大于7;
(6) 的一半不小于3
關鍵詞:非負數(shù),非正數(shù),不大于,不小于,不超過,至少
回到引入課題時的門票問題120
難點突破:通過上面三組算式,學生已經嘗試著歸納出不等式的三條基本性質了。不等式性質3是本節(jié)的難點。在不等式性質3用數(shù)探討出以后,換一個角度讓學生想一想,是否能在數(shù)軸上任取兩個點,用相反數(shù)的相關知識挖掘一下,乘以或除以一個負數(shù)時,任意兩個數(shù)比較是否性質3都成立。通過“數(shù)形結合”的思想,使數(shù)的取值從特殊化到一般化,從對具體數(shù)的感知完成到字母代替數(shù)的升華。讓學生用實例對一些數(shù)學猜想作出檢驗,從而增加猜想的可信程度。同時,讓學生嘗試從不同角度尋求解決問題的方法并能有效地解決問題。
反饋練習:用一個小練習鞏固三條性質。
如果a>b,那么
(1) a-3 b-3 (2) 2a 2b (3) -3a -3b
提出疑問,我們討論性質2,3是好象遺忘了一個數(shù)0。
引出讓學生歸納,等式與不等式的區(qū)別與聯(lián)系
三、拓展訓練
根據不等式基本性質,將下列不等式化為“”的形式
(1)x-13
再次回到開頭的門票問題,讓學生解出相應的x的取值范圍
四、小結
1.新知識
一個數(shù)學概念;兩種數(shù)學思想;三條基本性質
2.與舊知識的聯(lián)系
等式性質與不等式性質的異同
五、作業(yè)的布置
以上是我對這節(jié)課的教學的看法,希望各位專家指正。謝謝!
“讓學生主動參與數(shù)學教學的全過程,真正成為學習的主人”
不等式課件【篇11】
教材分析
本節(jié)課是在系統(tǒng)的學習了不等關系和不等式性質,掌握了不等式性質的基礎上展開的,作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學習奠定基礎。要進一步了解不等式的性質及運用,研究最值問題,此時基本不等式是必不可缺的?;静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作用,同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用,因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材,所以基本不等式應重點研究。
教學中注意用新課程理念處理教材,學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習,而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學,師生互動,教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用,引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。通過本節(jié)學習體會數(shù)學來源于生活,提高學習數(shù)學的樂趣。
課程目標分析
依據《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況,特確定如下目標:
1、知識與能力目標:理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念,學會構造條件使用基本不等式;培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標:按照創(chuàng)設情景,提出問題→剖析歸納證明→幾何解釋→應用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學生的思維能力,體會數(shù)學概念的學習方法,通過運用多媒體的教學手段,引領學生主動探索基本不等式性質,體會學習數(shù)學規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標:通過問題情境的設置,使學生認識到數(shù)學是從實際中來,培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界,通過數(shù)學思維認知世界,從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質。
教學重、難點分析
重點:應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索基本不等式的證明過程及應用。
難點:1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。
教法分析
本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發(fā)誘導、講練結合的教學方法,以學生為主體,以基本不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段,加深學生對基本不等式的理解。
教學準備
多媒體課件、板書
教學過程
教學過程設計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程,符合學生的認知規(guī)律,使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。
具體過程安排如下:
創(chuàng)設情景,提出問題;
設計意圖:數(shù)學教育必須基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”,現(xiàn)實情境問題是數(shù)學教學的平臺,數(shù)學教師的任務之一就是幫助學生構造數(shù)學現(xiàn)實,并在此基礎上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實.基于此,設置如下情境:
上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎?
本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數(shù)量關系,抽象出不等式。在此基礎上,引導學生認識基本不等式。
二、抽象歸納:
一般地,對于任意實數(shù)a,b,有,當且僅當a=b時,等號成立。
[問]你能給出它的證明嗎?
學生在黑板上板書。
特別地,當a>0,b>0時,在不等式中,以、分別代替a、b,得到什么?
設計依據:類比是學習數(shù)學的一種重要方法,此環(huán)節(jié)不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源,突破了重點和難點,而且感受了其中的函數(shù)思想,為今后學習奠定基礎.
答案:。
【歸納總結】
如果a,b都是正數(shù),那么,當且僅當a=b時,等號成立。
我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a,b的算術平均數(shù),稱為a,b的幾何平均數(shù)。
三、理解升華:
1、文字語言敘述:
兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
2、聯(lián)想數(shù)列的知識理解基本不等式
已知a,b是正數(shù),A是a,b的等差中項,G是a,b的正的等比中項,A與G有無確定的大小關系?
兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項。
3、符號語言敘述:
若,則有,當且僅當a=b時,。
[問]怎樣理解“當且僅當”?(學生小組討論,交流看法,師生總結)
“當且僅當a=b時,等號成立”的含義是:
2023不等式課件14篇
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不等式課件 篇1
七年級數(shù)學不等式課件
教學目標:
通過對具體實例的學習,使學生能夠了解生活中的不等量關系,理解不等式的概念,知道什么是不等式的解,為以后學習不等式的解法奠定基礎.
知識與能力:
1.通過對具體事例的分析和探索,得到生活中不等量的關系.
2.通過理解得到不等式的概念,從而使學生經歷實際問題中數(shù)量的分析、抽象過程,體會現(xiàn)實中有各種各樣錯綜復雜的數(shù)量關系.
3.了解不等式的意義,知道不等式是用來刻畫生活中的數(shù)量關系的.
4.知道什么是不等式的解.
過程與方法:
1.引導學生分析具體事例,從對具體事例的分析中得到不等量關系.
2.引導并幫助學生列出不等式,分析不等式的成立條件.
3.通過分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.
4.通過習題鞏固和加深對概念的理解.
情感、態(tài)度與價值觀:
1.通過學生的分析和抽象過程使他們體會現(xiàn)實中錯綜復雜的數(shù)量關系,然后從而培養(yǎng)其抽象思維能力.
2.通過分組討論學習,體會在解決具體問題的過程中與他人合作的重要性,培養(yǎng)學生的團體協(xié)作精神,使學生獲得合作交流的學習方式.
3.通過聯(lián)系與發(fā)展、對立與統(tǒng)一的思考方法對學生進行辯證唯物主義教育.
4.通過創(chuàng)設問題串,讓學生仔細觀察、對比、歸納、整理,嘗試對有理數(shù)進行分類,然后體驗教學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性.
教學重、難點及教學突破
重點:不等式的概念和不等式的解的概念.
難點:對文字表述的數(shù)量關系能列出不等式.
教學突破:由于學生在以前已經對數(shù)量的大小關系和含數(shù)字的不等式有所了解,但還沒有接觸過含未知數(shù)的不等式,在學生分析問題的時候注意引入現(xiàn)實中大量存在的數(shù)量間的不等關系,研究它們的變化規(guī)律,使學生知道用不等式解決實際問題的方便之處.在本節(jié)的教學中能夠在組織學生討論的過程中適當?shù)貪B透變量的知識,讓學生感受其中的函數(shù)思想,并引導學生發(fā)現(xiàn)不等式的解與方程的解之間的區(qū)別.在處理本節(jié)難點時指導學生練習有理數(shù)和代數(shù)式的知識,準確“譯出”不等式.
教學過程:
一.研究問題:
世紀公園的票價是:每人5元,一次購票滿30張可少收1元.某班有27名少先隊員去世公園進行活動.當領隊王小華準備好了零錢到售票處買了27張票時,愛動腦的李敏同紀學喊住了王小華,提議買30張票.但有的同學不明白.明明只有27個人,買30張票,豈不浪費嗎?
那么,究竟李敏的提議對不對呢?是不是真的浪費呢
二.新課探究:
分析上面的問題:設有x人要進世紀公園,①若x≥30,應該如何買票?②若x
結論:至少要有多少人進公園時,買30張票才合算?
概括:1、不等式的定義:表示不等關系的式子,叫做不等式.不等式用符號>,
2、不等式的解:能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解.
3、不等式的分類:⑴恒不等式:-71+4,a+2>a+1.
⑵條件不等式:x+3>6,a+2>3,y-3>-5.
三、基礎訓練.
例1、用不等式表示:⑴a是正數(shù);⑵b不是負數(shù);⑶c是非負數(shù);⑷x的平方是非負數(shù);⑸x的一半小于-1;⑹y與4的和不小于3.
注:⑴不等式表示代數(shù)式之間的不相等關系,與方程表示相等關系相對應;
⑵研究不等關系列不等式的重點是抓關鍵詞,弄清不等關系.
例2、用不等式表示:⑴a與1的和是正數(shù);⑵x的2倍與y的3倍的差是非負數(shù);⑶x的2倍與1的和大于—1;⑷a的一半與4的差的絕對值不小于a.
例3、當x=2時,不等式x-1
注:⑴檢驗字母的值能否使不等式成立,只要代入不等式的左右兩邊,如果符合不等號所表示的關系,就成立,否則就不成立.⑵代入法是檢驗不等式的解的重要方法.
學生練習:課本P42練習1、2、3.
四、能力拓展
學校組織學生觀看電影,某電影院票價每張12元,50人以上(含50人)的團體票可享受8折優(yōu)惠,現(xiàn)有45名學生一起到電影院看電影,為享受8折優(yōu)惠,必須按50人購團體票.
⑴請問他們購買團體票是否比不打折而按45人購票便宜;
⑵若學生到該電影院人數(shù)不足50人,應至少有多少人買團體票比不打折而按實際人數(shù)購票便宜.
解:⑴按實際45人購票需付錢_________ 元,然后如果按50人購買團體票則需付錢50×12×80%=480元,所以購買團體票便宜.
⑵設有x人到電影院觀看電影,當x_____時,按實際人數(shù)買票______張,需付款_______元,而按團體票購票需付款________元,如果買團體票合算,那么應有不等式________________,
由①得,當x=45時,上式成立,讓我們再取一些數(shù)據試一試,將結果填入下表:
x12x比較480與12x的大小48
由上表可見,至少要__________人時進電影院,購團體票才合算.
五、小結:
⑴不等式的定義,不等式的'解.
⑵對實際問題中探索得到的不等式的解,然后不僅要滿足數(shù)學式子,而且要注意實際意義.
六、作業(yè)課本P42習題8.1第1、2、3題.
補充題:
1.用不等式表示:
(1)與1的和是正數(shù);(2)的與的的差是非負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差的絕對值不小于.
(5)的2倍減去1不小于與3的和;(6)與的平方和是非負數(shù);
(7)的2倍加上3的和大于-2且小于4;(8)減去5的差的絕對值不大于
2.小李和小張決定把省下的零用錢存起來.這個月小李存了168元,然后小張存了85元.下個月開始小李每月存16元,小張每月存25元.問幾個月后小張的存款數(shù)能超過小李?(試根據題意列出不等式,并參照教科書中問題1的探索,找出所列不等式的解)
3.某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農用車12輛和6輛,現(xiàn)需要調往A縣10輛,調往B縣8輛,已知從甲倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為40元和80元,然后從乙倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為30元和50元,(1)設從乙倉庫調往A縣農用車輛,用含的代數(shù)式表示總運費W元;(2)請你用嘗試的方法,探求總運費不超過900元,共有幾種調運方案?你能否求出總運費最低的調運方案.
不等式課件 篇2
(1)本節(jié)內容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質及其解法等知識的基礎上,把實際問題和一元一次不等式結合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎,具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結果所對應的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉化為一元一次不等式并加以解決。
根據以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關系符號化,并根據解集和結合實際情況分類討論得出合理結論。
根據本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1、能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關系的數(shù)學模型,并結合解集解決簡單的實際問題。
2、通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
3、在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
根據教學內容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型的價值。
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的關注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結,布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關系以外,還存在著大量的不等關系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經基本了解了不等式的性質和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的`興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預案 一:教師應關注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應的數(shù)量意義,將之轉化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關系抽象能力弱。應關注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產生的聲音,教師應從估算的角度加以引導。引導學生體會在580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
結論:580人時選擇乙公司能讓每位學生的餐費平均算來更低。
問題(2)你能否用以前學過的知識,在不知道具體人數(shù)的前提下制定一套方案,當其他學校的初一年級也想在這兩家公司之間進行選擇時,不用重復第一題的計算過程,只要知道人數(shù)就馬上能根據你方案的結論作出決策呢?
結合以前的訓練,學生很容易想到要通過設未知數(shù)的方法進行符號表達,將非常關鍵而題目中并未給出的學生人數(shù)設為未知數(shù)。由于本題的具體分析過程仍然是由學生分析討論完成,可能出現(xiàn)的情況是:
預案一:一部分綜合能力較強的同學會根據實際意義直接列出綜合算式:或
此處教師應該引導學生觀察,在化簡不等式的過程中單價并未影響結果(利用不等式性質二將其作為公倍數(shù)約去),即:題目中沒有具體的單價也不會影響本題的決策。
還可以結合小學單位一的思想化簡不等式,引導學生體會并不是題目中出現(xiàn)的所有數(shù)量都會影響不等關系,有可能引發(fā)學生的關于數(shù)量關系的深層次思考。
預案 二:還有一部分學生會因為生活經驗少的關系,綜合思考能力弱,無法快速的理清數(shù)量關系,列出綜合算式,思考受阻,教師應引導學生體會在第一題的算式意義的提示下,如何分別列出表達甲乙公司所需總費用的過程量代數(shù)式。然后在通過將之用不等號連接的方式,來表達兩筆費用的大小,降低因綜合性所引起的思維梯度, 在過程中讓學生體會“分步建模”的思維的條理性。
問題(1)如果你是該企業(yè)的高級管理人員,請你設計該企業(yè)在購買設備時兩種型號有幾種不同的組合方案;
問題(2)若按固定產量預算企業(yè)每月產生的污水量約為20xx噸,為了節(jié)約資金,應選擇哪種購買方案?
實際情景2的選擇除涉及“角色扮演”和“環(huán)?!钡热宋囊蛩氐目紤]以外,在在結合本節(jié)的教學目標上還有如下考慮,
1、 本題取材于真實的實際生活問題,情景中的符號和數(shù)量關系較多,不等關系在文字語言的敘述中顯得比第一題更加隱蔽,需要學生更深化的思考才能列出算式,是在第一個情景的基礎上的擴展和深化。
2、 在學生的討論過程中,教師應注重引導學生體會,用圖表表示的數(shù)字信息比文字表達更便于觀察和有序思考,感受“有序表達”在實際中的價值。
3、 結合本題每一個的具體問題的分析和解決,學生必須要從表格中分析篩選相關的有用數(shù)據,(例如:在第一問設計方案時未用到“處理污水量”和“年消耗費”,在第二問中未用到“價格”和“年消耗費”)這種分析和篩選的思考經歷將有助于加強學生對數(shù)據關系的理解和運用能力。
結合以前的訓練,在思考問題(1)學生很容易想到要通過設A型或B型設備的
例如:(1)設購買污水處理設備A型 臺,則B型(10 – )臺,由題意知:
在此處,將“限額為105萬元”轉化為“≤105”是學生要突破的第一關,教師應在次處多展示同學的對“限額為105萬元”語言解釋,盡可能多的在具有不同經歷基礎的同學心中將這個抽象過程生活化、自然化。
因為在實際情景中往往要根據未知數(shù)所代表的具體含義為未知數(shù)的加一個取值范圍的限定,而這個隱含的限制條件往往是學生中所不容易考慮到的,教師應注意引導學生注意這一問題,
例如:本題中的 是設備的臺數(shù),應用非負整數(shù)的限制,所以 可取0、1、2,因此有三種購買方案:
①購A型0臺,B型10臺;
②購A型1臺,B型9臺;
③購A型2臺,B型8臺。
此處細節(jié)性的思考經歷,有助于提高學生在建模過程中更全面的考慮數(shù)值的實際意義,促進抽象符號與具體意義在頭腦中的融合。
特別的,此處的“0”是學生最容易忽視和丟掉的,教師在此處應重點引導學生思考當“ ”時,往往是企業(yè)最可能選的方案,因為不同的設備涉及到不同的維護問題,單一品種的設備往往更便于管理,這種思考有助于發(fā)散學生的思維,促進其結合實際作更全面的思考。
問題(2)的思維梯度較前幾個問題進一步加大,學生必須理解“節(jié)約資金”這個目的的達成 一定是在“完成任務”的前提下的,要先通過對(1)中所得的三套方案是否能完成任務加以討論和驗證,然后再涉及計算哪個方案費用更低的問題
在驗證三套方案的可行性時,收思維方式的局限,學生往往會選擇逐一列舉計算的討論方式,并且由于數(shù)量少,很容易得出答案,教師可引導學生思考,如果滿足(1)的方案不是三種,而是三十種呢?三百種呢?除了逐一討論以外還有沒有什么更好的方式能幫助我們迅速縮小范圍呢?引導學生將所買設備能否完成任務量轉化為如下不等關系:
(2)同(1)所設購買污水處理設備A型 臺,則B型(10 – )臺,
240 +200(10 – )≥20xx;
因此為了節(jié)約資金,應選購A型1臺,B型9臺。
此處的分析和引導有助于學生體會不等式在有效縮小討論范圍時的實際價值。
通過以上問題的解決,學生對不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型有了進一部的認識,并感受到不等式確實是從實際問題中提出,又為解決實際問題提供明確的幫助有效數(shù)學工具。
本階段通過學習小結進行課堂教學的反饋,組織和指導學生歸納知識、技能、方法,深化對數(shù)學思想方法的認識,為后續(xù)學習打好基礎。
不等式課件 篇3
(1)本節(jié)內容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質及其解法等知識的基礎上,把實際問題和一元一次不等式結合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎,具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結果所對應的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉化為一元一次不等式并加以解決。
根據以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關系符號化,并根據解集和結合實際情況分類討論得出合理結論。
根據本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1.能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關系的數(shù)學模型,并結合解集解決簡單的實際問題。
2.通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
3.在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
三、教學方法的選擇
根據教學內容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型的價值,
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的.關注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結,布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關系以外,還存在著大量的不等關系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經基本了解了不等式的性質和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預案 一:教師應關注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應的數(shù)量意義,將之轉化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關系抽象能力弱。應關注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產生的聲音,教師應從估算的角度加以引導。引導學生體會在 580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
不等式課件 篇4
教學建議
一、知識結構
本書首先結合實例引入一元一次不等式組的解集的概念,然后通過三個例題說明利用數(shù)軸解一元一次不等式組的方法,最后對一元一次不等式組的解法步驟進行了總結.
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是掌握一元一次不等式組的解法步驟并準確地求出解集.難點是正確應用不等式的基本性質對不等式進行變形、求不等式組中各個不等式解集的公共部分.不等式在中學代數(shù)中是研究問題的重要工具,例如求函數(shù)的定義域、值域、研究函數(shù)的單調性,求最大值、最小值,一元二次方程根的討論等,都要用到不等式的知識.不等式也是進一步學習其他數(shù)學內容的基礎.學習和掌握不等式的求解和不等式的證明方法,對培養(yǎng)學生邏輯思維能力也有極其重要的作用.在處理解不等式的問題中,一元一次不等式組的解法,具有特別重要的意義.這是因為,解各類不等式的問題都可以歸結為解一些由簡單不等式所組成的不等式組.
1、在構成不等式組的幾個不等式中
①這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù);
②這里的“幾個”并未確定不等式的個數(shù),只要不是一個,兩個,三個,四個……都行.
2、當幾個不等式的解集沒有公共部分時,我們就說這個不等式組無解.
3、由兩個一元一次不等式組成的不等式的解集,共歸結為下面四種基本情況:
【注意】①其中第(4)個不等式組,實質上是矛盾不等式組,任何數(shù)都不能使兩個不等式同時成立。所以說這個不等式組無解或說其解集為空集。②從上面列出的表中,我們可以概括出來不等式組公共解的一規(guī)律:同大取大,同小取小,一大一小中間找。
三、教法建議
1.解本節(jié)的引例及例1、例2、例3時,注意把解不等式組的思路講清楚,即先分別解每一個不等式,求出解集,再求這些解集的公共部分.求公共部分的過程一定要結合數(shù)軸來講。
2.這節(jié)課的講解自始至終要突出解不等式組的基本思想以及解一元一次不等式組的步驟這兩個重點.準確熟練地解一元一次不等式以及用數(shù)軸上的點表示不等式的解集是這節(jié)課的基礎,因此講新課之前要復習提問這些內容。
3.求公共解集是這節(jié)課的新授內容,教師要充分利用數(shù)軸表示不等式解集具有形象、直觀、易于說明問題這些優(yōu)點.解集的公共部分教師可用彩筆在數(shù)軸的相應部分描畫出來,使學生感到醒目,便于理解記憶。
4.每組不等式不要超過三個,關鍵是使學生理解和掌握解不等式組的基本思想和兩個步驟,不宜做過于難、過于多、重復的機械計算。
不等式課件 篇5
(一)復習提問:
三角形的三邊關系?
(二)列一元一次不等式組
問題:現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm.如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么對木條c的長度有什么要求?
注:這個問題是本節(jié)的'引入問題,三角形木框的形狀不唯一確定,只要能成為三角形即可.
探究:用三根長度分別為14cm,9cm,6cm的木條c1,c2,c3分別試試,其中哪根木條能與木條a和b一起釘成三角形木框?
可以發(fā)現(xiàn),當木條a和b的長度確定后,木條c太長或太短,都不能與a和b一起釘成三角形.
由于“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,設木條c長xcm,則x必須同時滿足不等式x10+3①和x10-3②
注:木條c必須同時滿足兩個條件,即ca+b,ca-b.
類似于方程組,把這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組記作注:這里并未正式給一元一次不等式組下定義,只是說這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組.實際上,兩個或更多的一元一次不等式組合起來,都組成一個一元一次不等式組.
(三)一元一次不等式組的解集
類比方程組的解,怎樣確定不等式組中x的可取值的范圍呢?
不等式組中的各不等式解集的公共部分,就是不等式組中x可以取值的范圍.
注:這里還未正式出現(xiàn)不等式組的解集的概念,但已點出各不等式的解集的公共部分即不等式組中未知數(shù)的可取值范圍.
由不等式①解得x13.
由不等式②解得x7.
從圖9.3—2容易看出,x可以取值的范圍為713.
注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.
這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.
一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.
注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義13.注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義。
不等式課件 篇6
一元一次不等式組(2)
文星中學唐波
一、教學目標
(一)知識與技能目標
1、熟練掌握一元一次不等式組的解法,會用一元一次不等式組解決有關的實際問題。
2、理解一元一次不等式組應用題的一般解題步驟,逐步形成分析問題和解決問題的能力。
(二)過程與方法目標
通過利用列一元一次不等式組解答實際問題,初步學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題、并能綜合運用所學的知識解決問題,發(fā)展應用意識。
(三)情感態(tài)度與價值觀
通過解決實際問題,體驗數(shù)學學習的樂趣,初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系。
二、教學重難點
(一)重點:建立用不等式組解決實際問題的數(shù)學模型。
(二)難點:正確分析實際問題中的不等關系,根據具體信息列出不等式組。
三、學法引導
(一)教師教法:直觀演示、引導探究相結合。
(二)學生學法:觀察發(fā)現(xiàn)、交流探究、練習鞏固相結合。
四、教具準備:多媒體演示
五、教學過程
(一)、設問激趣,引入新課
猜一猜:我屬狗,請同學們根據我的實際情況來猜測我的年齡。(學生大膽猜想,利用不等關系分析得出答案。)
(二)、觀察發(fā)現(xiàn),競賽闖關
1、比一比:填表找規(guī)律
(學生搶答,教師補充。)2利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解不等式組 ?(學生解答,抽生演板。)你可以得到它的整數(shù)解嗎?
(抽生回答:因為大于11小于14的整數(shù)有12和13,所以整數(shù)解為12和13。)3填空:三角形三邊長分別為2、7、c,則 c的取值范圍是__________。如果c是一個偶
數(shù),則 c=__________。
(學生回答,教師補充更正。)
(三)、欣賞圖片,探究新知
1、欣賞“五岳看山”。
2、利用欣賞引出例題(教科書P139例2仿編)
例:3名同學計劃在10天內到嵩山拍照500張(每天拍照數(shù)量相同),按原來的計劃,不能完成任務;如果每人每天比原計劃多拍1張,就能提前完成任務,每個同學原計劃每天............拍多少張?
生齊讀,找出題中的已知條件和未知條件;再默讀,找一找表示數(shù)量關系的句子。師引導分析,并提出問題:
(1)你是怎樣理解“不能完成任務”的數(shù)量含義的?你是怎樣理解“提前完成任務”的數(shù)量含義的?
(2)解決這個問題,你打算怎樣設未知數(shù)?
(3)在本題中,可以找出幾個不等關系,可以列出幾個不等式?(學生交流討論,教師指導。)
?7x?98
?7(x?3)?98
解答完成后,學生自學課本例2。
3、由例解題答過程,類比列二元一次方程組解應用題的步驟,總結列一元一次不等式組的解題步驟:
(1)、分析題意,設未知數(shù); .(2)、利用不等關系,列不等式組; .(3)、解不等式組; .
(4)、檢驗,根據題意寫出答案。.(學生總結,抽生回答,教師補充。)
(四)、闖關練習,鞏固新知
1練一練:為紀念“5·12”大地震一周年,“五一”部分同學到青城山拍照留念,如果每人拍8張則多于如果每人拍9張則不夠問共有多少個同學參加青城山旅游? ..150張;..180張。
教師引導:抓住重點詞語,找到不等關系,列出不等式組。學生獨立完成,抽生回答。
比較列二元一次方程組和列一元一次不等式組解應用題的區(qū)別:
(學生類比找區(qū)別,教師補充。)2練一練(教科書P140練習第2題):一本英語書共98頁,張力讀了一周(7天)還沒讀完,而李永不到一周就已讀完。李永平均每天比張力多讀3頁,張力平均每天讀多少頁(答案取整數(shù))?
學生分析列出不等式組,教師指導。(前面的練習已解出不等式組。)
(五)、暢所欲言,歸納小結 學生暢所欲言,談收獲體會 多媒體展示,本課內容小結:
1、解一元一次不等式組的秘笈:同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了。
2、具有多種不等關系的問題,可通過不等式組解決。
3、列一元一次不等式組解應用題的步驟是:(1)、分析題意,設未知數(shù);(2)、利用不等關系,列不等式組;(3)、解不等式組;
(4)、檢驗,根據題意寫出答案。
(六)、課后演練,終極挑戰(zhàn)
必做題:教材習題第4、5、6題;
選做題:一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個位數(shù)字大1,而且這個兩位數(shù)大于30小于42,則這個兩位數(shù)是多少?
六、板書設計
一元一次不等式組(2)
解:設每個同學原計劃每天拍x張,得
① ?3?10x?500
?
?3?10(x?1)?500②
1、分析題意,設未知數(shù);
解得x
3根據題意,x應為整數(shù),所以x=16 答:每個同學原計劃每天拍16張。
2??
2、找不等關系,列不等式組; ?
?
3、解不等式組; ?步驟
??
?
4、檢驗并根據題意寫出答案。?
不等式課件 篇7
科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍,達到教與學的和諧完美統(tǒng)一。
基于此,我準備采用的教法講授法、討論法。德國教育學家第斯多慧:差的教師只會奉送真理,好的教師則交給學生如何發(fā)現(xiàn)真理,老師的教是為了不教,這才是教學的最高境界,所以我采用的學法是練習法、自主合作法。
在這節(jié)課的教學過程中,我注重突出重點,條理清晰,緊湊合理。各項活動的安排也注重互動、交流,最大限度的調動學生參與課堂的積極性、主動性。
首先是導入環(huán)節(jié),我采用復習舊知的導入方法。我會讓學生回憶不等式的概念以及一元一次方程的概念,明確指出今天學習的內容是《一元一次不等式》。
這樣的設計既可以考查學生對之前知識的掌握情況,還能夠為今天學習一元一次方程的概念打下基礎。而且開門見山的導入方式能夠快速地進入主題。
接下來是新知探索環(huán)節(jié),首先我請學生類比不等式以及一元一次方程的概念,給一元一次不等式下定義。
能夠總結出:含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式。
接下來讓學生回憶上節(jié)課學習的不等式x-7>26如何解決的,通過學生回憶總結可以得到:通過“不等式的兩邊都加7,不等號的方向不變”而得到的。
接下來提問學生有沒有更加簡便的方法解不等式?讓學生類比解一元一次方程的步驟進行解題??梢缘玫较喈斢诳梢杂谩耙祈棥保瑏斫鉀Q。
在這個過程中,強調每一個步驟,在第二題最后一步,強調當不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向改變。
解完不等式,先讓學生回憶解一元一次方程的步驟是什么?并類比解一元一次方程的步驟,總結一下解一元一次不等式的步驟是什么?
從而我們歸納:解一元一次方程,要根據等式的性質,將方程逐步化為x=a的形式;而解一元一次不等式,則要根據不等式的性質,將不等式逐步化為xa的形式。
《數(shù)學課程標準》指出:“學生是數(shù)學學習的主人,教師是數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者”。根據這一教學理念,在本環(huán)節(jié)中,我組織學生進行了自主探究活動,讓學生在保持高度學習熱情和探究欲望的活動過程中,始終以愉悅的心情,親身經歷和體驗知識的形成過程。培養(yǎng)學生的探究能力、分析思維能力,激發(fā)他們的創(chuàng)新意識、參與意識。
第三個環(huán)節(jié)是課堂練習環(huán)節(jié),出示問題,解不等式,并在數(shù)軸上表示數(shù)集:5x+15>4x-1
之所以這樣設計是因為練習是掌握知識、形成技能、發(fā)展思維的重要手段,針對本課的教學重點和難點,上述練習,目的是讓學生進一步鞏固對新知的理解。可以深化教學內容,培養(yǎng)思維的靈活性。
最后一個環(huán)節(jié)為小結作業(yè)環(huán)節(jié),關于課堂小結,我打算讓學生自己來總結今天的收獲。
這樣既發(fā)揮了學生的主體性,又可以提高學生的總結概括能力,讓我在第一時間得到學習反饋,及時加以疏導。
通過這樣的方式能夠為本節(jié)課學習的知識進行進一步的鞏固。
我的板書設計遵循簡潔明了突出重點的意圖,這是我的板書設計:
不等式課件 篇8
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結出求不等式組解集的法則。
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結合”的方法今后經常用到,鍛煉同學們數(shù)形結合的能力,提高學習興趣。
一元一次不等式組的解法。
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設c的長為xcm,則x<____,①x>____,②合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的.解法。
全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
不等式課件 篇9
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關系,向學生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇10
1.了解不等式及一元一次不等式概念。
2.理解不等式的解、解集,能正確表示不等式的解集。
通過類比等式的對應知識,探索不等式的概念和解,體會不等式與等式的異同,初步掌握類比的思想方法。
1.經歷把實際問題抽象為不等式的過程,能夠列出不等關系式。
2.初步體會不等式(組)是刻畫現(xiàn)實世界中不等關系的一種有效數(shù)學模型,培養(yǎng)學生的建模意識。
通過對不等式概念及其解集等有關概念的探索,培養(yǎng)學生的知識遷移能力和建模意識,加強同學之間的使用與交流。
活動一:
感知不等關系,了解不等式的概念。
通過實例,讓學生認識到不等關系在生活中的存在,通過問題的解答,讓學生了解不等式的概念,體會不等式是解決實際問題的有效工具。
活動二:
通過類比方程,繼續(xù)探索出不等式的解、解集及其表示方法。
通過解決上個環(huán)節(jié)的問題,得出不等式的解,再引導學生觀察解的特點,探索出解集的兩種表示方法(符號表示、數(shù)軸表示),并且培養(yǎng)學生用估算方法求解集的技能。
活動三:
繼續(xù)探索,歸納出一元一次不等式的意義。
針對所學的不等式,讓學生歸納出特點,得到一元一次不等式的概念,并對概念進行辨析。
運用本節(jié)所學的知識,解決實際問題,使學生經歷將實際問題轉化為數(shù)學問題,再加以解決的過程,實現(xiàn)對所學知識的鞏固和深化。
讓學生通過自我反思和互相質疑提問,歸納總結本節(jié)課的主要內容,交流在概念、解及解集學習中的心得和體會,不斷積累數(shù)學活動經驗,教師應主動參與學生小結中,作好引導工作,布置好作業(yè),并作及時反饋。
小強準備隨父母乘車去武當山春游。
⑴在車上看到兒童買票所需的測身高標識線。
①x滿足______時,他可免票。
②x滿足______時,他該買全票。
⑵已知襄樊與武當山的距離為150千米,他們上午10點鐘從襄樊出發(fā),汽車勻速行駛。
①若該車計劃中午12點準時到達武當山,車速應滿足什么條件?
②若該車實際上在中午12點之前已到達武當山,車速應滿足什么條件?
用不等式表示:
⑴a是正數(shù);⑵a是負數(shù);⑶a與5的和小于7;⑷a與2的差大于-1;
⑸a的4倍大于8;
⑹a的一半小于3。
學生回答①這兩個由實際生活情境設置的問題,應非常容易.問題②相對①難度加大了,難在題意中的條件不象上面那樣直接明了,并且可從距離和時間兩個角度來分析、解決問題,而七年級學生恰恰缺乏閱讀分析題意、多維度思考解決問題的能力,所以采用小組討論交流的形式解決問題②
學生討論角度估計大都集中在距離這一角度,教師可深入小組討論中,認真聽聽同學們的思路,應鼓勵學生多發(fā)表意見,并適當點撥,直到得出兩種不等式。
此次活動中,教師應重點關注:討論要有足夠的時間和空間,學生在小組討論交流時,是否敢于發(fā)表自己的想法。
再給出不等式概念:
像前面式子一樣用“>”或“
教師可要求學生舉出一些表示大小的式子,學生舉出的不等式中,可能會有一些不含未知數(shù)的,如5>3等。教師此時應總結:不等式中可含有未知數(shù),也可不含未知數(shù)。
教師根據學生舉例給出表示不等關系的第三種符號“≠”,并強調:像前面式子一樣用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。
鞏固練習是讓學生用不等式來刻畫題中6個簡單的不等關系。學生得出答案并不難,所以該環(huán)節(jié)讓學生獨立完成、互相評價,教師可深入到學生的解題過程中,觀察指導學生的解題思路,傾聽學生的評價。
問題1在課本中起導入新課作用,考慮學生實際情況(分析應用題能力尚欠缺)和題目難度,所以設置問題串,降低難度。這樣編排教材我認為更能體現(xiàn)知識呈現(xiàn)的序列性,從易到難,讓學生“列不等式”能力實現(xiàn)螺旋上升。
問題3作用僅僅起鞏固上面所學的知識,所以采用書中的一組習題,讓學生獨立完成,進一步培養(yǎng)學生列不等式能力。
采用學生熟悉的生活情境作為導入內容,然后層層推進,步步設問,環(huán)環(huán)相扣,直至推出不等式的概念及概念理解中應注意的地方。這樣實現(xiàn)了:讓學生從已有的數(shù)學經驗出發(fā),從生活中建構數(shù)學模型,為后面利用“不等式”這一模型解決生活中實際問題作好鋪墊,體現(xiàn)了數(shù)學生活化、生活
不等式課件 篇11
1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式,這樣的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步驟:(1)去分母(2)去括號(3)移項(4)合并同類項(5)將x項的系數(shù)化為1
1、一元一次不等式組的概念:幾個一元一次不等式合在一起,就組成了一個一元一次不等式組。
2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。
3、求不等式組的解集的過程,叫做解不等式組。
4、當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立,我們就說這個不等式組無解或其解為空集。
3、代數(shù)式1-m的值大于-1,又不大于3,則m的取值范圍是( )
A.x≥1 B.x≥-1/2 C.x>1 D.x>-1/2
A.5+4>8 B.2x-1 C.2x-5≤1 D.1/x-3x≥0
A. a>0? B.a≥0? C.a
11、若關于x的不等式組 的解集是x>2a,則a的取值范圍是
A. a>4 B. a>2 C. a=2 D.a≥2
12、若方程組 中,若未知數(shù)x、y滿足x+y>0,則m的取值范圍是
13、不等式2(1) x>-3的解集是 。
14、用代數(shù)式表示,比x的5倍大1的數(shù)不小于x的 與4的差 。
15、若(m-3)x-1,則m .
18、某次個人象棋賽規(guī)定:贏一局得2分,平一局得0分,負一局得反扣1分。在12局比賽中,積分超過15分就可以晉升下一輪比賽,小王進入了下一輪比賽,而且在全部12輪比賽中,沒有出現(xiàn)平局,問小王最多輸 局比賽
1、定義:把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心.這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點。
2、心對稱的兩條基本性質:
(1)關于中心對稱的兩個圖形,對稱點所連線段都經過對稱中心,而且被對稱中心所平分。
(2)關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心。
每上第一次課,我所講的課程內容都和學生的錯題有關。我通常把試卷中的錯題摘抄出幾個典型題,作為課堂的例題再講一遍。而學生的反應,或是像沒有見過,或是對題目非常熟悉,但沒有思路。
這些現(xiàn)象的發(fā)生,都是學生沒有及時總結的原因。所以第一次課后我都建議我的學生做一個錯題本,像寫日記一樣,記錄下自己的錯題和感想。
成也審題敗也審題。如何審題呢?
(1)這個題目有哪些個已知條件?我能不能把已知條件分開?
(2)求解的目標是什么?對求解有什么要求?
(3)能不能畫一個圖幫助思考?好多問題是沒有看清楚題意致錯。審題不清,你做得越多,可能錯的就越多。
(4)所給出的已知條件相互之間有什么關系?能不能從中發(fā)現(xiàn)隱含條件?
(5)已知條件與求解目標有什么聯(lián)系?能不能從中獲得解題的思路?找到進門的門檻?
不等式課件 篇12
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應用到生活的各個領域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據題意列出相應的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內容是向學生設疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應滿足什么條件?
設車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結,師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
不等式課件 篇13
教學重點:掌握不等式的三條基本性質,尤其是不等式的基本性質3.
教學難點:正確應用不等式的三條基本性質進行不等式變形.
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結出不等式的三條基本性質,從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
(設計說明:設置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內容提供必要的知識準備.)
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.
(教學說明: 復習等式的基本性質后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質,從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質.)
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質得出不等式的性質.
觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質1:
不等式基本性質1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.
比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關?由學生概括總結,教師補充完善得出:
不等式基本性質2 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的正數(shù),不等號的方向不變.
不等式基本性質3 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的負數(shù),不等號的方向改變.
通過PPT用圖形演示不等式的基本性質,讓學生更加清楚地認識不等式的基本性質。
不等式有傳遞性嗎?
【學生通過討論能夠比較容易得出結論:不等式有對稱性,但要注意其不等號方向的`變化;不等式也有傳遞性,但要注意的是同向傳遞性。】
三、鞏固訓練,熟練技能:
1、(1) a - 3____b - 3;
(3) 0.1a____0.1b;
(5) 2a+3____2b+3;
【本題目采用提問的方式,因為內容相對簡單,所以可以迅速得到結論。要讓提問者說清楚答案,并說明利用不等式的性質幾來進行判定的?!?/p>
(1)因為7.5>5.7,所以-7.5<-5.7;
(2)因為a+8>4,所以a>-4;
(3)因為4a>4b,所以a>b;
(4)因為-1>-2,所以-a-1>-a-2;
(5)因為3>2,所以3a>2a.
【學生口答,并說明為什么。本題重點是第5小題,要引導學生總結出a的取值會影響到答案。當a>0時,3a>2a.(不等式基本性質2)
當 a=0時,3a=2a.當a<0時,3a<2a.(不等式基本性質3) 】
學生自己完成以下題目,之后進行集體講解。
(1)如果x-5>-1,那么______________________,得:x>4
(2)如果-2x>3,那么那么______________________,得X=______
師生共同小結本節(jié)課所學重點,不等式的基本性質的具體內容。
不等式課件 篇14
基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應用有著密切的關系。基本不等式的解法和思維方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質和應用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。下面,讓我們就基本不等式這一主題展開更加深入的探討。
一、基本不等式的定義、證明和性質
基本不等式定義:對于任意實數(shù)$x$,$y$,有$(x^2+y^2)\geq 2xy$,等號成立當且僅當$x=y$時成立。
基本不等式的證明:我們可以通過平方展開和配方進行證明,即:
$(x-y)^2\geq 0$
$x^2-2xy+y^2\geq 0$
$x^2+y^2\geq 2xy$
證畢。
基本不等式的性質:基本不等式可以用于求證其他不等式和解決實際問題,例如可以用基本不等式證明算術平均數(shù)$\ge$幾何平均數(shù),可以用基本不等式求證要想最小化一個多項式,需要使其中的各項等于彼此等于基本不等式中的相等值等。
二、基本不等式的應用及相關例題
基本不等式的應用廣泛,其中最常見的應用就是在證明和求解不等式問題中。下面,我們就通過例題來展示基本不等式的具體應用。
例題一:
已知$a,b,c$均為正實數(shù),求出$abc$與$\frac{(a+b+c)^3}{27}$的大小關系。
解:由于$a,b,c$均為正實數(shù),故可運用基本不等式進行求解,即
$\begin{aligned}
\frac{(a+b+c)}{3}\geq\sqrt[3]{abc}\\
(a+b+c)^3\geq 27abc
\end{aligned}$
因此,
$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
即$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
得證。
例題二:
已知$a+b=3$,$a^2+b^2=5$,求出$a,b$的大小關系。
解:由已知條件可得$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,即
$9=5+2ab$
$ab=\frac{4}{3}$
由基本不等式知得
$2ab=\frac{8}{3}\leq a^2+b^2=5$
即$a^2+b^2>2ab$,因此$a^2>b^2$,
又因為$a+b=3$,所以$b=3-a$,
所以$(3-a)^2
$9+a^2-6a
$a>\frac{3}{2}$
因此,
$a>b>\frac{3}{2}-a$
即$0
例題三:
已知$a,b,c>0$,求證$\frac{(a+b)^2}{c}+\frac{(b+c)^2}{a}+\frac{(c+a)^2}\geq 12(a+b+c)$
解:由基本不等式得
$(a+b)^2\geq 4ab,(b+c)^2\geq 4bc,(c+a)^2\geq 4ac$
將以上三個式子代入原式變化得
$\frac{4ab}{c}+\frac{4bc}{a}+\frac{4ac}\geq 12(a+b+c)$
即$4(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 12abc(a+b+c)$
即$(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 3abc$
由于$a,b,c>0$,故得證。
三、基本不等式的擴展
除了基本不等式外,還有一些基本不等式的擴展形式,例如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。這些擴展形式大大豐富了不等式的證明和應用,并為數(shù)學研究提供了更加廣泛的空間。下面,我們就來簡單介紹一下平均值不等式和柯西施瓦茲不等式的相關內容。
平均值不等式:對于$n$個非負實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$,有
$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$
其中等號成立當且僅當$x_1=x_2=\cdots=x_n$時成立。
柯西施瓦茲不等式:對于任意實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$,有
$(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)\geq(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2$
其中等號成立當且僅當$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdots=\frac{x_n}{y_n}$時成立。
四、總結
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應用有著密切的關系?;静坏仁降慕夥ê退季S方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質和應用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。在學習和應用基本不等式時,我們還需掌握其相關的擴展形式,如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。只有充分掌握了這些知識點,我們才能更加深入地理解并應用不等式的知識。
等式課件
幼兒教師教育網編輯為大家整理的“等式課件”或許能幫助您解決一些疑惑。教案課件是每個老師在開學前需要準備的東西,每個人都要計劃自己的教案課件了。?設計有創(chuàng)意的教學課件可以增加學生的學習趣味。我們提供的樣本僅供參考具體操作請根據實際情況做出調整!
等式課件 篇1
【教材分析】
在新課程改革中,教材是重要的教育教學因素。等式的基本性質是學生解方程的依據,它是系統(tǒng)學習方程的開始。這節(jié)課的內容在簡易方程中就起到了承上啟下的作用。原來的教材中對于等式的基本性質只是初步的認識,并沒有總結成概念性的東西,但學生實際運用時卻需要概念來作支撐,所以在教材中作了調整,讓學生通過觀察天平演示實驗,由具體實物之間的平衡關系抽象概括出等式的兩個基本性質就成了本節(jié)課的教學重點。本課“等式的基本性質”是在上一節(jié)剛剛認識了等式和方程的基礎上進行教學的。,其核心思想是構建等量關系的數(shù)學模型。課程標準要求學生能“理解等式的性質,會利用等式的性質解簡單的方程”。
【教學目標】
1.通過天平演示保持平衡的幾種變換情況,初步認識等式的基本性質。
2.利用觀察天平保持平衡所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,能直接判斷天平發(fā)生變化后能否保持平衡。
3.逐步養(yǎng)成觀察與概括。比較與分析的能力。
【教學重點】
掌握等式的基本性質。
【教學難點】
理解并掌握等式的性質,能根據具體情境列出相應的方程。
【數(shù)學思想】
轉化的思想,數(shù)形結合的思想,符號化的思想
【教學過程】
一。創(chuàng)設情境,引出問題
教師活動
學生活動及達成目標
師:同學們,你們做過天平游戲嗎?這節(jié)課我們要利用天平一起來探索等式的性質。(板書課題:等式的性質)
達成目標:由熟悉的天平引出課題激發(fā)學生的興趣。
二。共同探索,總結方法
教師活動
學生活動及達成目標
(一)等式的基本性質一
1.出示教材第64頁情境圖1第一個天平圖。
讓學生仔細觀察圖,并說一說:通過圖你知道了什么?
教師小結:1個茶壺的重量=2個茶杯的重量。
追問:如果設一個茶壺的重量是a克,1個茶杯的重量是b克,能用式子表示嗎?
(師板書)
引導學生思考:如果在天平的兩邊同時再各放上一個茶杯,天平會發(fā)生什么變化呢?為什么?
教師先進行實際操作天平驗證,再演示這一過程,并明確:兩邊仍然相等。
提問:如果兩邊各放上2個茶杯,還保持平衡嗎?
兩邊各放同樣的一把茶壺呢?
2.出示教材第64頁圖2的第一個天平圖。
(1)如果用a表示一個花盆的重量,用b表示一個花瓶的重量,怎樣用等式來表示這幅圖呢?
(2)如果把兩邊都拿掉1個花瓶,天平還平衡嗎?讓學生嘗試用等式怎樣表示?
從圖上你能知道什么?(出示教材第64頁圖2第二個天平圖)
3.通過這幾個實驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
4.你能用一句話來表示你的發(fā)現(xiàn)嗎?
(二)等式的基本性質二
1.猜猜:除了向前面這樣的變化,天平仍保持平衡外,還可以怎么做能使天平保持平衡?
這時教師一定要及時強調:這都是把等式的兩邊加上或減去同一個數(shù),并提示學生如果把等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)(O除外),會怎么樣呢?
2.出示教材第65頁圖1的第一個天平圖,讓學生觀察并說明。
引導學生用a表示墨水的重量,用b表示鉛筆盒的重量,用式子怎樣表示?
猜一猜:左邊墨水的數(shù)量擴大到原來的2倍,右邊鉛筆盒的數(shù)量也擴大到原來的2倍,天平還保持平衡嗎?
如果把天平的兩邊物品的數(shù)量分別擴大到原來的。3倍。4倍呢?
3.出示教材第65頁圖2的第一個天平圖,讓學生觀察并說明知道了什么。
質疑:如果把兩邊的球都平均分成2份,各去掉一份,天平還能平衡嗎?
教師演示。
4.通過剛才的試驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
5.你能用一句話總結一下等式的這個性質嗎?
6.為什么等式兩邊不能除以O?
1.自主回答,學生可能會回答:天平的左邊放了一把茶壺,右邊放了兩個茶杯,天平保持平衡;這說明一個茶壺的重量與2個茶杯的重量相等。
嘗試寫出:a=2b
先猜一猜,學生可能會猜測出天平仍然平衡,因為兩邊加上的重量一樣多。
觀察小結:實驗證明1個茶壺+1個茶杯的質量=3個茶杯的質量。
同時學生嘗試用字母表示這個式子:a+b=2b+b
學生回答后,教師演示,并讓學生分別用式子表示:a+2b=2b+2ba+a=2b+a
觀察現(xiàn)在的天平是什么樣的?(平衡)
生嘗試寫出:a+b=4b
先猜一猜,再回答,平衡:a+b-b=4b-b
得出1個花盆和3個花瓶同樣重。
3.學生思考后小結:平衡的天平兩邊加上同樣的物品,天平還保持平衡。平衡的天平兩邊減去同樣的物品,天平還保持平衡。
4.學生歸納等式的性質1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:通過演示在天平的兩邊同時放上或拿走同樣的物品,天平仍然平衡。給學生思考。感悟天平保持平衡的變化規(guī)律,提供了直觀的觀察材料。從而得出天平平衡的原理,即等式的一條基本性質:等式兩邊加上或減去相等的數(shù),等式不變。
1.如:學生猜測天平的兩邊同時放2個。3個杯子;同時減去一把茶壺等。
2.學生觀察并說明:
一瓶墨水的重量=一盒鉛筆盒的重量
寫出等式:a=b。
學生猜測平衡后,教師進行實際天平操作,驗證學生的猜測。
學生用等式表示:2a=2b。
天平仍然保持平衡
3.學生觀察得出:
2個排球的質量=6個皮球的質量
有了前面的經驗學生用a表示排球的重量,用6表示皮球的重量,寫出等式:2a=6b。
學生猜測:平衡,并能用等式a=3b表示。
4.學生會發(fā)現(xiàn):平衡的天平兩邊的物品擴大到原來的相同倍數(shù),天平仍然平衡。平衡的天平兩邊的物品都縮小到原來的幾分之一,天平仍然平衡。
5.學生歸納小結:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:等式基本性質2的推導在性質1的基礎上,讓學生自己通過實驗探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
6.學生交流,匯報:O不能做除數(shù)。
三。運用方法,解決問題
教師活動
學生活動及達成目標
出示教材第66頁練習十四第4.5題。
學生試做集體訂正,注意學生列式計算時的取值是否正確。
四。反饋鞏固,分層練習
教師活動
學生活動及達成目標
基礎練習:利用等式的性質填空
1.如果2x-5=9,那么2x=9+()
2.如果5=10+x,那么5x-()=10
3.如果3x=7,那么6x=()
4.如果5x=15,那么x=()
拓展練習:見課件
讓學生回憶等式的性質,再自主完成填空。
達成目標:等式的基本性質一是簡易方程部分重要的概念,不僅要理解,而且還要會應用。
五。課堂總結,提升認識
教師活動
學生活動及達成目標
這節(jié)課你運用了哪些,你有什么收獲?你對自己這堂課的表現(xiàn)是怎么評價的?
學生總結本節(jié)課的收獲,在梳理總結過程中提高學生對性質的認識和理解。
等式課件 篇2
教學內容:教科書第3~4頁的內容,練習一的4~6題。
教學目標:
1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
2、根據等式的性質(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據圖獨立填空。
根據學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然
是等式。這是等式的性質。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據等式的性質把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調書寫的格式。
小結:求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
這時等式的性質。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
教后小記
等式課件 篇3
《不等式及其基本性質》習題
【教學內容】
課本上不等式的五個基本性質,并學會應用.【教學目標】
1、掌握不等式的五個基本性質并且能正確應用.
2、經歷探究不等式基本性質的過程,體會不等式與等式的異同點,發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力.
3、開展研究性學習,使學生初步體會學習不等式基本性質的價值.
【重點難點】
重點:理解不等式的五個基本性質.難點:對不等式的基本性質3的認識.【教學方法】
本節(jié)課采用“類比-實驗-交流”的教學方法.【教學過程】
一、回顧交流.
1、等式的基本性質 解一元一次方程的基本步驟
2、問題牽引:
用“﹥”或“﹤”填空,并總結其中的規(guī)律:
(1)5>3,5+2
3+2,5-2 3-2 ;
(2)–1
-1+2 3+2,-1-3 3-3 ;
結果:
(1)>、>(2)
當不等式兩邊加或減去同一個數(shù)(正數(shù)或負數(shù))時,不等號的方向______
3、繼續(xù)探究,接著又出示(3)、(4)題: 5 2×5,6×(3)6>2,6×(-5)
2×(-5),6 3×6,(4)2
3×(-6).得到:
當不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)時,不等號的方向不變; 當不等式的兩邊同乘以一個負數(shù)時,不等號的方向改變.總結出不等式的性質: 不等式的性質1:不等式的兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.c
> b±c 字母表示為:如果a>b,那么a±不等式的性質2:不等式的兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.字母表示為:如果a>b,c>0那么ac
> bc,不等式的性質3:不等式的兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.字母表示為:如果a>b,c<0那么ac
不等式的對稱性:如果a>b,那么bb,b>c,那么a>c
二、范例學習,應用所學.
1、利用不等式的性質解下列不等式. (1)x-7>26
(2)3x
(4)-4x﹥3
22、逐題分析得出結果.(1)x-7>26 分析:解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為x﹥a或x﹤a的形式.
解:(1)為了使不等式x-7>26中不等號的一邊變?yōu)閤,根據不等式的性質1,不等式兩邊都加7,不等號的方向不變,得 x-7+7﹥26+7 x﹥33(2)3x
為了使不等式3x
23不等號的方向不變,得 x﹥75(4)-4x﹥3
為了使不等式-4x﹥3中的不等號的一邊變?yōu)閤,根據不等式的性質3,不等式兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x
3 4通過(3)(4)的求解過程,類似于解方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)(未知數(shù)系數(shù)化為1),解不等式時要注意未知數(shù)系數(shù)的正負,以決定是否改變不等號的方向.三、課堂探究.
已知a
四、課堂小結提問.不等式性質的作用.
等式課件 篇4
尊敬的各位老師,下午好!
我叫孫有璽,來自音河中學。很高興能把《不等式的性質(1)》一課的教學和大家一起探討。下面我將從學生狀況、教學任務、教學過程、設計說明等四個方面加以分析。
一、學生狀況分析:
七年級下期的學生活潑好動,有一定合作探究意識,在知識方面已經學習了有理數(shù)大小比較,等式及基本性質。這些都為自主探究不等式的性質打下了良好的基礎。
二、教學任務分析:
(一)教材地位與作用:
不等式是初中代數(shù)的重要內容之一,是已知量與未知量的矛盾統(tǒng)一體。數(shù)學關系中的相等與不等是事物運動和平衡的反映,學習研究數(shù)量的不等關系,可以更好地認識和掌握事物運動變化的規(guī)律。“不等式的性質”是學生學習整個不等式知識的理論基礎,為以后學習解不等式(組)起到奠基的作用。
(二)教學目標:
知識目標:
探索不等式的基本性質,并能準確運用不等式的三條性質將不等式變形。
能力目標:
讓學生學會類比的思想對等式性質及不等式性質進行了比較,培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納的能力。
情感目標:
通過“等”與“不等”的比較使學生進一步領會對立統(tǒng)一的思想,培養(yǎng)學生辨證唯物主義的觀點。
(三)教學重點、難點:
不等式的性質是本節(jié)不等式變形的基礎,也是今后解不等式(組)的依據,所以掌握不等式的基本性質,并能正確運用它們將不等式變形是本節(jié)課的重點。
不等式的兩邊同乘以(或除以)負數(shù),不等號方向改變和等式的性質不同,學生學習起來比較困難,因此,不等式性質3的理解與正確使用是本節(jié)課的難點。讓學生自己動口、動手、動腦,進行比較、討論,并加以強化練習達到突破的目的。
(四)教學方法與學法的指導:
本節(jié)課屬于性質類知識,重在探索,意在應用。因此,我采用啟發(fā)誘導、實例探究的方法進行教學,這種教學方法以“主動探索”為基礎,先“引導發(fā)現(xiàn)”后“講評點撥”,讓學生在克服困難與障礙的過程中發(fā)展自己的觀察力、想象力、思維力。引導學生學會類比、歸納的學習方法,幫助他們在自主探究過程中理解和掌握不等式的性質。
三、教學過程
(一)復習提問、引入新課
為了使學生自己能在教師的指導下,自主探究問題,發(fā)現(xiàn)問題,獲得結論。而不是把現(xiàn)成的結論告訴學生。對于不等式性質的發(fā)現(xiàn),我采用了下面的作法,我首先帶領學生復習等式的性質
等式性質1等式兩邊加(或減)同一個數(shù)或式子,結果仍相等。
等式性質2等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為零的數(shù),結果仍相等。
(二)合作交流、探究新知
在復習等式性質后,教師提出不等式是否也有類似的性質呢?先引導學生對不等式的兩邊都加、減同一個數(shù),會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過思考和計算后會說出不等式兩邊都加、減同一個數(shù),“仍是不等式”。此時,教師抓住學生敘述中的問題予以糾正,不能籠統(tǒng)的說“仍是不等式”,因為“=”沒有方向性,而不等號有方向性,所以要改為“不等號的方向不變”。接著,讓學生不等式作兩邊都乘以或除以同一個數(shù)的變形,會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過計算和討論,甚至會發(fā)生爭執(zhí),教師要深入學生,通過共同探討,學生會發(fā)現(xiàn)不等式兩邊都乘以或除以正數(shù),不等號方向不變,兩邊都乘以或除以負數(shù),不等號方向改變。最后由學生歸納出不等式的`性質2和性質3。
我這樣安排的目的是為了讓學生通過動手、動口、動腦發(fā)揮合作精神,學會運用類比、歸納的數(shù)學思想去探究問題,同時學生也會品嘗到成功的喜悅,從而提高他們學習數(shù)學的興趣。
(三)靈活運用、鞏固練習
為使學生能夠準確運用性質將不等式變形,也為例題的教學做一些鋪墊,我先設置了兩組搶答題:
搶答:看誰答的快又準
1·設m>n,用“<”或“>”填空:
(1)m—5___n—5
(2)m+4___n+4
(3)6m___6n(4)
—5m___—5n
2·判斷:
(1)∵3+x>3+y,∴x>y()
(2)∵3>2,∴n+3>2+n()
(3)∵a<b,∴2a+1<2b+1()
(4)∵—2a<6,∴x>—3()
在學生練習過程中,老師特別強調:當不等式兩邊同乘以或除以負數(shù)時,“不等號的方向改變”。
接著,給出例題:
例1·利用不等式的性質解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集:
(1)x+7>10
(2)3x>2x+1
(3)—10x>50
(4)—4x
例2·根據下列已知條件,說出a與b的不等關系:
(1)a—3>b—3
(2)—a>—b
(3)—2a+1
例1由學生分組討論,寫出解題過程,老師展示幾個同學的解答并給予講解。對于例2我采用先引導學生分析解題思路,再讓學生口述解題過程,并說明根據不等式的哪一條性質,由師生共同完成。
為了解學生能否獨立運用性質將練習三,安排學生演板:
3·利用不等式的性質解不等式。
(1)—3x>12
(2)3x—4
請兩位學生演板,其余學生獨立完成,并對學生演板的結果作出評價,教師深入小組,發(fā)現(xiàn)問題及時糾正,通過學生的互相評價找出應用不等式基本性質進行變形中出現(xiàn)的錯誤,以防患于未然。
以上練習完成之后,學生已能準確運用不等式的性質,將不等式變形,為培養(yǎng)學生的解題能力,讓學生更深層地理解不等式的基本性質,在此基礎上我又作出了一些引申和推廣。
4·判斷正誤,并說明理由。
(1)∵5>4,∴5a>4a
(2)不等式2x>5x的兩邊同除以x,得2>5
(3)若ac2>bc2,則a>b
第4題設計說明,當不等式兩邊同乘或除以一個字母,而字母的取值不明確時,需對字母分情況討論。
〔四〕歸納小結、整體把握
為幫助學生從整體把握本節(jié)課所學的知識,培養(yǎng)良好的學習習慣,讓學生自己對本節(jié)課所學知識以及用到的解決問題的方法進行小結。方法是:由學生四人一組互談本節(jié)課的收獲,總結解題方法,并說明解題過程中應該注意的問題,然后請一位同學小結,其他學生補充,達到鞏固知識的目的。
教學設計說明
學生的學習內容應該是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的,而老師則應該創(chuàng)造一個有利于學生主動求知的學習環(huán)境。因此,本節(jié)課把培養(yǎng)學生的學習興趣和思維能力放在首位。教學中采用合作學習的方式,互相交流,集思廣益,突破創(chuàng)新,以達到共同提高的目的。然后,通過多樣化的練習鞏固知識,既調動學生的積極性,又使學習伙伴之間進行了思維的碰撞和溝通。使其在輕松的氛圍中多層次、多角度地掌握“不等式的性質”。
本節(jié)課的設計體現(xiàn)了一個原則:低起點、多練習、勤反饋、快矯正、重能力、以求最大限度提高課堂效率。
等式課件 篇5
均值不等式
教學目標
(一) 知識與技能:明確均值不等式及其使用條件,能用均值不等式解決簡單的最值問題.
(二) 過程與方法:通過對問題主動探究,實現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn),體驗知識與規(guī)律的形成過程.
(三) 情感態(tài)度與價值觀:通過問題的解決以及自身的探索研究領略獲取新知的喜悅.教學重點:均值不等式的推導與證明,均值不等式的應用.教學難點:均值不等式的應用 教學過程
創(chuàng)設情境如圖,AB是圓的直徑,D是CAB上與A、B不重合的一點,AD=a,DB=b,過點D作垂直于AB的弦CD,連AC,BC,AaODbB則CD=__,半徑OC=____E 討論 :(1)CD OC (2)文字敘述(幾何意義): (3)試用含a、b的表達式來表示上述關系 注意:(1)當 時, (2)a、b的取值范圍
探求新知:均值不等式的內容及證明
均值定理:
證明:(比較作差法)
變形應用:(1)
(2)
討論釋疑:
牛刀小試:已知x?0,則x?1x? 例
1、已知ab?0,求證:baa?b?2并推導出式中等號成立的條件
例
2、求函數(shù)f(x)?x2?2x?3x(x?0)的最值,以及此時x的值
精煉鞏固:
?t2 1.設t?0,則函數(shù)f(t)?4t?1的最小值為此時t的值
4 2.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則ab有最值為
點撥提高:
總結本節(jié)課的你的收獲。
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
不等式基本性質教學設計
《等式的性質》教學設計
《等式的性質》教學設計
等式性質教學設計(共8篇)
基本不等式教學設計
等式課件 篇6
教學內容:教科書第3~4頁的內容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
2、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學重點與難點:根據等式的性質(一)學會解決含有加、減號的方程。
教學流程:
一、教學例3
出示圖,學生根據圖獨立填空。
根據學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然
是等式。這是等式的性質。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據等式的性質把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調書寫的格式。
小結:求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第5題。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
這時等式的性質。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
等式課件 篇7
1、具體情境,感受天平平衡
通過課件展示情境圖引導學生小結出等式并用字母表示。
2、猜想假設、小結規(guī)律
先讓學生猜想然后再通過課件在天平上演示過程。驗證學生的猜想,用字母表示。引導學生小結出:等式兩邊同時加上同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
3、觀察思考、總結發(fā)現(xiàn)
通過課件對教材第64頁圖2的演示過程讓學生獨立思考,再通過小組合作討論總結出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。等式的性質1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
4、假設數(shù)據、驗證規(guī)律
得到結論后通過假設物體的具體的數(shù)據驗證學生自己總結出的規(guī)律。
5、口算練習、應用規(guī)律
通過一些簡單的等式問答應用等式兩邊同加或同減相同的數(shù)以加強規(guī)律的應用。
6、設疑思考
提出問題讓學生思考還有沒有其他的運算也能使等式左右兩邊相等。留給學生思維的空間,再通過課件引導學生一步步總結出等式的性質2:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
等式課件 篇8
1、創(chuàng)設情景,引發(fā)認知沖突
以前學生解方程習慣用加減法、乘除法互為逆運算的方式解方程,這樣的思路只適宜解比較簡單的方程,例如:x+3=5、3x=-12等,簡單的一元一次方程的解用估算的方法或逆運算的方式我們都可以求出方程的解;而象19+28x=33x-1這樣比較復雜的方程我們用上述方法還能求出它的解嗎?我利用學生認知上的沖突引入新課。這樣既激發(fā)了學生的學習興趣又明確了本節(jié)課的教學目的。為等式性質的構建做好鋪墊。
2、實驗探索,從特殊到一般
等式性質的呈現(xiàn)屬于實驗探究型課,目的是要學生在活動中體驗等量的變化關系和等式的性質。這里我分段逐步呈現(xiàn)等式的特性。首先出示平衡天平的圖形,給學生一個天平平衡的印象,引導學生用字母構建一個等式,接著在上一個平衡天平的基礎上,兩側同放一個三角形的符號表示物體的重量,讓學生觀察這時出現(xiàn)什么現(xiàn)象,同時提出問題:怎樣做,兩邊才會保持平衡?通過學生實驗得出使天平兩邊平衡的方法,并用字母式子表示實驗的過程,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述,接著通過幾個練習加以鞏固,然后借助上一個實驗的經驗和方法,進一步指導學生完成天平兩邊成倍變化的實驗,最后根據實驗情況觀察歸納結論。同時注意在總結時先讓學生根據實驗,把自己所得到的結論敘述出來,然后教師再對學生的結論給予概括得到等式的性質。
上述講授等式的性質用的是觀察實驗法,實驗觀察是科學研究的一種基本的方法,它是根據客觀事物和現(xiàn)象找出它具有的客觀規(guī)律,有助于發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學事實,抽象出對象的屬性,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述。同時也體現(xiàn)了由特殊到一般的思維認知規(guī)律。
3、強化概念,指導學生嘗試
關于等式概念、等式與方程的聯(lián)系的引出,教法上采用充分利用學生已有的知識、練習回顧、交流的方式。等式的性質的教學,采用師生共同觀察實驗,讓學生通過對直觀圖形的觀察、實驗和猜想,自已發(fā)現(xiàn)結論,并用總結的形式表述結論。等式性質的理解和掌握關鍵在于應用,只有通過大量練習來鞏固和提高,練習的速度越快正確越高,說明知識理解和掌握的越好。因此在教學中得到等式性質后,就用三組嘗試練習加強鞏固和提高,這樣既調動了學生學習的趣味性和主動性,增強了學生積極參與教學活動的意識,又很好地培養(yǎng)了學生的動手操作能力、觀察能力、邏輯思維能力和總結歸納能力,同時,也向學生滲透了實踐——認識——再實踐——再認識的一種學習方法,使新舊知識技能得到了有機的結合。
等式課件 篇9
教學內容:教科書第3~4頁的內容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
2、根據等式的性質(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據圖獨立填空。
根據學生的回答,板書:
20=2020+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然
是等式。這是等式的性質。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據等式的性質把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調書寫的格式。
小結:求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
等式課件 篇10
一、學情分析:作為初一學生(132班和137班)在小學時已經對等量關系和等式的性質有所了解,通過本節(jié)課的學習,目的是要使學生從天平的特點中歸納得出等式的性質。
新課標對本節(jié)課的要求是:掌握等式的性質。在前面一節(jié)課的學習中,學生掌握了一元一次方程的概念和初步應用后,需要解決的是一元一次方程的解法。本節(jié)內容借助于等式的性質這一工具來解一元一次方程。首先,通過天平的實驗操作,使學生學會觀察。嘗試分析歸納等式的性質。然后,利用等式的性質解一元一次方程。通過解方程的學習提高學生的觀察問題、解決問題的能力。
2、教育教學目標。
根據以上對教材的理解與內容分析,考慮到學生已有的知識結構和心理特征,制定如下教學目標:
(1)知識與技能:探究等式的性質,并能利用等式的性質進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
(2)過程與方法:通過實驗培養(yǎng)學生探索能力、觀察能力,歸納能力和應用新知識的能力。
(3)情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式性質過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結論的確定性,建立學生學好數(shù)學的信心。
為了使學生能比較順利地達到教學目標,我確定了本節(jié)課的教學重、難點:
教學重點:探究等式的性質,能根據等式性質進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
教學難點:利用等式的性質把簡單的一元一次方程變形為x=a(常數(shù))的形式;正確理解等式性質2中除數(shù)不能為0。
(一)教學手段:如何突出重點、突破難點,從而實現(xiàn)教學目標,我在教學過程中利用多媒體演示擬計劃進行如下操作:
1、讀(看)――議――講結合法。
2、圖表分析法。
3、讀圖討論法。
4、教學過程中堅持啟發(fā)式教學的`原則。
堅持“以學生為主體,以教師為主導”的原則。即“以學生活動為主導,教師講述為輔,學生活動在前,教師點撥評價在后”的原則。根據初一學生的心理發(fā)展規(guī)律。聯(lián)系實際安排教學內容,采用學生參與高度的學導式討論教學法、師生交談法、圖象信號法、問答法、教學課堂討論法,使學生動口、主動探索、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、互動合作、歸納概括、形成能力,突出學生的主體地位。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題。
提問不同層次的學生面向全體,使基礎差的學生也有表現(xiàn)的機會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)學習熱情,有效開發(fā)各層次學生的潛在能力求使每個學生都在原有基礎上得到發(fā)展,同時通過課堂練習和課后作業(yè)啟發(fā)學生。在教學中要積極培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣和動機。明確學習目的,教師應在課堂上充分調動學生積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力。
實際上,青少年好動,注意力易分散,愛發(fā)表見解。希望得到老師的表揚所以在教學中應抓住學生這一生理特點。一方面運用直觀生動的形象,引發(fā)學生興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上。另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性。
首先我出了一些可以看出方程解的題目,讓學生回答,由易到難,激起學生學習的欲望,緊接著就引入等式的定義,從而使學生明白解方程先要研究等式,從而引入課題。
由于學生的認知結構是由簡單到復雜,由具體到抽象的過程,因此在這一環(huán)節(jié)中,我分兩個方面來教學:等式的性質1由老師課件演示,學生觀察歸納概括。
我利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
通過上面的觀察,讓學生分組討論:如何用算式表示實驗結果?學生交流后,教師進行課件演示。
本節(jié)課,讓學生經歷一種從平衡到不平衡再到新的平衡的過程,體驗變化是怎樣產生的,怎樣從打破平衡,又怎樣達到新的平衡。從而培養(yǎng)了學生觀察能力和抽象概括能力。
我接著提問:如果天平兩邊減去相同的質量,天平會有什么變化?
讓學生先獨立思考,然后教師課件演示。你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?怎樣用等式描述?得出等式兩邊同時減去同一個數(shù),等式仍然成立。并且由以上兩條規(guī)律得出:等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù),等式仍然成立。
如果在天平兩邊同時加上或減去不同的質量,天平會有什么變化?
學生經過思考得出:等式的兩邊加上或減去的必須是同一個數(shù),才能使等式成立。這樣符合學生的認知規(guī)律,從實踐認識,再到實踐認識的過程。
教師再用課件展示天平圖,學生通過觀察,歸納得出:等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)(除數(shù)不能為0),等式仍然成立。
等式基本性質2的推導在性質1的基礎上,讓學生自己通過觀察探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
(2)若a=b,則ac=bc,
注意:
(1)等式兩邊都要參加運算,且是同一種運算。
(2)等式兩邊加或減,乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同一個式子。
(3)等式兩邊不能都除以0,即0不能作除數(shù)或分母。
在這個環(huán)節(jié)中把等式的兩個性質展示出來,我特別提到了三個注意:因為這是在等式性質解方程中容易出錯的地方,就是希望同學們認真細心,正確利用性質解題。
我在練習中設計了三道題,從簡單的填空到判斷變形對錯,到最后的解方程,方程的四道題也是有簡單到復雜,總之練習題的設計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,是那些平時不舉手的同學也積極參與,竟然問題也答得很好。從這些方面培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
作業(yè)設計:
PPT投影出課本第83頁習題3.1第4題。
等式課件 篇11
一、教材分析
等式的基本性質是學生在剛剛認識了等式與方程的基礎上進行教學的。它是系統(tǒng)學習方程的開始,其核心思想是構建等量關系的數(shù)學模型。本節(jié)課的學習是學生在實驗的基礎上,掌握等式的兩個基本性質,引導學生通過比較,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并為今后運用等式的基本性質解方程打基礎。同時培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力。
二、教學目標:
知識與技能:理解并能用語言表述等式的基本性質,能用等式的基本性質解決簡單問題。
過程與方法:在用算式表示實驗結果、討論、歸納等活動中,經歷探索等式基本性質的過程。
情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式基本性質過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結論的確定性。
三、教學重點是:
引導學生探索發(fā)現(xiàn)等式的基本性質,利用等式的基本性質解決簡單問題。
教學難點是抽象歸納出等式的基本性質。
四、教學程序(分三部分教學)
(一)聯(lián)系實際,激趣引入
首先激發(fā)探究興趣:提出問題:“同學們,你用天平做過游戲嗎?”這節(jié)課我們就利用天平一起來探索天平游戲中所包含的數(shù)學知識。”
(二)自主探索,合作交流
學習等式的基本性質1
1、具體情境,感受天平平衡
利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
圖1、圖2的教學模式:先讓學生觀察,問:你發(fā)現(xiàn)了什么?然后提問:怎樣變換,能使天平仍然保持平衡呢?待學生思考片刻,再進一步提問:往兩邊各放1個杯子,天平會發(fā)生什么變化?生口答,驗證。接下去,繼續(xù)提問:如果兩邊各放上2個茶杯,天平還會保持平衡嗎?兩邊各放上同樣的一把茶壺呢?生答,再一一演示驗證。
圖3、圖4的教學模式和前面一樣。
板書如下:
2、總結抽象,認識規(guī)律
通過上面的觀察,先用一句話歸納圖1和圖2的內容。(1、等式的兩邊都加上或減去相同的數(shù),等式不變。)再以第一句話為基礎歸納出圖3和圖4的內容。(2、等式的兩邊都乘或除以相同的數(shù)(0除外)等式不變。)
教師指出這是等式的一個非常重要的性質。板書:等式的基本性質
(三)鞏固練習,深化認識
練習題的設計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
1、根據圖(1)在下面每幅圖的括號里填上適當?shù)姆柣驍?shù)字,使天平平衡。
2、課堂作業(yè)。(當堂完成)
填一填。(a、b均不為0)
(1) 如果x+a=b,那么x+a-a=b○
(2) 如果x-a=b,那么x-a+a=b○
(3) 如果ax=b,那么a x÷a=b○
(4) 如果x÷a =b,那么x÷a×a=b○
3、拓展訓練。
五、最后,關注學生的和感受,提出:通過本節(jié)課的學習你有什么收獲?
不等式課件精選九篇
為了促進學生掌握上課知識點,老師需要提前準備教案,老師在寫教案課件時還需要花點心思去寫。?教案和課件優(yōu)化可使教學任務的完成更加精細化。幼兒教師教育網小編特意為大家收集整理了“不等式課件”,歡迎參考愿您成為更好的自己!
不等式課件 篇1
不等式的性質 教學設計
十六中 尚進軍
【教學重點與難點】
教學重點:掌握不等式的三條基本性質,尤其是不等式的基本性質3 教學難點:正確應用不等式的三條基本性質進行不等式變形 【教學目標】
1、探索并掌握不等式的基本性質
2、會用不等式的基本性質進行化簡 【教學方法】
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結出不等式的三條基本性質,從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
【教學過程】
一、創(chuàng)設情境 復習引入
(設計說明:設置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內容提供必要的知識準備.)問題:
1、什么是等式?等式的基本性質是什么?
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.(1)3
2×5 3×5
2×(-1)3×(-1)3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5)3×(-5)3+a 7+a
2÷(-2)3÷(-2)(教學說明: 復習等式的基本性質后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質,從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質.)
二、師生互動,探索新知
1、不等式的基本性質
問題1:觀察思考問題3,猜想出不等式的性質
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質得出不等式的性質.觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質1: 不等式基本性質1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變. 比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關?由學生概括總結,教師補充完善得出: 不等式基本性質2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變. 不等式基本性質3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.
問題2:將不等式-2<6兩邊都加上7,-9,兩邊都乘3,-3試一試,進一步驗證上面得出的三條結論. 教師 強調指出:不等式的三條基本性質實質上是對不等式兩邊進行“+”、“-”、“×”、“÷”四則運算,當進行“+”、“-”法時,不等號方向不變;當乘(或除以)同一個正數(shù)時,不等號方向不變;只有當乘(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向才改變.
問題3:嘗試用數(shù)學式子表示不等式的三條基本性質. 學生思考出答案,教師訂正,最后得出:(1)如果a>b,那么a±c>b±c(2)如果a>b,c>0那么ac>bc(或>)(3)如果a>b,ca” 或“x26;(2)3x50;(4)-4x>3.解:(l)根據不等式基本性質1,不等式的兩邊都加上7,不等號的方向不變. 得 x-7+7>26 +>33(2)根據不等式基本性質1,兩邊都減去2x,不等號的方向不變,得3x-2x75,不等號的方向不變,得(4)根據不等式基本性質3,兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x(教學說明:這些不等式比較簡單,可以利用不等式的性質直接求解,從而加深對這些性質的認識.教師板書(1)題解題過程.(2)(3)(4)題由學生在練習本上完成,指定三個學生板演,然后師生共同判斷板演是否正確.解題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,有助于加強知識之間的前后聯(lián)系,突出新知識的特點,并將原題與“x>a” 或“xc, a+c>b, b+c>a 我們現(xiàn)在求的是兩邊之差與第三邊的關系,所以由不等式的性質1將上式變形為: 由a +b>c得a>c-b, b>c-a.同理,由a+c>b, b+c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.這就是說,三角形中任意兩邊之差小于第三邊.(教學說明:此問題應用不等式的性質由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”得出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”這個與已有結論等價的新結論.“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”對應的是三個形式一樣的不等式,而不是一個不等式.由這三個不等式再推出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”.為了加深學生的感性認識,可以通過測量的方法驗證這個結論.)三、鞏固訓練,熟練技能:1、如果a>b,那么(1)a-3 b-3,(2)2a 2b(3)-3a-3b,(4)a-b 0(5)(6)-b_____-、在下列各題橫線上填入不等號,并說明是根據不等式的哪一條基本性質.(1)若a–3<9,則a_____12;(2)若-a<10,則a_____–10;(3)若a>–1,則a_____–4;(4)若-a>0,則a_____0.3、利用不等式的性質解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集(解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為“x>a”或“x<a”的形式)(1)x-1<0;(2)x>-x+6;(3)3x>7;(4)-x<-3.(教學說明:這些練習進一步加深了學生對不等式性質的理解,做此練習題時,應讓學生注意觀察它們是應用不等式的哪條性質,是怎樣由已知變形得到的.注意應用不等式性質3時,不等號要改變方向.做第3題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,讓學生認識到應用不等式的性質1變形,相當于移項.)四、總結反思,課堂小結1、不等式的基本性質是什么?如何用數(shù)學式子表示?2、在本節(jié)課的學習中,你還有什么疑惑? 3.主要用到的思想方法是類比思想.4.注意的問題: 當不等式兩邊同乘(或除以)同一個數(shù)時,一定要看清是正數(shù)還是負數(shù),若是負數(shù),要變兩個號,一個性質符號,另一個是不等號,對于未給定范圍的字母,應分情況討論.六、布置課后作業(yè):1、課本127頁練習2、課本128習題的5、6、7題 【評價與反思】通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質,引導學生用數(shù)學式子表示三條基本性質,同時注意將不等式的三條基本性質與等式的基本性質進行比較,以加深學生的理解.在教學過程中,注重培養(yǎng)學生運用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結概括的能力.同時培養(yǎng)了學生積極主動的參與意識和勇敢嘗試、探索的精神.
不等式課件 篇2
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關系,向學生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇3
基本不等式是數(shù)學中一個重要的基礎公式,也是高中數(shù)學學習的重點之一。此公式廣泛應用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,具有廣泛的實際應用價值。本文將圍繞基本不等式的定義、推導、應用和解題技巧進行講解。
一、基本不等式的定義
基本不等式又稱柯西-施瓦茨不等式,其一般形式為:
∣∣∣∣∑iaibi∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
其中a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn為任意實數(shù)。該不等式的本質含義是,在平面直角坐標系中,向量間的內積不大于它們模的乘積之積,并且當且僅當向量線性相關時取等號。
二、基本不等式的推導
基本不等式的推導涉及到向量的概念。假設有兩個n維向量a和b,它們的內積為∑iaibi,則它們的長度分別為:|a|=√∑iai2和|b|=√∑ibi2。
將a和b定義為Rn中的兩個向量,則它們的夾角為θ,則有:
cosθ=∑iaibi/|a||b|
通過分析cosθ的大小關系,顯然有:
?1≤cosθ≤1
進一步得到基本不等式:
|∑iaibi|≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
三、基本不等式的應用
基本不等式廣泛應用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,下面將分別介紹它們的應用。
1. 求證
基本不等式可以用于求證數(shù)學中的一些定理,比如互余等比數(shù)列的和定理。具體應用時,我們可以將等比數(shù)列拆成兩個向量,然后應用基本不等式即可得到所證定理。
2. 排列組合
在排列組合問題中,基本不等式可以幫助我們確定最優(yōu)解,以最小或最大值為目標得到所需的數(shù)字。例如,在n個數(shù)字中有幾對數(shù)對,他們之間的差值恰好為k,可以通過將原問題轉換為求兩個向量之間的夾角,然后應用基本不等式進行求解。
3. 概率
在概率問題中,基本不等式可以用于推算隨機事件中不等的概率值,例如玩牌游戲中的胡牌概率等。我們可以將每個事件看作向量,然后使用基本不等式計算它們的夾角,從而得到相應的概率值。
四、基本不等式的解題技巧
基本不等式的應用需要掌握一些解題技巧。下面列舉一些常用的技巧:
1. 將數(shù)列表示成向量
在排列組合問題中,將數(shù)列表示成向量,有利于方便運用基本不等式進行計算。
2. 極小化或極大化
當問題中要求最小或最大值時,我們可以使用極小化或極大化的思路,以求解最優(yōu)解。
3. 利用對稱性
當有對稱條件時,可以運用基本不等式中的對稱性質,簡化數(shù)學推理。
4. 運用方法的差異性
在某些情況下,我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)在大小方面的差異,從而確定使用哪個方法進行計算。
綜上所述,基本不等式是高中數(shù)學學習的重點之一,應用范圍廣泛。掌握了基本不等式的定義、推導、應用和解題技巧,能夠在數(shù)學競賽中取得更好的成績,也有利于我們理解、應用其它數(shù)學定理。
不等式課件 篇4
《不等式的性質(1)》教學設計
一、引入
展示任務單的數(shù)據分析,向學生明確本堂課的教學內容。
二、預習檢測
學生回答“什么是不等式的性質” 不等式的性質1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變 不等式的性質2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變 不等式的性質3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變
三、應用1:利用不等式的性質比較大小
【例1】若a?b,判斷3?2a與3?2b的大小關系.小結:利用不等式的性質比較大小的一般思路: 利用不等式的性質將“已知”逐步化成“目標
(1)教師對任務單中錯誤率較高的題目進行講解;
(2)設置類似的問題作為例題,并進行鞏固訓練和變式訓練。
【鞏固】(1)若3a?4?3b?4,則a___b;(2)若?5a?7??5b?7,則a___?b,則: 【變式一】若 ①(k2?1)a___(k2?1)b ②1?k2a___1?k2b
【變式二】若a?b,試比較ka與kb的大小.【鞏固】(1)若a?b,且(k?1)a?(k?1)b,則k的取值范圍是______.1(2)由kx?1變形可得x?,則k的取值范圍是________.k
四、應用2:利用不等式的性質解不等式
(1)針對任務單中學生解不等式時在步驟中出現(xiàn)的問題,教師規(guī)范解題步驟;
(2)教師分享某位同學任務單中對“不等式的性質與等式性質的異同?”的回答,小組討論利用不等式的性質解不等式步驟中需要注意的問題;(3)學生綜合范例和討論結果,進行鞏固訓練和變式訓練?!纠?】利用不等式的性質解不等式:4y?12??2?3y.【鞏固】13用不等式的性質解不等式:y?2?y?522 【變式】13已知y?2?y?5,化簡y?3?(6?2y)
五、課堂小結
小組討論分享:通過本節(jié)課的學習,“我知道了??”“我掌握了??”。
六、課堂檢測
學生獨立完成課堂檢測,由數(shù)據反饋出本堂課的達成度
七、課后思考 布置課后思考題
利用不等式性質1,比較2a與a的大?。╝?0).2,比較2a與a的大?。╝?0).利用不等式性質
不等式課件 篇5
基本不等式是中學數(shù)學中比較重要的知識點,它是一條數(shù)學公式,可以用來證明數(shù)學上的不等式問題。在中學階段,我們通常會學習到關于基本不等式的概念、性質以及應用等方面的知識。接下來,本篇文章將圍繞這一主題展開,詳細說明基本不等式的相關知識點和應用場景。
一、基本不等式的概念和性質
基本不等式實際上是針對于a、b兩個正實數(shù)而言的,它的數(shù)學表述為:(a+b)2≥4ab 。 這個公式被稱為基本不等式的“基本式”。同時,在這個式子中,等號成立的條件是a=b時。接下來,讓我們來看看基本不等式的一些性質。
1.基本不等式的證明:
(a+b)2=a2+2ab+b2≥4ab (由于a2+b2≥2ab)
化簡得:a2+b2≥2ab,即(a-b)2≥0,結合等式左側兩邊同時加上4ab,則得到公式(a+b)2≥4ab,也就是基本不等式。
2. 基本不等式的解釋:
從式子來看,基本不等式的左邊是一個完全平方數(shù),即(a+b)2。右邊是4ab。又因為基本不等式中的變量a和b都是正實數(shù),所以無論a和b的大小關系如何,四倍的乘積4ab一定是大于等于a2+b2、即2ab的。因此,我們可以得到基本不等式的結論:(a+b)2≥4ab。
3. 基本不等式的應用:
基本不等式有非常廣泛的應用,其中一些典型的應用場景包括以下幾種:
a. 使用基本不等式證明其他不等式:
比如,對于x、y兩個正實數(shù),我們可以將不等式(x-y)2≥0 化簡為x2+y2≥2xy 的形式,然后用上基本不等式,即可快速證明(x-y)2≥0 成立。
b. 使用基本不等式解決實際問題:
比如,用4米長的繩子圍成一個矩形獸欄,求獸欄能夠圍住的最大面積是多少? 我們可以將這個問題轉換為求:4m邊長的正方形對面提醒獸欄的最大面積問題。此時,我們可以利用基本不等式,推導出正方形的對角線最大長度即為4√2米,由此可以得出此時正方形的面積即為16平方米,也就是獸欄的最大面積。
c. 使用基本不等式驗證一些數(shù)學結論:
比如,我們可以利用基本不等式來驗證任意兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。 具體的,對于兩個正實數(shù)a和b,我們可以推導得到:
(a+b)2≥4ab
(a+b)2/4≥ab
(√ab+√ab)2/4≥ab
(?ab) ≥ (a+b)/2
由此可得,兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù),即( a+b)/2≥?ab。
二、基本不等式的應用實例
1.題目描述:
小峰有若干元錢,他能夠涵蓋八天的生活物資開銷?,F(xiàn)在,他去買菜了,花掉了R元錢,求他能不能仍然用這筆錢過完余下的那幾天。
2.解題思路:
我們可以設小峰剩下的錢數(shù)為x,應該取得一個不等式來表示這個問題。具體地,設日均消費為m(m 一定是小于R/x 和x/8之間較小數(shù)),則從第9天開始,小峰所存的錢應數(shù)學表達式為:
x-R≥m*(8),
x≥m*(8)+R
這是一個關于x的不等式,為驗證其是否成立,我們需要對它進行推導。為了推導方便,我們將不等式變形如下:
m*(8)+R≤x
然后,我們可以利用基本不等式將其化簡為如下形式:
(mx/?8)^2+(Rx/?8)^2≥2mRx/4
由于 x>0,所以令 t = x/?8,則上式化簡為:
(m/2)t^2+(R/2)^2≥tmR
或者
(t-R/m)^2+(m/2)^2≥R^2/ 4m^2
根據上面的式子,我們可以得出,只要 t≥R/m,即x≥m*(8)+R,則小峰就有足夠的錢過余下的幾天生活了。
3.綜述
基本不等式是非常重要的中學數(shù)學知識點,它不僅有較為實際的應用場景,還能用于證明和推導其他數(shù)學結論。在學習基本不等式的時候,我們需要注意,對于不等式的變量,要理解它們所表示的實際含義和邏輯關系,從而更好地應用基本不等式來解決實際問題。
不等式課件 篇6
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望.根據本節(jié)課的教學內容,應用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應關系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應點位置間的關系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結構美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產生用數(shù)學研究不等關系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關系的相關素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關系,又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應的兩實數(shù)具有怎樣的關系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關內容.
實例1:某天的天氣預報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結論.
討論結果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經常使用的方法,應讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據實數(shù)的運算性質與大小順序的關系,歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關系,只需確定它們的差與0的大小關系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關鍵首先是把文字語言轉換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結,從實數(shù)的基本性質的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設計關注了教學方法的優(yōu)化.經驗告訴我們:課堂上應根據具體情況,選擇、設計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中,沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣,可以說與其他所有內容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產生負面影響.
3.本節(jié)設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質,是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大小:(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式課件 篇7
《課題:實際問題與一元一次不等式》教學設計
【教學目標】:
1.通過列一元一次不等式解決具有不等關系的實際問題,進一步熟練掌握一元一次不等式的解法,體會不等式是解決實際問題的有效的數(shù)學模型。
2.通過應用一元一次不等式解決實際問題,進一步強化應用數(shù)學的意識,從而使學生樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學信息,談論數(shù)學話題,能夠在數(shù)學活動中發(fā)揮積極作用。
3.通過探究,增進學生之間的配合,培養(yǎng)學生敢于面對困難和克服困難的勇氣,樹立學好數(shù)學的自信心。
【重點難點】:
重點:由實際問題中的不等關系列出不等式。
難點:列一元一次不等式描述實際問題中的不等關系
【教學過程】:
回顧舊知、引入新課
師:之前我們學習過利用一元一次方程解決生活中的銷售問題,現(xiàn)在李老師就來考考大家,請看第一題:
出示幻燈片1
1.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利10元,設進價為x元,則可列等式。
(學生解決并給出合理解釋)
師:那我們一起來回顧一下利用一元一次方程解決實際問題的基本步驟是什么?
學生回答后,教師總結:
利用一元一次方程解決實際問題的一般步驟:
審、設、列、解、答
師:好!請看第二題:
2.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利不低于10元,設進價為x元,則。
師:相較于第一題,題目發(fā)生了什么變化?
學生抓住關鍵詞“不低于”,列出不等式。
師:找到不等關系,列一元一次不等式也是解決實際問題的常用方法。今天,我們就來學習實際問題與一元一次不等式。
出示幻燈片
2小組討論、探究新知
師:馬上就要過春節(jié)了,想要給自己準備什么禮物?
師:老師也想給可愛的兒子買禮物,通過考察,已經知道有兩家超市正在舉行優(yōu)惠活動,咱們一起去逛一逛,好不好?
出示幻燈片3
甲超市說:凡在本超市累計購買100元商品后,再購買的商品按原價的90%收費。
乙超市:凡在本超市累計購買50元商品后,再購買的商品按原價的95%收費
師:李老師覺得甲超市優(yōu)惠,因為打9折?你的意見呢?
(學生發(fā)表自己的意見)
師:剛才幾位同學表達了自己的觀點,可是這僅僅是我們的猜想,解決問題不能只靠猜想,運用數(shù)學知識該如何解決這個問題呢?
出示幻燈片
4下面老師就把時間交給大家,4人一小組展開討論,到底該選擇哪家超市購買才能獲得更大優(yōu)惠?
(學生討論的過程中,教師主要巡視并和學生共同探究。)
經過探討,小組形成初步想法,小組派代表分享討論結果,逐一解決列表達式、分類、建模列不等式、解不等式等題目中難點,教師以板書形式將結果呈現(xiàn)在黑板上,并引導學生補充,完善解題過程,并利用多媒體進行展示。
學以致用 挑戰(zhàn)自我?guī)煟和瑢W們理解得非常到位!那么再碰到類似的問題你能解決了嗎?
出示幻燈片
5我校計劃在暑假期間組織學生到某地旅游,參加旅游的人數(shù)估計為10~25人,甲、乙兩家旅行社的服務質量相同,且報價都是每人200元.經過協(xié)商:甲旅行社表示可給予每位學生七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一位學生的旅游費用,其余學生八折優(yōu)惠.我校選擇哪一家旅行社支付的旅游費用較少?
學生獨立思考后進行小組討論,選代表上黑板展示。
梳理過程 總結提高
教師引導學生回顧兩道題的解題過程,談談獲得的感悟,學生獨立思考片刻后進行小組交流討論。
出示幻燈片6
回顧這個問題的解題過程,你有哪些感悟呢?
例如:我感受最深的是??
我感到最困難的是??
我發(fā)現(xiàn)生活中??
我學會了??
布置作業(yè) 測評反饋
出示幻燈片7
作業(yè):
一、在市場上收集兩種手機收費方式,幫爸爸(媽媽)選擇一種合適的消費方式.二、習題(134頁)1.(1)(2)5.
不等式課件 篇8
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應用到生活的各個領域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據題意列出相應的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內容是向學生設疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應滿足什么條件?
設車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結,師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
不等式課件 篇9
不等式的性質(2)教學目標
1.知識與技能:理解不等式的性質,會解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出解集。
2.過程與方法:通過經歷不等式性質的簡單應用,積累數(shù)學活動。通過獨立解題,進一步理解不等式的性質,體會不等式性質的價值。
3.情感態(tài)度和價值觀:認識到通過觀察、實驗、類比可以獲得數(shù)學結論,體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。在獨立思考的基礎上,積極參與對數(shù)學問題的討論,敢于發(fā)表自己的觀點,學會分享別人的想法和結果,并重新審視自己的想法,能從交流中獲益。重點難點
1.重點:不等式的性質及其解法. 2.難點:不等式性質的探索及運用.方法策略
啟發(fā)式教學法——以設問和疑問層層引導,激發(fā)學生,啟發(fā)學生積極思考,培養(yǎng)和發(fā)展學生的抽象思維能力。
探究教學法——引導學生去疑;鼓勵學生去探; 激勵學生去思,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和批判精神。教學過程:
一、梳理舊知,引出新課
問題1: 在前面的學習中,你學到了不等式的哪些性質?(用文字語言敘述)(鼓勵學生回答問題,用電子白版顯示三條性質的符號語言)問題2: 解一元一次方程最終的目的是把方程轉化成哪種形式?其主要的理論依據是什么?
(為問題3做鋪墊)
二、合作交流,探究新知
問題3: 利用不等式的性質解下列不等式:
(1)x?7?26(2)3x?2x?1 2(3)x?50(4)?4x?3 3(類比著解一元一次方程的方法教師先解(1),并用數(shù)軸表示其解集,然后讓學生試解(2)(3)(4)并和同學交流,最后教師點評。)
思考1:(3)(4)的求解過程,類似于解方程的哪一步變形? 思考2:依據不等式性質3解不等式時應注意什么? 隨堂練習:1.完成課本P119練習1 問題4: 2011年北京的最低氣溫是19℃,最高氣溫是28℃,你能把北京的氣溫用不等式表示出來嗎?
(符號“≥”讀作“大于或等于”,也可以說是“不小于”;符號“≤”讀作“小于或等于”,也可以說是“不大于”.形如a≥b或a≤b的式子也是不等式,它們具有類似前面所說的不等式的性質).隨堂練習:完成課本119頁練習2.問題5: 某長方體形狀的容器長5 cm,寬3 cm,高10 cm.容器內原有水的高度為3cm,現(xiàn)準備向它繼續(xù)注水.用V(單位:cm3)表示新注入水的體積,寫出V的取值范圍.(學生先合作探究,然后讓學生交流探究結果,最后老師講評并強調在解決實際問題的時候,要考慮取值的現(xiàn)實意義。)
三、歸納完善,豐富新知
1:如何利用不等式的性質解簡單不等式? 2:依據不等式性質3解不等式時應注意什么? 3:請說明符號“≥”和“≤”的含義?
四、布置作業(yè)
必做題:P120第5,7,8題.選做題:P120第9題
一元一次不等式課件
每位老師不可或缺的課件是教案課件,因此教案課件可能就需要每天都去寫。教案是課程開展的向導。今天小編為大家?guī)砹艘黄P于“一元一次不等式課件”的相關文章,如果你希望長期關注我的分享請不要忘記將它收藏起來!
一元一次不等式課件 篇1
【知識與技能】
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
【過程與方法】
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結出求不等式組解集的法則。
【情感態(tài)度】
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結合”的方法今后經常用到,鍛煉同學們數(shù)形結合的能力,提高學習興趣。
【教學重點】
一元一次不等式組的解法。
【教學難點】
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1 現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設c的長為xcm,則x<____,①x>____,②
合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2 由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的解法。
【教學說明】全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
【歸納結論】
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
一元一次不等式課件 篇2
一元一次不等式教案
教學目標
1、能夠根據實際問題中的數(shù)量關系,列一元一次不等式(組)解決實際問題.
2、通過例題教學,學生能夠學會從數(shù)學的角度認識問題,理解問題,提出問題,?? 學會從實際問題中抽象出數(shù)學模型.
3、能夠認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系,培養(yǎng)學生應用所學數(shù)學知識解決實際問題的意識.
教學重點? 能夠根據實際問題中的數(shù)量關系,列出一元一次不等式(組)解決 實際問題
教學難點? 審題,根據實際問題列出不等式.
例題? 甲、乙兩商場以同樣的。價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案:在甲商場累計購物超過100元后,超出100元的部分按90%收費;在乙商場累計購物超過50元后,超出50元的部分按95%收費。顧客到哪家商場購物花費少??
解:設累計購物x元,根據題意得
(1)當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
(2)當50< x≤100時,到乙商場購物 m. 花費少;
(3)當x > 100時,到甲商場的花費為100+0.9(x-100) , 到乙商場的花費為50+0.95(x-50)則
50+0.95(x-50) > 100+0.9(x-100),解之得x >150
50+0.95(x-50) < 100+0.9(x-100),解之得x < 150
50+0.95(x-50) = 100+0.9(x-100),?? 解之得x = 150
答:當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
當50< x≤100時,到乙商場購物花費少;當x>150時,到甲商場購物花費少;當100 < x <150時,到乙商場購物花費少;當x=150時,到甲、乙兩商場購物花費一樣。
變式練習? 學校為解決部分學生的午餐問題,聯(lián)系了兩家快餐公司,兩家公司的報價、質量和服務承諾都相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費。問:選擇哪家公司較好?
解:設購買午餐x份,每份報價為“1”,根據題意得
0.9x > 100+0.8(x-100),解之得x >200
0.9x < 100+0.8(x-100),解之得x < 200
0.9x = 100+0.8(x-100),解之得x = 200
答:當x>200時,選乙公司較好;當0 < x <200時,選甲公司較好;當x=200時,兩公司實際收費相同。
作業(yè)
1、某商店5月1號舉行促銷優(yōu)惠活動,當天到該商店購買商品有兩種方案,方案一:用168元購買會員卡成為會員后,憑會員卡購買商店內任何商品,一律按商品價格的8折優(yōu)惠;方案二:若不購買會員卡,則購買商店內任何商品,一律按商品價格的9.5折優(yōu)惠。已知小敏5月1日前不是該商店的會員。請幫小敏算一算,采用哪種方案更合算?
2、某單位計劃10月份組織員工到杭州旅游,人數(shù)估計在10~25之間。甲乙兩旅行社的服務質量相同,且組織到杭州旅游的價格都是每人200元。該單位聯(lián)系時,甲旅行社表示可以給予每位旅客七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一帶隊領導的旅游費用,其余游客八折優(yōu)惠。問該單位怎樣選擇,可使其支付的旅游總費用較少?
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一元一次不等式課件 篇3
尊敬的各位老師:
大家好,今天,我說課的內容是一元一次不等式。
對于本節(jié)課,我將從教什么、怎么教、為什么這么教來闡述本次說課。
新課標指出:數(shù)學課程要面向全體學生,適應學生個性發(fā)展的需要,使得人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上都能得到不同的發(fā)展。今天我將貫徹這一理念從教材分析、學情分析、教學過程等幾個方面展開我的說課。
教材是連接教師和學生的紐帶,在整個教學過程中起著至關重要的作用,所以,先談談我對教材的理解。
本節(jié)課主要講述的是一元一次不等式的概念及其解法。
在本節(jié)課之前學生已經掌握了一元一次方程的相關知識和不等式的性質,所以,本節(jié)課類比一元一次方程的解法,利用不等式的性質解一元一次不等式。另外,本節(jié)課為后續(xù)學習解一元一次不等式組奠定基礎。
不等式在日常生產生活中的應用很廣泛,它與數(shù)、式、方程、函數(shù)甚至幾何圖形有著密切的聯(lián)系,它幾乎滲透到初中數(shù)學的每一部分。所以,本節(jié)課在數(shù)學領域中起著非常重要的地位。
合理把握學情是上好一堂課的基礎,本次課所面對的學生群體具有以下特點。
本學段的學生逐漸掌握抽象概念和復雜的概念系統(tǒng),能作科學定義,抽象邏輯思維逐步占優(yōu)勢。
本階段的學生類比推理能力都有了一定的發(fā)展,并且在生活中已經遇到過很多關于一元一次方程的具體的事例,所以在生活上面有了很多的經驗基礎。為本節(jié)課的順利開展做好了充分準備。
根據以上對教材的.分析以及對學情的把握,我制定了如下三維目標:
通過對比解一元一次方程的步驟,學生自己總結歸納一元一次不等式步驟的過程,提高歸納能力,并學會類比的學習方法。
通過數(shù)學建模,提高對數(shù)學的學習興趣。
本著新課程標準,吃透教材,了解學生特點的基礎上我確定了以下重難點:
掌握一元一次不等式的概念,會解一元一次不等式并能夠在數(shù)軸上表示出來。
一元一次不等式課件 篇4
人教版七年級數(shù)學下冊《一次函數(shù)與一元一次不等式》教學反思
例1:請畫出函數(shù)y=-3x+12的圖像,你能利用圖像解決下列問題嗎?
(1)方程-3x+12=0的解(2)不等式-3x+12>0的解集.
(3)如果y的值在-6≤y≤6的范圍內,那么相應的x的值在什么范圍內?
問題一提出,就有學生不假思索,答案脫口而出,前兩問也太簡單了吧?我提醒學生注意題目要求,這時有學生開始畫函數(shù)圖像。讓學生自己動手,畫出一次函數(shù)y=-3x+12的圖像,目的是讓學生從畫圖的過程中感受從左至右,直線是呈“下降”趨勢的。即y隨x的增大而減小。對于前兩問,學生還比較好理解,但到第3問,有些學生就找不到答案了。這時就要引導學生從第2問,開始延伸,當解-3x+12>0,即函數(shù)值為正數(shù)時,對應的函數(shù)的圖像在x軸的上方,y>0時,坐標系中表示的`是一個平面區(qū)域,在這個區(qū)域中找出對應的自變量x的取值范圍即為不等式的解。讓學生對第3問,再次進行探究,由圖像找出函數(shù)值在-6--6之間的部分,對應地可以找出自變量x的取值范圍。要求學生能在函數(shù)圖像上找到這個區(qū)域,老師再用多媒體進行動態(tài)演示。進一步激發(fā)學生思考,你能用其他方法解決這個問題嗎?學生能聯(lián)想到第3問也可以利用解不等式組的方法求出x的取值范圍。通過本題的解決,讓學生初步感受不等式與方程、函數(shù)的內在聯(lián)系
一元一次不等式課件 篇5
一元一次不等式的應用教案
一元一次不等式的應用教案 孫云云 一、前置作業(yè) 請自學課本12、13頁,相信你會有很大的收獲!帶著的你的例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 二、教學過程 一)導入 在現(xiàn)實中的許多問題,可以借助于一元一次不等式來解決。本節(jié)課我們來研究用元一次不等式解決實際 問題。 二、檢查前置作業(yè),交流組內存在問題 怎樣借助一元一次不等式解決實際問題 三、班級匯報展示 帶著你的`例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 四、總結提升 你學會了什么? 五、布置作業(yè) 教學反思:開始課堂沉悶,學生有些緊張,后來在教師的調解下,氣氛活躍了。樊廣文出的題中缺少一個條件,馬悅出的三道題所提出的問題都有不正確,盡管學生在編的實際問題中出現(xiàn)了失誤,但學生真的動起來了,在思想的相互碰撞中,每個問題都得到了解決。但也有不足,如小組的時效性較小,雖然經歷了小組交流,但問題并未深入的解決,馬悅的三道題是代表小組的,但小組只停留在馬悅出題了,也沒有交流她出題的正確性。導致三道題都出現(xiàn)同一個問題。在今后的教學中教師更應該關注小組的時效性。
2023一元二次不等式課件
今天筆者為大家?guī)砹艘黄P于一元二次不等式課件的精彩文章,歡迎保存本網站,并時刻關注我們的最新動態(tài)。每位教師都應該在授課前準備充分的教案課件,只要在課前認真編寫好教案,便可以有效地促進學校的不斷發(fā)展。教案是推進教育教學創(chuàng)新的有力工具。
一元二次不等式課件 篇1
《一元二次不等式及其解法》
教 學 設 計 說 明
《一元二次不等式及其解法》教學設計說明
一.教學內容分析:
1.本節(jié)課內容在整個教材中的地位和作用.
必修五第三章不等式第二節(jié)一元二次不等式及其解法共有三個課時,本節(jié)課是第一課時,教學內容的地位體現(xiàn)在它的基礎性,作用體現(xiàn)在它的工具性.一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化,對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用.許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法.因此,一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學教學中具有很強的基礎性,體現(xiàn)出很大的工具作用. 2.教學目標定位.
根據教學大綱要求、高考考試大綱說明、新課程標準精神、高一學生已有的知識儲備狀況和學生心理認知特征,我確定了四個層面的教學目標.第一層面是面向全體學生的知識目標:熟練掌握一元二次不等式的解法,正確理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系.第二層面是能力目標,培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合與分類討論等數(shù)學思想方法解決問題的能力,提高運算和作圖能力.第三層面是德育目標,通過對解不等式過程中等與不等對立統(tǒng)一關系的認識,向學生逐步滲透辨證唯物主義思想.第四層面是情感目標,在教師的啟發(fā)引導下,學生自主探究,交流討論,培養(yǎng)學生的合作意識和創(chuàng)新精神. 3.教學重點、難點確定.
本節(jié)課是在復習了一元二次方程和二次函數(shù)之后,利用二次函數(shù)的圖象研究一元二次不等式的解法.只要學生能夠理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系,并利用其關系解不等式即可.因此,我確定本節(jié)課的教學重點為一元二次不等式的解法,關鍵是一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系. 二.教法學法分析:
數(shù)學是發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生良好意志品質和美好情感的重要學科,在教學中,我們不僅要使學生獲得知識、提高解題能力,還要讓學生在教師的啟發(fā)引導下學會學習、樂于學習,感受數(shù)學學科的人文思想,使學生在學習中培養(yǎng)堅強的意志品質、形成良好的道德情感.為了更好地體現(xiàn)課堂教學中“教師為主導,學生為主體”的教學關系和“以人為本,以學定教”的教學理念,在本節(jié)課的教學過程中,將緊緊圍繞教師組織——啟發(fā)引導,學生探究——交流發(fā)現(xiàn),組織開展教學活動.我設計了①回憶舊知,服務新知,②創(chuàng)設情境,提出問題,③合作交流,探究新知,④數(shù)學運用,深化認知,⑤練習檢測,反饋新知,⑥談談收獲,強化思想,⑦布置作業(yè),實踐新知,環(huán)環(huán)相扣、層層深入的教學環(huán)節(jié),在教學中注意關注整個過程和全體學生,充分調動學生積極參與教學過程的每個環(huán)節(jié). 三.教學過程分析:
(一)聯(lián)系舊知,構建新知
設置一系列的問題喚起學生對舊知識的回憶. 問題1:一元二次方程的解法有哪些呢?
(意圖:讓學生回顧一元二次方程的解法,為解一元二次不等式做準備.)
問題2:同學們還記得二次函數(shù)嗎?二次函數(shù)的形式是怎樣的?你記得二次函數(shù)的性質嗎?
(意圖:引導學生從圖象的角度出發(fā),并啟發(fā)學生二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,其開口方向由二次項系數(shù)決定,為突出重點做準備)
(二)創(chuàng)設情景,提出問題
1、讓學生動手畫直角坐標系,然后沿x軸方向上下對折這張紙,觀察它們的值有什么特點?
22、請在剛才的坐標系中畫出y=x-7x+6的圖像 問題1:
(1)x軸上方有無圖像?若有請用紅線描出。這部分圖像對應的y值如何?(2)x軸下方有無圖像?若有請用藍線描出。這部分圖像對應的y值如何?(3)紅線與藍線有無交點?若有請用綠色標出。
(4)你能找出上述各種情況的x的取值范圍嗎?請在圖中寫出。
問題2:你能說一說這兩個不等式有何共同特點么?(1)含有一個未知數(shù)x;
(2)未知數(shù)的最高次數(shù)為2。通過兩問題得出一元二次不等式的概念:一般地,只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式,叫做一元二次不等式。
問題3:判斷下列式子是不是一元二次不等式?
問題4:一元二次函數(shù)、一元二次方程之間有何聯(lián)系呢?
一元二次方程的解即一元二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標,也就是說方程的解即對應函數(shù)的零點。
問題5:一元二次不等式如何求解呢?
(三)合作交流,探究新知
1. 探究一元二次不等式x2?x?2?0的解.
容易知道:一元二次方程x2?x?2?0的有兩個實數(shù)根:x1??1或x2?2. 二次函數(shù)y?x2?x?2與x軸有兩個交點:??1,0?和?2,0?. 思考1:觀察圖象一元二次方程的根與二次函數(shù)之間有什么關系? 思考2:觀察圖象,當x為何值時,y?0;
當x為何值時,y?0; 當x為何值時,y?0.
(設計意圖 : ①體現(xiàn)學生的主體性;②有利于加強對圖象的認識,從而加強數(shù)形結合的數(shù)學思想 ;③有利于加強學生理解一元二次不等式的解相關的三個因素;④為歸納解一元二次不等式做好準備.根據前面探討的問題引導學生歸納一元二次不等式的解.)
2. 探究一元二次不等式ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0?a?0?的解法. 組織討論:從上面的例子出發(fā),綜合學生的意見,可以歸納出確定一元二次不等式的解集,關鍵要考慮:
2拋物線y?ax?bx?c與x軸的相關位置的情況,也就是一元二次方程2ax2?bx?c=0的根的情況,而一元二次方程根的情況是由判別式??b?4ac三 3 種取值情況(??0,??0,??0)來確定.
(設計意圖:這里我將運用多媒體圖標的形式來展現(xiàn)出其解法思路,學生有一個完整的邏輯思維,讓學生在探究中建立知識間的聯(lián)系,體會數(shù)形結合,強調突出本節(jié)的難點.)
(四)數(shù)學運用,深化認知.
2例1.求不等式2x?3x?2?0的解集. 2變式為:求不等式2x?3x?2?0的解集.
2例2.解不等式?x?2x?3?0.
(設計意圖:先讓學生來解答例題,若教師巡視、指導,講評學生完成情況,尋找學生中的閃光點,給予熱情表揚.)總結:
解一元二次不等式的步驟:
一化:化二次項前的系數(shù)為正(a>0).二判:判斷對應方程的根.三求:求對應方程的根.四畫:畫出對應函數(shù)的圖象.五解集:根據圖象寫出不等式的解集.(五)練習檢測,鞏固收獲
(設計意圖:為了鞏固和加深一元二次不等式的解法,讓學生學以致用,接下來及時組織學生進行課堂練習.然后就學生在解題中出現(xiàn)的問題共同糾正.)
(六)歸納小結,強化思想
設計意圖:梳理本節(jié)課的知識點,總結一元二次不等式解法的步驟:“一化,二判,三求根,四畫圖,五寫解集”的口訣來幫助學生記憶和歸納,讓學生掌握嚴謹?shù)淖鲱}方法,知曉本節(jié)課的重難點.
(七)布置作業(yè),拓展延伸
必做題:課本第80頁習題A組 1,2.選做題:(1)若關于m的一元二次方程x
2?(m?1)x?m?0有兩個不相 等的實數(shù)根,求m的取值范圍.2(2)已知不等式x?ax?b?0的解集為x2?x?3?,求a,b的
?值.(設計意圖:以作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性為出發(fā)點,我設計了必做題和選做題,必做題是對本節(jié)課內容的反饋,選做題是對本節(jié)課知識的延伸,整體的設計意圖是反饋教學,鞏固提高.)四.教學總結
本節(jié)課的所有內容以習題的形式展現(xiàn)給學生,學生始終在解題中探究,在解題中發(fā)現(xiàn),學生參與教學的全過程,成為課堂教學的主體和學習的主人,而老師只須時刻關注學生的活動過程,不時給予引導,及時糾正.
一元二次不等式課件 篇2
高中數(shù)學《一元二次不等式的解法(2)》教案
一、教學目標
【知識與技能】
掌握求解一元二次不等式的簡單方法,能正確求解一元二次不等式的解集。
【過程與方法】
在探究一元二次不等式的解法的過程中,提升邏輯推理能力。
【情感、態(tài)度與價值觀】
感受數(shù)學知識的前后聯(lián)系,提升學習數(shù)學的熱情。
二、教學重難點
【重點】一元二次不等式的解法。
【難點】一元二次不等式的解法的探究過程。
三、教學過程
(一)導入新課
回顧一元二次不等式的一般形式,組織學生舉例一些簡單的一元二次不等式。
提問:如何求解?引出課題。
(二)講解新知
結合課前回顧的一元二次不等式的一般形式,對比之前所學內容,引導學生發(fā)現(xiàn)其與一元二次方程和二次函數(shù)的共同特點。
一元二次不等式課件 篇3
新課程理念下的教學更多的關注學生自主探究、關注學生的個性發(fā)展,鼓勵學生勇于提出問題,培養(yǎng)學生思維的批評性。在課堂上學生往往會提出讓老師感到“意外”的問題,我在平時的教學中重視對“課堂意外預案”的探索和思考,備課時盡量設想課堂中可能會出現(xiàn)的各種情況,做到有備無患,以免在課堂中學生提出讓自己出乎意料的問題,使自己陷入被動尷尬境地。結合以往經驗,在本節(jié)課,我提出兩個“意外預案”。
1、學生在做課本練習1(x+2)(x-3)>0時,可能會問到轉化為不等式組{或{求解對不對。學生提出的問題,想法非常好,應給予肯定和鼓勵,這與下節(jié)簡單分式不等式和高次不等式的解法有關,是解不等式的另一種解法——等價轉化法,不在本節(jié)課之列。
2、根據以往的經驗,在解(x-1)(x+2)>1一類的不等式的時候,由于受方程(x+1)(x+2)=0可轉化為x-1=0或x+2=0求解的影響,有可能會出現(xiàn)將不等式轉化為不等式組{來求解的錯誤做法,教師要關注學生,及時發(fā)現(xiàn)問題并給予糾正,指出上面的轉化不是等價轉化。
以上是我對本節(jié)課的一些粗淺的認識和構想,如有不妥之處,懇請各位專家、各位同仁批評指正。謝謝大家!
一元二次不等式課件 篇4
一、教材分析
1、地位和作用。本課是五年制高等師范教材南京大學出版社《數(shù)學》教材第一冊第二章第二節(jié)的教學內容,從知識結構看:它是一元一次不等式的延續(xù)和拓展,又是以后研究函數(shù)的定義域、值域等問題的重要工具,起到承前啟后的作用;
從思想層次上看:它涉及到數(shù)形結合、分類轉化等數(shù)學思想方法,在整個教材中有很強的基礎性。
2、教材內容剖析。本節(jié)課的主要內容是通過二次函數(shù)的圖像探究一元二次不等式的解法。教材中首先復習引入了“三個一次”的關系,然后依舊帶新,揭示“三個二次”的關系,其次通過變式例題討論了△=0和△
3、重難點剖析。重點:一元二次不等式的解法。難點:一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)的關系。難點突破:
(1)教師引導,學生自主探究,分組討論。
(2)借助多媒體直觀展示,數(shù)形結合。
(3)采用由簡單到復雜,由特殊到一般的教學策略。
二、目的分析
知識目標:掌握一元二次不等式的解法,理解“三個二次”之間的關系
能力目標:培養(yǎng)學生“從形到數(shù)”的轉化能力,由具體到抽象再到具體,從特殊到一般的歸納概括能力。
情感目標:在自主探究與討論交流過程中,培養(yǎng)學生的合作意識。
三、教法分析
教法:“問題串”解決教學法
以“一串問題”為出發(fā)點,指導學生“動腦、動手、動眼、動口”,參與知識的形成過程,注重學生的內在發(fā)展。
學法:合作學習(1)以問題為依托,分組探究,合作交流學習。(2)以現(xiàn)有認知結構為依托,指導學生用類比方法建構新知,用化歸思想解決問題。
四、過程分析
本節(jié)課的教學,設計了四個教學環(huán)節(jié):
創(chuàng)設情景、提出問題
問題1:用一根長為10m的繩子能圍成一個面積大于6m2的矩形嗎?“數(shù)學來源于生活,應用于生活”,首先,以生活中的一個實際問題為背景切入,通過建立簡單的數(shù)學模型,抽象出一個一元二次不等式,引入課題。
設計意圖:激發(fā)學生學習興趣,體現(xiàn)數(shù)學的科學價值和使用價值。
自主探究,發(fā)現(xiàn)規(guī)律
問題2:解下列方程和不等式。①2x—4=0②2x—4>0③2x—4
歸納、類比法是我們發(fā)現(xiàn)問題、尋求規(guī)律,揭示問題本質最常用的方法之一。尋求一元二次不等式的解法,首先從一元一次不等式的解法著手。展示問題2。學生:用等式和不等式的基本性質解題。教師:還有其他的解決方法嗎?展示問題3。
問題3:畫出一次函數(shù)y=2x—4的圖像,觀察圖像,縱坐標y=0、y>0、y
學生:發(fā)現(xiàn)可以借用圖像解題。此問題揭示了“三個一次”的關系。
設計意圖:為后面學習二次不等式的解法提供鋪墊。
問題4:用圖像法能不能解決一元二次不等式的解呢?已知二次函數(shù)y=x2—2x—8。
(1)求出此函數(shù)與x軸的交點坐標。
(2)畫出這個二次函數(shù)的草圖。
(3)在拋物線上找到縱坐標y>0的點。
(4)縱坐標y>0(即:x2—2x—8>0)的點所對應的橫坐標x取哪些數(shù)呢?
(5)二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的關系是什幺?
教師:展示問題4。此環(huán)節(jié),要注意下面幾個問題:
(1)啟發(fā)引導學生運用歸納、類比的方法,組織學生分組討論,自主探究。(2)及時解決學生的疑點,實現(xiàn)師生合作。(3)先讓學生自己思考,最后教師和學生一起歸納步驟。(求根—畫圖—找解),抓住問題本質,畫圖可省去y軸。教師抓住時機,展示例題1,鞏固方法(△>0的情況),規(guī)范步驟,板書做題步驟,起到示范的作用。設計意圖:運用“解決問題”的教學方法,使每位學生參與知識的形成過程,體現(xiàn)了教師主導學生主體的地位。
變式提問,啟發(fā)誘導
方程:ax2+bx+c=0的解情況函數(shù):y=ax2+bx+c的圖象
不等式的解集
ax2+bx+c>0ax2+bx+c
⊿>0
⊿=0
⊿
教師:展示例題2(1)—x2+x+6≥0(2)x2—4x+40。
學生:嘗試通過畫圖求解。
此環(huán)節(jié)要注意:引導學生把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題解決;對于△=0,△
設計意圖:通過探索、嘗試的過程,培養(yǎng)了學生大膽猜想,勇于探索的精神。
自我嘗試,反饋小結。
教師:展示練習題,把學生分成兩個小組,要求當堂完成,看哪個組做的好做的快。教師對出現(xiàn)的問題及時反饋。同時,進一步啟發(fā)引導學生將特殊、具體問題的結論推廣到一般化。展示表格。
學生:填寫內容。
學生理解了“三個二次”的關系,得到一般結論應該是水到渠成。最后,教師做本節(jié)課的小結,布置作業(yè)。設計意圖:激發(fā)了學生的求知欲,培養(yǎng)了學生的主動參與意識。
五、評價分析
1、重視學生學習的結果評價,更重視過程評價。
2、本節(jié)課貫徹了新課程的理念,教學形式開放,體現(xiàn)了“教師主導,學生主體”的教學關系。以上是我對本節(jié)課的粗淺認識,如有不妥之處,懇求各位專家、各位同仁批評指正。
一元二次不等式課件 篇5
一元二次不等式及其解法教學反思
塘沽中專-----戚衛(wèi)民
我在13級電子班教室上了一節(jié)課,由此我進行了深刻的反思:
我教的是一個普通中專的班,學生基礎比較差。因此,第一,課前組織很重要,給 學生 做思想 工 作,這 節(jié) 課很重要,是大家表現(xiàn) 自己 的好機會,同 學 們應該遵守紀律,積極發(fā)言,展示 自己 班良好的素質和班風。這樣學生激情會高一些,自然課堂也會活躍一些。第二,把握本節(jié)課的難點,課前做好鋪墊。一元二次不等式及其解法看上去好像很簡單,但是它需要同學們有很好的基礎,解一元二次方程的基礎。而學生在初中只是熟悉用求根公式解方程,對于十字相乘法分解因式只有極個別會,對于這種情形我在課前把一元二次方程的解法好好的補了一下。還有二次函數(shù)的圖象畫法,也好好的復習一下,加深鞏固,突破難點,使得這節(jié)課能順利進行下去。
盡管這樣我的課堂效果也不是很好,這是為什么呢?我陷入迷茫之中可能是我的學生不適應教學方式?可能是學生緊張?弄錯?后來想想可能我沒有好好地備學生。我覺得這節(jié)課的教案應該這樣設計,可能會更好:課前引入去掉,應該在復習時讓學生解一元二次方程,畫二次函數(shù)圖象,這樣學生容易進入狀態(tài)。然后直接導入新課,有特殊到 一般,由具體到抽象,逐步揭開解一元二次不等式的方法。給出例題應由淺入深,先給出形如這樣的:(x-2)(x-3)
讓他們好求方程的根,從而畫圖求不等式的解集,為后續(xù)例題做鋪墊。作為教師我應該很規(guī)范的板書。以給學生榜樣。然后給出形如這樣的不等式:x2+3x-4≥0 由上道題的啟示他們自然會去驗證Δ,用十字相乘法求一元二次方程x2+3x-4=0 的根,畫函數(shù)的圖像,從而求出解集。從這兩道題讓他們自己歸納一下解一元二次不等式的步驟,再出課本習題,這樣他們一定可以解出來,此種做法可以提高他們的解興趣,把課堂氣氛變得濃烈一些。接著給出-x2-3x+4>0提醒他們要把二項式系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)。用課本課后題做練習。再給出x2-3x+4>0這種Δ0Δ=0的情形。根據二次函數(shù)的圖像學生應該可以解決。
一節(jié)課究竟要解決什么問題,怎樣解決這是課堂的首要。貼近學生實際,層層深入,各個擊破,幫學生排憂解難,同時發(fā)揮他們的主觀能動性,讓學感受到自己是課堂的主人,這是教師課堂的主旨。還有一點非常重要,老師必須要有很強的親和力。其實親和力的前提是要有愛心,有愛才會親。一個孩子在班上是六十分之一,但在一個家庭是百分百,所以我覺得我們應該向愛我們自己的孩子一樣去愛他們,讓學生感受到我們的關懷,怎樣做到愛學生,我覺得自己以后可這樣努力 :記住每一個學生的名字,在路上和他們打招呼,下課和他們談談心,說笑說笑,不 要說一些傷學生人 格的話語,適當鼓勵他們,人心都是肉長的呀,他們會感覺得到的。成績差的學生其實是非常敏感的,也是很容易叛逆的,在任何時候老師都要想到自己是成年人,是長者,要站在一定的高度考慮我們的學生,設身處地為他們想象。這樣就不會有芥蒂,沖突,代溝。這節(jié)課我比較真實展現(xiàn)我的學生和我自己。無論從哪一方面,業(yè)務能力,管理能力,對學生的掌控能力,課堂的把握能力。我都有待學習提高。我會努力的!
一元二次不等式課件 篇6
《一元二次不等式解法》說課稿范文
一、 教材簡析
1、地位和價值
一元二次不等式解法是高中數(shù)學新教材第一冊(上)第一章第5節(jié)的內容。在此之前,學生在初中已學習了一元一次不等式,一元一次不等式組,一元二次方程,二次函數(shù),絕對值不等式(高中),這為過渡到本節(jié)的學習起著鋪墊作用。一元二次不等式解法是解不等式的基礎和核心,它在高中代數(shù)中起著廣泛應用的工具作用,蘊藏著“數(shù)與形結合”的重要思想方法,它已成為代數(shù)、三角、解析幾何交匯綜合的重要部分,是高考綜合題的熱點。
2、教材結構簡介
教材首先以一個一次函數(shù)圖象的應用解一元一次不等式,引出圖象法,然后給出一個二次函數(shù),通過具體畫圖象,提出問題。再一般地給出了二次函數(shù)圖象解二次不等式的結論。課本精選了四個解不等式的例題,并配有相應的練習和習題。它的后一小節(jié)為解可轉化為一元二次不等式的分式不等式。
二、 教育教學觀
1、 學生為主體,重學生參與學習活動。
2、 重過程。按照認知規(guī)律及學生認知特點,由淺入深,由表及里,設計一系列教學活動過程。體現(xiàn)由“實踐……觀察……歸納 ……猜想…… 結論…… 驗證應用”的循環(huán)往復的認知過程。
3、 重能力與態(tài)度的培養(yǎng),在活動中培養(yǎng)學生自主、交流合作、探究、發(fā)現(xiàn)的能力。重科學嚴謹?shù)膫€性品質。重參與學習的興趣和體驗。
4、 重指導點撥。在學生自主探究、實踐的基礎上,相機啟發(fā),恰當點撥,促進學生知識由感性向理性提升,由具體到概括抽象,形成師生間的有效互動。
三、 教學目標
基于上述認識,及不等式的基本知識,同時學生在初中已學過二次函數(shù),考慮到學生已有的認知結構心理特征,制訂如下教學目標:
1、 知識目標:一元二次方程,一元二次不等式及二次函數(shù)間的聯(lián)系,及利用二次函數(shù)的圖象求解一元二次不等式。
2、 能力目標:數(shù)形結合的思想(應用二次函數(shù)圖象解不等式)
3、 情感態(tài)度目標:通過問題解決,培養(yǎng)學生自主參與學習,以及嚴謹求實的.態(tài)度。
四、 教與學重點、難點
1、重點:用圖象解一元二次不等式。
2、難點:圍繞二次函數(shù)圖象、性質這一主線,解決三個“二次”的聯(lián)系和應用。
五、 教法與學法
1、學情分析及學法:函數(shù)與圖象應用是初中生數(shù)學的薄弱之處,同時剛進入高中的學生,對高中學習還很不適應,需要加強主動學習的指導?;诖?,在學生初中知識經驗的基礎上,以舊探新;以一系列問題,促進主體的學習活動(如畫圖象、讀圖等),建構知識;以問題情景激勵學生參與,在恰當時機進行點撥啟發(fā),練、導結合,講練結合;通過學生自己做數(shù)學,教師啟發(fā)指導,以及學生領悟,實現(xiàn)學生對知識的再創(chuàng)造和主動建構;具體通過教材中的問題及設計的問題情景,給予學生活動的空間,通過這些問題(“腳手架”)的解決,使學生逐步攀升,達到知識與能力的目標。
2、教法:數(shù)學教學是數(shù)學教與學活動過程的教學,學生是在探究與發(fā)現(xiàn)中建構知識,發(fā)展能力的,因而確定以“問題解決”為教法。實現(xiàn)學生在教師指導下的發(fā)現(xiàn)探索。同時所學內容適宜用“計算機高中數(shù)學問題處理系統(tǒng)”輔助教學。
六、教學手段及工具:
多媒體教學手段,高中數(shù)學問題處理系統(tǒng)。
七、教學設計及教學過程
1、復習設問,引入新課
高中數(shù)學新教材第一冊(上)《一元二次不等式解法》(第一課時)說課稿.rar
一元二次不等式課件 篇7
解一元二次不等式化為標準型。判斷△的符號。若△<0,則不等式是在R上恒成立或恒不成立。
若△>0,則求出兩根,在數(shù)軸上標出,每個根上畫一條豎線,再從右到左相間標正負號,不等式大于0則取標正的范圍,小于0則取標負的范圍。
2.解簡單一元高次不等式
a.化為標準型。
b.將不等式分解成若干個因式的積。
c.求出各個根,在數(shù)軸上標出,每個根上畫一條豎線,再從右到左相間標正負號,不等式大于0則取標正的范圍,小于0則取標負的范圍。
3.解分式不等式的解
a.化為標準型。
b.可將分式化為整式,將整式分解成若干個因式的積。
c.求出各個根,在數(shù)軸上標出,每個根上畫一條豎線,再從右到左相間標正負號,不等式大于0則取標正的范圍,小于0則取標負的范圍。(如果不等式是非嚴格不等式,則要注意分式分母不等于0。)
4.解含參數(shù)的一元二次不等式
a.對二次項系數(shù)a的討論。
若二次項系數(shù)a中含有參數(shù),則須對a的符號進行分類討論。分為a>0,a=0,a<0。
b.對判別式△的討論
若判別式△中含有參數(shù),則須對△的符號進行分類討論。分為△>0,△=0,△<0。
c.對根大小的討論
若不等式對應的方程的根x1、x2中含有參數(shù),則須對x1、x2的大小進行分類討論。分為x1>x2,x1=x2,x1<x2。
5.一元二次方程的根的分布問題
a.將方程化為標準型。(a的符號)
b.畫圖觀察,若有區(qū)間端點對應的函數(shù)值小于0,則只須討論區(qū)間端點的函數(shù)值。
若沒有區(qū)間端點對應的函數(shù)值小于0,則須討論區(qū)間端點的函數(shù)值、△、軸。
6.一元二次不等式的應用
⑴在R上恒成立問題(恒不成立問題相反,在某區(qū)間恒成立可轉化為實根分布問題)
a.對二次項系數(shù)a的符號進行討論,分為a=0與a≠0。
b.a=0時,把a=0帶入,檢驗不等式是否成立,判斷a=0是否屬于不等式解集。
a≠0時,則轉化為二次函數(shù)圖像全在x軸上方或下方。
若f(x)>0,則要求a>0,△<0。
若f(x)<0,則要求a<0,△<0。
⑵特殊題型:已知一不等式的解集(含有字母),求另一不等式的解集(與原不等式系數(shù)大小相同,位置不同)。a.寫出原不等式對應的方程,由韋達定理得出解集字母與方程系數(shù)間的關系。
b.寫出變換后不等式對應的方程,由由韋達定理得出解集字母與方程系數(shù)間的關系。
c.將a中得到的關系變化后帶入b的關系中,得到變換后方程的兩根。
d.判斷兩根的大小,變換后不等式二次項的系數(shù),從而寫出所求解集。
一元二次不等式課件 篇8
一、教材分析
(一)教材的地位和作用
“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知識上的延伸和發(fā)展,又是本章集合知識的運用與鞏固,也為下一章函數(shù)的定義域和值域教學作鋪墊,起著鏈條的作用。同時,這部分內容較好地反映了方程、不等式、函數(shù)知識的內在聯(lián)系和相互轉化,蘊含著歸納、轉化、數(shù)形結合等豐富的數(shù)學思想方法,能較好地培養(yǎng)學生的觀察能力、概括能力、探究能力及創(chuàng)新意識。
(二)教學內容
本節(jié)內容分2課時學習。本課時通過二次函數(shù)的圖象探索一元二次不等式的解集。通過復習“三個一次”的關系,即一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關系;以舊帶新尋找“三個二次”的關系,即二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關系;采用“畫、看、說、用”的思維模式,得出一元二次不等式的解集,品味數(shù)學中的和諧美,體驗成功的樂趣。
二、教學目標分析
根據教學大綱的要求、本節(jié)教材的特點和高一學生的認知規(guī)律,本節(jié)課的教學目標確定為:
知識目標——理解“三個二次”的關系;掌握看圖象找解集的方法,熟悉一元二次不等式的解法。
能力目標——通過看圖象找解集,培養(yǎng)學生“從形到數(shù)”的轉化能力,“從具體到抽象”、“從特殊到一般”的歸納概括能力。
情感目標——創(chuàng)設問題情景,激發(fā)學生觀察、分析、探求的學習激情、強化學生參與意識及主體作用。
三、重難點分析
一元二次不等式是高中數(shù)學中最基本的不等式之一,是解決許多數(shù)學問題的重要工具。本節(jié)課的重點確定為:一元二次不等式的解法。
要把握這個重點。關鍵在于理解并掌握利用二次函數(shù)的圖象確定一元二次不等式解集的方法——圖象法,其本質就是要能利用數(shù)形結合的思想方法認識方程的解,不等式的解集與函數(shù)圖象上對應點的橫坐標的內在聯(lián)系。由于初中沒有專門研究過這類問題,高一學生比較陌生,要真正掌握有一定的難度。因此,本節(jié)課的難點確定為:“三個二次”的關系。要突破這個難點,讓學生歸納“三個一次”的關系作鋪墊。
四、教法與學法分析
(一)學法指導
教學矛盾的主要方面是學生的學。學是中心,會學是目的。因此在教學中要不斷指導學生學會學習。本節(jié)課主要是教給學生“動手畫、動眼看、動腦想、動口說、善提煉、勤鉆研”的研討式學習方法,這樣做增加了學生自主參與,合作交流的機會,教給了學生獲取知識的途徑、思考問題的方法,使學生真正成了教學的主體;只有這樣做,才能使學生“學”有新“思”,“思”有新“得”,“練”有新“獲”,學生也才會逐步感受到數(shù)學的美,會產生一種成功感,從而提高學生學習數(shù)學的興趣;也只有這樣做,課堂教學才富有時代特色,才能適應素質教育下培養(yǎng)“創(chuàng)新型”人才的需要。
(二)教法分析
本節(jié)課設計的指導思想是:現(xiàn)代認知心理學——建構主義學習理論。
建構主義學習理論認為:應把學習看成是學生主動的建構活動,學生應與一定的知識背景即情景相聯(lián)系,在實際情景下進行學習,可以使學生利用已有知識與經驗同化和索引出當前要學習的新知識,這樣獲取的知識,不但便于保持,而且易于遷移到陌生的問題情景中。
本節(jié)課采用“誘思引探教學法”。把問題作為出發(fā)點,指導學生“畫、看、說、用”。較好地探求一元二次不等式的解法。
五、課堂設計
本節(jié)課的教學設計充分體現(xiàn)以學生發(fā)展為本,培養(yǎng)學生的觀察、概括和探究能力,遵循學生的認知規(guī)律,體現(xiàn)理論聯(lián)系實際、循序漸進和因材施教的教學原則,通過問題情境的創(chuàng)設,激發(fā)興趣,使學生在問題解決的探索過程中,由學會走向會學,由被動答題走向主動探究。
(一)創(chuàng)設情景,引出“三個一次”的關系
本節(jié)課開始,先讓學生解一元二次方程x2—x—6=0,如果我把“=”改成“>”則變成一元二次不等式x2—x—6>0讓學生解,學生肯定感到很突然。但是“思維往往是從驚奇和疑問開始”,這樣直奔主題,目的在于構造懸念,激活學生的思維興趣。
為此,我設計了以下幾個問題:
1、請同學們解以下方程和不等式:
①2x—7=0;②2x—7>0;③2x—7
一元二次不等式課件 篇9
1.創(chuàng)設情景——引入新課。我們常說“興趣是最好的老師”,長期以來,學生對學習數(shù)學缺乏興趣,甚至失去信心,一個重要的原因,是老師在教學中不重視學生對學習的情感體驗,教學應該充分考慮學生的情感和需要,想方設法讓學生在學習中樹立信心,感受學習的樂趣。根據教材內容的安排,我以學生熟悉的畫一次函數(shù)圖象、求一次方程和一次不等式的解為背景知識切入,設置一個練習題組,一方面讓學生總結復習已有知識,為后面學習二次不等式的解法打下基礎,做好鋪墊,另一方面,使學生在自己熟悉的問題中首先獲得解題成功的快樂體驗,然后以20xx年江蘇省的一道高考試題為引子,引入本節(jié)課的新授內容。對于本題,引導學生,利用上面解練習題組1的方法,畫出二次函數(shù)圖象來解答。二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內容,本題又給出了函數(shù)圖象上許多點,相信學生畫出圖象應該不成問題,只要教師適當點撥,學生不難得到正確答案。以高考試題為背景引入新課,可以提高學生興趣,抓住學生眼球,吸引學生注意力,還可以讓學生實實在在感受到,高考題就在我們的課本中,就在我們平常的練習中。
2.探究交流——發(fā)現(xiàn)規(guī)律。從特殊到一般是我們發(fā)現(xiàn)問題、尋求規(guī)律、揭示問題本質最常用的方法之一。我把課本例題1、2編為練習題組(一),交由學生用上面解高考題的方法——圖象法去解,學生由于熟知二次函數(shù)圖象,求解應該不會有太大的問題。在這個過程中,教師要啟發(fā)引導學生注意對比兩題的異同,組織引導學生展開交流討論,探討第(2)題能不能先把二次項系數(shù)化正以后再構造函數(shù)畫圖求解。然后達成共識,如果二次項系數(shù)為負數(shù)時,先做等價轉化,把二次項系數(shù)化為正數(shù)再解,課本19頁例3、例4作為題組(二),繼續(xù)讓學生用上面的圖象法,由學生自己求解,這時我及時提示學生注意這兩題與題組(一)中兩題的不同(例1、例2對應方程都有兩個不等實根,例3對應方程有兩相等實根,例4對應方程無實根)。兩個題組的練習之后,可以尋求解二次不等式的一般規(guī)律。
3.啟發(fā)引導——形成結論。前面兩個題組的四個小題,基本涵蓋了一般一元二次不等式解的各種情況,進一步啟發(fā)引導學生將特殊、具體題目的結論做一般化總結,與學生一起就△>0,△<0,△=0的三種情況,總結二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解的情況應該水到渠成。至此,學生可以感受到,解二次不等式只須①將二次項系數(shù)化為正數(shù),②求解二次方程ax2+bx+c=0的.根。③根據①后的二次不等式的符號寫出解集即可,必要時也可以結合圖象寫解集。這樣我們就得到了二次不等式的另外一種解法(可稱為“三步曲”法)。
4.訓練小結——鞏固深化。為了鞏固和加深二次不等式的兩種解法,接下來及時組織學生進行課堂練習,完成課本21頁練習1—4題。本環(huán)節(jié)請不同層次的學生在黑板上書寫解題過程,之后師生共同糾正問題,規(guī)范解題過程的書寫。
5.延伸拓寬——提高能力。課堂教學既要面向全體學生,又應關注學生的個體差異。體現(xiàn)分類推進,分層教學的原則。為此,我又設計了一個提高練習題組,共有三道備選題目,以供程度較好學有余力的學生能夠更好的展示自己的解題能力,取得更進一步的提高。
一元二次不等式課件 篇10
展過程一元二次不等式教學設計
一、教學內容分析:
1、教材地位和作用
本節(jié)課是數(shù)學(基礎模塊)上冊第二章第三節(jié)《一元二次不等式》。從內容上看它是我們初中學過的一元一次不等式的延伸,同時它也與一元二次方程、二次函數(shù)之間聯(lián)系緊密,涉及的知識面較多。從思想層面看,本節(jié)課突出本現(xiàn)了數(shù)形結合思想。同時一元二次不等式是解決函數(shù)定義域、值域等問題的重要工具,因此本節(jié)課在整個中學數(shù)學中具有較重要的地位和作用。
2、教學目標
知識目標:正確理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)的關系。熟練掌握一元二次不等式的解法。
能力目標:培養(yǎng)數(shù)形結合思想、抽象思維能力和形象思維能力。
思想目標:在教學中滲透由具體到抽象,由特殊到一般,類比猜想、等價轉化的數(shù)學思想方法。
情感目標:通過具體情境,使學生體驗數(shù)學與實踐的緊密聯(lián)系,感受數(shù)學魅力,激發(fā)學生求知欲望。
3、重難點
重點:一元二次不等式的解法。
難點:一元二次方程,一元二次不等式與二次函數(shù)的關系。
二、學生情況分析:
我們的學生是在學習了一元一次不等式,一元一次方程、一元一次函數(shù),一元二次方程的基礎上學習一元二次不等式。但大都數(shù)學生的基礎都不是很好,解一元二次方程有一定的困難。
三、教學環(huán)境分析:教學環(huán)境應包括和諧的師生關系、多媒體的合理應用、良好的課堂組織、合理的問題情境。創(chuàng)設和諧的師生關系有利于提高學習效率,我們學校要建立和諧的師生關系是需要花很多心思的,特別是就業(yè)班的同學,且要有一個相當長的適應時間。我們學校的每位老師都有手提電腦,每間教室都有寬屏電子顯示器,老師都能熟練掌握多媒體設備的運用。運用多媒體教學效果好、學生容易理解、學習的積極性高。上課時比較注意創(chuàng)設合適的問題情境,效果會不錯,學生從生活實際出發(fā),回答所提的問題,不知不覺學習了新的知識,他們不會感覺到學習疲勞,反而能積極主動地學習。
四、教學目標分析:
知識與技能:正確理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)的關系。熟練掌握一元二次不等式的解法。
過程與方法:通過看圖象找解集,培養(yǎng)學生從從形到數(shù)的轉化能力,從具體到抽象、從特殊到一般的歸納概括能力;通過對問題的思考、探究、交流,培養(yǎng)學生良好的數(shù)學交流能力,增強其數(shù)形結合的思維意識。在教學中滲透由具體到抽象,由特殊到一般,類比猜想、等價轉化的數(shù)學思想方法。
情感態(tài)度與價值觀:通過具體情境,使學生體驗數(shù)學與實踐的緊密聯(lián)系,激發(fā)學生學習研究一元二次不等式的積極性和對數(shù)學的情感,使學生充分體驗獲取知識的成功感受;在探究、討論、交流過程中培養(yǎng)學生的合作意識和團隊精神,使其養(yǎng)成嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和良好的思維習慣。
一元二次不等式課件 篇11
《一元二次不等式及其解法(第1課時)》教學設計
Eric 一 內容分析
本節(jié)課內容的地位體現(xiàn)在它的基礎性,作用體現(xiàn)在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化,對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用,也與后面的函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、線形規(guī)劃、直線與圓錐曲線以及導數(shù)等內容密切相關。許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法。因此,一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學教學中具有很強的基礎性,體現(xiàn)出很大的工具作用。
二 學情分析
學生已經掌握了高中所學的基本初等函數(shù)的圖象及其性質, 能利用函數(shù)的圖象及其性質解決一些問題。學生知道不等關系, 掌握了不等式的性質, 通過這部分內容的學習, 學生將學會利用二次函數(shù)的圖象, 通過數(shù)形結合的思想, 掌握一元二次不等式的解法。
三 教學目標
1.知識與技能目標:(1)熟練應用二次函數(shù)圖象解一元二次不等式的方法(2)了解一元二次不等式與相應函數(shù), 方程的聯(lián)系 2.過程與方法:(1)通過學生已學過的一元一次不等式為例引入一元二次不等式的有關概及解法(2)讓學生觀察二次函數(shù),在此基礎上, 找到一元二次不等式的解法并掌握此解法(3)在學生尋找一元二次不等式的過中程中培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思想 3.情感與價值目標:(1)通過新舊知識的聯(lián)系獲取新知,使學生體會溫故而知新的道理
(2)通過對解不等式過程中等與不等對立統(tǒng)一關系的認識,向學生逐步滲透辨證唯物主義思想。
(3)在教師的啟發(fā)引導下,學生自主探究,交流討論,培養(yǎng)學生的合作意識和創(chuàng)新精神。
四 教學重點、難點 1.重點
一元二次不等式的解法 2.難點
理解元二次方程與一元二次不等式解集的關系
五 教學方法
啟發(fā)式教學法,討論法,講授法
六 教學過程
1.創(chuàng)設情景,提出問題(約10分鐘)
師:在初中,我們解過一元一次不等式,如解不等式x – 1 > 0,現(xiàn)在請同學們先畫出函數(shù)y = x – 1 的圖象,并通過觀察圖象回答以下問題: 1)x 為何值時,y = 0;2)x 為何值時,y > 0;3)x 為何值時,y 0的解集能從函數(shù)y = x – 1上看出來嗎?
學生畫圖,思考。先把問題交給學生自主探究,過一段時間,再小組交流,此間教師巡視并指導。提問學生代表。
通過對上述問題的探究,學生得出以下結論:
因為上述方程x – 1 = 0以及不等式x – 1 > 0的左邊恰好是上述函數(shù)y = x3x – 2 > 0;2)4x23x – 2 = 0的解是x1 =-1/2, x2 = 2.所以2x24x + 1 = 0 的解是x1 = x2 = 1/2, 所以不等式4x22x + 3
練習:課本80頁練習第1題(1)-(3)【靈活掌握】.師:今天我們這節(jié)課的內容有兩個: 1)會一元二次不等式的解法 2)理解三個“二次”的關系
作業(yè):課本第80頁 習題 A
4.板書設計
§ 一元二次不等式及其解法
解不等式x2 – x – 6 > 0, 請先畫出二次函數(shù) y = x2 – x – 6的圖像,并回答以下問題: 1)x 為何值時,y = 0;y > 0;y 0的解集呢?
七 教學反思
組1、2題 例,解不等式:
1)2x24x + 1 > 0;3)-x2 + 2x – 3
解:1)因為Δ =(-3)2 – 4×2×(-2)= 25 > 0, 方程的2x23x – 2 > 0的解集是{x| x1 2}.2)因為Δ = 0,方程4x24x + 1 > 0的解集是{x|x ≠ 1/2}.
一元二次不等式課件 篇12
各位評委、各位老師:
大家好!
我叫,來自。今天我說課的課題是《一元二次不等式的解法》(第一課時)。下面我將圍繞本節(jié)課“教什么?”、“怎樣教?”以及“為什么這樣教?”三個問題,從教材內容分析、教法學法分析、教學過程分析和課堂意外預案等幾個方面逐一加以分析和說明。
一、教材內容分析:
1、本節(jié)課內容在整個教材中的地位和作用。
概括地講,本節(jié)課內容的地位體現(xiàn)在它的基礎性,作用體現(xiàn)在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化,對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用,也與后面的函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、線形規(guī)劃、直線與圓錐曲線以及導數(shù)等內容密切相關。許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法。因此,一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學教學中具有很強的基礎性,體現(xiàn)出很大的工具作用。
2、教學目標定位。
根據教學大綱要求、高考考試大綱說明、新課程標準精神、高一學生已有的知識儲備狀況和學生心理認知特征,我確定了四個層面的教學目標。第一層面是面向全體學生的知識目標:熟練掌握一元二次不等式的兩種解法,正確理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系。第二層面是能力目標,培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合與等價轉化等數(shù)學思想方法解決問題的能力,提高運算和作圖能力。第三層面是德育目標,通過對解不等式過程中等與不等對立統(tǒng)一關系的認識,向學生逐步滲透辨證唯物主義思想。第四層面是情感目標,在教師的啟發(fā)引導下,學生自主探究,交流討論,培養(yǎng)學生的合作意識和創(chuàng)新精神。
3、教學重點、難點確定。
本節(jié)課是在復習了一次不等式的解法之后,利用二次函數(shù)的圖象研究一元二次不等式的解法。只要學生能夠理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系,并利用其關系解不等式即可。因此,我確定本節(jié)課的教學重點為一元二次不等式的解法,關鍵是一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系。
二、教法學法分析:
數(shù)學是發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生良好意志品質和美好情感的重要學科,在教學中,我們不僅要使學生獲得知識、提高解題能力,還要讓學生在教師的啟發(fā)引導下學會學習、樂于學習,感受數(shù)學學科的人文思想,使學生在學習中培養(yǎng)堅強的意志品質、形成良好的道德情感。為了更好地體現(xiàn)課堂教學中“教師為主導,學生為主體”的教學關系和“以人為本,以學定教”的教學理念,在本節(jié)課的教學過程中,我將緊緊圍繞教師組織——啟發(fā)引導,學生探究——交流發(fā)現(xiàn),組織開展教學活動。我設計了①創(chuàng)設情景——引入新課,②交流探究——發(fā)現(xiàn)規(guī)律,③啟發(fā)引導——形成結論,④練習小結——深化鞏固,⑤思維拓展——提高能力,五個環(huán)環(huán)相扣、層層深入的教學環(huán)節(jié),在教學中注意關注整個過程和全體學生,充分調動學生積極參與教學過程的每個環(huán)節(jié)。
$ 的實數(shù)都成立。
三、基本不等式的證明方法
基本不等式有多種證明方法,下面列舉其中兩種:
方法一:數(shù)學歸納法
假設基本不等式對于 $n=k$ 時成立,即對于 $k$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_k$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k}+\cdots+\dfrac{a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
現(xiàn)證明它對于 $n=k+1$ 時也成立。將 $a_{k+1}$ 插入到原來的不等式中,得到:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
由于:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
因此,我們只需證明以下不等式:
$\dfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\cdot a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
經過變形化簡,可以得到:
$\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k} \geq \sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
顯然,這是成立的。
因此,按照歸納法的證明方式,基本不等式對于所有的正整數(shù) $n$ 都成立。
方法二:對數(shù)函數(shù)的應用
對于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,我們可以定義函數(shù):
$f(x)=\ln{x}$
顯然,函數(shù) $f(x)$ 是連續(xù)的、單調遞增的。根據式子:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
可以得到:
$\ln\left(\dfrac{a_1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{a_2}{n}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{a_n}{n}\right)\geq\dfrac{1}{n} (\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n)$
即:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)\leq\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}$
對于左邊的式子,有:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)$
對于右邊的式子,有:
$\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
因此,我們可以得到:
$\ln(a_1a_2\cdots a_n)\geq n\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
即:
$a_1a_2\cdots a_n\geq\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n$
這正是均值不等式的形式。因此,基本不等式得證。
四、基本不等式的應用
基本不等式在數(shù)學和物理學中有廣泛的應用。下面介紹幾個常見的應用場景:
1. 最小值求解
如果有 $n$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$,它們的和為 $k$,求它們的積的最大值,即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)$
根據基本不等式,有:
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
因此,可以得到:
$\dfrac{k}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
兩邊同時取冪,可以得到:
$\dfrac{k^n}{n^n}\geq a_1a_2\cdots a_n$
即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)=\dfrac{k^n}{n^n}$
2. 凸函數(shù)的優(yōu)化問題
如果 $f(x)$ 是一個凸函數(shù),$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正實數(shù),$b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是任意實數(shù)且 $\sum_{i=1}^n b_i=1$,則有:
$f(b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n)\leq b_1f(a_1)+b_2f(a_2)+\cdots+b_nf(a_n)$
這是凸函數(shù)的優(yōu)化問題中常用的基本不等式形式。它可以通過Jensen不等式或基本不等式證明。
3. 三角形求證
如果我們可以用 $a,b,c$ 表示一個三角形的三邊長,則有:
$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{4\sqrt{3}}$
這個不等式在三角形求證中也被廣泛應用。
五、結語
基本不等式是高中數(shù)學必修內容之一,但其實它的應用范圍遠不止于此。在實際問題中,基本不等式常常能給我們提供有效的解決方案。通過本文的介紹,希望讀者能夠更加深入地理解基本不等式的概念、性質、證明方法及應用,并能在實際問題中靈活運用。
不等式的課件 篇8
關于基本不等式的主題范文:
基本不等式是數(shù)學中非常重要的一道課題,所以我們需要從以下幾個方面來對基本不等式進行介紹。
一、基本不等式是什么
基本不等式是指數(shù)學中的一個重要定理,它表述的是任意正整數(shù)n及n個正數(shù)a1,a2,…,an的積與它們的和之間的關系。也就是說,對于任意正整數(shù)n和n個正數(shù)a1,a2,…,an,有以下不等式成立:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1×a2×…×an)1/n
其中,等式成立當且僅當a1 = a2 = … = an。
二、基本不等式的證明
下面我們來看一下基本不等式的證明過程。
首先,如果我們令Ai = nai和G = (a1 × a2 × … × an)1/n,則我們可以將原不等式轉化為:
(a1+a2+…+an)/n ≥ G
接下來,我們來看一下如果證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,那么我們就可以證明基本不等式,因為不等式具有對稱性,即如果G ≤ (a1+a2+…+an)/n,則(a1+a2+…+an)/n ≥ G也成立。
接下來,我們證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,即:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
將不等式右邊兩邊平方,得到:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
這時,我們來觀察右邊的式子,將式子中的每一項都乘以(n-1),得到:
(a1 × (n-1) + a2 × (n-1) + … + an × (n-1)) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
繼續(xù)進行簡化,得到:
[(a1 × (n-1)) + (a2 × (n-1)) + … + (an × (n-1))] / n ≥ (n-1) × a1 × a2 × … × an / n
左邊乘以1/n,右邊除以(n-1),得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就完成了基本不等式的證明。
三、基本不等式在實際中的應用
基本不等式在實際中的應用非常廣泛,下面我們來看一下其中的幾個例子。
1. 求平均數(shù)
如果我們已知n個正數(shù)的積,需要求它們的平均數(shù),那么根據基本不等式,我們可以得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
等式兩邊都乘以n-1,得到:
a1 + a2 + … + an ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就可以求得平均數(shù):
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n / n
2. 求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值
假設我們需要從數(shù)列{a1, a2, …, an}中選取n個數(shù),求它們的積的最大值。根據基本不等式,我們有:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
因為我們需要求積的最大值,所以當?shù)仁阶筮叺暮颓『玫扔趎個數(shù)的積時,這個積才能取到最大值。因此,我們可以得到:
a1 = a2 = … = an
這樣,我們就得到了求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值的方法。
三、結論
通過對基本不等式的介紹,我們可以發(fā)現(xiàn)它不僅僅是一道看似簡單的數(shù)學題目,而是一個非常重要的定理,有著廣泛的應用價值。希望大家能夠在今后的學習中更加重視基本不等式,并能夠深刻理解它的實際應用。
不等式的課件 篇9
基本不等式是高中數(shù)學中重要的一部分,也是初學者比較難掌握的一個概念。通過學習基本不等式,可以幫助學生理解不等式的基本概念、性質和運算。同時,對于高中數(shù)學,基本不等式還有很多相關的題型需要掌握,比如極值問題、夾逼定理等。本文將從基本不等式的定義開始,探討其相關概念、性質和應用。
一、基本不等式的定義
基本不等式是指對于任意正實數(shù)a、b,有以下不等式成立:
(a + b)2 ≥ 4ab
這個不等式也可以寫成:
a2 + b2 ≥ 2ab
這個不等式的含義是:對于任意兩個正實數(shù)a、b,它們的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的證明
對于任意實數(shù)x,y,可以用(x-y)2≥0來證明基本不等式:
(x-y)2≥0
x2-2xy+y2≥0
x2+y2≥2xy
將x換成a、y換成b,即可得到基本不等式。
三、基本不等式的相關概念
1. 等式條件:
當且僅當a=b時,等式成立。
2. 平均數(shù)與幾何平均數(shù):
平均數(shù)指的是兩個數(shù)的和的一半,即(a+b)/2;幾何平均數(shù)指的是兩個數(shù)的積的二分之一,即√(ab)。由于基本不等式的成立,可以得出平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)的結論。
3. 關于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關系:
從基本不等式得到如下兩個等式:
(a+b)2=4ab+(a-b)2;ab≥(a+b)/2
以上兩個式子給出了兩個關于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關系。
四、基本不等式的性質
1. 交換律和結合律:基本不等式滿足交換律和結合律。
2. 反比例函數(shù):若f(x)=1/x,x>0,則f(a)+f(b)≤2f((a+b)/2)對于a,b>0成立。
3. 帶約束的基本不等式:若a,b>0,且a+b=k,則(a+b)/2≥√(ab),即k/2≥√(ab)。
五、基本不等式的應用
1. 求證夾逼定理:如果a1≤b1≤c1,且a2≤b2≤c2,則(a1a2+b1b2+c1c2)/3≥(a1b2+b1c2+c1a2)/3≥√(a1b1c1a2b2c2)。
2. 判斷一個二次函數(shù)的最大值或最小值:由于二次函數(shù)的導數(shù)為一次函數(shù),可以通過求導得到函數(shù)的極值。而基本不等式可以用于判斷二次函數(shù)的極值點是否合理,即是否在定義域內。
3. 算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的關系:通過基本不等式可以證明,當兩個數(shù)的和固定時,它們的平均數(shù)越大,它們的幾何平均數(shù)就越小。
總的來說,基本不等式是高中數(shù)學不可缺少的一部分,不僅在考試中占有重要地位,而且還具有很重要的理論意義。希望本文對初學者掌握基本不等式有所幫助。
不等式的課件 篇10
教學目標:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)的關系.
2.會根據題意列出函數(shù)關系式,畫出函數(shù)圖象,并利用不等關系進行比較.
1.通過一元一次不等式與一次函數(shù)的圖象之間的結合,培養(yǎng)學生的數(shù)形結合意識.
2.訓練大家能利用數(shù)學知識去解決實際問題的能力.
體驗數(shù)、圖形是有效地描述現(xiàn)實世界的重要手段,認識到數(shù)學是解決問題和進行交流的重要工具,了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用.
自己根據題意列函數(shù)關系式,并能把函數(shù)關系式與一元一次不等式聯(lián)系起來作答.
1.張大爺買了一個手機,想辦理一張電話卡,開米廣場移動通訊公司業(yè)務員對張大爺介紹說:移動通訊公司開設了兩種有關神州行的通訊業(yè)務:甲類使用者先繳15元基礎費,然后每通話1分鐘付話費0.2元;乙類不交月基礎費,每通話1分鐘付話費0.3元。你能幫幫張大爺選擇一種電話卡嗎?
2.展示學習目標:
(1)、理解一次函數(shù)圖象與一元一次不等式的關系。
(2)、能夠用圖像法解一元一次不等式。
(3)、理解兩種方法的關系,會選擇適當?shù)姆椒ń庖辉淮尾坏仁健?/p>
積極思考,嘗試回答問題,導出本節(jié)課題。
閱讀學習目標,明確探究方向。
問題1:結合函數(shù)y=2x-5的圖象,觀察圖象回答下列問題:
問題2:如果y=-2x-5,那么當x取何值時,y>0?當x取何值時,y
巡回每個小組之間,鼓勵學生用不同方法進行嘗試,尋找最佳方案。答疑展示中存在的問題。
問題3.兄弟倆賽跑,哥哥先讓弟弟跑9m,然后自己才開始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m,列出函數(shù)關系式,畫出函數(shù)圖象,觀察圖象回答下列問題:
(1)何時哥哥分追上弟弟?
(2)何時弟弟跑在哥哥前面?
(3)何時哥哥跑在弟弟前面?
(4)誰先跑過20m?誰先跑過100m?
你是怎樣求解的?與同伴交流。
問題4:已知y1=-x+3,y2=3x-4,當x取何值時,y1>y2?你是怎樣做的?與同伴交流.
讓學生體會數(shù)形結合的魅力所在。理解函數(shù)和不等式的聯(lián)系。
移動通訊公司開設了兩種長途通訊業(yè)務:全球通使用者先繳50元基礎費,然后每通話1分鐘付話費0.4元;神州行不交月基礎費,每通話1分鐘付話費0.6元。若設一個月內通話x分鐘,兩種通訊方式的費用分別為y1元和y2元,那么
(1)寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關系式;
(2)在同一直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象;
(3)求出或尋求出一個月內通話多少分鐘,兩種通訊方式費用相同;
(4)若某人預計一個月內使用話費200元,應選擇哪種通訊方式較合算?
在共同探究的過程中加強理解,體會數(shù)學在生活中的重大應用,進行能力提升。
積極完成導學案上的檢測內容,相互點評。
學生回顧總結學習收獲,交流學習心得。
教材P51.習題2.6知識技能1;問題解決2,3.
一、學習與探究:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關系;
2.做一做(根據函數(shù)圖象求不等式);
四、課后作業(yè):
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不等式課件
不為明天做好準備的人是沒有未來的,當幼兒園教師的工作遇到難題時,我們經常會用提前準備好的資料進行參考。資料通常是指書籍、報刊、圖表、圖片等。有了資料才能更好的在接下來的工作輕裝上陣!所以,關于幼師資料你究竟了解多少呢?在這里,你不妨讀讀不等式課件,歡迎閱讀,希望對你有幫助。
不等式課件【篇1】
教學目標:
了解一元一次不等式的概念,掌握一元一次不等式的解法。
教學重點:
是掌握解一元一次不等式的步驟
教學難點:
是必須切實注意遇到要在不等式兩邊都乘以(或除以)同一負數(shù)時,必須改變不等號的方向。
教學過程:
一、問題導入
復習:
1、不等式的基本性質有哪些?什么是一元一次方程?并舉出兩個例子。
2、觀察不等式x+3<5與x<2,說明解x<2是x+3<5依據什么變形得到的?
3、解一元一次方程:6x+5=7-2x,目的是為了與下面所學的解一元一次不等式進行類比,找到它們的聯(lián)系與區(qū)別。
二、指導自學,小組合作交流
請同學們根據以下提問進行自學,先個人思考,后小組合作學習。
1、觀察下列不等式,說一說這些不等式有哪些共同特點?
(1)2x+5≥8(2)x+1≤—4(3)x<2(4)6—3x>43(x+1)≤0
觀察上面不等式有哪些共同特點,讓學生通過交流,再總結一元一次不等式的概念。老師板書定義。
2、讓學生舉出2或3個一元一次不等式的例子,小組交流。
3、讓學生通過比較解一元一次方程:6x+5=7-2x的解法試解一元一次不等式:6x+5<7-2x,并將解集在數(shù)軸上表示出來。
4、思考:一元一次不等式與一元一次方程的解法有哪些類似之處?有什么不同?
5、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來。
(1)3-x<2x+9(2)2-4(x-1)>3(x+2)-x
(3)(x-1)/3≥(2-x)/2+1
總結:解一元一次不等式的依據和解一元一次不等式的步驟。
三、互動交流,教師點撥
(一)、學生易出錯的問題和注意的事項:
1、確定一個不等式是不是一元一次不等式,要抓住三個要點:左右兩邊都是整式,只有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1。
2、對于(1),讓學生說明不等式3-x<2x+9的每一步變形的依據是什么,特別注意的是:解不等式的移項和解方程的移項一樣。即移項要變號(培養(yǎng)學生運用類比的數(shù)學思想)。
3、不等式兩邊同時除以(-3)時,不等號的方向改變。
2、重點點撥(2)和(3),先讓學生到黑板上板演。老師再講評。
(2)易出錯的地方是:去括號時漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項沒變號,還有移項沒有變號;(3)易出錯的地方是:去分母時漏乘無分母的項。
3、歸納解一元一次不等式的步驟(與解一元一次方程的步驟類比):去分母,去括號,移項,合并同類項,系數(shù)化為1。(在系數(shù)化為1這一步要特別提醒學生注意當系數(shù)為負數(shù)時,要記住改變不等號的方向。)
四、鞏固練習
1、判斷下列不等式是不是一元一次不等式,為什么?
(1)2/x—3
(2)5x+3x–1
(4)x(2x+1)
(5)X+2≥x
2、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來
(1)3x–8
(2)2(x–1)≥x+3
(3)x/5≥1+(x–3)/2
3、[思考]當x取何值時,代數(shù)式(x–2)/2的值比(3x+1)/3的值大?
小結:
(1)不等式兩邊同時除以負數(shù)時,不等號的方向要改變。
(2)注意去括號時不要漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項要變號,還有移項一定要變號
(3)去分母時不要漏乘無分母的項。
不等式課件【篇2】
一、教學目標
(一)知識與技能
1.了解從實際情境中抽象出二元一次不等式(組)模型的過程
2.掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法
3.了解數(shù)學建模的整個過程
(二)過程與方法
1.通過對實際問題的探索,培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光去觀察生活、并且能提出問題、分析問題、解決問題的能力.
2.增強學生的協(xié)作能力.
(三)情感、態(tài)度與價值觀
1.通過學生自主探索、合作交流,親身體驗數(shù)學模型的發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的品質,增強學習的成功心理,激發(fā)學習數(shù)學的興趣,深刻體會數(shù)學是有用的.
2.通過實例的社會意義,培養(yǎng)學生愛護環(huán)境的責任心.
二、教學重點、難點
重點:從具體生活情境中提煉出簡單的二元線性規(guī)劃問題,并且用數(shù)學方法解決問題.
難點:從具體生活情境中提煉出約束條件和目標函數(shù).
三、教學設想
本節(jié)課采用探究式課堂教學模式,即在教學過程中,在教師的啟發(fā)引導下,以學生獨立自主和合作交流為前提,以二元一次不等式(組)模型的發(fā)現(xiàn)為基本探究內容,以周圍世界和生活實際為對象,為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會,讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動,將自己所學知識應用于對實際問題的深入探討.讓學生在“活動”中學習,在“主動”中發(fā)展,在“合作”中增知,在“探究”中創(chuàng)新.設計思路如下:
創(chuàng)設情境→方案討論→數(shù)據篩選→建立模型→解決模型→反饋實際
四、教學過程:
引入
(1)如圖,小明與小聰玩蹺蹺板,大家都不用力時,蹺蹺板左低右高.小明的身體質量為p(kg),小聰?shù)纳眢w質量為q(kg),書包的質量為2kg,怎樣表示p、q之間的關系?
(2)上圖是公路上對汽車的限速標志,表示汽車在該路段行使的速度不得超過40km/h.若用v(km/h)表示車的速度,那么v與40之間的數(shù)量關系用怎樣的式子表示?
(3)據科學家測定,太陽表面的溫度不低于6000℃.設太陽表面的溫度為t(℃),怎樣表示t與6000之間的關系?
歸納:數(shù)學作用之一,我們可以用數(shù)學語言描述客觀世界的某些現(xiàn)象
當然,數(shù)學作用不僅于此,我們還可以通過數(shù)學解決現(xiàn)實生活中的問題.
(一)情景設置
我校環(huán)境優(yōu)美,毗鄰江水,校園內四季常青,但是遠眺圍墻外,有一座小山,那是一座垃圾山.楊府山垃圾場有他的.歷史作用和意義,現(xiàn)在已經完成了它的歷史使命,而且現(xiàn)在有了負面影響,市委市政府打算對其進行改造.經過專家論證,有如下方案可行:發(fā)電、制磚
(二)處理方案討論
現(xiàn)同時用兩種措施對垃圾山進行改造處理,如果你是項目經理,給你500萬采購發(fā)電設備以及制磚設備,你該如何去實施?
(學生自主發(fā)言)
學生問題一、怎樣安排資金?買幾臺發(fā)電設備,幾臺制磚設備?如何決策?
引導:問題轉化為如何安排資金,能取得最大效益?即兩種方案生產產品的利潤(售價減去成本)
學生問題二、如何知道這些信息?(產品售價、設備的單價等)
引導(先提問學生):上網查詢、市場調查、向已建廠取經、參觀展銷會等等.
(三)數(shù)據的篩選
由于教室條件限制,不能現(xiàn)場查取,所以老師幫你們收集了一些資料,希望對你們有所幫助.請分析以下信息,提取你認為有用的數(shù)據.
信息一、
信息二、
焚燒垃圾重量直接關系到垃圾發(fā)電企業(yè)的經濟效益.在BOT的模式下,企業(yè)的效益這樣來保障:
1.每處理1噸垃圾,政府補貼發(fā)電企業(yè)73.8元,
2.保證以0.52元/千瓦時的價格收購全部垃圾發(fā)電量,
3.一臺發(fā)電設備每處理1噸垃圾平均費用為123元
4.一臺發(fā)電設備日處理垃圾能力為225噸,
5.1噸垃圾可發(fā)電300千瓦時,其中30%為自用電
信息三、
發(fā)電設備:120萬/臺制磚設備:35萬/臺
機房總面積為7畝,每臺設備有各自平均占地,其中發(fā)電設備每臺平均占地1畝,制磚機每臺平占地1畝
(四)建立模型
你能從以上信息中提煉出你所需要的信息,并用數(shù)學語言表示出來嗎?
(學生動手)
引導:我們剛才處理的問題即應用題:
例一工廠欲生產甲乙兩種產品,已知生產一件甲產品利潤為60元,一臺甲設備價格為120萬,占地1畝,年生產能力為82125件;生產一件乙產品利潤為0.12元,一臺乙設備價格為35萬,占地1畝,年生產能力為15000000件.現(xiàn)有資金500萬,廠房7畝,該廠該如何添置甲乙兩種設備,使得年利潤最大?
(五)解決模型
該問題即我們上節(jié)課剛學過的線性規(guī)劃問題,請大家動手解決.
(六)反饋實際
我們可以將我們的成果發(fā)到市長信箱,為城市建設出謀劃策,貢獻自己的一份力量.
五、歸納小結
(一)解決生活問題的步驟:
創(chuàng)設情境→方案討論→數(shù)據篩選→建立模型→解決模型→反饋實際
現(xiàn)實問題:給你資金和地皮,購置設備
方案討論:通過1.上網查詢2.市場調查3.吸收已建廠經驗等方法收集信息.
數(shù)據篩選及建立模型:將收集到的信息用數(shù)學語言表示出來.
解決模型:用已學過的數(shù)學知識進行分析、處理,得出結論.
反饋實際:將結論應用于實際問題當中.
(二)順利解決生活問題體要具備的能力
我們要具備信息收集及處理能力、生活語言轉化成數(shù)學語言的能力以及扎實的數(shù)學解題能力.
不等式課件【篇3】
各位領導
你們好!
今天我要為大家講的課題是 : 《 不等式及其解集 》 。
首先,我對本節(jié)教材進行一些分析:
一、教材分析:
1.教材所處的地位和作用:
本節(jié)內容在全書及章節(jié)的地位是:《 不等式及其解集 》是 新人教版 初中數(shù)學教材第 七 冊第 九 章第 1 節(jié)內容。 學生已初步體會到生活中的量與量之間的關系,有相等與不等的情形,就是有大小之分…… 在此之前,學生已學習了 等式 基礎上,這為過渡到本節(jié)的學習起著鋪墊作用。
2教學目標:
根據上述教材分析,考慮到學生已有的認知結構心理特征,制定如下教學目標:
(1)知識目標:
了解不等式及一元一次不等式概念。
理解不等式的解、解集,能正確表示不等式的解集。
(2)能力目標:
通過教學初步培養(yǎng)學生分析問題,解決實際問題,讀圖分析、收集處理信息、團結協(xié)作、語言表達的能力,以及通過師生 互動 ,初步培養(yǎng)學生運用知識的能力,培養(yǎng)學生加強理論聯(lián)系實際的能力。
(3)情感目標:
通過對 《不等式及其解集》 的教學,引導學生從現(xiàn)實生活的經歷與體驗出發(fā),激發(fā)學生對地理問題的興趣,使學生了解地理知識的功能與價值,形成主動學習的態(tài)度,讓學生初步認識到地理知識的優(yōu)越性,同時滲透 安全教育 ;通過理論聯(lián)系實際的方式,通過知識的應用,培養(yǎng)學生唯物主義的思想觀點。
3.重點,難點以及確定的依據:
本課中 不等式相關概念的理解和不等式的解集的表 是重點, 不等式解集的理解 是本課的難點,但由于學生年齡小,解決實際問題能力弱,對理論聯(lián)系實際的問題的理解難度大。下面,為了講清重難點,使學生能達到本節(jié)課設定的教學目標,我再從教法和學法上談談:
二、教學策略(說教法):
(一)教學手段:
如何突出重點,突破難點,從而實現(xiàn)教學目標。我在教學過程中擬計劃進行如下操作:
1.“讀(看)——議——講”結合法
2 .讀圖討論法
3 .教學過程中堅持啟發(fā)式教學的原則
基于本節(jié)課的特點: 第一節(jié)知識性特點 ,應著重采用 自主探討 的教學方法。
(二)教學方法及其理論依據:
堅持“以學生為主體,以教師為主導”的原則,即“以學生活動為主,教師講述為輔,學生活動在前,教師點撥評價在后”的原則,根據學生的心理發(fā)展規(guī)律,聯(lián)系實 際安排教學內容。采用學生參與程度高的學導式討論教學法。在學生看圖片 、討論基礎上,在教師啟發(fā)引導下,運用問題解決式教學法,師生交談法、問答法、課堂討論法,引導學生根據現(xiàn)實生活的經歷和體驗及收集到的信息(感性材料)來理解課文中的理論知識。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題,提問不同層次的學生,面向全體,使基礎差的學生也能有表現(xiàn)的機會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)其學習熱情。有效地開發(fā)各層次學生的潛在智能,力求使每個學生都能在原有的基礎上得到發(fā)展。同時通過課堂練習和課后作業(yè),啟發(fā)學生從書本知識回到社會實踐,學以致用,落實教學目標。
使學生學習對生活有用的數(shù)學,學習對終身發(fā)展有用的數(shù)學的基本理念。提供給學生與其生活和周圍世界密切相關的數(shù)學知識,學習基礎性的知識和技能,在教學中要積極培養(yǎng)學生學習興趣和動機,明確的學習目的。教師應在課堂上充分調動學生的學習積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力
三、學情分析:(說學法) :
1.學生特點分析:
中學生心理學研究指出,初中階段是智力發(fā)展的關鍵年齡,學生邏輯思維從經驗型逐步向理論型發(fā)展,觀察能力、記憶能力和想象能力也隨著迅速發(fā)展。從年齡特點來看,初中學生好動、好奇、好表現(xiàn),抓住學生特點,積極采用形象生動、形式多樣的教學方法和學生廣泛的、積極主動參與的學習方式,定能激發(fā)學生興趣,有效地培養(yǎng)學生能力,促進學生個性發(fā)展。生理上,青少年好動,注意力易分散,愛發(fā)表見解,希望得到老師的表揚,所以在教學中應抓住學生這一生理特點,一方面要運用直觀生動的形象,引發(fā)學生的興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上;另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性。
2.知識障礙上:
(1)知識掌握上,學生原有的知識 等式 ,許多學生出現(xiàn)知識遺忘,所以應 更學生更過的時間分組預習討論 。
(2)學生學習本節(jié)課的知識障礙。 不等式解集的表示方法
知識,學生不易理解,所以教學中教師應予以簡單明白、深入淺出的分析。
3.動機和興趣上:
明確的學習目的。教師應在課堂上充分調動學生的學習積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力。
最后我來具體談一談這一堂課的教學過程:
四、教學程序及設想:
教學程序:
(一)課堂結構: 出示學習目標,預習展示 , 練習反饋 , 課堂自測, 布置作業(yè) 五 個部分。
(二)教學簡要過程:
1、 出示學習目標,課前預習
出示學習目標,學生觀察學習目標,自主預習。
設計意圖:有了明確的學習目標才能激發(fā)起學生的學習熱情,才能充分調動學生學習的積極性。
學生分小組進行自主探究學習,同學之間進行合作交流,教師巡視指導,觀察學生的探究方法,并傾聽學生之間的探討。
【設計意圖】:本次任務為本節(jié)課的核心任務,其目的是通過學生的自主學習,理解本節(jié)幾個概念,并通過學生的舉例回答,從具體的實例中去掌握這幾個概念。
2 、預習反饋
讓學生自己來講解,有利于提高學生的語言表達能力,學生用語言來概括這幾個概念,培養(yǎng)學生的數(shù)學語言表達能力及抽象概念能力。
3 、老師歸納,練習反饋
歸納補充知識點,并進行練習反饋。針對每個知識點設置不同的練習。如
1 ) 、不等式的定義設置 , (判斷)下列各式是否為不等式;
(1)-2<5 (2)x+3> 2x (3)4x-2y<0 (4)a-2b
(5)x2-2x+1<0 (6) a+b≠c (7)5m+3=8 (8)x≤-4
2 ) 、 用不等式表示:
⑴ a與1的和是正數(shù);
⑵ y的2倍與1的和小于3;
⑶ y的3倍與x的2倍的和是非負數(shù) ;
⑷ x乘以3的積加上2最多為5.
3 ) 、下列說法正確的是( )
A. x=3是2x>1的解
B. x=3是2x>1的唯一解
C. x=3不是2x>1的解
D. x=3是2x>1的解集
及認識不等式解集的表示方法有兩種:最簡形式與在數(shù)軸上表示。分組討論找規(guī)律,記口訣。(定界點,定方向)相關題型:
用數(shù)軸表示不等式的解集:
(1)x>-2; (2)x≤3; (3)y≤0
找三名同學上臺展示。
展示學生的成果,讓學生在學習過程中感受學習的樂趣和成功的喜悅,增強學生的學習興趣。
體會不等式是解決實際問題的有效工具。
4 、課堂自測
檢測學習本節(jié)課的掌握情況。
5 、布置作業(yè)
分層作業(yè)。針對學生的學習情況,讓每一名同學都 能完成 老師布置的任務,增強成就感及學習數(shù)學的興趣。 A類: 教科書P119,120:1,2,3;B 類: 卷:能力提高作業(yè)。
五、 反思:
本節(jié)教學,有以下幾點特別值得回味的地方。
1、從生活中來回到生活中去的教學設計
新課標指出:“數(shù)學的教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有知識經驗基礎上。”心理學的研究表明,學習內容和學生生活背景、知識背景越接近,學生自覺接納知識懂得的程度就越高。導入的恰當、合理會引起學生極大的學習興趣,對知識的銜接和理順起到畫龍點睛的作用,又對新知識起到設疑、點拔的作用。用學生身邊感興趣的實例 過馬路、蹺蹺板體驗生活中的不等式 ,一方面引起學生的參與欲,另一方面也體現(xiàn)了知識拓展的需要。因為這樣既可引出一元一次不等式的意義,又讓學生產生學習不等式的需求,也使學生對解不等式 的方法有了很自然的聯(lián)想 讓學生充分感受到學習一元一次不等式的必要性。使學生進一步認識到“數(shù)學來源于生活,反過來又為生活服務”,增強學好數(shù)學的信心與決定。
2、重視數(shù)學思想方法的滲透
數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂,知識轉化為能力的橋梁。在整節(jié)課的教學中都非常重視數(shù)學思想方法的滲透。學習不等式時,類比方程、不等式解集的概念,滲透“類比”思想。使學生在已有知識上進行遷移,在主動參與、探索交流中不知不覺學到了新知識。利用數(shù)軸求不等式的解集,滲透“數(shù)形結合”思想。掌握不等式的解集 在數(shù)軸上的表示 ,利用數(shù)軸把解集 講解得非常透徹,使學生充分認識到“數(shù)形結合”思想方法的用處。列不等式解決實際問題,滲透“建模”思想,培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識。最后的小結,不是流俗的學習內容小結,而是思想方法的小結,它起到了提綱挈領,梳理總結的目的。
3、重視數(shù)學的“再創(chuàng)造”
課堂教學改革的宗旨和根本出發(fā)點是:改善和促進學生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。建構主義理論強調學習的主動性、社會性和情景性,認為學習者不是知識信息的被動吸收者,而是主動積極的建構者。留給學生的作業(yè):完成課外探究題,借助數(shù)軸歸納求不等式的解集一般規(guī)律。教學時重視了數(shù)學的“再創(chuàng)造”,由學生本人把需學的東西自己去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造出來。學生的學習不再是一種被動地吸收知識,反復練習,強化儲存知識的過程,而是通過反復研究、探索、思考、概括,親身經歷“再創(chuàng)造”的探究性學習過程,從而自主獲得知識。
總之,教學設計時體現(xiàn)新課程標準的思想和理念,注重知識與能力并重,培養(yǎng)發(fā)展學生自主探索的獨立思考精神。
不等式課件【篇4】
一教材分析
1、教材地位和作用
均值不等式又叫做基本不等式,選自人教B版(必修5)的3章的2節(jié)的內容,是在上節(jié)不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究.同時也是為了以后學習中的幾種重要不等式,以及不等式的證明作鋪墊,起著承上啟下的作用。
本節(jié)內容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點,所以本節(jié)課可以培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識靈活解決實際問題的能力。
“均值不等式”在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應用。求最值是高考的熱點。它在科學研究、經濟管理、工程設計上都有廣泛的作用。
2、教學目標
A.知識目標:學會推導并掌握均值不等式,理解這個均值不等式的幾何意義,并掌握定理中取等號的條件.B.能力目標:通過對均值不等式的推導過程,提高學生探究問題,分析與解決問題的能力。參透類比思想,數(shù)形結合的思想,優(yōu)化了學生的思維品質。
C.情感目標:(1)通過探索均值不等式的證明過程,培養(yǎng)探索、研究精神。(2)通過對均值不等式成立的條件的分析,養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài),并形成勇于提出問題、分析問題的習慣。
3、教學重點、難點:
重點:
通過對新課程標準的解讀,教材內容的解析,我認為結果固然重要,但數(shù)學學習過程更重要,它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力,所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點
難點:
很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻,在應用時候常常出錯誤,所以,均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點
二教法學法分析
1.教法
本節(jié)課主要采用探究歸納,啟發(fā)誘導,講練結合的教學方法。以學生為主體,以均值不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學生探究思索。
2、教學手段
為了使抽象變?yōu)榫唧w,我使用了多媒體。為了突出重點我使用了彩色粉筆。3,學法
從實際生活出發(fā),通過創(chuàng)設問題情境,讓學生經歷由實際問題出發(fā),探求均值不等式,發(fā)現(xiàn)均值不等式的實質,利用均值不等式解決實際問題的過程。使學生從代數(shù)證明和幾何證明兩方面理解并掌握基本不等式。
三教學過程
(一)、創(chuàng)設情景,引入課題
從古至今中國人有很多發(fā)明創(chuàng)造推動了和推動著世界的前進,在這璀璨的星空里,最耀眼的一顆就是被奉為2002年北京國際數(shù)學家大會會徽的《趙爽弦圖》(動畫打出)。
如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的,顏色的明暗使它看上去象一個風車,代表中國人民熱情好客。這就是公元前1000多年前我國數(shù)學家趙爽發(fā)現(xiàn)并記錄在《周脾算經》中的發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的《趙爽弦圖》;它比歐洲畢達哥拉斯學派的發(fā)現(xiàn)早了500多年。
你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎?
設計意圖:勾起學生強烈的民族自豪感和強烈的求知欲,并對學生滲透愛國主義教育,同時告訴學生記住我國光輝而燦爛的歷史。
探究圖形中的不等關系(用提問題的方式)
將圖中的“風車”抽象成如圖,在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形。
設直角三角形的兩條直角邊長為a,b
4個直角
22三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為a?b。
由于4個直角三角形的面積和小于正方形的面積,22我們就得到了一個不等式:a?b?2ab。
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即a=b時,22正方形EFGH縮為一個點,這時有a?b?2ab。
22a,b?R,那么a?b?2ab(當且僅當a?b時取“?”號)得到結論:重要不等式:如果
具有這種形式的式子就是我們今天要討論的問題.(二)新課講授。
1給出均值定理(在老師寫均值不等式定理時,要求同學在課本上了解均值定理,并思考怎樣證明。),師生一起證明均值不等式。
a?ba?0,b?0)2要證:?????????①
即證:a?b????????????②
要證②,只要證:a?b??0????③
2要證③,只要證:(-)?0 ??④
點評,強調取等條件;
2.?a?b2的幾何意義 a?b?a?0,b?0)2當a≠b時,OC>CD,即
a?b?當a=b時,OC=CD,即
2我們是否能從圖中看見當D向O點移動時CD是逐漸變長了,當D,O重合時CD最長,并且a=b.a?b
3.在數(shù)學中,我們稱2為正數(shù)a、b的算術平均數(shù),稱ab為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).均值不等式還可敘述為:兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù).設計意圖:探索發(fā)現(xiàn),觀察歸納,形成概念,加深對均值不等式的認識和理解;培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想方法和對比的數(shù)學思想,多方面思考問題的能力.讓學生積極的參與到學習中來,激發(fā)學生的學習興趣。
(三)例題講解(精講第一題)
例,矩形的面積為100 m2,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形周長最短。最短周長是多少?
用波利亞的4環(huán)節(jié)來進行解題
1:審題(把實際問題數(shù)學化)
2:分析(矩形的長與寬的乘積是一個常數(shù),求長與寬的和的2倍的最小值;)3:解題
4:回顧(給出規(guī)律:規(guī)律:兩個正數(shù)的積為常數(shù)時,它們的和有最小值)。
設計意圖:這個例題體現(xiàn)了基本不等式的實用價值。隨著高考綜合科目的確定,聯(lián)系各個學科的試題將會不斷出現(xiàn),數(shù)學作為工具性的學科,學好數(shù)學,也增強了攻讀好其他學科的信心。
為了體現(xiàn)夸美紐斯的鞏固性原則,我設計了下面練習。
練習:已知矩形的周長是36m,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的面積最大?最大面積是多少?
先老師對該練習進行提示,再抽一位同學在黑板上來練習,其他同學在下面練習。做完后大家一起點評該練習,不讓同學通過上面的回顧來終結下面的規(guī)律:
兩個正數(shù)的和為常數(shù)時,它們的積有最大值
四小結(教師引導學生小結本節(jié)課):
知識:均值定理及其成立的條件,及其均值定理的應用
方法:一正,二定,三相等。
思想:類比和數(shù)形結合的思想。
設計意圖:培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力,鞏固所學知識.
五作業(yè):
基礎題:課本 第77頁A組 1.提高題:課本 第77頁A組 3.4研究題:設正數(shù)a、b,試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式
板書設計:
為了更好的板書本節(jié)課的內容,使整個板面重點突出,層次分明,我將黑板分為四版.定理例題練習副版
定理的證明講解講解
不等式課件【篇5】
課題:§3.2.3均值不等式課時:第3課時 授課時間:授課類型:新授課
【教學目標】
1.知識與技能:了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。
2.過程與方法:培養(yǎng)學生的探究能力以及分析問題、解決問題的能力。
3.情態(tài)與價值:激發(fā)學習數(shù)學的熱情,培養(yǎng)善于思考、勤于動手的學習品質。
【教學重點】了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。
【教學難點】了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。
【教學過程】
例
1、已知a、b、c∈R,求證:
不等式的左邊是根式,而右邊是整式,應設法通過適當?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開方式轉化為完全平方式,再利用不等式的性質證得原命題。
a2b2c
2???a?b?c 例
2、若a,b,c?R,則bca?
本題若用“求差法”證明,計算量較大,難以獲得成功,注意到a , b , c∈R,從結論的特點出發(fā),均值不等式,問題是不難獲證的。
+
例
3、已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),求證:a?b?c?ab?bc?ca 證明:∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca
以上三式相加:2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca
∴a?b?c?ab?bc?ca
例
4、已知a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
分析:此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系,從而正確運用,同22222222222222
2證明:∵a,b,c,d都是正數(shù),∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>
得ab?cdac?bd??0,??0.22
(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4由不等式的性質定理4的推論1,得 ?
即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
小結:正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
課堂練習:第73頁習題B 3、4課后作業(yè):第73頁習題B 5、6
板書設計:
教學反思:
不等式課件【篇6】
《均值不等式》說課稿
山東陵縣一中 燕繼龍李國星
尊敬的各位評委、老師們:
大家好!我今天說課的題目是 《均值不等式》,下面我從教材分析,教學目標,教學重點、難點,教學方法,學生學法,教學過程,板書設計,效果分析八個方面說說我對這堂課的設計。
一、教材分析:
均值不等式又稱基本不等式,選自普通高中課程標準實驗教科書(人教B版)必修5第三章第3節(jié)內容。是不等式這一章的核心,在高中數(shù)學中有著比較重要的地位。對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實際問題都起到工具性作用。通過本節(jié)的學習有利于學生對后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值值域進一步研究,起到承前啟后的作用。
二、教學目標:
1、知識與技能:
(1)掌握均值不等式以及其成立的條件;
(2)能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。
2、過程與方法:
(1)探索并了解均值不等式的證明過程、體會均值不等式的證明方法;
(2)培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。
3、情感態(tài)度與價值觀:
(1)通過探索均值不等式的證明過程,培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神;
(2)通過對均值不等式成立條件的分析,養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度;
(3)認識到數(shù)學是從實際中來,通過數(shù)學思維認知世界。
三、教學重點和難點:
重點:通過對新課程標準的解讀,教材內容的解析,我認為結果固然重要,但數(shù)學學習過程更重要,它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力,所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點之一;再者,均值不等式有比較廣泛的應用,需重點掌握,而用好均值不等式,關鍵是對不等式成立條件的準確理解,因此,均值不等式及其成立的條件也是教學重點。
難點:很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻,在應用時候常常出現(xiàn)錯誤,所以,均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點。
四、教學方法:
為了達到目標、突出重點、突破難點、解決疑點,我本著以教師為主導的原則,再結合本節(jié)的實際特點,確定本節(jié)課的教學方法。
突出重點的方法:我將通過引導啟發(fā)、學生展示來突出均值不等式的推導;通過多媒體展示、來突出均值不等式及其成立的條件。
突破難點的方法:我將采用重復法(在課堂的每一環(huán)節(jié),以各種方式進行強調均值不等式和
來突破均值不等式成立的條件這個難點。
此外還將繼續(xù)采用個人和小組積分法,調動學生積極參與的熱情。
五、學生學法:
在學生的學習中,注重知識與能力,過程與方法,情感態(tài)度和價值觀三個方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學生是主體,具體如下:
1、課前預習----學會;、明確重點、解決疑點;
2、分組討論
3、積極參與----敢于展示、大膽質疑、爭相回答;
4、自主探究----學生實踐,鞏固提高;
六、教學過程:
采取“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學模式,運用學案導學開展本節(jié)課的教學,首先進行
:課前預習
(一)成果反饋
1.對課前小組合作完成的現(xiàn)實生活中的問題:
“今有一臺天平,兩臂不等長,要用它稱物體質量,將物體放在左、右托盤各稱一次,稱得的質量分別為a,b,問:能否用a,b的平均值表示物體的真實質量?若不能,這二者是什么關系?”
進行多媒體情景演示,抽小組派代表回答,從而引出均值不等式抽出兩名同學上黑板完成2、32.均值定理:_____________________________________
a?b
2?。
預備定理:a2?b2?2ab(a,b?R),仿照預備定理的證明證明均值定理 3.已知ab>0,求證:?
ab
ab?2,并推導出式中等號成立的條件。
與此同時,其他同學分組合作探究和均值定理有關的以下問題,教師巡視并參與討論,適時點撥。
① 適用范圍a,b?________,x?0,x?
1x??2
對嗎?
② 等號成立的條件,當且僅當__________時,________=_________ ③ 語言表述:兩個___數(shù)的____平均數(shù)_____它們的_______平均數(shù) ④ 把不等式_________________又稱為均值或________不等式 ⑤ 數(shù)列觀點:兩個正數(shù)的______中項不小于它們的_____中項
。⑥ 幾何解釋(見右圖):________________
⑦常見變形a?b?_______
?________,即ab?
___________。例:
4、(1)一個矩形的面積為100 m,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的周長最短?最短周長是多少?(2)已知矩形的周長是36m,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的面積最大?最大面積是多少?
由此題可以得出兩條重要規(guī)律:
兩個正數(shù)的積為常數(shù)時,它們的和有______值; 兩個正數(shù)的和為常數(shù)時,它們的積有______值。
等待兩名同學做完后,適時終止討論,學生各就各位。首先針對黑板上這兩道題發(fā)動學生上來捉錯(用不同色粉筆),然后再由老師完善,以此加深學生對定理及應用條件的認識。其次,老師根據剛才巡視掌握的情況,結合多媒體進行有針對性的講解(重點應強調均值定理的幾何解釋:半徑不小于半弦,以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過程,使定理“形化”),進一步加深學生對定理的認識及應用能力,初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”
第二步:課內探究
(二)精講點撥 1.例:求函數(shù)f(x)?
?2x?x?
3x
(x?0)的最大值,及此時x的值。
先和學生們一起探討該問題的解題思路,先拆分再提出“-”號,為使用均值定理創(chuàng)造條件,后由學生們獨立完成,教師通過巡視或提問發(fā)現(xiàn)問題,通過多媒體演示來解決問題,該例題主要讓學生注意定理的應用條件及一些變形技巧。
2.多媒體展示辨析對錯:
?這幾道辨析題先讓學生們捉錯,再由
多媒體給出答案,創(chuàng)設情境加深學生對用均值定理求函數(shù)最值時注意“一正、二定、三相等”的認識
(三)有效訓練
1.(獨立完成)下列函數(shù)的最小值為2的是()
A、y?x?
1x
B、y?sinx?
1sinx
(0?x?
?)
C、y??
1D、y?tanx?
本題意在鞏固用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”,待學生完成后,隨機抽取幾名學生說一下答案,選D,應該不會有問題。
2.(小組合作探究)一扇形中心角為α,所在圓半徑為R。若扇形周長為一常值C(C>0),當α為何值時,扇形面積最大,并求此最大值。
本題若直接運用均值不等式不會出現(xiàn)定值,需要拼湊。待學生討論過后,先通答案,??2時扇形面積最大值為
c
tanx
(0?x?
?)
。若有必要,抽派小組代表到講臺上講解,及時反饋矯正。
(四)本節(jié)小結
小結本節(jié)課主要內容,知識點,由學生總結,教師完善,不外乎: 1.兩個重要不等式
a?b?2ab(a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)
2a?b2
?a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)
?
2.用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”。
(一)、雙基達標(必做,獨立完成):
1、課本第71頁練習A、B;
2、已知x??1,求y?x?6?
x?
1的最值;
(二)、拓展提高(供選做, 可小組合作完成):
?
23、若a,b?R且a?
b
?1,求a?最大值及此時a,b的值.4、a?0,b?0,且
5、求函數(shù)f(x)?
1a
?
9b
?1,求a?b最小值.x?3x?1x?
1(x??1)的最小值。
通過作業(yè)使學生進一步鞏固本節(jié)課所學內容,注重分層次設計題目,更加關注學生的差異。
七、板書設計:
由于本節(jié)采用多媒體教學,板書比較簡單,且大部分是學生的展示。
八、效果分析:
本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學模式,通過學案導學,多媒體展示,師生互動,生生互動。學生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件;能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。但用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”,說起來容易做起來難,學生還得通過反思和課后訓練進一步體會。
我的說課到此結束,懇請各位評委和老師們批評指正,謝謝!
不等式課件【篇7】
【教學目標】
1.通過具體情境讓學生感受和體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,鼓勵學生用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,使學生感受數(shù)學、走進數(shù)學、改變學生的數(shù)學學習態(tài)度。
2.建立不等觀念,并能用不等式或不等式組表示不等關系。
3.了解不等式或不等式組的實際背景。
4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。
【重點難點】
重點:
1.通過具體的問題情景,讓學生體會不等量關系存在的普遍性及研究的必要性。
2.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關系,并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關系的問題。
3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關系的意義和價值。
難點:
1.用不等式或不等式組準確地表示不等關系。
2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關系的實際問題。
【方法手段】
1.采用探究法,按照閱讀、思考、交流、分析,抽象歸納出數(shù)學模型,從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發(fā)式教學。
2.教師提供問題、素材,并及時點撥,發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用。
3.設計教典型的現(xiàn)實問題,激發(fā)學生的學習興趣和積極性。
【教學過程】
教學環(huán)節(jié)
教師活動
學生活動
設計意圖
導入新課
日常生活中,同學們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關系。你能舉出一些例子嗎?
實例1.某天的天氣預報報道,最高氣溫35℃,最低氣溫29℃。
實例2.若一個數(shù)是非負數(shù),則這個數(shù)大于或等于零。
實例3.兩點之間線段最短。
實例4.三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊。
引導學生想生活中的例子和學過的數(shù)學中的例子。在老師的引導下,學生肯定會迫不及待的能說出很多個例子來。即活躍了課堂氣氛,又激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣。
推進新課
同學們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實生活,又考慮到數(shù)學上常見的數(shù)量關系,非常好。而且大家已經考慮到本節(jié)課的標題《不等關系與不等式》,所舉的實例都是反映不等量的關系。
(下面利用電腦投影展示兩個實例)
實例5:限時40km/h的路標,指示司機在前方路段行使時,應使汽車的速度v不超過40km/h。
實例6:某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%.
同學們認真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。
讓學生們邊看邊思考:生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數(shù)量關系來描述
過程引導
能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經走進了數(shù)學這門學科,但是我們還要能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點、進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,那么我們用什么知識來表示這些不等關系呢?
什么是不等式呢?
用大屏幕展示一組不等式-71+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.
能用不等式及不等式組把這些不等關系表示出來,也就是建立不等式數(shù)學模型的過程通過對不等式數(shù)學模型的'研究,反過來作用于現(xiàn)實生活,這才是學習數(shù)學的最終目的。
思考并回答老師的問題:可以用不等式或不等式組來表示不等關系。
經過老師的啟發(fā)和點撥,學生可以自己總結出:用不等號將兩個解析試連接起來所成的式子叫不等式。
目的是讓學生回憶不等式的一些基本形式,并說明不等號≤,≥的含義,是或的關系。回憶了不等式的概念,不等式組學生自然而然就清楚了。
此時學生已經迫不及待地想說出自己的觀點了。
合作探究
(一)。下面我們把上述實例中的不等量的關系用不等式或不等式組一一的表示出來,那應該怎么表示呢?
這兩位同學的觀點是否正確?
老師要表揚學生:“很好!這樣思考問題很嚴密?!睉撚貌坏仁浇M來表示此實際問題中的不等量關系,也可以用“且”的形式來表達。
(二)。問題一:設點A與平面的距離為d,B為平面上的任意一點。
請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量的關系。
老師提示:借助于圖形,這個問題是不是可以解決?
(下面讓學生板演,結合三角形草圖來表達)
問題(二):某種雜志原以每本2。5元的價格銷售,可以售出8萬本,據市場調查,若單價每提高0。1元,銷售量就可能相應減少20xx本。若把提價后雜志的定價設為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢?
是不是還有其他的思路?
為什么可以這樣設?
很好,請繼續(xù)講。
這位學生回答的很好,表述得很準確。請同學們對兩種解法作比較。
問題(三):某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種,按照生產的要求,600mm鋼管的數(shù)量不超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關系的不等式?
假設截得500mm的鋼管x根,截得600mm的鋼管y根。根據題意,應當有什么樣的不等量關系呢?
右邊的三個不等關系是“或”還是“且”的關系呢?
這位學生回答得很好,思維很嚴密,那么該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關系呢?
通過上述三個問題的探究,同學們對如何用不等式或不等式組把實際問題中隱藏的不等量關系表示出來,這一點掌握得很好。請同學們完成書本練習第74頁1,2。
課堂小結:
1.學習數(shù)學可以幫助我們解決實際生活中的問題。
2.數(shù)學和我們的生活聯(lián)系非常密切。
3.本節(jié)課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組,并且能用它來解決現(xiàn)實生活中存在的大量不等量關系的實際問題。還要注意思維要嚴密,規(guī)范,并且要注意數(shù)形結合等思想方法的綜合應用。
布置作業(yè):
第75頁習題3.1 A組4,5。
29℃≤t≤35℃
x≥0
|AC|+|BC|>|AB|
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
|AB|-|AC|
如果用表示速度,則v≤40km/h.
f≥2.5%或p≥2.3%
學生自己糾正了錯誤:這種表達是錯誤的,因為兩個不等量關系要同時滿足,所以應該用不等式組來表示次實際問題中的不等量關系,即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
過點A作AC⊥平面于點C,則d=|AC|≤|AB|
可設雜志的定價為x元,則銷售量就減少萬本。銷售量變?yōu)?8-)萬本,則總收入為(8-)x萬元。即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為(8-)x≥20.
解法二:可設雜志的單價提高了0.1n元,(n)
我只考慮單價的增量。
那么銷售量減少了0.2n萬本,單價為(2.5+0.1n)元,則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的不等式,表示為(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.
截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm。
截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。
截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負數(shù)。
它們是同時滿足條件,應該是且的關系。由實際問題的意義,還應有x,y要同時滿足上述三個不等關系,可以用下面的不等式組來表示:
如果學生沒有想到的話,老師可以在黑板上板演示意圖,啟發(fā)學生考慮三邊的大小關系。
此時啟發(fā)學生“或”字可以嗎?學生沒有了聲音,他們在思考著。到底行不行呢?有的回答“行”,有的回答“不行”。
此時學生們在思考,時間長的話,老師要及時點撥。
讓學生知道,在解決問題時應該貫穿數(shù)形結合的思想,以形助數(shù),下面有學生的聲音,有學生在討論,有的學生還有疑問。老師注意關注學生的思維狀況,并且及時的加以指導。
此時學生已經真正進入本節(jié)課的學習狀態(tài),老師再給出問題(三)使學生一直處于跟隨老師積極思考和解決問題的狀態(tài)。問題是教學研究的核心,以問題展示的形式來培養(yǎng)學生的問題意識與探究意識。
【教學反思】(【設計說明】)
本節(jié)課內容很多,都是不等式和不等式組的有關問題,還有很多是生活中的實例,學生學習起來很感興趣,課堂的氣氛也很好,大多數(shù)學生都能很積極地回答問題,使課堂的學習氣氛很濃,確實也做到了愉快教學。設計是按照老師引導式教學,邊講授邊引導,啟發(fā)學習思考問題及能自己解決問題,鍛煉學習能自主的學習能力。
【交流評析】
一是課堂容量適中,二是實例很好,接近生活,學生感興趣。三是學生回答問題積極踴躍,和老師配合很好。四是多媒體應用的恰到好處,教學設備很完善,老師也能很熟練的應用。
不等式課件【篇8】
3.2均值不等式 教案(3)
(第三課時)
教學目標:
了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用
教學重點:
了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用
教學過程
例
1、已知a、b、c∈R,求證:
不等式的左邊是根式,而右邊是整式,應設法通過適當?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開方式轉化為完全平方式,再利用不等式的性質證得原命題.
a2b2c
2???a?b?c 例
2、若a,b,c?R,則bca?
本題若用“求差法”證明,計算量較大,難以獲得成功,注意到a , b , c∈R,從結論的特點出發(fā),均值不等式,問題是不難獲證的.
+
例
3、已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),求證:a?b?c?ab?bc?ca 證明:∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca
以上三式相加:2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca
∴a?b?c?ab?bc?ca
例
4、已知a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab?cd)(ac?bd)?4abcd 22222222222222
2分析:此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系,從而正確運用,同時證明:∵a,b,c,d都是正數(shù),∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>得
ab?cdac?bd??0,??0.22
由不等式的性質定理4的推論1,得
?(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
小結:正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
課堂練習:第77頁練習A、B
課后作業(yè):略
不等式課件【篇9】
教材分析:
上節(jié)課認識了不等式,知道了什么叫不等式和不等式的解。本節(jié)主要學習不等式的解集,這是學好利用不等式解決實際問題的關鍵,同時要求學生會用數(shù)軸表示不等式的解集,使學生感受到數(shù)形結合的作用。并且本課也通過讓學生經歷實驗、觀察、分析、概括過程,自主探索不等式的解集等概念,培學生的思維能力。在情感態(tài)度、價值觀方面要培養(yǎng)學生與他人合作學習的習慣。
教學重點:
理解不等式的解集的含義,明確不等式的解是在某個范圍內的所有解。
教學難點:
對不等式的解集含義的理解。
教學難點突破辦法:
通過實驗、觀察,分析、概括過程,使學生對不等式的解集有了初步的理解,然后通過數(shù)軸直觀地表示出不等式的解集,從而加深了學生對不等式的解集的理解。
教學方法:
1、采用復習法查缺補漏,引導發(fā)現(xiàn)法培養(yǎng)學生類比推理能力,嘗試指導法逐步培養(yǎng)學生獨立思考能力及語言表達能力。充分發(fā)揮學生的主體作用,使學生在輕松愉快的氣氛中掌握知識。
2、讓學生充分發(fā)表自己的見解,給學生一定的時間和空間自主探究每一個問題,而不是急于告訴學生結論。
3、尊重學生的個體差異,注意分層教學,滿足學生多樣化的學習需要。
學習方法:
1、學生要深刻思考,把實際問題轉化為數(shù)學模型,養(yǎng)成認真思考的好習慣。
2、合作類推法:學習過程中學生共同討論,并用類比推理的方法學習。
教學步驟設計如下:
(一)創(chuàng)設問題情境,引入新課:
實驗:將如下重量的砝碼分別放入天平的左邊。
請大家仔細觀察,哪些砝碼放入天平左邊后能使天平向左邊傾斜?如果砝碼重x克,要使x+2>5,即:天平左邊放入x克砝碼后使天平向左邊傾斜。那么這樣的x取應取什么數(shù)?這樣的數(shù)是有限個還是無限個?
學生活動:
1、讓學生觀察實驗,尋找數(shù)量關系回答問題;
2、讓學生采取小組合作的學習方式。
(二)講授新課
通過實驗、討論、交流、歸納得到:大于心不甘的每個數(shù)都是不等式x+2>5的解,而小于3的每一個數(shù)都不是不等式x+2>5的解,因此不等式x+2>5的解有無限多個,它們組成集合,稱為一元不等式x+2>5的解集。即表示為x>3。
由實例概括出不等式的解集以及解不等式的概念:一個不等式的所有解,組成這個不等式的解的集合,簡稱為這個不等式的解集;求不等式的解集過程,叫做解不等式。
我們知道解不等式不能只求個別解,而應求它的解集.一般而言,不等式的解集不是由一個數(shù)或幾個數(shù)組成的,而是由無限多個數(shù)組成的,如x>3.那么如何在數(shù)軸上直觀地表示不等式x+2>5的解集x>3呢?
不等式解集x>3,在數(shù)軸上可以直觀地表示出來。如圖8.2.1
如果某個不等式x≤-2,也可在數(shù)軸上直觀地表示出來,如圖8.2.2
說明:8.2.1在表示范表演的點畫空心圓圈,表不包括這一點,表示大時就往右拐;圖8.2.2在表示-2的點畫黑點表示包括這一點,表示小時不向左拐。
(三)知識拓展
將數(shù)軸上x的范圍用不等式來表示:
(四)嘗試反饋:
課本第44頁“練習”第1、2題。
(五)歸納小結:
這節(jié)課主要學習了不等式的解集的有關概念,并會用數(shù)軸表示不等式的解集。
不等式課件【篇10】
《不等式的基本性質》它是北師大版八年級下冊第一章第二節(jié)的內容。今天我將從教材分析,教學目標,教學重難點,教法學法,教學過程這五個方面談談我對這節(jié)課處理的一些不成熟的看法:
本節(jié)內容不等式,它是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間關系的有效數(shù)學模型,在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用,所以對不等式的學習有著重要的實際意義。同時,不等式的基本性質也為學生以后順利學習解一元一次不等式和解一元一次不等式組的有關內容的理論基礎,起到重要的奠基作用。
根據《新課程標準》的要求,教材的內容兼顧我校八年級學生的特點,我制定了如下教學目標:
知識與技能:
1. 感受生活中存在的不等關系,了解不等式的意義。
2. 掌握不等式的基本性質。
過程與方法:經歷不等式的基本性質的探索過程,初步體會不等式與等式的異同。
情感態(tài)度與價值觀:經歷由具體實例建立不等式模型的過程,進一步符號感與數(shù)學化的能力。
教學重難點:
重點:不等式概念及其基本性質
難點:不等式基本性質3
教法與學法:
1. 教學理念: “ 人人學有用的數(shù)學”
2. 教學方法:觀察法、引導發(fā)現(xiàn)法、討論法.
3. 教學手段:多媒體應用教學
4. 學法指導:嘗試,猜想,歸納,總結
根據《數(shù)學課程標準》的要求,教材和學生的特點,我制定了以下四個教學環(huán)節(jié)。
下面我將具體的教學過程闡述一下:
一、創(chuàng)設情境,導入新課
上課伊始,我將用一個公園買門票如何才劃算的例子導入課題。
世紀公園的票價是:每人5元;一次購票滿30張,每張可少收1元。某班有27名團員去世紀公園進行活動。當領隊王小華準備好了零錢到售票處買27張票時,愛動腦筋的李敏同學喊住了王小華,提議買30張票。但有的同學不明白,明明我們只有27個人,買30張票,豈不是“浪費”嗎?
(此處學生是很容易得出買30張門票需要4X30=120(元), 買27張門票需要5X27=135(元),由于120〈135,所以買30張門票比買27張還要劃算。由此建立了一個數(shù)與數(shù)之間的不等關系式)
緊接著進一步提問:若人數(shù)是x時,又當如何買票劃算?
二、探求新知,講授新課
引例列出了數(shù)與數(shù)之間的不等關系和含有未知量120
接下來我用一組例題來鞏固一下對不等式概念的認知,把表示不等量關系的常用關鍵詞提出。
(1)a是負數(shù);
(2)a是非負數(shù);
(3) a與b的和小于5;
(4) x與2的差大于-1;
(5) x的4倍不大于7;
(6) 的一半不小于3
關鍵詞:非負數(shù),非正數(shù),不大于,不小于,不超過,至少
回到引入課題時的門票問題120
難點突破:通過上面三組算式,學生已經嘗試著歸納出不等式的三條基本性質了。不等式性質3是本節(jié)的難點。在不等式性質3用數(shù)探討出以后,換一個角度讓學生想一想,是否能在數(shù)軸上任取兩個點,用相反數(shù)的相關知識挖掘一下,乘以或除以一個負數(shù)時,任意兩個數(shù)比較是否性質3都成立。通過“數(shù)形結合”的思想,使數(shù)的取值從特殊化到一般化,從對具體數(shù)的感知完成到字母代替數(shù)的升華。讓學生用實例對一些數(shù)學猜想作出檢驗,從而增加猜想的可信程度。同時,讓學生嘗試從不同角度尋求解決問題的方法并能有效地解決問題。
反饋練習:用一個小練習鞏固三條性質。
如果a>b,那么
(1) a-3 b-3 (2) 2a 2b (3) -3a -3b
提出疑問,我們討論性質2,3是好象遺忘了一個數(shù)0。
引出讓學生歸納,等式與不等式的區(qū)別與聯(lián)系
三、拓展訓練
根據不等式基本性質,將下列不等式化為“”的形式
(1)x-13
再次回到開頭的門票問題,讓學生解出相應的x的取值范圍
四、小結
1.新知識
一個數(shù)學概念;兩種數(shù)學思想;三條基本性質
2.與舊知識的聯(lián)系
等式性質與不等式性質的異同
五、作業(yè)的布置
以上是我對這節(jié)課的教學的看法,希望各位專家指正。謝謝!
“讓學生主動參與數(shù)學教學的全過程,真正成為學習的主人”
不等式課件【篇11】
教材分析
本節(jié)課是在系統(tǒng)的學習了不等關系和不等式性質,掌握了不等式性質的基礎上展開的,作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學習奠定基礎。要進一步了解不等式的性質及運用,研究最值問題,此時基本不等式是必不可缺的?;静坏仁皆谥R體系中起了承上啟下的作用,同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用,因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材,所以基本不等式應重點研究。
教學中注意用新課程理念處理教材,學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習,而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學,師生互動,教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用,引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。通過本節(jié)學習體會數(shù)學來源于生活,提高學習數(shù)學的樂趣。
課程目標分析
依據《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況,特確定如下目標:
1、知識與能力目標:理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念,學會構造條件使用基本不等式;培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標:按照創(chuàng)設情景,提出問題→剖析歸納證明→幾何解釋→應用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學生的思維能力,體會數(shù)學概念的學習方法,通過運用多媒體的教學手段,引領學生主動探索基本不等式性質,體會學習數(shù)學規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標:通過問題情境的設置,使學生認識到數(shù)學是從實際中來,培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界,通過數(shù)學思維認知世界,從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質。
教學重、難點分析
重點:應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索基本不等式的證明過程及應用。
難點:1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。
教法分析
本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發(fā)誘導、講練結合的教學方法,以學生為主體,以基本不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段,加深學生對基本不等式的理解。
教學準備
多媒體課件、板書
教學過程
教學過程設計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程,符合學生的認知規(guī)律,使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。
具體過程安排如下:
創(chuàng)設情景,提出問題;
設計意圖:數(shù)學教育必須基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”,現(xiàn)實情境問題是數(shù)學教學的平臺,數(shù)學教師的任務之一就是幫助學生構造數(shù)學現(xiàn)實,并在此基礎上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實.基于此,設置如下情境:
上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎?
本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數(shù)量關系,抽象出不等式。在此基礎上,引導學生認識基本不等式。
二、抽象歸納:
一般地,對于任意實數(shù)a,b,有,當且僅當a=b時,等號成立。
[問]你能給出它的證明嗎?
學生在黑板上板書。
特別地,當a>0,b>0時,在不等式中,以、分別代替a、b,得到什么?
設計依據:類比是學習數(shù)學的一種重要方法,此環(huán)節(jié)不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源,突破了重點和難點,而且感受了其中的函數(shù)思想,為今后學習奠定基礎.
答案:。
【歸納總結】
如果a,b都是正數(shù),那么,當且僅當a=b時,等號成立。
我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a,b的算術平均數(shù),稱為a,b的幾何平均數(shù)。
三、理解升華:
1、文字語言敘述:
兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
2、聯(lián)想數(shù)列的知識理解基本不等式
已知a,b是正數(shù),A是a,b的等差中項,G是a,b的正的等比中項,A與G有無確定的大小關系?
兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項。
3、符號語言敘述:
若,則有,當且僅當a=b時,。
[問]怎樣理解“當且僅當”?(學生小組討論,交流看法,師生總結)
“當且僅當a=b時,等號成立”的含義是:
2023不等式課件14篇
經驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在平日里的學習中,幼兒園教師時常會提前準備好有用的資料。資料可以指人事物的相關多類信息、情報。有了資料才能更好地安排接下來的學習工作!你是否收藏了一些有用的幼師資料內容呢?以下是由小編為大家整理的“2023不等式課件14篇”,僅供參考,歡迎大家閱讀。
不等式課件 篇1
七年級數(shù)學不等式課件
教學目標:
通過對具體實例的學習,使學生能夠了解生活中的不等量關系,理解不等式的概念,知道什么是不等式的解,為以后學習不等式的解法奠定基礎.
知識與能力:
1.通過對具體事例的分析和探索,得到生活中不等量的關系.
2.通過理解得到不等式的概念,從而使學生經歷實際問題中數(shù)量的分析、抽象過程,體會現(xiàn)實中有各種各樣錯綜復雜的數(shù)量關系.
3.了解不等式的意義,知道不等式是用來刻畫生活中的數(shù)量關系的.
4.知道什么是不等式的解.
過程與方法:
1.引導學生分析具體事例,從對具體事例的分析中得到不等量關系.
2.引導并幫助學生列出不等式,分析不等式的成立條件.
3.通過分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.
4.通過習題鞏固和加深對概念的理解.
情感、態(tài)度與價值觀:
1.通過學生的分析和抽象過程使他們體會現(xiàn)實中錯綜復雜的數(shù)量關系,然后從而培養(yǎng)其抽象思維能力.
2.通過分組討論學習,體會在解決具體問題的過程中與他人合作的重要性,培養(yǎng)學生的團體協(xié)作精神,使學生獲得合作交流的學習方式.
3.通過聯(lián)系與發(fā)展、對立與統(tǒng)一的思考方法對學生進行辯證唯物主義教育.
4.通過創(chuàng)設問題串,讓學生仔細觀察、對比、歸納、整理,嘗試對有理數(shù)進行分類,然后體驗教學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性.
教學重、難點及教學突破
重點:不等式的概念和不等式的解的概念.
難點:對文字表述的數(shù)量關系能列出不等式.
教學突破:由于學生在以前已經對數(shù)量的大小關系和含數(shù)字的不等式有所了解,但還沒有接觸過含未知數(shù)的不等式,在學生分析問題的時候注意引入現(xiàn)實中大量存在的數(shù)量間的不等關系,研究它們的變化規(guī)律,使學生知道用不等式解決實際問題的方便之處.在本節(jié)的教學中能夠在組織學生討論的過程中適當?shù)貪B透變量的知識,讓學生感受其中的函數(shù)思想,并引導學生發(fā)現(xiàn)不等式的解與方程的解之間的區(qū)別.在處理本節(jié)難點時指導學生練習有理數(shù)和代數(shù)式的知識,準確“譯出”不等式.
教學過程:
一.研究問題:
世紀公園的票價是:每人5元,一次購票滿30張可少收1元.某班有27名少先隊員去世公園進行活動.當領隊王小華準備好了零錢到售票處買了27張票時,愛動腦的李敏同紀學喊住了王小華,提議買30張票.但有的同學不明白.明明只有27個人,買30張票,豈不浪費嗎?
那么,究竟李敏的提議對不對呢?是不是真的浪費呢
二.新課探究:
分析上面的問題:設有x人要進世紀公園,①若x≥30,應該如何買票?②若x
結論:至少要有多少人進公園時,買30張票才合算?
概括:1、不等式的定義:表示不等關系的式子,叫做不等式.不等式用符號>,
2、不等式的解:能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解.
3、不等式的分類:⑴恒不等式:-71+4,a+2>a+1.
⑵條件不等式:x+3>6,a+2>3,y-3>-5.
三、基礎訓練.
例1、用不等式表示:⑴a是正數(shù);⑵b不是負數(shù);⑶c是非負數(shù);⑷x的平方是非負數(shù);⑸x的一半小于-1;⑹y與4的和不小于3.
注:⑴不等式表示代數(shù)式之間的不相等關系,與方程表示相等關系相對應;
⑵研究不等關系列不等式的重點是抓關鍵詞,弄清不等關系.
例2、用不等式表示:⑴a與1的和是正數(shù);⑵x的2倍與y的3倍的差是非負數(shù);⑶x的2倍與1的和大于—1;⑷a的一半與4的差的絕對值不小于a.
例3、當x=2時,不等式x-1
注:⑴檢驗字母的值能否使不等式成立,只要代入不等式的左右兩邊,如果符合不等號所表示的關系,就成立,否則就不成立.⑵代入法是檢驗不等式的解的重要方法.
學生練習:課本P42練習1、2、3.
四、能力拓展
學校組織學生觀看電影,某電影院票價每張12元,50人以上(含50人)的團體票可享受8折優(yōu)惠,現(xiàn)有45名學生一起到電影院看電影,為享受8折優(yōu)惠,必須按50人購團體票.
⑴請問他們購買團體票是否比不打折而按45人購票便宜;
⑵若學生到該電影院人數(shù)不足50人,應至少有多少人買團體票比不打折而按實際人數(shù)購票便宜.
解:⑴按實際45人購票需付錢_________ 元,然后如果按50人購買團體票則需付錢50×12×80%=480元,所以購買團體票便宜.
⑵設有x人到電影院觀看電影,當x_____時,按實際人數(shù)買票______張,需付款_______元,而按團體票購票需付款________元,如果買團體票合算,那么應有不等式________________,
由①得,當x=45時,上式成立,讓我們再取一些數(shù)據試一試,將結果填入下表:
x12x比較480與12x的大小48
由上表可見,至少要__________人時進電影院,購團體票才合算.
五、小結:
⑴不等式的定義,不等式的'解.
⑵對實際問題中探索得到的不等式的解,然后不僅要滿足數(shù)學式子,而且要注意實際意義.
六、作業(yè)課本P42習題8.1第1、2、3題.
補充題:
1.用不等式表示:
(1)與1的和是正數(shù);(2)的與的的差是非負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差的絕對值不小于.
(5)的2倍減去1不小于與3的和;(6)與的平方和是非負數(shù);
(7)的2倍加上3的和大于-2且小于4;(8)減去5的差的絕對值不大于
2.小李和小張決定把省下的零用錢存起來.這個月小李存了168元,然后小張存了85元.下個月開始小李每月存16元,小張每月存25元.問幾個月后小張的存款數(shù)能超過小李?(試根據題意列出不等式,并參照教科書中問題1的探索,找出所列不等式的解)
3.某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農用車12輛和6輛,現(xiàn)需要調往A縣10輛,調往B縣8輛,已知從甲倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為40元和80元,然后從乙倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為30元和50元,(1)設從乙倉庫調往A縣農用車輛,用含的代數(shù)式表示總運費W元;(2)請你用嘗試的方法,探求總運費不超過900元,共有幾種調運方案?你能否求出總運費最低的調運方案.
不等式課件 篇2
(1)本節(jié)內容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質及其解法等知識的基礎上,把實際問題和一元一次不等式結合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎,具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結果所對應的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉化為一元一次不等式并加以解決。
根據以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關系符號化,并根據解集和結合實際情況分類討論得出合理結論。
根據本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1、能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關系的數(shù)學模型,并結合解集解決簡單的實際問題。
2、通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
3、在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
根據教學內容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型的價值。
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的關注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結,布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關系以外,還存在著大量的不等關系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經基本了解了不等式的性質和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的`興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預案 一:教師應關注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應的數(shù)量意義,將之轉化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關系抽象能力弱。應關注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產生的聲音,教師應從估算的角度加以引導。引導學生體會在580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
結論:580人時選擇乙公司能讓每位學生的餐費平均算來更低。
問題(2)你能否用以前學過的知識,在不知道具體人數(shù)的前提下制定一套方案,當其他學校的初一年級也想在這兩家公司之間進行選擇時,不用重復第一題的計算過程,只要知道人數(shù)就馬上能根據你方案的結論作出決策呢?
結合以前的訓練,學生很容易想到要通過設未知數(shù)的方法進行符號表達,將非常關鍵而題目中并未給出的學生人數(shù)設為未知數(shù)。由于本題的具體分析過程仍然是由學生分析討論完成,可能出現(xiàn)的情況是:
預案一:一部分綜合能力較強的同學會根據實際意義直接列出綜合算式:或
此處教師應該引導學生觀察,在化簡不等式的過程中單價并未影響結果(利用不等式性質二將其作為公倍數(shù)約去),即:題目中沒有具體的單價也不會影響本題的決策。
還可以結合小學單位一的思想化簡不等式,引導學生體會并不是題目中出現(xiàn)的所有數(shù)量都會影響不等關系,有可能引發(fā)學生的關于數(shù)量關系的深層次思考。
預案 二:還有一部分學生會因為生活經驗少的關系,綜合思考能力弱,無法快速的理清數(shù)量關系,列出綜合算式,思考受阻,教師應引導學生體會在第一題的算式意義的提示下,如何分別列出表達甲乙公司所需總費用的過程量代數(shù)式。然后在通過將之用不等號連接的方式,來表達兩筆費用的大小,降低因綜合性所引起的思維梯度, 在過程中讓學生體會“分步建模”的思維的條理性。
問題(1)如果你是該企業(yè)的高級管理人員,請你設計該企業(yè)在購買設備時兩種型號有幾種不同的組合方案;
問題(2)若按固定產量預算企業(yè)每月產生的污水量約為20xx噸,為了節(jié)約資金,應選擇哪種購買方案?
實際情景2的選擇除涉及“角色扮演”和“環(huán)?!钡热宋囊蛩氐目紤]以外,在在結合本節(jié)的教學目標上還有如下考慮,
1、 本題取材于真實的實際生活問題,情景中的符號和數(shù)量關系較多,不等關系在文字語言的敘述中顯得比第一題更加隱蔽,需要學生更深化的思考才能列出算式,是在第一個情景的基礎上的擴展和深化。
2、 在學生的討論過程中,教師應注重引導學生體會,用圖表表示的數(shù)字信息比文字表達更便于觀察和有序思考,感受“有序表達”在實際中的價值。
3、 結合本題每一個的具體問題的分析和解決,學生必須要從表格中分析篩選相關的有用數(shù)據,(例如:在第一問設計方案時未用到“處理污水量”和“年消耗費”,在第二問中未用到“價格”和“年消耗費”)這種分析和篩選的思考經歷將有助于加強學生對數(shù)據關系的理解和運用能力。
結合以前的訓練,在思考問題(1)學生很容易想到要通過設A型或B型設備的
例如:(1)設購買污水處理設備A型 臺,則B型(10 – )臺,由題意知:
在此處,將“限額為105萬元”轉化為“≤105”是學生要突破的第一關,教師應在次處多展示同學的對“限額為105萬元”語言解釋,盡可能多的在具有不同經歷基礎的同學心中將這個抽象過程生活化、自然化。
因為在實際情景中往往要根據未知數(shù)所代表的具體含義為未知數(shù)的加一個取值范圍的限定,而這個隱含的限制條件往往是學生中所不容易考慮到的,教師應注意引導學生注意這一問題,
例如:本題中的 是設備的臺數(shù),應用非負整數(shù)的限制,所以 可取0、1、2,因此有三種購買方案:
①購A型0臺,B型10臺;
②購A型1臺,B型9臺;
③購A型2臺,B型8臺。
此處細節(jié)性的思考經歷,有助于提高學生在建模過程中更全面的考慮數(shù)值的實際意義,促進抽象符號與具體意義在頭腦中的融合。
特別的,此處的“0”是學生最容易忽視和丟掉的,教師在此處應重點引導學生思考當“ ”時,往往是企業(yè)最可能選的方案,因為不同的設備涉及到不同的維護問題,單一品種的設備往往更便于管理,這種思考有助于發(fā)散學生的思維,促進其結合實際作更全面的思考。
問題(2)的思維梯度較前幾個問題進一步加大,學生必須理解“節(jié)約資金”這個目的的達成 一定是在“完成任務”的前提下的,要先通過對(1)中所得的三套方案是否能完成任務加以討論和驗證,然后再涉及計算哪個方案費用更低的問題
在驗證三套方案的可行性時,收思維方式的局限,學生往往會選擇逐一列舉計算的討論方式,并且由于數(shù)量少,很容易得出答案,教師可引導學生思考,如果滿足(1)的方案不是三種,而是三十種呢?三百種呢?除了逐一討論以外還有沒有什么更好的方式能幫助我們迅速縮小范圍呢?引導學生將所買設備能否完成任務量轉化為如下不等關系:
(2)同(1)所設購買污水處理設備A型 臺,則B型(10 – )臺,
240 +200(10 – )≥20xx;
因此為了節(jié)約資金,應選購A型1臺,B型9臺。
此處的分析和引導有助于學生體會不等式在有效縮小討論范圍時的實際價值。
通過以上問題的解決,學生對不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型有了進一部的認識,并感受到不等式確實是從實際問題中提出,又為解決實際問題提供明確的幫助有效數(shù)學工具。
本階段通過學習小結進行課堂教學的反饋,組織和指導學生歸納知識、技能、方法,深化對數(shù)學思想方法的認識,為后續(xù)學習打好基礎。
不等式課件 篇3
(1)本節(jié)內容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質及其解法等知識的基礎上,把實際問題和一元一次不等式結合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎,具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結果所對應的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉化為一元一次不等式并加以解決。
根據以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關系符號化,并根據解集和結合實際情況分類討論得出合理結論。
根據本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1.能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關系的數(shù)學模型,并結合解集解決簡單的實際問題。
2.通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
3.在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
三、教學方法的選擇
根據教學內容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型的價值,
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的.關注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結,布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關系以外,還存在著大量的不等關系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經基本了解了不等式的性質和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預案 一:教師應關注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應的數(shù)量意義,將之轉化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關系抽象能力弱。應關注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產生的聲音,教師應從估算的角度加以引導。引導學生體會在 580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
不等式課件 篇4
教學建議
一、知識結構
本書首先結合實例引入一元一次不等式組的解集的概念,然后通過三個例題說明利用數(shù)軸解一元一次不等式組的方法,最后對一元一次不等式組的解法步驟進行了總結.
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是掌握一元一次不等式組的解法步驟并準確地求出解集.難點是正確應用不等式的基本性質對不等式進行變形、求不等式組中各個不等式解集的公共部分.不等式在中學代數(shù)中是研究問題的重要工具,例如求函數(shù)的定義域、值域、研究函數(shù)的單調性,求最大值、最小值,一元二次方程根的討論等,都要用到不等式的知識.不等式也是進一步學習其他數(shù)學內容的基礎.學習和掌握不等式的求解和不等式的證明方法,對培養(yǎng)學生邏輯思維能力也有極其重要的作用.在處理解不等式的問題中,一元一次不等式組的解法,具有特別重要的意義.這是因為,解各類不等式的問題都可以歸結為解一些由簡單不等式所組成的不等式組.
1、在構成不等式組的幾個不等式中
①這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù);
②這里的“幾個”并未確定不等式的個數(shù),只要不是一個,兩個,三個,四個……都行.
2、當幾個不等式的解集沒有公共部分時,我們就說這個不等式組無解.
3、由兩個一元一次不等式組成的不等式的解集,共歸結為下面四種基本情況:
【注意】①其中第(4)個不等式組,實質上是矛盾不等式組,任何數(shù)都不能使兩個不等式同時成立。所以說這個不等式組無解或說其解集為空集。②從上面列出的表中,我們可以概括出來不等式組公共解的一規(guī)律:同大取大,同小取小,一大一小中間找。
三、教法建議
1.解本節(jié)的引例及例1、例2、例3時,注意把解不等式組的思路講清楚,即先分別解每一個不等式,求出解集,再求這些解集的公共部分.求公共部分的過程一定要結合數(shù)軸來講。
2.這節(jié)課的講解自始至終要突出解不等式組的基本思想以及解一元一次不等式組的步驟這兩個重點.準確熟練地解一元一次不等式以及用數(shù)軸上的點表示不等式的解集是這節(jié)課的基礎,因此講新課之前要復習提問這些內容。
3.求公共解集是這節(jié)課的新授內容,教師要充分利用數(shù)軸表示不等式解集具有形象、直觀、易于說明問題這些優(yōu)點.解集的公共部分教師可用彩筆在數(shù)軸的相應部分描畫出來,使學生感到醒目,便于理解記憶。
4.每組不等式不要超過三個,關鍵是使學生理解和掌握解不等式組的基本思想和兩個步驟,不宜做過于難、過于多、重復的機械計算。
不等式課件 篇5
(一)復習提問:
三角形的三邊關系?
(二)列一元一次不等式組
問題:現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm.如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么對木條c的長度有什么要求?
注:這個問題是本節(jié)的'引入問題,三角形木框的形狀不唯一確定,只要能成為三角形即可.
探究:用三根長度分別為14cm,9cm,6cm的木條c1,c2,c3分別試試,其中哪根木條能與木條a和b一起釘成三角形木框?
可以發(fā)現(xiàn),當木條a和b的長度確定后,木條c太長或太短,都不能與a和b一起釘成三角形.
由于“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,設木條c長xcm,則x必須同時滿足不等式x10+3①和x10-3②
注:木條c必須同時滿足兩個條件,即ca+b,ca-b.
類似于方程組,把這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組記作注:這里并未正式給一元一次不等式組下定義,只是說這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組.實際上,兩個或更多的一元一次不等式組合起來,都組成一個一元一次不等式組.
(三)一元一次不等式組的解集
類比方程組的解,怎樣確定不等式組中x的可取值的范圍呢?
不等式組中的各不等式解集的公共部分,就是不等式組中x可以取值的范圍.
注:這里還未正式出現(xiàn)不等式組的解集的概念,但已點出各不等式的解集的公共部分即不等式組中未知數(shù)的可取值范圍.
由不等式①解得x13.
由不等式②解得x7.
從圖9.3—2容易看出,x可以取值的范圍為713.
注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.
這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.
一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.
注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義13.注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義。
不等式課件 篇6
一元一次不等式組(2)
文星中學唐波
一、教學目標
(一)知識與技能目標
1、熟練掌握一元一次不等式組的解法,會用一元一次不等式組解決有關的實際問題。
2、理解一元一次不等式組應用題的一般解題步驟,逐步形成分析問題和解決問題的能力。
(二)過程與方法目標
通過利用列一元一次不等式組解答實際問題,初步學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題、并能綜合運用所學的知識解決問題,發(fā)展應用意識。
(三)情感態(tài)度與價值觀
通過解決實際問題,體驗數(shù)學學習的樂趣,初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系。
二、教學重難點
(一)重點:建立用不等式組解決實際問題的數(shù)學模型。
(二)難點:正確分析實際問題中的不等關系,根據具體信息列出不等式組。
三、學法引導
(一)教師教法:直觀演示、引導探究相結合。
(二)學生學法:觀察發(fā)現(xiàn)、交流探究、練習鞏固相結合。
四、教具準備:多媒體演示
五、教學過程
(一)、設問激趣,引入新課
猜一猜:我屬狗,請同學們根據我的實際情況來猜測我的年齡。(學生大膽猜想,利用不等關系分析得出答案。)
(二)、觀察發(fā)現(xiàn),競賽闖關
1、比一比:填表找規(guī)律
(學生搶答,教師補充。)2利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解不等式組 ?(學生解答,抽生演板。)你可以得到它的整數(shù)解嗎?
(抽生回答:因為大于11小于14的整數(shù)有12和13,所以整數(shù)解為12和13。)3填空:三角形三邊長分別為2、7、c,則 c的取值范圍是__________。如果c是一個偶
數(shù),則 c=__________。
(學生回答,教師補充更正。)
(三)、欣賞圖片,探究新知
1、欣賞“五岳看山”。
2、利用欣賞引出例題(教科書P139例2仿編)
例:3名同學計劃在10天內到嵩山拍照500張(每天拍照數(shù)量相同),按原來的計劃,不能完成任務;如果每人每天比原計劃多拍1張,就能提前完成任務,每個同學原計劃每天............拍多少張?
生齊讀,找出題中的已知條件和未知條件;再默讀,找一找表示數(shù)量關系的句子。師引導分析,并提出問題:
(1)你是怎樣理解“不能完成任務”的數(shù)量含義的?你是怎樣理解“提前完成任務”的數(shù)量含義的?
(2)解決這個問題,你打算怎樣設未知數(shù)?
(3)在本題中,可以找出幾個不等關系,可以列出幾個不等式?(學生交流討論,教師指導。)
?7x?98
?7(x?3)?98
解答完成后,學生自學課本例2。
3、由例解題答過程,類比列二元一次方程組解應用題的步驟,總結列一元一次不等式組的解題步驟:
(1)、分析題意,設未知數(shù); .(2)、利用不等關系,列不等式組; .(3)、解不等式組; .
(4)、檢驗,根據題意寫出答案。.(學生總結,抽生回答,教師補充。)
(四)、闖關練習,鞏固新知
1練一練:為紀念“5·12”大地震一周年,“五一”部分同學到青城山拍照留念,如果每人拍8張則多于如果每人拍9張則不夠問共有多少個同學參加青城山旅游? ..150張;..180張。
教師引導:抓住重點詞語,找到不等關系,列出不等式組。學生獨立完成,抽生回答。
比較列二元一次方程組和列一元一次不等式組解應用題的區(qū)別:
(學生類比找區(qū)別,教師補充。)2練一練(教科書P140練習第2題):一本英語書共98頁,張力讀了一周(7天)還沒讀完,而李永不到一周就已讀完。李永平均每天比張力多讀3頁,張力平均每天讀多少頁(答案取整數(shù))?
學生分析列出不等式組,教師指導。(前面的練習已解出不等式組。)
(五)、暢所欲言,歸納小結 學生暢所欲言,談收獲體會 多媒體展示,本課內容小結:
1、解一元一次不等式組的秘笈:同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了。
2、具有多種不等關系的問題,可通過不等式組解決。
3、列一元一次不等式組解應用題的步驟是:(1)、分析題意,設未知數(shù);(2)、利用不等關系,列不等式組;(3)、解不等式組;
(4)、檢驗,根據題意寫出答案。
(六)、課后演練,終極挑戰(zhàn)
必做題:教材習題第4、5、6題;
選做題:一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個位數(shù)字大1,而且這個兩位數(shù)大于30小于42,則這個兩位數(shù)是多少?
六、板書設計
一元一次不等式組(2)
解:設每個同學原計劃每天拍x張,得
① ?3?10x?500
?
?3?10(x?1)?500②
1、分析題意,設未知數(shù);
解得x
3根據題意,x應為整數(shù),所以x=16 答:每個同學原計劃每天拍16張。
2??
2、找不等關系,列不等式組; ?
?
3、解不等式組; ?步驟
??
?
4、檢驗并根據題意寫出答案。?
不等式課件 篇7
科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍,達到教與學的和諧完美統(tǒng)一。
基于此,我準備采用的教法講授法、討論法。德國教育學家第斯多慧:差的教師只會奉送真理,好的教師則交給學生如何發(fā)現(xiàn)真理,老師的教是為了不教,這才是教學的最高境界,所以我采用的學法是練習法、自主合作法。
在這節(jié)課的教學過程中,我注重突出重點,條理清晰,緊湊合理。各項活動的安排也注重互動、交流,最大限度的調動學生參與課堂的積極性、主動性。
首先是導入環(huán)節(jié),我采用復習舊知的導入方法。我會讓學生回憶不等式的概念以及一元一次方程的概念,明確指出今天學習的內容是《一元一次不等式》。
這樣的設計既可以考查學生對之前知識的掌握情況,還能夠為今天學習一元一次方程的概念打下基礎。而且開門見山的導入方式能夠快速地進入主題。
接下來是新知探索環(huán)節(jié),首先我請學生類比不等式以及一元一次方程的概念,給一元一次不等式下定義。
能夠總結出:含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式。
接下來讓學生回憶上節(jié)課學習的不等式x-7>26如何解決的,通過學生回憶總結可以得到:通過“不等式的兩邊都加7,不等號的方向不變”而得到的。
接下來提問學生有沒有更加簡便的方法解不等式?讓學生類比解一元一次方程的步驟進行解題??梢缘玫较喈斢诳梢杂谩耙祈棥保瑏斫鉀Q。
在這個過程中,強調每一個步驟,在第二題最后一步,強調當不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向改變。
解完不等式,先讓學生回憶解一元一次方程的步驟是什么?并類比解一元一次方程的步驟,總結一下解一元一次不等式的步驟是什么?
從而我們歸納:解一元一次方程,要根據等式的性質,將方程逐步化為x=a的形式;而解一元一次不等式,則要根據不等式的性質,將不等式逐步化為xa的形式。
《數(shù)學課程標準》指出:“學生是數(shù)學學習的主人,教師是數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者”。根據這一教學理念,在本環(huán)節(jié)中,我組織學生進行了自主探究活動,讓學生在保持高度學習熱情和探究欲望的活動過程中,始終以愉悅的心情,親身經歷和體驗知識的形成過程。培養(yǎng)學生的探究能力、分析思維能力,激發(fā)他們的創(chuàng)新意識、參與意識。
第三個環(huán)節(jié)是課堂練習環(huán)節(jié),出示問題,解不等式,并在數(shù)軸上表示數(shù)集:5x+15>4x-1
之所以這樣設計是因為練習是掌握知識、形成技能、發(fā)展思維的重要手段,針對本課的教學重點和難點,上述練習,目的是讓學生進一步鞏固對新知的理解??梢陨罨虒W內容,培養(yǎng)思維的靈活性。
最后一個環(huán)節(jié)為小結作業(yè)環(huán)節(jié),關于課堂小結,我打算讓學生自己來總結今天的收獲。
這樣既發(fā)揮了學生的主體性,又可以提高學生的總結概括能力,讓我在第一時間得到學習反饋,及時加以疏導。
通過這樣的方式能夠為本節(jié)課學習的知識進行進一步的鞏固。
我的板書設計遵循簡潔明了突出重點的意圖,這是我的板書設計:
不等式課件 篇8
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結出求不等式組解集的法則。
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結合”的方法今后經常用到,鍛煉同學們數(shù)形結合的能力,提高學習興趣。
一元一次不等式組的解法。
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設c的長為xcm,則x<____,①x>____,②合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的.解法。
全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
不等式課件 篇9
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關系,向學生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇10
1.了解不等式及一元一次不等式概念。
2.理解不等式的解、解集,能正確表示不等式的解集。
通過類比等式的對應知識,探索不等式的概念和解,體會不等式與等式的異同,初步掌握類比的思想方法。
1.經歷把實際問題抽象為不等式的過程,能夠列出不等關系式。
2.初步體會不等式(組)是刻畫現(xiàn)實世界中不等關系的一種有效數(shù)學模型,培養(yǎng)學生的建模意識。
通過對不等式概念及其解集等有關概念的探索,培養(yǎng)學生的知識遷移能力和建模意識,加強同學之間的使用與交流。
活動一:
感知不等關系,了解不等式的概念。
通過實例,讓學生認識到不等關系在生活中的存在,通過問題的解答,讓學生了解不等式的概念,體會不等式是解決實際問題的有效工具。
活動二:
通過類比方程,繼續(xù)探索出不等式的解、解集及其表示方法。
通過解決上個環(huán)節(jié)的問題,得出不等式的解,再引導學生觀察解的特點,探索出解集的兩種表示方法(符號表示、數(shù)軸表示),并且培養(yǎng)學生用估算方法求解集的技能。
活動三:
繼續(xù)探索,歸納出一元一次不等式的意義。
針對所學的不等式,讓學生歸納出特點,得到一元一次不等式的概念,并對概念進行辨析。
運用本節(jié)所學的知識,解決實際問題,使學生經歷將實際問題轉化為數(shù)學問題,再加以解決的過程,實現(xiàn)對所學知識的鞏固和深化。
讓學生通過自我反思和互相質疑提問,歸納總結本節(jié)課的主要內容,交流在概念、解及解集學習中的心得和體會,不斷積累數(shù)學活動經驗,教師應主動參與學生小結中,作好引導工作,布置好作業(yè),并作及時反饋。
小強準備隨父母乘車去武當山春游。
⑴在車上看到兒童買票所需的測身高標識線。
①x滿足______時,他可免票。
②x滿足______時,他該買全票。
⑵已知襄樊與武當山的距離為150千米,他們上午10點鐘從襄樊出發(fā),汽車勻速行駛。
①若該車計劃中午12點準時到達武當山,車速應滿足什么條件?
②若該車實際上在中午12點之前已到達武當山,車速應滿足什么條件?
用不等式表示:
⑴a是正數(shù);⑵a是負數(shù);⑶a與5的和小于7;⑷a與2的差大于-1;
⑸a的4倍大于8;
⑹a的一半小于3。
學生回答①這兩個由實際生活情境設置的問題,應非常容易.問題②相對①難度加大了,難在題意中的條件不象上面那樣直接明了,并且可從距離和時間兩個角度來分析、解決問題,而七年級學生恰恰缺乏閱讀分析題意、多維度思考解決問題的能力,所以采用小組討論交流的形式解決問題②
學生討論角度估計大都集中在距離這一角度,教師可深入小組討論中,認真聽聽同學們的思路,應鼓勵學生多發(fā)表意見,并適當點撥,直到得出兩種不等式。
此次活動中,教師應重點關注:討論要有足夠的時間和空間,學生在小組討論交流時,是否敢于發(fā)表自己的想法。
再給出不等式概念:
像前面式子一樣用“>”或“
教師可要求學生舉出一些表示大小的式子,學生舉出的不等式中,可能會有一些不含未知數(shù)的,如5>3等。教師此時應總結:不等式中可含有未知數(shù),也可不含未知數(shù)。
教師根據學生舉例給出表示不等關系的第三種符號“≠”,并強調:像前面式子一樣用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。
鞏固練習是讓學生用不等式來刻畫題中6個簡單的不等關系。學生得出答案并不難,所以該環(huán)節(jié)讓學生獨立完成、互相評價,教師可深入到學生的解題過程中,觀察指導學生的解題思路,傾聽學生的評價。
問題1在課本中起導入新課作用,考慮學生實際情況(分析應用題能力尚欠缺)和題目難度,所以設置問題串,降低難度。這樣編排教材我認為更能體現(xiàn)知識呈現(xiàn)的序列性,從易到難,讓學生“列不等式”能力實現(xiàn)螺旋上升。
問題3作用僅僅起鞏固上面所學的知識,所以采用書中的一組習題,讓學生獨立完成,進一步培養(yǎng)學生列不等式能力。
采用學生熟悉的生活情境作為導入內容,然后層層推進,步步設問,環(huán)環(huán)相扣,直至推出不等式的概念及概念理解中應注意的地方。這樣實現(xiàn)了:讓學生從已有的數(shù)學經驗出發(fā),從生活中建構數(shù)學模型,為后面利用“不等式”這一模型解決生活中實際問題作好鋪墊,體現(xiàn)了數(shù)學生活化、生活
不等式課件 篇11
1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式,這樣的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步驟:(1)去分母(2)去括號(3)移項(4)合并同類項(5)將x項的系數(shù)化為1
1、一元一次不等式組的概念:幾個一元一次不等式合在一起,就組成了一個一元一次不等式組。
2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。
3、求不等式組的解集的過程,叫做解不等式組。
4、當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立,我們就說這個不等式組無解或其解為空集。
3、代數(shù)式1-m的值大于-1,又不大于3,則m的取值范圍是( )
A.x≥1 B.x≥-1/2 C.x>1 D.x>-1/2
A.5+4>8 B.2x-1 C.2x-5≤1 D.1/x-3x≥0
A. a>0? B.a≥0? C.a
11、若關于x的不等式組 的解集是x>2a,則a的取值范圍是
A. a>4 B. a>2 C. a=2 D.a≥2
12、若方程組 中,若未知數(shù)x、y滿足x+y>0,則m的取值范圍是
13、不等式2(1) x>-3的解集是 。
14、用代數(shù)式表示,比x的5倍大1的數(shù)不小于x的 與4的差 。
15、若(m-3)x-1,則m .
18、某次個人象棋賽規(guī)定:贏一局得2分,平一局得0分,負一局得反扣1分。在12局比賽中,積分超過15分就可以晉升下一輪比賽,小王進入了下一輪比賽,而且在全部12輪比賽中,沒有出現(xiàn)平局,問小王最多輸 局比賽
1、定義:把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心.這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點。
2、心對稱的兩條基本性質:
(1)關于中心對稱的兩個圖形,對稱點所連線段都經過對稱中心,而且被對稱中心所平分。
(2)關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心。
每上第一次課,我所講的課程內容都和學生的錯題有關。我通常把試卷中的錯題摘抄出幾個典型題,作為課堂的例題再講一遍。而學生的反應,或是像沒有見過,或是對題目非常熟悉,但沒有思路。
這些現(xiàn)象的發(fā)生,都是學生沒有及時總結的原因。所以第一次課后我都建議我的學生做一個錯題本,像寫日記一樣,記錄下自己的錯題和感想。
成也審題敗也審題。如何審題呢?
(1)這個題目有哪些個已知條件?我能不能把已知條件分開?
(2)求解的目標是什么?對求解有什么要求?
(3)能不能畫一個圖幫助思考?好多問題是沒有看清楚題意致錯。審題不清,你做得越多,可能錯的就越多。
(4)所給出的已知條件相互之間有什么關系?能不能從中發(fā)現(xiàn)隱含條件?
(5)已知條件與求解目標有什么聯(lián)系?能不能從中獲得解題的思路?找到進門的門檻?
不等式課件 篇12
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應用到生活的各個領域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據題意列出相應的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內容是向學生設疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應滿足什么條件?
設車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結,師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
不等式課件 篇13
教學重點:掌握不等式的三條基本性質,尤其是不等式的基本性質3.
教學難點:正確應用不等式的三條基本性質進行不等式變形.
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結出不等式的三條基本性質,從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
(設計說明:設置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內容提供必要的知識準備.)
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.
(教學說明: 復習等式的基本性質后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質,從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質.)
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質得出不等式的性質.
觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質1:
不等式基本性質1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.
比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關?由學生概括總結,教師補充完善得出:
不等式基本性質2 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的正數(shù),不等號的方向不變.
不等式基本性質3 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的負數(shù),不等號的方向改變.
通過PPT用圖形演示不等式的基本性質,讓學生更加清楚地認識不等式的基本性質。
不等式有傳遞性嗎?
【學生通過討論能夠比較容易得出結論:不等式有對稱性,但要注意其不等號方向的`變化;不等式也有傳遞性,但要注意的是同向傳遞性?!?/p>
三、鞏固訓練,熟練技能:
1、(1) a - 3____b - 3;
(3) 0.1a____0.1b;
(5) 2a+3____2b+3;
【本題目采用提問的方式,因為內容相對簡單,所以可以迅速得到結論。要讓提問者說清楚答案,并說明利用不等式的性質幾來進行判定的?!?/p>
(1)因為7.5>5.7,所以-7.5<-5.7;
(2)因為a+8>4,所以a>-4;
(3)因為4a>4b,所以a>b;
(4)因為-1>-2,所以-a-1>-a-2;
(5)因為3>2,所以3a>2a.
【學生口答,并說明為什么。本題重點是第5小題,要引導學生總結出a的取值會影響到答案。當a>0時,3a>2a.(不等式基本性質2)
當 a=0時,3a=2a.當a<0時,3a<2a.(不等式基本性質3) 】
學生自己完成以下題目,之后進行集體講解。
(1)如果x-5>-1,那么______________________,得:x>4
(2)如果-2x>3,那么那么______________________,得X=______
師生共同小結本節(jié)課所學重點,不等式的基本性質的具體內容。
不等式課件 篇14
基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應用有著密切的關系?;静坏仁降慕夥ê退季S方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質和應用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。下面,讓我們就基本不等式這一主題展開更加深入的探討。
一、基本不等式的定義、證明和性質
基本不等式定義:對于任意實數(shù)$x$,$y$,有$(x^2+y^2)\geq 2xy$,等號成立當且僅當$x=y$時成立。
基本不等式的證明:我們可以通過平方展開和配方進行證明,即:
$(x-y)^2\geq 0$
$x^2-2xy+y^2\geq 0$
$x^2+y^2\geq 2xy$
證畢。
基本不等式的性質:基本不等式可以用于求證其他不等式和解決實際問題,例如可以用基本不等式證明算術平均數(shù)$\ge$幾何平均數(shù),可以用基本不等式求證要想最小化一個多項式,需要使其中的各項等于彼此等于基本不等式中的相等值等。
二、基本不等式的應用及相關例題
基本不等式的應用廣泛,其中最常見的應用就是在證明和求解不等式問題中。下面,我們就通過例題來展示基本不等式的具體應用。
例題一:
已知$a,b,c$均為正實數(shù),求出$abc$與$\frac{(a+b+c)^3}{27}$的大小關系。
解:由于$a,b,c$均為正實數(shù),故可運用基本不等式進行求解,即
$\begin{aligned}
\frac{(a+b+c)}{3}\geq\sqrt[3]{abc}\
(a+b+c)^3\geq 27abc
\end{aligned}$
因此,
$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
即$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
得證。
例題二:
已知$a+b=3$,$a^2+b^2=5$,求出$a,b$的大小關系。
解:由已知條件可得$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,即
=5+2ab$
$ab=\frac{4}{3}$
由基本不等式知得
ab=\frac{8}{3}\leq a^2+b^2=5$
即$a^2+b^2>2ab$,因此$a^2>b^2$,
又因為$a+b=3$,所以$b=3-a$,
所以$(3-a)^2
+a^2-6a
$a>\frac{3}{2}$
因此,
$a>b>\frac{3}{2}-a$
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不等式的課件
發(fā)布時間:2023-08-05 不等式課件 不等式的課件收藏。
經驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在幼兒教育工作中,我們都有會準備一寫需要用到資料。資料包含著人類在社會實踐,科學實驗和研究過程中所匯集的經驗。有了資料的協(xié)助我們的工作會變得更加順利!所以,關于幼師資料你究竟了解多少呢?小編現(xiàn)在推薦你閱讀一下不等式的課件收藏,相信能對大家有所幫助。
不等式的課件 篇1
基本不等式是初中數(shù)學比較重要的一個概念,對于求解不等式問題有非常大的作用。在教學中,老師可以通過多學示例,呈現(xiàn)形式多樣,讓學生深刻理解基本不等式的本質和應用,使學生在解決實際問題中靈活掌握相關知識。本文將結合基本不等式的定義、性質和應用,探討其相關主題。
一、基本不等式的定義和性質
基本不等式是在解決實際問題時常用到的一種數(shù)學方法,它可以有效地幫助我們解決很多實際問題。在數(shù)學中,一般把基本不等式定義為,對于任何正整數(shù)a和b,有下列不等關系:
(a+b)^2>=4ab
這個不等式在初中數(shù)學中非常重要,我們還可以把它解釋成下面的形式:對于任何兩個正數(shù)a和b,有下列不等式:
a/b+b/a>=2
這個式子實際上就是基本不等式的一個特例,也說明了基本不等式中的a和b可以指任何兩個正數(shù)。
基本不等式的一些性質:
1、兩邊同時乘以正數(shù)或是開根號(即不改變不等關系的實質)是允許的。
2、當a=b時等號成立。
3、當a不等于b時,不等號成立。
這些性質是我們用基本不等式時需要注意的幾個關鍵點。如果我們了解了這些基本的性質,就可以更加靈活地運用基本不等式解決實際問題。
二、基本不等式的應用
基本不等式的應用非常廣泛,例如可以用它來解決以下問題:
1、證明
√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2
這個問題就可以使用基本不等式來證明,首先得到(a+b)^2>=2(a^2+b^2),將式子化簡可得√(a^2+b^2)>=a/√2+b/√2,這就是想要證明的結論。
2、解決一些最值問題。例如:如何使a+b的值最小?這個問題可以用基本不等式來解決,我們設a+b=k,那么a+b的平方就是k^2,代入基本不等式中可得出:
k^2>=4ab,即(a+b)^2>=4ab
這個不等式右邊是4ab,左邊則是(a+b)^2,因此a+b的值取得最小值時,應當使(a+b)^2=4ab,所以a=b,因此a+b的最小值就是2a或是2b。
3、證明一些平方和不等式的結論。例如:
(a/b)^2+(b/a)^2>=2
這個問題可以通過基本不等式進行證明,首先我們設x=a/b,y=b/a,很顯然有x+y>=2,然后通過簡單的運算可得:x^2+y^2>=2,也即(a/b)^2+(b/a)^2>=2。
綜上所述,基本不等式作為初中數(shù)學比較重要的一部分,其定義、性質和應用都與實際問題密切相關。在解決實際問題時,我們可以通過多學示例,靈活運用基本不等式的性質和應用,進而更好地理解其本質和應用,從而使初中數(shù)學知識更加牢固。
不等式的課件 篇2
(1)運用問題的形式幫助學生整理全章的內容,建立知識體系。
(2)在獨立思考的基礎上,鼓勵學生開展小組和全班的交流,使學生通過交流和反思加強對所學知識的理解和掌握,并逐步建立知識體系。
通過問題情境的設立,使學生再現(xiàn)已學知識,鍛煉抽象、概括的能力。解決問題
通過具體問題來體會知識間的聯(lián)系和學習本章所采用的主要思想方法。
通過獨立思考獲取學習的成功體驗,通過小組交流培養(yǎng)合作交流意識,通過大膽發(fā)表自己的觀點,增強自信心。
重點:對一元一次不等式基本性質的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關的問題,建立起相關的知識體系。
不等式有哪些基本性質?它與等式的性質有什么相同和不同之處?
解一元一次不等式和解一元一次方程有什么異同?引導學生回憶解一元一次方程的步驟.比較兩者之間的不同學生舉例回答.
舉例說明在數(shù)軸上如何表示一元一不等式(組)的解集分組競賽.看哪一組出的題型好,全班一起解答.
舉例說明不等式、函數(shù)、方程的聯(lián)系.引導學生回憶函數(shù)的有關內容.舉例說明三者之間的關系.小組討論,合作回答.函數(shù)性質、圖象
小組交流、討論不等式和函數(shù)、函數(shù)和方程等之間的關系,分別舉例說明.
布置作業(yè)開動腦筋,勇于表達自己的'想法.
(1)在運用所學知識解決具體問題的同時,加深對全章知識體系理解。
(2)發(fā)展學生抽象能力、推理能力和有條理表達自己想法的能力.
教學思考:
體會數(shù)學的應用價值,并學會在解決問題過程中與他人合作.解決問題。在獨立思考的基礎上,積極參與問題的討論,從交流中學習,并敢于發(fā)表自己的觀點和主張,同時尊重與理解別人的觀點。
情感態(tài)度與價值觀:
進一步嘗試學習數(shù)學的成功體驗,認識到不等式是解決實際問題的重要工具,逐漸形成對數(shù)學活動積極參與的意識。
重點:
對一元一次不等式基本性質的掌握;理解不等式(組)解及解集的含義,會解簡單的一元一次不等式(組),并會在數(shù)軸上表示其解集;會解相關的問題,建立起相關的知識體系。
↓ ↓
安排一組練習讓學生充分充分討論解決.
(1)當X取何值時,Y>0(2)當X取何值時,Y=0(3)當X取何值時,Y
3.某工人制造機器零件,如果每天比預定多做一件,那么8天所做零件超過100件;如果每天比預定少做一件,那么8天所做零件不到90件,這個工人預定每天做幾個零件?
不等式的課件 篇3
一元二次不等式是高中數(shù)學中的一個重要概念,是指一個帶有二次項的不等式。在數(shù)學學習中,我們經常需要利用二次不等式來解決問題,掌握這個概念對于深入了解高中數(shù)學知識是至關重要的。因此,學習一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的一大難點,需要認真對待。
一元二次不等式的概念和性質
一元二次不等式可以寫成如下形式:
ax2 + bx + c > 0
或
ax2 + bx + c
其中a、b、c都是實數(shù),a ≠ 0。
我們可以通過一些方法求出不等式的根,比如將其轉化為標準形式。將不等式變形,我們可以得到如下形式:
ax2 + bx
或
ax2 + bx > – c
然后,我們再用求一元二次方程根的方法求出不等式的解,就能夠得到它的解集。
對于不等式ax2 + bx + c > 0,其圖像為二次函數(shù)的上凸形,即開口向上的拋物線,而對于不等式ax2 + bx + c
一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的方法有很多,下面我們介紹其中的兩種:
方法一:化為標準形式,再利用求一元二次方程根的方法求解。
方法二:利用符號法將不等式中的式子化簡,得到一系列不等式,然后將這些不等式求解即可。
實際上,解一元二次不等式還有很多其他的方法,比如絕對值法、圖形法等等。在解題時,我們要根據具體的情況選擇最合適的方法來求解。
一元二次不等式的應用
一元二次不等式廣泛應用于數(shù)學學習以及生活中的各個領域,比如物理學、經濟學、社會學等。下面我們以生活中的一個例子來說明一元二次不等式的應用。
假設你要購買一臺電視機,商家提供了兩種方案供你選擇。方案一:首付1500元,每月還款100元;方案二:首付3500元,每月還款80元。那么,你需要比較兩個方案的總花費,來決定哪個方案更加劃算。
我們假設電視機的總價格為x元。那么,方案一的總花費為:
C1 = 1500 + 100×n
而方案二的總花費為:
C2 = 3500 + 80×n
這里n為分期的期數(shù),即你需要還款的總期數(shù)。為了比較兩種方案的劃算程度,我們可以列出一個一元二次不等式:
1500 + 100×n
經過化簡,我們可以得到:
20n > 2000
n > 100
因此,當還款期數(shù)大于100期時,方案一比方案二更加劃算。這個例子很好地展示了一元二次不等式的應用,它能夠幫助我們在日常生活中做出明智的選擇,也能夠更加深入地理解數(shù)學知識。
總結
一元二次不等式是高中數(shù)學學習中的重要概念,它在數(shù)學中和生活中都有廣泛的應用。學習一元二次不等式需要我們認真對待,掌握其概念、性質和解法,同時也需要我們理解其實際應用,這樣才能夠更好地掌握高中數(shù)學的知識。
不等式的課件 篇4
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望.根據本節(jié)課的教學內容,應用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應關系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應點位置間的關系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結構美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產生用數(shù)學研究不等關系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關系的相關素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關系,又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應的兩實數(shù)具有怎樣的關系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關內容.
實例1:某天的天氣預報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.YjS21.cOm
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結論.
討論結果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經常使用的方法,應讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據實數(shù)的運算性質與大小順序的關系,歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關系,只需確定它們的差與0的大小關系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關鍵首先是把文字語言轉換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結,從實數(shù)的基本性質的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設計關注了教學方法的優(yōu)化.經驗告訴我們:課堂上應根據具體情況,選擇、設計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中,沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣,可以說與其他所有內容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產生負面影響.
3.本節(jié)設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質,是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大小:(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式的課件 篇5
基本不等式是初中數(shù)學中重要的一章內容,也是高中數(shù)學和競賽數(shù)學的基礎。基本不等式的學習不僅有助于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力,同時也能幫助他們提高邏輯思維能力。本文旨在探討“基本不等式”這一主題。
一、基本不等式的定義與性質
基本不等式是說:對于正實數(shù)x1,x2,…,xn,有
(x1+x2+…+xn)/n≥√(x1x2…xn),當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立。
基本不等式的性質有以下幾條:
(1)當n為偶數(shù)時,等號成立;
(2)當n為奇數(shù)時,當且僅當所有數(shù)相等時等號成立;
(3)兩個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b)/2≥√(ab),其中a,b均為正實數(shù)且a≠b;
(4)當n≥3時,三個數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即(a+b+c)/3≥√(abc),其中a,b,c均為正實數(shù)且a≠b≠c。
二、基本不等式的應用
基本不等式作為一種重要的數(shù)學工具,可以應用于眾多問題之中。以下是基本不等式的一些常見應用。
1. 求和式的最小值
例題1:已知-x1+x2+x3+x4+x5=-18,其中x1,x2,x3,x4,x5均為正數(shù),并且x1+x2+x3+x4+x5≥5,則x1x2x3x4x5的最小值為多少?
解法:根據已知條件,設x1+x2+x3+x4+x5=5+m(其中m≥0),則有x1+x2+x3+x4+x5+m=5+2m。代入到基本不等式中可得:
(x1+x2+x3+x4+x5+m)/5≥√(x1x2x3x4x5)m/5≥√(x1x2x3x4x5)/5
移項得到x1x2x3x4x5≥1,則x1x2x3x4x5的最小值為1。
2. 比較函數(shù)大小
例題2:比較函數(shù)f(x)=√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)(a,b,c>0)在[0,c]上的最小和最大值。
解法:根據已知條件和基本不等式,將f(x)分解成兩個正數(shù)的平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的形式,即
f(x)=[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]/2+1/2[√(a2+x2)+√(b2+(c-x)2)]
≥√[(√(a2+x2)×√(b2+(c-x)2)]+1/2(2c)
=√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c
當x=c/3時等號成立,即f(x)的最小值為√(a2+b2+c2+ab-ac-bc)+c,最大值為√(a2+b2+c2+ab+ac+bc)+c。
3. 求極限
例題3:已知數(shù)列{a_n}(n≥1)的通項公式為a_n=(√n+1)/(n+1),則求∑(n從1到∞)a_n的極限。
解法:根據基本不等式,有
a_1+a_2+…+a_n≥n(√(a_1a_2…a_n))^1/n
代入已知條件,可得:
a_1+a_2+…+a_n≥n[(√(1+1)×√(2+1)×…×√(n+1))/((1+1)×(2+1)×…×(n+1))]^(1/n)
= n[√(n+1)/2×1/3×…×1/(n+1)]^(1/n) =n[(n+1)/[2(n+1)]]^(1/n)
極限為1/2。
4. 求證不等式
例題4:已知a,b,c為正實數(shù),且a+b+c=1,證明∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)。
解法:將不等式化簡,得:
∑(a/(1-a))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
?(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥3[(a+b+c)2-(ab+bc+ca)]/(ab+bc+ca)
由于a+b+c=1,有
(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2,
(a/(1-a))+(b/(1-b))+(c/(1-c))≥(a+b+c)2/(a(1-a)+b(1-b)+c(1-c))≥3(a2+b2+c2)/(ab+bc+ca)
其中第一個不等式成立是因為當a=b=c=1/3時,等號成立;第二個不等式用到了基本不等式的形式。
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中的重要概念,掌握了基本不等式的定義、性質和應用方法,將有助于提高人們的數(shù)學素養(yǎng)和解題能力。在日常生活和學習中,要重視基本不等式的學習和應用,逐步提高自己的數(shù)學水平。
不等式的課件 篇6
學生初步接觸了一點代數(shù)知識(如用字母表示定律,用符號表示數(shù)),是在學生學習了用字母表示數(shù)以后基礎上進行學習。應用方程是解決問題的基礎,有關的幾個概念,教材只作描述不下定義。在教學設計中仍然把理念作為教學的重點,理解方程的意義,判斷“等式”和“方程”知道方程是一個“含有未知數(shù)的等式”,才有可能明確所謂解方程。
學生不夠活潑,學習積極性不是很高,學生數(shù)學基礎不好。方程對學生來說還是比較陌生的,在他們頭腦中還沒有過方程這樣的表象,所以授新課就要從學生原有的`基礎開始,因為在前面學習用字母表示數(shù)的這部分內容時,有了基礎,我想在學習簡易方程應該沒什么大的問題。
1、使學生初步理解和辨析“等式”“不等式”的意義。
2、會按要求用方程表示出數(shù)量關系,
3、培養(yǎng)學生的觀察、比較、分析能力。
教學重點: 用字母表示常見的數(shù)量關系,會用方程的意義去判斷一個式子是否是方程。
教師介紹天平各部分名稱。讓學生操作當天平兩端托盤的物體的質量相等時,天平就會平衡,指針指向中。根據這這個原理來稱物體的質量。(讓學生操作,激發(fā)學生的興趣,借助實物演示的優(yōu)勢。初步感受平衡與不平衡的表象)
1、實物演示,引出方程:
(1)在天平稱出100克的左邊空杯,讓學生觀察是否平衡,感受1只空杯=100克。
(2)往空杯里倒入果汁,另一邊加100克法碼,問學生發(fā)現(xiàn)了什么? (讓學生感受天平慢慢傾斜,水是未知數(shù))引出100+X>200,往右加100克法碼, 問:哪邊重些?(學生初步感受平衡和不平衡的表象) 問:怎樣用式子表示?100+X<300
(3)教學100+X=250 問:如果是天平平衡怎么辦?(讓學生討論交流平衡的方案)把100克法碼換成50克的砝碼,這時會怎樣?(引導學生觀察這時天平出現(xiàn)平衡), 問:現(xiàn)在兩邊的質量怎樣?現(xiàn)在水有多重知道嗎?如果用字母X表示怎樣用式子表示?得出:100+X=250
示題:100+X<250100+X=2504X+50>10040+40=80 X÷2=45X-12=27
請學生觀察合作交流分類:
(一)引出(1)兩邊不相等,叫做不等式。(2)兩邊相等叫做等式。
(2)含有未知數(shù)的等式100+X=250 X÷2=4 揭示:(2)這樣的含有未知數(shù)等式叫做方程(通過分類,培養(yǎng)學生對方程意義的了解) 問:方程的具備條件是什么?(感知必須是等式,而一定含有未知數(shù))你能寫出一些方程嗎?(同桌交流檢查)
(三)練習判斷那些是方程?那些不是方程?
6+2X=14103+X250÷2=1256+X>251÷A=3X+Y=180 (讓學生加深對方程的意義的認識,培養(yǎng)學生的判斷能力。)
教師:我們能夠判斷什么是方程了,方程和等式有很密切的關系,你能畫圖來表示他們的關系嗎?(小組合作討論交流)
方程 等式 (讓學生通過觀察、思考、分析、歸類,自主發(fā)現(xiàn)獲得對方程和等式的關系理解,同時初步滲透教學中的集合思想。)
不等式的課件 篇7
基本不等式作為高中數(shù)學必修內容之一,在學生學習中扮演著極為重要的角色。本篇文章將圍繞基本不等式,探討它的概念、性質、證明方法及應用,并展示基本不等式的魅力和實用性。
一、基本不等式的概念
基本不等式是指對于任意正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和任意正整數(shù) $n$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
這個不等式也被稱為均值不等式或AM-GM不等式。其中,$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}$ 表示這些數(shù)的算術平均值,而 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$ 表示這些數(shù)的幾何平均值。均值不等式的意義在于,算術平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的性質
基本不等式有以下幾個性質:
1. 當且僅當 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 時等號成立。
2. 如果 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 中至少有一個數(shù)為 $0$,則 $\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=0$,這時等號成立。
3. 基本不等式可以擴展到實數(shù)范圍內。
4. 均值不等式不等式對于大于 $0$ 的實數(shù)都成立。
三、基本不等式的證明方法
基本不等式有多種證明方法,下面列舉其中兩種:
方法一:數(shù)學歸納法
假設基本不等式對于 $n=k$ 時成立,即對于 $k$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_k$,有以下不等式成立:
$\dfrac{a_1}{k}+\dfrac{a_2}{k}+\cdots+\dfrac{a_k}{k}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
現(xiàn)證明它對于 $n=k+1$ 時也成立。將 $a_{k+1}$ 插入到原來的不等式中,得到:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}+\dfrac{a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
由于:
$\dfrac{a_1}{k+1}+\dfrac{a_2}{k+1}+\cdots+\dfrac{a_k}{k+1}\geq\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$
因此,我們只需證明以下不等式:
$\dfrac{(k+1)\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}\cdot a_{k+1}}{k+1}\geq\sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
經過變形化簡,可以得到:
$\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k} \geq \sqrt[k+1]{a_1a_2\cdots a_k a_{k+1}}$
顯然,這是成立的。
因此,按照歸納法的證明方式,基本不等式對于所有的正整數(shù) $n$ 都成立。
方法二:對數(shù)函數(shù)的應用
對于 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,我們可以定義函數(shù):
$f(x)=\ln{x}$
顯然,函數(shù) $f(x)$ 是連續(xù)的、單調遞增的。根據式子:
$\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n}+\cdots+\dfrac{a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
可以得到:
$\ln\left(\dfrac{a_1}{n}\right)+\ln\left(\dfrac{a_2}{n}\right)+\cdots+\ln\left(\dfrac{a_n}{n}\right)\geq\dfrac{1}{n} (\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n)$
即:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)\leq\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}$
對于左邊的式子,有:
$\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)=\dfrac{1}{n}\ln(a_1a_2\cdots a_n)$
對于右邊的式子,有:
$\dfrac{\ln a_1+\ln a_2+\cdots+\ln a_n}{n}=\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
因此,我們可以得到:
$\ln(a_1a_2\cdots a_n)\geq n\ln\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)$
即:
$a_1a_2\cdots a_n\geq\left(\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\right)^n$
這正是均值不等式的形式。因此,基本不等式得證。
四、基本不等式的應用
基本不等式在數(shù)學和物理學中有廣泛的應用。下面介紹幾個常見的應用場景:
1. 最小值求解
如果有 $n$ 個正實數(shù) $a_1,a_2,\cdots,a_n$,它們的和為 $k$,求它們的積的最大值,即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)$
根據基本不等式,有:
$\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
因此,可以得到:
$\dfrac{k}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
兩邊同時取冪,可以得到:
$\dfrac{k^n}{n^n}\geq a_1a_2\cdots a_n$
即:
$\max(a_1a_2\cdots a_n)=\dfrac{k^n}{n^n}$
2. 凸函數(shù)的優(yōu)化問題
如果 $f(x)$ 是一個凸函數(shù),$a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是正實數(shù),$b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是任意實數(shù)且 $\sum_{i=1}^n b_i=1$,則有:
$f(b_1a_1+b_2a_2+\cdots+b_na_n)\leq b_1f(a_1)+b_2f(a_2)+\cdots+b_nf(a_n)$
這是凸函數(shù)的優(yōu)化問題中常用的基本不等式形式。它可以通過Jensen不等式或基本不等式證明。
3. 三角形求證
如果我們可以用 $a,b,c$ 表示一個三角形的三邊長,則有:
$\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\leq\dfrac{(a+b+c)^2}{4\sqrt{3}}$
這個不等式在三角形求證中也被廣泛應用。
五、結語
基本不等式是高中數(shù)學必修內容之一,但其實它的應用范圍遠不止于此。在實際問題中,基本不等式常常能給我們提供有效的解決方案。通過本文的介紹,希望讀者能夠更加深入地理解基本不等式的概念、性質、證明方法及應用,并能在實際問題中靈活運用。
不等式的課件 篇8
關于基本不等式的主題范文:
基本不等式是數(shù)學中非常重要的一道課題,所以我們需要從以下幾個方面來對基本不等式進行介紹。
一、基本不等式是什么
基本不等式是指數(shù)學中的一個重要定理,它表述的是任意正整數(shù)n及n個正數(shù)a1,a2,…,an的積與它們的和之間的關系。也就是說,對于任意正整數(shù)n和n個正數(shù)a1,a2,…,an,有以下不等式成立:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1×a2×…×an)1/n
其中,等式成立當且僅當a1 = a2 = … = an。
二、基本不等式的證明
下面我們來看一下基本不等式的證明過程。
首先,如果我們令Ai = nai和G = (a1 × a2 × … × an)1/n,則我們可以將原不等式轉化為:
(a1+a2+…+an)/n ≥ G
接下來,我們來看一下如果證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,那么我們就可以證明基本不等式,因為不等式具有對稱性,即如果G ≤ (a1+a2+…+an)/n,則(a1+a2+…+an)/n ≥ G也成立。
接下來,我們證明G ≤ (a1+a2+…+an)/n,即:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
將不等式右邊兩邊平方,得到:
(a1+a2+…+an)/n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
這時,我們來觀察右邊的式子,將式子中的每一項都乘以(n-1),得到:
(a1 × (n-1) + a2 × (n-1) + … + an × (n-1)) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)2/n
繼續(xù)進行簡化,得到:
[(a1 × (n-1)) + (a2 × (n-1)) + … + (an × (n-1))] / n ≥ (n-1) × a1 × a2 × … × an / n
左邊乘以1/n,右邊除以(n-1),得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就完成了基本不等式的證明。
三、基本不等式在實際中的應用
基本不等式在實際中的應用非常廣泛,下面我們來看一下其中的幾個例子。
1. 求平均數(shù)
如果我們已知n個正數(shù)的積,需要求它們的平均數(shù),那么根據基本不等式,我們可以得到:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
等式兩邊都乘以n-1,得到:
a1 + a2 + … + an ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n
這樣我們就可以求得平均數(shù):
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (n-1) × (a1 × a2 × … × an)1/n / n
2. 求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值
假設我們需要從數(shù)列{a1, a2, …, an}中選取n個數(shù),求它們的積的最大值。根據基本不等式,我們有:
(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 × a2 × … × an)1/n
因為我們需要求積的最大值,所以當?shù)仁阶筮叺暮颓『玫扔趎個數(shù)的積時,這個積才能取到最大值。因此,我們可以得到:
a1 = a2 = … = an
這樣,我們就得到了求數(shù)列中n個數(shù)的積的最大值的方法。
三、結論
通過對基本不等式的介紹,我們可以發(fā)現(xiàn)它不僅僅是一道看似簡單的數(shù)學題目,而是一個非常重要的定理,有著廣泛的應用價值。希望大家能夠在今后的學習中更加重視基本不等式,并能夠深刻理解它的實際應用。
不等式的課件 篇9
基本不等式是高中數(shù)學中重要的一部分,也是初學者比較難掌握的一個概念。通過學習基本不等式,可以幫助學生理解不等式的基本概念、性質和運算。同時,對于高中數(shù)學,基本不等式還有很多相關的題型需要掌握,比如極值問題、夾逼定理等。本文將從基本不等式的定義開始,探討其相關概念、性質和應用。
一、基本不等式的定義
基本不等式是指對于任意正實數(shù)a、b,有以下不等式成立:
(a + b)2 ≥ 4ab
這個不等式也可以寫成:
a2 + b2 ≥ 2ab
這個不等式的含義是:對于任意兩個正實數(shù)a、b,它們的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。
二、基本不等式的證明
對于任意實數(shù)x,y,可以用(x-y)2≥0來證明基本不等式:
(x-y)2≥0
x2-2xy+y2≥0
x2+y2≥2xy
將x換成a、y換成b,即可得到基本不等式。
三、基本不等式的相關概念
1. 等式條件:
當且僅當a=b時,等式成立。
2. 平均數(shù)與幾何平均數(shù):
平均數(shù)指的是兩個數(shù)的和的一半,即(a+b)/2;幾何平均數(shù)指的是兩個數(shù)的積的二分之一,即√(ab)。由于基本不等式的成立,可以得出平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)的結論。
3. 關于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關系:
從基本不等式得到如下兩個等式:
(a+b)2=4ab+(a-b)2;ab≥(a+b)/2
以上兩個式子給出了兩個關于兩個數(shù)之和與兩個數(shù)的比值的關系。
四、基本不等式的性質
1. 交換律和結合律:基本不等式滿足交換律和結合律。
2. 反比例函數(shù):若f(x)=1/x,x>0,則f(a)+f(b)≤2f((a+b)/2)對于a,b>0成立。
3. 帶約束的基本不等式:若a,b>0,且a+b=k,則(a+b)/2≥√(ab),即k/2≥√(ab)。
五、基本不等式的應用
1. 求證夾逼定理:如果a1≤b1≤c1,且a2≤b2≤c2,則(a1a2+b1b2+c1c2)/3≥(a1b2+b1c2+c1a2)/3≥√(a1b1c1a2b2c2)。
2. 判斷一個二次函數(shù)的最大值或最小值:由于二次函數(shù)的導數(shù)為一次函數(shù),可以通過求導得到函數(shù)的極值。而基本不等式可以用于判斷二次函數(shù)的極值點是否合理,即是否在定義域內。
3. 算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的關系:通過基本不等式可以證明,當兩個數(shù)的和固定時,它們的平均數(shù)越大,它們的幾何平均數(shù)就越小。
總的來說,基本不等式是高中數(shù)學不可缺少的一部分,不僅在考試中占有重要地位,而且還具有很重要的理論意義。希望本文對初學者掌握基本不等式有所幫助。
不等式的課件 篇10
教學目標:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)的關系.
2.會根據題意列出函數(shù)關系式,畫出函數(shù)圖象,并利用不等關系進行比較.
1.通過一元一次不等式與一次函數(shù)的圖象之間的結合,培養(yǎng)學生的數(shù)形結合意識.
2.訓練大家能利用數(shù)學知識去解決實際問題的能力.
體驗數(shù)、圖形是有效地描述現(xiàn)實世界的重要手段,認識到數(shù)學是解決問題和進行交流的重要工具,了解數(shù)學對促進社會進步和發(fā)展人類理性精神的作用.
自己根據題意列函數(shù)關系式,并能把函數(shù)關系式與一元一次不等式聯(lián)系起來作答.
1.張大爺買了一個手機,想辦理一張電話卡,開米廣場移動通訊公司業(yè)務員對張大爺介紹說:移動通訊公司開設了兩種有關神州行的通訊業(yè)務:甲類使用者先繳15元基礎費,然后每通話1分鐘付話費0.2元;乙類不交月基礎費,每通話1分鐘付話費0.3元。你能幫幫張大爺選擇一種電話卡嗎?
2.展示學習目標:
(1)、理解一次函數(shù)圖象與一元一次不等式的關系。
(2)、能夠用圖像法解一元一次不等式。
(3)、理解兩種方法的關系,會選擇適當?shù)姆椒ń庖辉淮尾坏仁健?/p>
積極思考,嘗試回答問題,導出本節(jié)課題。
閱讀學習目標,明確探究方向。
問題1:結合函數(shù)y=2x-5的圖象,觀察圖象回答下列問題:
問題2:如果y=-2x-5,那么當x取何值時,y>0?當x取何值時,y
巡回每個小組之間,鼓勵學生用不同方法進行嘗試,尋找最佳方案。答疑展示中存在的問題。
問題3.兄弟倆賽跑,哥哥先讓弟弟跑9m,然后自己才開始跑,已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m,列出函數(shù)關系式,畫出函數(shù)圖象,觀察圖象回答下列問題:
(1)何時哥哥分追上弟弟?
(2)何時弟弟跑在哥哥前面?
(3)何時哥哥跑在弟弟前面?
(4)誰先跑過20m?誰先跑過100m?
你是怎樣求解的?與同伴交流。
問題4:已知y1=-x+3,y2=3x-4,當x取何值時,y1>y2?你是怎樣做的?與同伴交流.
讓學生體會數(shù)形結合的魅力所在。理解函數(shù)和不等式的聯(lián)系。
移動通訊公司開設了兩種長途通訊業(yè)務:全球通使用者先繳50元基礎費,然后每通話1分鐘付話費0.4元;神州行不交月基礎費,每通話1分鐘付話費0.6元。若設一個月內通話x分鐘,兩種通訊方式的費用分別為y1元和y2元,那么
(1)寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關系式;
(2)在同一直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象;
(3)求出或尋求出一個月內通話多少分鐘,兩種通訊方式費用相同;
(4)若某人預計一個月內使用話費200元,應選擇哪種通訊方式較合算?
在共同探究的過程中加強理解,體會數(shù)學在生活中的重大應用,進行能力提升。
積極完成導學案上的檢測內容,相互點評。
學生回顧總結學習收獲,交流學習心得。
教材P51.習題2.6知識技能1;問題解決2,3.
一、學習與探究:
1.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關系;
2.做一做(根據函數(shù)圖象求不等式);
四、課后作業(yè):
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不等式課件
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不等式課件【篇1】
教學目標:
了解一元一次不等式的概念,掌握一元一次不等式的解法。
教學重點:
是掌握解一元一次不等式的步驟
教學難點:
是必須切實注意遇到要在不等式兩邊都乘以(或除以)同一負數(shù)時,必須改變不等號的方向。
教學過程:
一、問題導入
復習:
1、不等式的基本性質有哪些?什么是一元一次方程?并舉出兩個例子。
2、觀察不等式x+3<5與x<2,說明解x<2是x+3<5依據什么變形得到的?
3、解一元一次方程:6x+5=7-2x,目的是為了與下面所學的解一元一次不等式進行類比,找到它們的聯(lián)系與區(qū)別。
二、指導自學,小組合作交流
請同學們根據以下提問進行自學,先個人思考,后小組合作學習。
1、觀察下列不等式,說一說這些不等式有哪些共同特點?
(1)2x+5≥8(2)x+1≤—4(3)x<2(4)6—3x>43(x+1)≤0
觀察上面不等式有哪些共同特點,讓學生通過交流,再總結一元一次不等式的概念。老師板書定義。
2、讓學生舉出2或3個一元一次不等式的例子,小組交流。
3、讓學生通過比較解一元一次方程:6x+5=7-2x的解法試解一元一次不等式:6x+5<7-2x,并將解集在數(shù)軸上表示出來。
4、思考:一元一次不等式與一元一次方程的解法有哪些類似之處?有什么不同?
5、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來。
(1)3-x<2x+9(2)2-4(x-1)>3(x+2)-x
(3)(x-1)/3≥(2-x)/2+1
總結:解一元一次不等式的依據和解一元一次不等式的步驟。
三、互動交流,教師點撥
(一)、學生易出錯的問題和注意的事項:
1、確定一個不等式是不是一元一次不等式,要抓住三個要點:左右兩邊都是整式,只有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1。
2、對于(1),讓學生說明不等式3-x<2x+9的每一步變形的依據是什么,特別注意的是:解不等式的移項和解方程的移項一樣。即移項要變號(培養(yǎng)學生運用類比的數(shù)學思想)。
3、不等式兩邊同時除以(-3)時,不等號的方向改變。
2、重點點撥(2)和(3),先讓學生到黑板上板演。老師再講評。
(2)易出錯的地方是:去括號時漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項沒變號,還有移項沒有變號;(3)易出錯的地方是:去分母時漏乘無分母的項。
3、歸納解一元一次不等式的步驟(與解一元一次方程的步驟類比):去分母,去括號,移項,合并同類項,系數(shù)化為1。(在系數(shù)化為1這一步要特別提醒學生注意當系數(shù)為負數(shù)時,要記住改變不等號的方向。)
四、鞏固練習
1、判斷下列不等式是不是一元一次不等式,為什么?
(1)2/x—3
(2)5x+3x–1
(4)x(2x+1)
(5)X+2≥x
2、解下列不等式,并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來
(1)3x–8
(2)2(x–1)≥x+3
(3)x/5≥1+(x–3)/2
3、[思考]當x取何值時,代數(shù)式(x–2)/2的值比(3x+1)/3的值大?
小結:
(1)不等式兩邊同時除以負數(shù)時,不等號的方向要改變。
(2)注意去括號時不要漏乘,括號前是負號,去掉括號后括號里的項要變號,還有移項一定要變號
(3)去分母時不要漏乘無分母的項。
不等式課件【篇2】
一、教學目標
(一)知識與技能
1.了解從實際情境中抽象出二元一次不等式(組)模型的過程
2.掌握簡單的二元線性規(guī)劃問題的解法
3.了解數(shù)學建模的整個過程
(二)過程與方法
1.通過對實際問題的探索,培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光去觀察生活、并且能提出問題、分析問題、解決問題的能力.
2.增強學生的協(xié)作能力.
(三)情感、態(tài)度與價值觀
1.通過學生自主探索、合作交流,親身體驗數(shù)學模型的發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的品質,增強學習的成功心理,激發(fā)學習數(shù)學的興趣,深刻體會數(shù)學是有用的.
2.通過實例的社會意義,培養(yǎng)學生愛護環(huán)境的責任心.
二、教學重點、難點
重點:從具體生活情境中提煉出簡單的二元線性規(guī)劃問題,并且用數(shù)學方法解決問題.
難點:從具體生活情境中提煉出約束條件和目標函數(shù).
三、教學設想
本節(jié)課采用探究式課堂教學模式,即在教學過程中,在教師的啟發(fā)引導下,以學生獨立自主和合作交流為前提,以二元一次不等式(組)模型的發(fā)現(xiàn)為基本探究內容,以周圍世界和生活實際為對象,為學生提供充分自由表達、質疑、探究、討論問題的機會,讓學生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動,將自己所學知識應用于對實際問題的深入探討.讓學生在“活動”中學習,在“主動”中發(fā)展,在“合作”中增知,在“探究”中創(chuàng)新.設計思路如下:
創(chuàng)設情境→方案討論→數(shù)據篩選→建立模型→解決模型→反饋實際
四、教學過程:
引入
(1)如圖,小明與小聰玩蹺蹺板,大家都不用力時,蹺蹺板左低右高.小明的身體質量為p(kg),小聰?shù)纳眢w質量為q(kg),書包的質量為2kg,怎樣表示p、q之間的關系?
(2)上圖是公路上對汽車的限速標志,表示汽車在該路段行使的速度不得超過40km/h.若用v(km/h)表示車的速度,那么v與40之間的數(shù)量關系用怎樣的式子表示?
(3)據科學家測定,太陽表面的溫度不低于6000℃.設太陽表面的溫度為t(℃),怎樣表示t與6000之間的關系?
歸納:數(shù)學作用之一,我們可以用數(shù)學語言描述客觀世界的某些現(xiàn)象
當然,數(shù)學作用不僅于此,我們還可以通過數(shù)學解決現(xiàn)實生活中的問題.
(一)情景設置
我校環(huán)境優(yōu)美,毗鄰江水,校園內四季常青,但是遠眺圍墻外,有一座小山,那是一座垃圾山.楊府山垃圾場有他的.歷史作用和意義,現(xiàn)在已經完成了它的歷史使命,而且現(xiàn)在有了負面影響,市委市政府打算對其進行改造.經過專家論證,有如下方案可行:發(fā)電、制磚
(二)處理方案討論
現(xiàn)同時用兩種措施對垃圾山進行改造處理,如果你是項目經理,給你500萬采購發(fā)電設備以及制磚設備,你該如何去實施?
(學生自主發(fā)言)
學生問題一、怎樣安排資金?買幾臺發(fā)電設備,幾臺制磚設備?如何決策?
引導:問題轉化為如何安排資金,能取得最大效益?即兩種方案生產產品的利潤(售價減去成本)
學生問題二、如何知道這些信息?(產品售價、設備的單價等)
引導(先提問學生):上網查詢、市場調查、向已建廠取經、參觀展銷會等等.
(三)數(shù)據的篩選
由于教室條件限制,不能現(xiàn)場查取,所以老師幫你們收集了一些資料,希望對你們有所幫助.請分析以下信息,提取你認為有用的數(shù)據.
信息一、
信息二、
焚燒垃圾重量直接關系到垃圾發(fā)電企業(yè)的經濟效益.在BOT的模式下,企業(yè)的效益這樣來保障:
1.每處理1噸垃圾,政府補貼發(fā)電企業(yè)73.8元,
2.保證以0.52元/千瓦時的價格收購全部垃圾發(fā)電量,
3.一臺發(fā)電設備每處理1噸垃圾平均費用為123元
4.一臺發(fā)電設備日處理垃圾能力為225噸,
5.1噸垃圾可發(fā)電300千瓦時,其中30%為自用電
信息三、
發(fā)電設備:120萬/臺制磚設備:35萬/臺
機房總面積為7畝,每臺設備有各自平均占地,其中發(fā)電設備每臺平均占地1畝,制磚機每臺平占地1畝
(四)建立模型
你能從以上信息中提煉出你所需要的信息,并用數(shù)學語言表示出來嗎?
(學生動手)
引導:我們剛才處理的問題即應用題:
例一工廠欲生產甲乙兩種產品,已知生產一件甲產品利潤為60元,一臺甲設備價格為120萬,占地1畝,年生產能力為82125件;生產一件乙產品利潤為0.12元,一臺乙設備價格為35萬,占地1畝,年生產能力為15000000件.現(xiàn)有資金500萬,廠房7畝,該廠該如何添置甲乙兩種設備,使得年利潤最大?
(五)解決模型
該問題即我們上節(jié)課剛學過的線性規(guī)劃問題,請大家動手解決.
(六)反饋實際
我們可以將我們的成果發(fā)到市長信箱,為城市建設出謀劃策,貢獻自己的一份力量.
五、歸納小結
(一)解決生活問題的步驟:
創(chuàng)設情境→方案討論→數(shù)據篩選→建立模型→解決模型→反饋實際
現(xiàn)實問題:給你資金和地皮,購置設備
方案討論:通過1.上網查詢2.市場調查3.吸收已建廠經驗等方法收集信息.
數(shù)據篩選及建立模型:將收集到的信息用數(shù)學語言表示出來.
解決模型:用已學過的數(shù)學知識進行分析、處理,得出結論.
反饋實際:將結論應用于實際問題當中.
(二)順利解決生活問題體要具備的能力
我們要具備信息收集及處理能力、生活語言轉化成數(shù)學語言的能力以及扎實的數(shù)學解題能力.
不等式課件【篇3】
各位領導
你們好!
今天我要為大家講的課題是 : 《 不等式及其解集 》 。
首先,我對本節(jié)教材進行一些分析:
一、教材分析:
1.教材所處的地位和作用:
本節(jié)內容在全書及章節(jié)的地位是:《 不等式及其解集 》是 新人教版 初中數(shù)學教材第 七 冊第 九 章第 1 節(jié)內容。 學生已初步體會到生活中的量與量之間的關系,有相等與不等的情形,就是有大小之分…… 在此之前,學生已學習了 等式 基礎上,這為過渡到本節(jié)的學習起著鋪墊作用。
2教學目標:
根據上述教材分析,考慮到學生已有的認知結構心理特征,制定如下教學目標:
(1)知識目標:
了解不等式及一元一次不等式概念。
理解不等式的解、解集,能正確表示不等式的解集。
(2)能力目標:
通過教學初步培養(yǎng)學生分析問題,解決實際問題,讀圖分析、收集處理信息、團結協(xié)作、語言表達的能力,以及通過師生 互動 ,初步培養(yǎng)學生運用知識的能力,培養(yǎng)學生加強理論聯(lián)系實際的能力。
(3)情感目標:
通過對 《不等式及其解集》 的教學,引導學生從現(xiàn)實生活的經歷與體驗出發(fā),激發(fā)學生對地理問題的興趣,使學生了解地理知識的功能與價值,形成主動學習的態(tài)度,讓學生初步認識到地理知識的優(yōu)越性,同時滲透 安全教育 ;通過理論聯(lián)系實際的方式,通過知識的應用,培養(yǎng)學生唯物主義的思想觀點。
3.重點,難點以及確定的依據:
本課中 不等式相關概念的理解和不等式的解集的表 是重點, 不等式解集的理解 是本課的難點,但由于學生年齡小,解決實際問題能力弱,對理論聯(lián)系實際的問題的理解難度大。下面,為了講清重難點,使學生能達到本節(jié)課設定的教學目標,我再從教法和學法上談談:
二、教學策略(說教法):
(一)教學手段:
如何突出重點,突破難點,從而實現(xiàn)教學目標。我在教學過程中擬計劃進行如下操作:
1.“讀(看)——議——講”結合法
2 .讀圖討論法
3 .教學過程中堅持啟發(fā)式教學的原則
基于本節(jié)課的特點: 第一節(jié)知識性特點 ,應著重采用 自主探討 的教學方法。
(二)教學方法及其理論依據:
堅持“以學生為主體,以教師為主導”的原則,即“以學生活動為主,教師講述為輔,學生活動在前,教師點撥評價在后”的原則,根據學生的心理發(fā)展規(guī)律,聯(lián)系實 際安排教學內容。采用學生參與程度高的學導式討論教學法。在學生看圖片 、討論基礎上,在教師啟發(fā)引導下,運用問題解決式教學法,師生交談法、問答法、課堂討論法,引導學生根據現(xiàn)實生活的經歷和體驗及收集到的信息(感性材料)來理解課文中的理論知識。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題,提問不同層次的學生,面向全體,使基礎差的學生也能有表現(xiàn)的機會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)其學習熱情。有效地開發(fā)各層次學生的潛在智能,力求使每個學生都能在原有的基礎上得到發(fā)展。同時通過課堂練習和課后作業(yè),啟發(fā)學生從書本知識回到社會實踐,學以致用,落實教學目標。
使學生學習對生活有用的數(shù)學,學習對終身發(fā)展有用的數(shù)學的基本理念。提供給學生與其生活和周圍世界密切相關的數(shù)學知識,學習基礎性的知識和技能,在教學中要積極培養(yǎng)學生學習興趣和動機,明確的學習目的。教師應在課堂上充分調動學生的學習積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力
三、學情分析:(說學法) :
1.學生特點分析:
中學生心理學研究指出,初中階段是智力發(fā)展的關鍵年齡,學生邏輯思維從經驗型逐步向理論型發(fā)展,觀察能力、記憶能力和想象能力也隨著迅速發(fā)展。從年齡特點來看,初中學生好動、好奇、好表現(xiàn),抓住學生特點,積極采用形象生動、形式多樣的教學方法和學生廣泛的、積極主動參與的學習方式,定能激發(fā)學生興趣,有效地培養(yǎng)學生能力,促進學生個性發(fā)展。生理上,青少年好動,注意力易分散,愛發(fā)表見解,希望得到老師的表揚,所以在教學中應抓住學生這一生理特點,一方面要運用直觀生動的形象,引發(fā)學生的興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上;另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性。
2.知識障礙上:
(1)知識掌握上,學生原有的知識 等式 ,許多學生出現(xiàn)知識遺忘,所以應 更學生更過的時間分組預習討論 。
(2)學生學習本節(jié)課的知識障礙。 不等式解集的表示方法
知識,學生不易理解,所以教學中教師應予以簡單明白、深入淺出的分析。
3.動機和興趣上:
明確的學習目的。教師應在課堂上充分調動學生的學習積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力。
最后我來具體談一談這一堂課的教學過程:
四、教學程序及設想:
教學程序:
(一)課堂結構: 出示學習目標,預習展示 , 練習反饋 , 課堂自測, 布置作業(yè) 五 個部分。
(二)教學簡要過程:
1、 出示學習目標,課前預習
出示學習目標,學生觀察學習目標,自主預習。
設計意圖:有了明確的學習目標才能激發(fā)起學生的學習熱情,才能充分調動學生學習的積極性。
學生分小組進行自主探究學習,同學之間進行合作交流,教師巡視指導,觀察學生的探究方法,并傾聽學生之間的探討。
【設計意圖】:本次任務為本節(jié)課的核心任務,其目的是通過學生的自主學習,理解本節(jié)幾個概念,并通過學生的舉例回答,從具體的實例中去掌握這幾個概念。
2 、預習反饋
讓學生自己來講解,有利于提高學生的語言表達能力,學生用語言來概括這幾個概念,培養(yǎng)學生的數(shù)學語言表達能力及抽象概念能力。
3 、老師歸納,練習反饋
歸納補充知識點,并進行練習反饋。針對每個知識點設置不同的練習。如
1 ) 、不等式的定義設置 , (判斷)下列各式是否為不等式;
(1)-2<5 (2)x+3> 2x (3)4x-2y<0 (4)a-2b
(5)x2-2x+1<0 (6) a+b≠c (7)5m+3=8 (8)x≤-4
2 ) 、 用不等式表示:
⑴ a與1的和是正數(shù);
⑵ y的2倍與1的和小于3;
⑶ y的3倍與x的2倍的和是非負數(shù) ;
⑷ x乘以3的積加上2最多為5.
3 ) 、下列說法正確的是( )
A. x=3是2x>1的解
B. x=3是2x>1的唯一解
C. x=3不是2x>1的解
D. x=3是2x>1的解集
及認識不等式解集的表示方法有兩種:最簡形式與在數(shù)軸上表示。分組討論找規(guī)律,記口訣。(定界點,定方向)相關題型:
用數(shù)軸表示不等式的解集:
(1)x>-2; (2)x≤3; (3)y≤0
找三名同學上臺展示。
展示學生的成果,讓學生在學習過程中感受學習的樂趣和成功的喜悅,增強學生的學習興趣。
體會不等式是解決實際問題的有效工具。
4 、課堂自測
檢測學習本節(jié)課的掌握情況。
5 、布置作業(yè)
分層作業(yè)。針對學生的學習情況,讓每一名同學都 能完成 老師布置的任務,增強成就感及學習數(shù)學的興趣。 A類: 教科書P119,120:1,2,3;B 類: 卷:能力提高作業(yè)。
五、 反思:
本節(jié)教學,有以下幾點特別值得回味的地方。
1、從生活中來回到生活中去的教學設計
新課標指出:“數(shù)學的教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有知識經驗基礎上?!毙睦韺W的研究表明,學習內容和學生生活背景、知識背景越接近,學生自覺接納知識懂得的程度就越高。導入的恰當、合理會引起學生極大的學習興趣,對知識的銜接和理順起到畫龍點睛的作用,又對新知識起到設疑、點拔的作用。用學生身邊感興趣的實例 過馬路、蹺蹺板體驗生活中的不等式 ,一方面引起學生的參與欲,另一方面也體現(xiàn)了知識拓展的需要。因為這樣既可引出一元一次不等式的意義,又讓學生產生學習不等式的需求,也使學生對解不等式 的方法有了很自然的聯(lián)想 讓學生充分感受到學習一元一次不等式的必要性。使學生進一步認識到“數(shù)學來源于生活,反過來又為生活服務”,增強學好數(shù)學的信心與決定。
2、重視數(shù)學思想方法的滲透
數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂,知識轉化為能力的橋梁。在整節(jié)課的教學中都非常重視數(shù)學思想方法的滲透。學習不等式時,類比方程、不等式解集的概念,滲透“類比”思想。使學生在已有知識上進行遷移,在主動參與、探索交流中不知不覺學到了新知識。利用數(shù)軸求不等式的解集,滲透“數(shù)形結合”思想。掌握不等式的解集 在數(shù)軸上的表示 ,利用數(shù)軸把解集 講解得非常透徹,使學生充分認識到“數(shù)形結合”思想方法的用處。列不等式解決實際問題,滲透“建?!彼枷耄囵B(yǎng)學生應用數(shù)學的意識。最后的小結,不是流俗的學習內容小結,而是思想方法的小結,它起到了提綱挈領,梳理總結的目的。
3、重視數(shù)學的“再創(chuàng)造”
課堂教學改革的宗旨和根本出發(fā)點是:改善和促進學生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展。建構主義理論強調學習的主動性、社會性和情景性,認為學習者不是知識信息的被動吸收者,而是主動積極的建構者。留給學生的作業(yè):完成課外探究題,借助數(shù)軸歸納求不等式的解集一般規(guī)律。教學時重視了數(shù)學的“再創(chuàng)造”,由學生本人把需學的東西自己去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造出來。學生的學習不再是一種被動地吸收知識,反復練習,強化儲存知識的過程,而是通過反復研究、探索、思考、概括,親身經歷“再創(chuàng)造”的探究性學習過程,從而自主獲得知識。
總之,教學設計時體現(xiàn)新課程標準的思想和理念,注重知識與能力并重,培養(yǎng)發(fā)展學生自主探索的獨立思考精神。
不等式課件【篇4】
一教材分析
1、教材地位和作用
均值不等式又叫做基本不等式,選自人教B版(必修5)的3章的2節(jié)的內容,是在上節(jié)不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究.同時也是為了以后學習中的幾種重要不等式,以及不等式的證明作鋪墊,起著承上啟下的作用。
本節(jié)內容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點,所以本節(jié)課可以培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識靈活解決實際問題的能力。
“均值不等式”在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應用。求最值是高考的熱點。它在科學研究、經濟管理、工程設計上都有廣泛的作用。
2、教學目標
A.知識目標:學會推導并掌握均值不等式,理解這個均值不等式的幾何意義,并掌握定理中取等號的條件.B.能力目標:通過對均值不等式的推導過程,提高學生探究問題,分析與解決問題的能力。參透類比思想,數(shù)形結合的思想,優(yōu)化了學生的思維品質。
C.情感目標:(1)通過探索均值不等式的證明過程,培養(yǎng)探索、研究精神。(2)通過對均值不等式成立的條件的分析,養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài),并形成勇于提出問題、分析問題的習慣。
3、教學重點、難點:
重點:
通過對新課程標準的解讀,教材內容的解析,我認為結果固然重要,但數(shù)學學習過程更重要,它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力,所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點
難點:
很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻,在應用時候常常出錯誤,所以,均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點
二教法學法分析
1.教法
本節(jié)課主要采用探究歸納,啟發(fā)誘導,講練結合的教學方法。以學生為主體,以均值不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學生探究思索。
2、教學手段
為了使抽象變?yōu)榫唧w,我使用了多媒體。為了突出重點我使用了彩色粉筆。3,學法
從實際生活出發(fā),通過創(chuàng)設問題情境,讓學生經歷由實際問題出發(fā),探求均值不等式,發(fā)現(xiàn)均值不等式的實質,利用均值不等式解決實際問題的過程。使學生從代數(shù)證明和幾何證明兩方面理解并掌握基本不等式。
三教學過程
(一)、創(chuàng)設情景,引入課題
從古至今中國人有很多發(fā)明創(chuàng)造推動了和推動著世界的前進,在這璀璨的星空里,最耀眼的一顆就是被奉為2002年北京國際數(shù)學家大會會徽的《趙爽弦圖》(動畫打出)。
如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的,顏色的明暗使它看上去象一個風車,代表中國人民熱情好客。這就是公元前1000多年前我國數(shù)學家趙爽發(fā)現(xiàn)并記錄在《周脾算經》中的發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理的《趙爽弦圖》;它比歐洲畢達哥拉斯學派的發(fā)現(xiàn)早了500多年。
你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎?
設計意圖:勾起學生強烈的民族自豪感和強烈的求知欲,并對學生滲透愛國主義教育,同時告訴學生記住我國光輝而燦爛的歷史。
探究圖形中的不等關系(用提問題的方式)
將圖中的“風車”抽象成如圖,在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形。
設直角三角形的兩條直角邊長為a,b
4個直角
22三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為a?b。
由于4個直角三角形的面積和小于正方形的面積,22我們就得到了一個不等式:a?b?2ab。
當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危碼=b時,22正方形EFGH縮為一個點,這時有a?b?2ab。
22a,b?R,那么a?b?2ab(當且僅當a?b時取“?”號)得到結論:重要不等式:如果
具有這種形式的式子就是我們今天要討論的問題.(二)新課講授。
1給出均值定理(在老師寫均值不等式定理時,要求同學在課本上了解均值定理,并思考怎樣證明。),師生一起證明均值不等式。
a?ba?0,b?0)2要證:?????????①
即證:a?b????????????②
要證②,只要證:a?b??0????③
2要證③,只要證:(-)?0 ??④
點評,強調取等條件;
2.?a?b2的幾何意義 a?b?a?0,b?0)2當a≠b時,OC>CD,即
a?b?當a=b時,OC=CD,即
2我們是否能從圖中看見當D向O點移動時CD是逐漸變長了,當D,O重合時CD最長,并且a=b.a?b
3.在數(shù)學中,我們稱2為正數(shù)a、b的算術平均數(shù),稱ab為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù).均值不等式還可敘述為:兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術平均數(shù).設計意圖:探索發(fā)現(xiàn),觀察歸納,形成概念,加深對均值不等式的認識和理解;培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想方法和對比的數(shù)學思想,多方面思考問題的能力.讓學生積極的參與到學習中來,激發(fā)學生的學習興趣。
(三)例題講解(精講第一題)
例,矩形的面積為100 m2,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形周長最短。最短周長是多少?
用波利亞的4環(huán)節(jié)來進行解題
1:審題(把實際問題數(shù)學化)
2:分析(矩形的長與寬的乘積是一個常數(shù),求長與寬的和的2倍的最小值;)3:解題
4:回顧(給出規(guī)律:規(guī)律:兩個正數(shù)的積為常數(shù)時,它們的和有最小值)。
設計意圖:這個例題體現(xiàn)了基本不等式的實用價值。隨著高考綜合科目的確定,聯(lián)系各個學科的試題將會不斷出現(xiàn),數(shù)學作為工具性的學科,學好數(shù)學,也增強了攻讀好其他學科的信心。
為了體現(xiàn)夸美紐斯的鞏固性原則,我設計了下面練習。
練習:已知矩形的周長是36m,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的面積最大?最大面積是多少?
先老師對該練習進行提示,再抽一位同學在黑板上來練習,其他同學在下面練習。做完后大家一起點評該練習,不讓同學通過上面的回顧來終結下面的規(guī)律:
兩個正數(shù)的和為常數(shù)時,它們的積有最大值
四小結(教師引導學生小結本節(jié)課):
知識:均值定理及其成立的條件,及其均值定理的應用
方法:一正,二定,三相等。
思想:類比和數(shù)形結合的思想。
設計意圖:培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力,鞏固所學知識.
五作業(yè):
基礎題:課本 第77頁A組 1.提高題:課本 第77頁A組 3.4研究題:設正數(shù)a、b,試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式
板書設計:
為了更好的板書本節(jié)課的內容,使整個板面重點突出,層次分明,我將黑板分為四版.定理例題練習副版
定理的證明講解講解
不等式課件【篇5】
課題:§3.2.3均值不等式課時:第3課時 授課時間:授課類型:新授課
【教學目標】
1.知識與技能:了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。
2.過程與方法:培養(yǎng)學生的探究能力以及分析問題、解決問題的能力。
3.情態(tài)與價值:激發(fā)學習數(shù)學的熱情,培養(yǎng)善于思考、勤于動手的學習品質。
【教學重點】了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。
【教學難點】了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用。
【教學過程】
例
1、已知a、b、c∈R,求證:
不等式的左邊是根式,而右邊是整式,應設法通過適當?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開方式轉化為完全平方式,再利用不等式的性質證得原命題。
a2b2c
2???a?b?c 例
2、若a,b,c?R,則bca?
本題若用“求差法”證明,計算量較大,難以獲得成功,注意到a , b , c∈R,從結論的特點出發(fā),均值不等式,問題是不難獲證的。
+
例
3、已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),求證:a?b?c?ab?bc?ca 證明:∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca
以上三式相加:2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca
∴a?b?c?ab?bc?ca
例
4、已知a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
分析:此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系,從而正確運用,同22222222222222
2證明:∵a,b,c,d都是正數(shù),∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>
得ab?cdac?bd??0,??0.22
(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4由不等式的性質定理4的推論1,得 ?
即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
小結:正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
課堂練習:第73頁習題B 3、4課后作業(yè):第73頁習題B 5、6
板書設計:
教學反思:
不等式課件【篇6】
《均值不等式》說課稿
山東陵縣一中 燕繼龍李國星
尊敬的各位評委、老師們:
大家好!我今天說課的題目是 《均值不等式》,下面我從教材分析,教學目標,教學重點、難點,教學方法,學生學法,教學過程,板書設計,效果分析八個方面說說我對這堂課的設計。
一、教材分析:
均值不等式又稱基本不等式,選自普通高中課程標準實驗教科書(人教B版)必修5第三章第3節(jié)內容。是不等式這一章的核心,在高中數(shù)學中有著比較重要的地位。對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實際問題都起到工具性作用。通過本節(jié)的學習有利于學生對后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值值域進一步研究,起到承前啟后的作用。
二、教學目標:
1、知識與技能:
(1)掌握均值不等式以及其成立的條件;
(2)能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。
2、過程與方法:
(1)探索并了解均值不等式的證明過程、體會均值不等式的證明方法;
(2)培養(yǎng)探究能力以及分析問題、解決問題的能力。
3、情感態(tài)度與價值觀:
(1)通過探索均值不等式的證明過程,培養(yǎng)探索、鉆研、合作精神;
(2)通過對均值不等式成立條件的分析,養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度;
(3)認識到數(shù)學是從實際中來,通過數(shù)學思維認知世界。
三、教學重點和難點:
重點:通過對新課程標準的解讀,教材內容的解析,我認為結果固然重要,但數(shù)學學習過程更重要,它有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和探究能力,所以均值不等式的推導是本節(jié)課的重點之一;再者,均值不等式有比較廣泛的應用,需重點掌握,而用好均值不等式,關鍵是對不等式成立條件的準確理解,因此,均值不等式及其成立的條件也是教學重點。
難點:很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻,在應用時候常常出現(xiàn)錯誤,所以,均值不等式成立的條件是本節(jié)課的難點。
四、教學方法:
為了達到目標、突出重點、突破難點、解決疑點,我本著以教師為主導的原則,再結合本節(jié)的實際特點,確定本節(jié)課的教學方法。
突出重點的方法:我將通過引導啟發(fā)、學生展示來突出均值不等式的推導;通過多媒體展示、來突出均值不等式及其成立的條件。
突破難點的方法:我將采用重復法(在課堂的每一環(huán)節(jié),以各種方式進行強調均值不等式和
來突破均值不等式成立的條件這個難點。
此外還將繼續(xù)采用個人和小組積分法,調動學生積極參與的熱情。
五、學生學法:
在學生的學習中,注重知識與能力,過程與方法,情感態(tài)度和價值觀三個方面的共同發(fā)展。充分體現(xiàn)學生是主體,具體如下:
1、課前預習----學會;、明確重點、解決疑點;
2、分組討論
3、積極參與----敢于展示、大膽質疑、爭相回答;
4、自主探究----學生實踐,鞏固提高;
六、教學過程:
采取“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學模式,運用學案導學開展本節(jié)課的教學,首先進行
:課前預習
(一)成果反饋
1.對課前小組合作完成的現(xiàn)實生活中的問題:
“今有一臺天平,兩臂不等長,要用它稱物體質量,將物體放在左、右托盤各稱一次,稱得的質量分別為a,b,問:能否用a,b的平均值表示物體的真實質量?若不能,這二者是什么關系?”
進行多媒體情景演示,抽小組派代表回答,從而引出均值不等式抽出兩名同學上黑板完成2、32.均值定理:_____________________________________
a?b
2?。
預備定理:a2?b2?2ab(a,b?R),仿照預備定理的證明證明均值定理 3.已知ab>0,求證:?
ab
ab?2,并推導出式中等號成立的條件。
與此同時,其他同學分組合作探究和均值定理有關的以下問題,教師巡視并參與討論,適時點撥。
① 適用范圍a,b?________,x?0,x?
1x??2
對嗎?
② 等號成立的條件,當且僅當__________時,________=_________ ③ 語言表述:兩個___數(shù)的____平均數(shù)_____它們的_______平均數(shù) ④ 把不等式_________________又稱為均值或________不等式 ⑤ 數(shù)列觀點:兩個正數(shù)的______中項不小于它們的_____中項
。⑥ 幾何解釋(見右圖):________________
⑦常見變形a?b?_______
?________,即ab?
___________。例:
4、(1)一個矩形的面積為100 m,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的周長最短?最短周長是多少?(2)已知矩形的周長是36m,問這個矩形的長、寬各為多少時,矩形的面積最大?最大面積是多少?
由此題可以得出兩條重要規(guī)律:
兩個正數(shù)的積為常數(shù)時,它們的和有______值; 兩個正數(shù)的和為常數(shù)時,它們的積有______值。
等待兩名同學做完后,適時終止討論,學生各就各位。首先針對黑板上這兩道題發(fā)動學生上來捉錯(用不同色粉筆),然后再由老師完善,以此加深學生對定理及應用條件的認識。其次,老師根據剛才巡視掌握的情況,結合多媒體進行有針對性的講解(重點應強調均值定理的幾何解釋:半徑不小于半弦,以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過程,使定理“形化”),進一步加深學生對定理的認識及應用能力,初步掌握用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”
第二步:課內探究
(二)精講點撥 1.例:求函數(shù)f(x)?
?2x?x?
3x
(x?0)的最大值,及此時x的值。
先和學生們一起探討該問題的解題思路,先拆分再提出“-”號,為使用均值定理創(chuàng)造條件,后由學生們獨立完成,教師通過巡視或提問發(fā)現(xiàn)問題,通過多媒體演示來解決問題,該例題主要讓學生注意定理的應用條件及一些變形技巧。
2.多媒體展示辨析對錯:
?這幾道辨析題先讓學生們捉錯,再由
多媒體給出答案,創(chuàng)設情境加深學生對用均值定理求函數(shù)最值時注意“一正、二定、三相等”的認識
(三)有效訓練
1.(獨立完成)下列函數(shù)的最小值為2的是()
A、y?x?
1x
B、y?sinx?
1sinx
(0?x?
?)
C、y??
1D、y?tanx?
本題意在鞏固用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”,待學生完成后,隨機抽取幾名學生說一下答案,選D,應該不會有問題。
2.(小組合作探究)一扇形中心角為α,所在圓半徑為R。若扇形周長為一常值C(C>0),當α為何值時,扇形面積最大,并求此最大值。
本題若直接運用均值不等式不會出現(xiàn)定值,需要拼湊。待學生討論過后,先通答案,??2時扇形面積最大值為
c
tanx
(0?x?
?)
。若有必要,抽派小組代表到講臺上講解,及時反饋矯正。
(四)本節(jié)小結
小結本節(jié)課主要內容,知識點,由學生總結,教師完善,不外乎: 1.兩個重要不等式
a?b?2ab(a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)
2a?b2
?a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)
?
2.用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”。
(一)、雙基達標(必做,獨立完成):
1、課本第71頁練習A、B;
2、已知x??1,求y?x?6?
x?
1的最值;
(二)、拓展提高(供選做, 可小組合作完成):
?
23、若a,b?R且a?
b
?1,求a?最大值及此時a,b的值.4、a?0,b?0,且
5、求函數(shù)f(x)?
1a
?
9b
?1,求a?b最小值.x?3x?1x?
1(x??1)的最小值。
通過作業(yè)使學生進一步鞏固本節(jié)課所學內容,注重分層次設計題目,更加關注學生的差異。
七、板書設計:
由于本節(jié)采用多媒體教學,板書比較簡單,且大部分是學生的展示。
八、效果分析:
本節(jié)課采取了我校推行的“三步驟四環(huán)節(jié)和諧高效課堂”教學模式,通過學案導學,多媒體展示,師生互動,生生互動。學生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件;能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。但用均值定理求函數(shù)最值時要注意“一正、二定、三相等”,說起來容易做起來難,學生還得通過反思和課后訓練進一步體會。
我的說課到此結束,懇請各位評委和老師們批評指正,謝謝!
不等式課件【篇7】
【教學目標】
1.通過具體情境讓學生感受和體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,鼓勵學生用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,使學生感受數(shù)學、走進數(shù)學、改變學生的數(shù)學學習態(tài)度。
2.建立不等觀念,并能用不等式或不等式組表示不等關系。
3.了解不等式或不等式組的實際背景。
4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。
【重點難點】
重點:
1.通過具體的問題情景,讓學生體會不等量關系存在的普遍性及研究的必要性。
2.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關系,并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關系的問題。
3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關系的意義和價值。
難點:
1.用不等式或不等式組準確地表示不等關系。
2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關系的實際問題。
【方法手段】
1.采用探究法,按照閱讀、思考、交流、分析,抽象歸納出數(shù)學模型,從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發(fā)式教學。
2.教師提供問題、素材,并及時點撥,發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用。
3.設計教典型的現(xiàn)實問題,激發(fā)學生的學習興趣和積極性。
【教學過程】
教學環(huán)節(jié)
教師活動
學生活動
設計意圖
導入新課
日常生活中,同學們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關系。你能舉出一些例子嗎?
實例1.某天的天氣預報報道,最高氣溫35℃,最低氣溫29℃。
實例2.若一個數(shù)是非負數(shù),則這個數(shù)大于或等于零。
實例3.兩點之間線段最短。
實例4.三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊。
引導學生想生活中的例子和學過的數(shù)學中的例子。在老師的引導下,學生肯定會迫不及待的能說出很多個例子來。即活躍了課堂氣氛,又激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣。
推進新課
同學們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實生活,又考慮到數(shù)學上常見的數(shù)量關系,非常好。而且大家已經考慮到本節(jié)課的標題《不等關系與不等式》,所舉的實例都是反映不等量的關系。
(下面利用電腦投影展示兩個實例)
實例5:限時40km/h的路標,指示司機在前方路段行使時,應使汽車的速度v不超過40km/h。
實例6:某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%.
同學們認真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。
讓學生們邊看邊思考:生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數(shù)量關系來描述
過程引導
能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經走進了數(shù)學這門學科,但是我們還要能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點、進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,那么我們用什么知識來表示這些不等關系呢?
什么是不等式呢?
用大屏幕展示一組不等式-71+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.
能用不等式及不等式組把這些不等關系表示出來,也就是建立不等式數(shù)學模型的過程通過對不等式數(shù)學模型的'研究,反過來作用于現(xiàn)實生活,這才是學習數(shù)學的最終目的。
思考并回答老師的問題:可以用不等式或不等式組來表示不等關系。
經過老師的啟發(fā)和點撥,學生可以自己總結出:用不等號將兩個解析試連接起來所成的式子叫不等式。
目的是讓學生回憶不等式的一些基本形式,并說明不等號≤,≥的含義,是或的關系?;貞浟瞬坏仁降母拍?,不等式組學生自然而然就清楚了。
此時學生已經迫不及待地想說出自己的觀點了。
合作探究
(一)。下面我們把上述實例中的不等量的關系用不等式或不等式組一一的表示出來,那應該怎么表示呢?
這兩位同學的觀點是否正確?
老師要表揚學生:“很好!這樣思考問題很嚴密?!睉撚貌坏仁浇M來表示此實際問題中的不等量關系,也可以用“且”的形式來表達。
(二)。問題一:設點A與平面的距離為d,B為平面上的任意一點。
請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量的關系。
老師提示:借助于圖形,這個問題是不是可以解決?
(下面讓學生板演,結合三角形草圖來表達)
問題(二):某種雜志原以每本2。5元的價格銷售,可以售出8萬本,據市場調查,若單價每提高0。1元,銷售量就可能相應減少20xx本。若把提價后雜志的定價設為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢?
是不是還有其他的思路?
為什么可以這樣設?
很好,請繼續(xù)講。
這位學生回答的很好,表述得很準確。請同學們對兩種解法作比較。
問題(三):某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種,按照生產的要求,600mm鋼管的數(shù)量不超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關系的不等式?
假設截得500mm的鋼管x根,截得600mm的鋼管y根。根據題意,應當有什么樣的不等量關系呢?
右邊的三個不等關系是“或”還是“且”的關系呢?
這位學生回答得很好,思維很嚴密,那么該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關系呢?
通過上述三個問題的探究,同學們對如何用不等式或不等式組把實際問題中隱藏的不等量關系表示出來,這一點掌握得很好。請同學們完成書本練習第74頁1,2。
課堂小結:
1.學習數(shù)學可以幫助我們解決實際生活中的問題。
2.數(shù)學和我們的生活聯(lián)系非常密切。
3.本節(jié)課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組,并且能用它來解決現(xiàn)實生活中存在的大量不等量關系的實際問題。還要注意思維要嚴密,規(guī)范,并且要注意數(shù)形結合等思想方法的綜合應用。
布置作業(yè):
第75頁習題3.1 A組4,5。
29℃≤t≤35℃
x≥0
|AC|+|BC|>|AB|
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
|AB|-|AC|
如果用表示速度,則v≤40km/h.
f≥2.5%或p≥2.3%
學生自己糾正了錯誤:這種表達是錯誤的,因為兩個不等量關系要同時滿足,所以應該用不等式組來表示次實際問題中的不等量關系,即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
過點A作AC⊥平面于點C,則d=|AC|≤|AB|
可設雜志的定價為x元,則銷售量就減少萬本。銷售量變?yōu)?8-)萬本,則總收入為(8-)x萬元。即銷售的總收入為不低于20萬元的不等式表示為(8-)x≥20.
解法二:可設雜志的單價提高了0.1n元,(n)
我只考慮單價的增量。
那么銷售量減少了0.2n萬本,單價為(2.5+0.1n)元,則也可得銷售的總收入為不低于20萬元的不等式,表示為(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.
截得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm。
截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。
截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負數(shù)。
它們是同時滿足條件,應該是且的關系。由實際問題的意義,還應有x,y要同時滿足上述三個不等關系,可以用下面的不等式組來表示:
如果學生沒有想到的話,老師可以在黑板上板演示意圖,啟發(fā)學生考慮三邊的大小關系。
此時啟發(fā)學生“或”字可以嗎?學生沒有了聲音,他們在思考著。到底行不行呢?有的回答“行”,有的回答“不行”。
此時學生們在思考,時間長的話,老師要及時點撥。
讓學生知道,在解決問題時應該貫穿數(shù)形結合的思想,以形助數(shù),下面有學生的聲音,有學生在討論,有的學生還有疑問。老師注意關注學生的思維狀況,并且及時的加以指導。
此時學生已經真正進入本節(jié)課的學習狀態(tài),老師再給出問題(三)使學生一直處于跟隨老師積極思考和解決問題的狀態(tài)。問題是教學研究的核心,以問題展示的形式來培養(yǎng)學生的問題意識與探究意識。
【教學反思】(【設計說明】)
本節(jié)課內容很多,都是不等式和不等式組的有關問題,還有很多是生活中的實例,學生學習起來很感興趣,課堂的氣氛也很好,大多數(shù)學生都能很積極地回答問題,使課堂的學習氣氛很濃,確實也做到了愉快教學。設計是按照老師引導式教學,邊講授邊引導,啟發(fā)學習思考問題及能自己解決問題,鍛煉學習能自主的學習能力。
【交流評析】
一是課堂容量適中,二是實例很好,接近生活,學生感興趣。三是學生回答問題積極踴躍,和老師配合很好。四是多媒體應用的恰到好處,教學設備很完善,老師也能很熟練的應用。
不等式課件【篇8】
3.2均值不等式 教案(3)
(第三課時)
教學目標:
了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用
教學重點:
了解均值不等式在證明不等式中的簡單應用
教學過程
例
1、已知a、b、c∈R,求證:
不等式的左邊是根式,而右邊是整式,應設法通過適當?shù)姆趴s變換將左邊各根式的被開方式轉化為完全平方式,再利用不等式的性質證得原命題.
a2b2c
2???a?b?c 例
2、若a,b,c?R,則bca?
本題若用“求差法”證明,計算量較大,難以獲得成功,注意到a , b , c∈R,從結論的特點出發(fā),均值不等式,問題是不難獲證的.
+
例
3、已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù),求證:a?b?c?ab?bc?ca 證明:∵a?b?2abb?c?2bcc?a?2ca
以上三式相加:2(a?b?c)?2ab?2bc?2ca
∴a?b?c?ab?bc?ca
例
4、已知a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab?cd)(ac?bd)?4abcd 22222222222222
2分析:此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系,從而正確運用,同時證明:∵a,b,c,d都是正數(shù),∴ab>0,cd>0,ac>0,bd>得
ab?cdac?bd??0,??0.22
由不等式的性質定理4的推論1,得
?(ab?cd)(ac?bd)?abcd.4即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd
小結:正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)
課堂練習:第77頁練習A、B
課后作業(yè):略
不等式課件【篇9】
教材分析:
上節(jié)課認識了不等式,知道了什么叫不等式和不等式的解。本節(jié)主要學習不等式的解集,這是學好利用不等式解決實際問題的關鍵,同時要求學生會用數(shù)軸表示不等式的解集,使學生感受到數(shù)形結合的作用。并且本課也通過讓學生經歷實驗、觀察、分析、概括過程,自主探索不等式的解集等概念,培學生的思維能力。在情感態(tài)度、價值觀方面要培養(yǎng)學生與他人合作學習的習慣。
教學重點:
理解不等式的解集的含義,明確不等式的解是在某個范圍內的所有解。
教學難點:
對不等式的解集含義的理解。
教學難點突破辦法:
通過實驗、觀察,分析、概括過程,使學生對不等式的解集有了初步的理解,然后通過數(shù)軸直觀地表示出不等式的解集,從而加深了學生對不等式的解集的理解。
教學方法:
1、采用復習法查缺補漏,引導發(fā)現(xiàn)法培養(yǎng)學生類比推理能力,嘗試指導法逐步培養(yǎng)學生獨立思考能力及語言表達能力。充分發(fā)揮學生的主體作用,使學生在輕松愉快的氣氛中掌握知識。
2、讓學生充分發(fā)表自己的見解,給學生一定的時間和空間自主探究每一個問題,而不是急于告訴學生結論。
3、尊重學生的個體差異,注意分層教學,滿足學生多樣化的學習需要。
學習方法:
1、學生要深刻思考,把實際問題轉化為數(shù)學模型,養(yǎng)成認真思考的好習慣。
2、合作類推法:學習過程中學生共同討論,并用類比推理的方法學習。
教學步驟設計如下:
(一)創(chuàng)設問題情境,引入新課:
實驗:將如下重量的砝碼分別放入天平的左邊。
請大家仔細觀察,哪些砝碼放入天平左邊后能使天平向左邊傾斜?如果砝碼重x克,要使x+2>5,即:天平左邊放入x克砝碼后使天平向左邊傾斜。那么這樣的x取應取什么數(shù)?這樣的數(shù)是有限個還是無限個?
學生活動:
1、讓學生觀察實驗,尋找數(shù)量關系回答問題;
2、讓學生采取小組合作的學習方式。
(二)講授新課
通過實驗、討論、交流、歸納得到:大于心不甘的每個數(shù)都是不等式x+2>5的解,而小于3的每一個數(shù)都不是不等式x+2>5的解,因此不等式x+2>5的解有無限多個,它們組成集合,稱為一元不等式x+2>5的解集。即表示為x>3。
由實例概括出不等式的解集以及解不等式的概念:一個不等式的所有解,組成這個不等式的解的集合,簡稱為這個不等式的解集;求不等式的解集過程,叫做解不等式。
我們知道解不等式不能只求個別解,而應求它的解集.一般而言,不等式的解集不是由一個數(shù)或幾個數(shù)組成的,而是由無限多個數(shù)組成的,如x>3.那么如何在數(shù)軸上直觀地表示不等式x+2>5的解集x>3呢?
不等式解集x>3,在數(shù)軸上可以直觀地表示出來。如圖8.2.1
如果某個不等式x≤-2,也可在數(shù)軸上直觀地表示出來,如圖8.2.2
說明:8.2.1在表示范表演的點畫空心圓圈,表不包括這一點,表示大時就往右拐;圖8.2.2在表示-2的點畫黑點表示包括這一點,表示小時不向左拐。
(三)知識拓展
將數(shù)軸上x的范圍用不等式來表示:
(四)嘗試反饋:
課本第44頁“練習”第1、2題。
(五)歸納小結:
這節(jié)課主要學習了不等式的解集的有關概念,并會用數(shù)軸表示不等式的解集。
不等式課件【篇10】
《不等式的基本性質》它是北師大版八年級下冊第一章第二節(jié)的內容。今天我將從教材分析,教學目標,教學重難點,教法學法,教學過程這五個方面談談我對這節(jié)課處理的一些不成熟的看法:
本節(jié)內容不等式,它是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間關系的有效數(shù)學模型,在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用,所以對不等式的學習有著重要的實際意義。同時,不等式的基本性質也為學生以后順利學習解一元一次不等式和解一元一次不等式組的有關內容的理論基礎,起到重要的奠基作用。
根據《新課程標準》的要求,教材的內容兼顧我校八年級學生的特點,我制定了如下教學目標:
知識與技能:
1. 感受生活中存在的不等關系,了解不等式的意義。
2. 掌握不等式的基本性質。
過程與方法:經歷不等式的基本性質的探索過程,初步體會不等式與等式的異同。
情感態(tài)度與價值觀:經歷由具體實例建立不等式模型的過程,進一步符號感與數(shù)學化的能力。
教學重難點:
重點:不等式概念及其基本性質
難點:不等式基本性質3
教法與學法:
1. 教學理念: “ 人人學有用的數(shù)學”
2. 教學方法:觀察法、引導發(fā)現(xiàn)法、討論法.
3. 教學手段:多媒體應用教學
4. 學法指導:嘗試,猜想,歸納,總結
根據《數(shù)學課程標準》的要求,教材和學生的特點,我制定了以下四個教學環(huán)節(jié)。
下面我將具體的教學過程闡述一下:
一、創(chuàng)設情境,導入新課
上課伊始,我將用一個公園買門票如何才劃算的例子導入課題。
世紀公園的票價是:每人5元;一次購票滿30張,每張可少收1元。某班有27名團員去世紀公園進行活動。當領隊王小華準備好了零錢到售票處買27張票時,愛動腦筋的李敏同學喊住了王小華,提議買30張票。但有的同學不明白,明明我們只有27個人,買30張票,豈不是“浪費”嗎?
(此處學生是很容易得出買30張門票需要4X30=120(元), 買27張門票需要5X27=135(元),由于120〈135,所以買30張門票比買27張還要劃算。由此建立了一個數(shù)與數(shù)之間的不等關系式)
緊接著進一步提問:若人數(shù)是x時,又當如何買票劃算?
二、探求新知,講授新課
引例列出了數(shù)與數(shù)之間的不等關系和含有未知量120
接下來我用一組例題來鞏固一下對不等式概念的認知,把表示不等量關系的常用關鍵詞提出。
(1)a是負數(shù);
(2)a是非負數(shù);
(3) a與b的和小于5;
(4) x與2的差大于-1;
(5) x的4倍不大于7;
(6) 的一半不小于3
關鍵詞:非負數(shù),非正數(shù),不大于,不小于,不超過,至少
回到引入課題時的門票問題120
難點突破:通過上面三組算式,學生已經嘗試著歸納出不等式的三條基本性質了。不等式性質3是本節(jié)的難點。在不等式性質3用數(shù)探討出以后,換一個角度讓學生想一想,是否能在數(shù)軸上任取兩個點,用相反數(shù)的相關知識挖掘一下,乘以或除以一個負數(shù)時,任意兩個數(shù)比較是否性質3都成立。通過“數(shù)形結合”的思想,使數(shù)的取值從特殊化到一般化,從對具體數(shù)的感知完成到字母代替數(shù)的升華。讓學生用實例對一些數(shù)學猜想作出檢驗,從而增加猜想的可信程度。同時,讓學生嘗試從不同角度尋求解決問題的方法并能有效地解決問題。
反饋練習:用一個小練習鞏固三條性質。
如果a>b,那么
(1) a-3 b-3 (2) 2a 2b (3) -3a -3b
提出疑問,我們討論性質2,3是好象遺忘了一個數(shù)0。
引出讓學生歸納,等式與不等式的區(qū)別與聯(lián)系
三、拓展訓練
根據不等式基本性質,將下列不等式化為“”的形式
(1)x-13
再次回到開頭的門票問題,讓學生解出相應的x的取值范圍
四、小結
1.新知識
一個數(shù)學概念;兩種數(shù)學思想;三條基本性質
2.與舊知識的聯(lián)系
等式性質與不等式性質的異同
五、作業(yè)的布置
以上是我對這節(jié)課的教學的看法,希望各位專家指正。謝謝!
“讓學生主動參與數(shù)學教學的全過程,真正成為學習的主人”
不等式課件【篇11】
教材分析
本節(jié)課是在系統(tǒng)的學習了不等關系和不等式性質,掌握了不等式性質的基礎上展開的,作為重要的基本不等式之一,為后續(xù)的學習奠定基礎。要進一步了解不等式的性質及運用,研究最值問題,此時基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用,同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用,因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材,所以基本不等式應重點研究。
教學中注意用新課程理念處理教材,學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習,而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學,師生互動,教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用,引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。通過本節(jié)學習體會數(shù)學來源于生活,提高學習數(shù)學的樂趣。
課程目標分析
依據《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況,特確定如下目標:
1、知識與能力目標:理解掌握基本不等式,并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題;理解算數(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念,學會構造條件使用基本不等式;培養(yǎng)學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。
2、過程與方法目標:按照創(chuàng)設情景,提出問題→剖析歸納證明→幾何解釋→應用(最值的求法、實際問題的解決)的過程呈現(xiàn)。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動,培養(yǎng)學生的思維能力,體會數(shù)學概念的學習方法,通過運用多媒體的教學手段,引領學生主動探索基本不等式性質,體會學習數(shù)學規(guī)律的方法,體驗成功的樂趣。
3、情感與態(tài)度目標:通過問題情境的設置,使學生認識到數(shù)學是從實際中來,培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光看世界,通過數(shù)學思維認知世界,從而培養(yǎng)學生善于思考、勤于動手的良好品質。
教學重、難點分析
重點:應用數(shù)形結合的思想理解基本不等式,并從不同角度探索基本不等式的證明過程及應用。
難點:1、基本不等式成立時的三個限制條件(簡稱一正、二定、三相等);
2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。
教法分析
本節(jié)課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究;啟發(fā)誘導、講練結合的教學方法,以學生為主體,以基本不等式為主線,從實際問題出發(fā),放手讓學生探究思索。以現(xiàn)代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段,加深學生對基本不等式的理解。
教學準備
多媒體課件、板書
教學過程
教學過程設計以問題為中心,以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程,符合學生的認知規(guī)律,使數(shù)學教學過程成為學生對知識的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。
具體過程安排如下:
創(chuàng)設情景,提出問題;
設計意圖:數(shù)學教育必須基于學生的“數(shù)學現(xiàn)實”,現(xiàn)實情境問題是數(shù)學教學的平臺,數(shù)學教師的任務之一就是幫助學生構造數(shù)學現(xiàn)實,并在此基礎上發(fā)展他們的數(shù)學現(xiàn)實.基于此,設置如下情境:
上圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的,顏色的明暗使它看上去像一個風車,代表中國人民熱情好客。
[問]你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎?
本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數(shù)量關系,抽象出不等式。在此基礎上,引導學生認識基本不等式。
二、抽象歸納:
一般地,對于任意實數(shù)a,b,有,當且僅當a=b時,等號成立。
[問]你能給出它的證明嗎?
學生在黑板上板書。
特別地,當a>0,b>0時,在不等式中,以、分別代替a、b,得到什么?
設計依據:類比是學習數(shù)學的一種重要方法,此環(huán)節(jié)不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源,突破了重點和難點,而且感受了其中的函數(shù)思想,為今后學習奠定基礎.
答案:。
【歸納總結】
如果a,b都是正數(shù),那么,當且僅當a=b時,等號成立。
我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a,b的算術平均數(shù),稱為a,b的幾何平均數(shù)。
三、理解升華:
1、文字語言敘述:
兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。
2、聯(lián)想數(shù)列的知識理解基本不等式
已知a,b是正數(shù),A是a,b的等差中項,G是a,b的正的等比中項,A與G有無確定的大小關系?
兩個正數(shù)的等差中項不小于它們正的等比中項。
3、符號語言敘述:
若,則有,當且僅當a=b時,。
[問]怎樣理解“當且僅當”?(學生小組討論,交流看法,師生總結)
“當且僅當a=b時,等號成立”的含義是:
2023不等式課件14篇
經驗時常告訴我們,做事要提前做好準備。在平日里的學習中,幼兒園教師時常會提前準備好有用的資料。資料可以指人事物的相關多類信息、情報。有了資料才能更好地安排接下來的學習工作!你是否收藏了一些有用的幼師資料內容呢?以下是由小編為大家整理的“2023不等式課件14篇”,僅供參考,歡迎大家閱讀。
不等式課件 篇1
七年級數(shù)學不等式課件
教學目標:
通過對具體實例的學習,使學生能夠了解生活中的不等量關系,理解不等式的概念,知道什么是不等式的解,為以后學習不等式的解法奠定基礎.
知識與能力:
1.通過對具體事例的分析和探索,得到生活中不等量的關系.
2.通過理解得到不等式的概念,從而使學生經歷實際問題中數(shù)量的分析、抽象過程,體會現(xiàn)實中有各種各樣錯綜復雜的數(shù)量關系.
3.了解不等式的意義,知道不等式是用來刻畫生活中的數(shù)量關系的.
4.知道什么是不等式的解.
過程與方法:
1.引導學生分析具體事例,從對具體事例的分析中得到不等量關系.
2.引導并幫助學生列出不等式,分析不等式的成立條件.
3.通過分析、抽象得到不等式的概念和不等式的解的概念.
4.通過習題鞏固和加深對概念的理解.
情感、態(tài)度與價值觀:
1.通過學生的分析和抽象過程使他們體會現(xiàn)實中錯綜復雜的數(shù)量關系,然后從而培養(yǎng)其抽象思維能力.
2.通過分組討論學習,體會在解決具體問題的過程中與他人合作的重要性,培養(yǎng)學生的團體協(xié)作精神,使學生獲得合作交流的學習方式.
3.通過聯(lián)系與發(fā)展、對立與統(tǒng)一的思考方法對學生進行辯證唯物主義教育.
4.通過創(chuàng)設問題串,讓學生仔細觀察、對比、歸納、整理,嘗試對有理數(shù)進行分類,然后體驗教學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性.
教學重、難點及教學突破
重點:不等式的概念和不等式的解的概念.
難點:對文字表述的數(shù)量關系能列出不等式.
教學突破:由于學生在以前已經對數(shù)量的大小關系和含數(shù)字的不等式有所了解,但還沒有接觸過含未知數(shù)的不等式,在學生分析問題的時候注意引入現(xiàn)實中大量存在的數(shù)量間的不等關系,研究它們的變化規(guī)律,使學生知道用不等式解決實際問題的方便之處.在本節(jié)的教學中能夠在組織學生討論的過程中適當?shù)貪B透變量的知識,讓學生感受其中的函數(shù)思想,并引導學生發(fā)現(xiàn)不等式的解與方程的解之間的區(qū)別.在處理本節(jié)難點時指導學生練習有理數(shù)和代數(shù)式的知識,準確“譯出”不等式.
教學過程:
一.研究問題:
世紀公園的票價是:每人5元,一次購票滿30張可少收1元.某班有27名少先隊員去世公園進行活動.當領隊王小華準備好了零錢到售票處買了27張票時,愛動腦的李敏同紀學喊住了王小華,提議買30張票.但有的同學不明白.明明只有27個人,買30張票,豈不浪費嗎?
那么,究竟李敏的提議對不對呢?是不是真的浪費呢
二.新課探究:
分析上面的問題:設有x人要進世紀公園,①若x≥30,應該如何買票?②若x
結論:至少要有多少人進公園時,買30張票才合算?
概括:1、不等式的定義:表示不等關系的式子,叫做不等式.不等式用符號>,
2、不等式的解:能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解.
3、不等式的分類:⑴恒不等式:-71+4,a+2>a+1.
⑵條件不等式:x+3>6,a+2>3,y-3>-5.
三、基礎訓練.
例1、用不等式表示:⑴a是正數(shù);⑵b不是負數(shù);⑶c是非負數(shù);⑷x的平方是非負數(shù);⑸x的一半小于-1;⑹y與4的和不小于3.
注:⑴不等式表示代數(shù)式之間的不相等關系,與方程表示相等關系相對應;
⑵研究不等關系列不等式的重點是抓關鍵詞,弄清不等關系.
例2、用不等式表示:⑴a與1的和是正數(shù);⑵x的2倍與y的3倍的差是非負數(shù);⑶x的2倍與1的和大于—1;⑷a的一半與4的差的絕對值不小于a.
例3、當x=2時,不等式x-1
注:⑴檢驗字母的值能否使不等式成立,只要代入不等式的左右兩邊,如果符合不等號所表示的關系,就成立,否則就不成立.⑵代入法是檢驗不等式的解的重要方法.
學生練習:課本P42練習1、2、3.
四、能力拓展
學校組織學生觀看電影,某電影院票價每張12元,50人以上(含50人)的團體票可享受8折優(yōu)惠,現(xiàn)有45名學生一起到電影院看電影,為享受8折優(yōu)惠,必須按50人購團體票.
⑴請問他們購買團體票是否比不打折而按45人購票便宜;
⑵若學生到該電影院人數(shù)不足50人,應至少有多少人買團體票比不打折而按實際人數(shù)購票便宜.
解:⑴按實際45人購票需付錢_________ 元,然后如果按50人購買團體票則需付錢50×12×80%=480元,所以購買團體票便宜.
⑵設有x人到電影院觀看電影,當x_____時,按實際人數(shù)買票______張,需付款_______元,而按團體票購票需付款________元,如果買團體票合算,那么應有不等式________________,
由①得,當x=45時,上式成立,讓我們再取一些數(shù)據試一試,將結果填入下表:
x12x比較480與12x的大小48
由上表可見,至少要__________人時進電影院,購團體票才合算.
五、小結:
⑴不等式的定義,不等式的'解.
⑵對實際問題中探索得到的不等式的解,然后不僅要滿足數(shù)學式子,而且要注意實際意義.
六、作業(yè)課本P42習題8.1第1、2、3題.
補充題:
1.用不等式表示:
(1)與1的和是正數(shù);(2)的與的的差是非負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差的絕對值不小于.
(5)的2倍減去1不小于與3的和;(6)與的平方和是非負數(shù);
(7)的2倍加上3的和大于-2且小于4;(8)減去5的差的絕對值不大于
2.小李和小張決定把省下的零用錢存起來.這個月小李存了168元,然后小張存了85元.下個月開始小李每月存16元,小張每月存25元.問幾個月后小張的存款數(shù)能超過小李?(試根據題意列出不等式,并參照教科書中問題1的探索,找出所列不等式的解)
3.某公司在甲、乙兩座倉庫分別有農用車12輛和6輛,現(xiàn)需要調往A縣10輛,調往B縣8輛,已知從甲倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為40元和80元,然后從乙倉庫調運一輛農用車到A縣和B縣的運費分別為30元和50元,(1)設從乙倉庫調往A縣農用車輛,用含的代數(shù)式表示總運費W元;(2)請你用嘗試的方法,探求總運費不超過900元,共有幾種調運方案?你能否求出總運費最低的調運方案.
不等式課件 篇2
(1)本節(jié)內容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質及其解法等知識的基礎上,把實際問題和一元一次不等式結合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎,具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結果所對應的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉化為一元一次不等式并加以解決。
根據以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關系符號化,并根據解集和結合實際情況分類討論得出合理結論。
根據本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1、能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關系的數(shù)學模型,并結合解集解決簡單的實際問題。
2、通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
3、在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
根據教學內容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型的價值。
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的關注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結,布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關系以外,還存在著大量的不等關系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經基本了解了不等式的性質和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的`興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預案 一:教師應關注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應的數(shù)量意義,將之轉化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關系抽象能力弱。應關注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產生的聲音,教師應從估算的角度加以引導。引導學生體會在580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
結論:580人時選擇乙公司能讓每位學生的餐費平均算來更低。
問題(2)你能否用以前學過的知識,在不知道具體人數(shù)的前提下制定一套方案,當其他學校的初一年級也想在這兩家公司之間進行選擇時,不用重復第一題的計算過程,只要知道人數(shù)就馬上能根據你方案的結論作出決策呢?
結合以前的訓練,學生很容易想到要通過設未知數(shù)的方法進行符號表達,將非常關鍵而題目中并未給出的學生人數(shù)設為未知數(shù)。由于本題的具體分析過程仍然是由學生分析討論完成,可能出現(xiàn)的情況是:
預案一:一部分綜合能力較強的同學會根據實際意義直接列出綜合算式:或
此處教師應該引導學生觀察,在化簡不等式的過程中單價并未影響結果(利用不等式性質二將其作為公倍數(shù)約去),即:題目中沒有具體的單價也不會影響本題的決策。
還可以結合小學單位一的思想化簡不等式,引導學生體會并不是題目中出現(xiàn)的所有數(shù)量都會影響不等關系,有可能引發(fā)學生的關于數(shù)量關系的深層次思考。
預案 二:還有一部分學生會因為生活經驗少的關系,綜合思考能力弱,無法快速的理清數(shù)量關系,列出綜合算式,思考受阻,教師應引導學生體會在第一題的算式意義的提示下,如何分別列出表達甲乙公司所需總費用的過程量代數(shù)式。然后在通過將之用不等號連接的方式,來表達兩筆費用的大小,降低因綜合性所引起的思維梯度, 在過程中讓學生體會“分步建?!钡乃季S的條理性。
問題(1)如果你是該企業(yè)的高級管理人員,請你設計該企業(yè)在購買設備時兩種型號有幾種不同的組合方案;
問題(2)若按固定產量預算企業(yè)每月產生的污水量約為20xx噸,為了節(jié)約資金,應選擇哪種購買方案?
實際情景2的選擇除涉及“角色扮演”和“環(huán)?!钡热宋囊蛩氐目紤]以外,在在結合本節(jié)的教學目標上還有如下考慮,
1、 本題取材于真實的實際生活問題,情景中的符號和數(shù)量關系較多,不等關系在文字語言的敘述中顯得比第一題更加隱蔽,需要學生更深化的思考才能列出算式,是在第一個情景的基礎上的擴展和深化。
2、 在學生的討論過程中,教師應注重引導學生體會,用圖表表示的數(shù)字信息比文字表達更便于觀察和有序思考,感受“有序表達”在實際中的價值。
3、 結合本題每一個的具體問題的分析和解決,學生必須要從表格中分析篩選相關的有用數(shù)據,(例如:在第一問設計方案時未用到“處理污水量”和“年消耗費”,在第二問中未用到“價格”和“年消耗費”)這種分析和篩選的思考經歷將有助于加強學生對數(shù)據關系的理解和運用能力。
結合以前的訓練,在思考問題(1)學生很容易想到要通過設A型或B型設備的
例如:(1)設購買污水處理設備A型 臺,則B型(10 – )臺,由題意知:
在此處,將“限額為105萬元”轉化為“≤105”是學生要突破的第一關,教師應在次處多展示同學的對“限額為105萬元”語言解釋,盡可能多的在具有不同經歷基礎的同學心中將這個抽象過程生活化、自然化。
因為在實際情景中往往要根據未知數(shù)所代表的具體含義為未知數(shù)的加一個取值范圍的限定,而這個隱含的限制條件往往是學生中所不容易考慮到的,教師應注意引導學生注意這一問題,
例如:本題中的 是設備的臺數(shù),應用非負整數(shù)的限制,所以 可取0、1、2,因此有三種購買方案:
①購A型0臺,B型10臺;
②購A型1臺,B型9臺;
③購A型2臺,B型8臺。
此處細節(jié)性的思考經歷,有助于提高學生在建模過程中更全面的考慮數(shù)值的實際意義,促進抽象符號與具體意義在頭腦中的融合。
特別的,此處的“0”是學生最容易忽視和丟掉的,教師在此處應重點引導學生思考當“ ”時,往往是企業(yè)最可能選的方案,因為不同的設備涉及到不同的維護問題,單一品種的設備往往更便于管理,這種思考有助于發(fā)散學生的思維,促進其結合實際作更全面的思考。
問題(2)的思維梯度較前幾個問題進一步加大,學生必須理解“節(jié)約資金”這個目的的達成 一定是在“完成任務”的前提下的,要先通過對(1)中所得的三套方案是否能完成任務加以討論和驗證,然后再涉及計算哪個方案費用更低的問題
在驗證三套方案的可行性時,收思維方式的局限,學生往往會選擇逐一列舉計算的討論方式,并且由于數(shù)量少,很容易得出答案,教師可引導學生思考,如果滿足(1)的方案不是三種,而是三十種呢?三百種呢?除了逐一討論以外還有沒有什么更好的方式能幫助我們迅速縮小范圍呢?引導學生將所買設備能否完成任務量轉化為如下不等關系:
(2)同(1)所設購買污水處理設備A型 臺,則B型(10 – )臺,
240 +200(10 – )≥20xx;
因此為了節(jié)約資金,應選購A型1臺,B型9臺。
此處的分析和引導有助于學生體會不等式在有效縮小討論范圍時的實際價值。
通過以上問題的解決,學生對不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型有了進一部的認識,并感受到不等式確實是從實際問題中提出,又為解決實際問題提供明確的幫助有效數(shù)學工具。
本階段通過學習小結進行課堂教學的反饋,組織和指導學生歸納知識、技能、方法,深化對數(shù)學思想方法的認識,為后續(xù)學習打好基礎。
不等式課件 篇3
(1)本節(jié)內容,是在學習了用方程思想解決實際問題和一元一次不等式的性質及其解法等知識的基礎上,把實際問題和一元一次不等式結合在一起,既是對已學知識的運用和深化,又為今后用不等式組解決實際問題以及更廣泛的應用數(shù)學建模的思想方法奠定基礎,具有在代數(shù)學中承上啟下的作用;
(2)通過本節(jié)的學習,學生將繼續(xù)經歷把生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的體驗過程,體會不等式和方程一樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
(3)在列不等式解決實際問題的探索過程中,引導學生注意估算意識,體會算式結果所對應的實際意義,滲透建立數(shù)學模型,分類討論等數(shù)學思想,對提升學生應用數(shù)學意識思考和解決問題的能力起到積極的作用。
對于用不等式解決實際問題,學生容易出現(xiàn)的認知困難主要有兩個方面:①哪類的實際問題需要用一元一次不等式來解決;②如何將實際問題轉化為一元一次不等式并加以解決。
根據以上的分析和《數(shù)學課程標準》對本課內容的教學要求,本節(jié)課的教學重點是:一元一次不等式在決策類實際問題中的應用;難點是:如何將實際問題中的數(shù)量關系符號化,并根據解集和結合實際情況分類討論得出合理結論。
根據本課教材的特點、《數(shù)學課程標準》對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,我從三個方面確定了以下教學目標:
1.能進一步熟練的解一元一次不等式,能從實際問題中抽象出不等關系的數(shù)學模型,并結合解集解決簡單的實際問題。
2.通過觀察、實踐、討論等活動,積累利用一元一次不等式解決實際問題的經驗,提高分類考慮、討論問題的能力,感知方程與不等式的內在聯(lián)系,體會不等式和方程同樣都是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型。
3.在積極參與數(shù)學學習活動的過程中,體會實事求是的態(tài)度和從數(shù)學的角度思考問題的習慣;學會在解決困難時,與其他同學交流,相互啟發(fā),培養(yǎng)合作精神。
三、教學方法的選擇
根據教學內容、教學目標和學生的認知水平,我主要采取教師啟發(fā)引導,學生自主探究的教學方法.教學過程中,創(chuàng)設適當?shù)慕虒W情境,引導學生獨立思考、共同探究,使學生經歷將生活中的數(shù)和數(shù)量關系轉化為數(shù)學符號的具體建模過程,體會不等式作為刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要模型的價值,
教學中使用多媒體投影、計算機輔助教學,目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點,為學生提供直觀感性的材料,有助于學生對問題的.關注和理解,激發(fā)學生的學習興趣.
為了達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,我把教學過程通過兩個實際問題逐步深入;最后歸納小結,布置作業(yè).具體過程如下:
1、課題引入:
我們以前已經學過了一元一次方程以及二元一次方程組的解法,并在解決許多實際問題的過程中感受到:將相等關系用數(shù)學符號抽象后所得到的“方程”確實是一種有效數(shù)學工具,它能讓我們的思維過程更加準確和簡明!
但是,生活中除了相等的數(shù)量關系以外,還存在著大量的不等關系,通過前幾節(jié)課的學習,我們也已經基本了解了不等式的性質和簡單不等式的解法。今天,就讓我們通過一些帶有選擇“決策”意義的實際問題來共同探討一下一元一次不等式這種數(shù)學模型是如何解決生活中的實際問題的。
實際情景1:在為我校初一年級學生選定營養(yǎng)餐的過程中選中了有兩家公司.
這兩家公司某種適合初一學生的營養(yǎng)餐的報價均是是6.5元/份,營養(yǎng)含量和服務承諾也均相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費.
結 合新課標對本小節(jié)的要求:會用一元一次不等式解決簡單的實際問題,我選擇的是從數(shù)量關系上與教材例題類似的收費問題,并且真實數(shù)值與所在年級事情相一致,比書上的例題更能貼近學生的實際生活,引發(fā)學生探求的興趣。特別的,通常此類題目是不給出具體單價的,因為并不影響最后結論,考慮到學生現(xiàn)階段的數(shù)學抽象 仍以識別數(shù)量的具體含義為主,所以我在此處添加了單價,并增設了問題一,用以降低抽象思維的梯度,為后續(xù)的設未知數(shù)的“代數(shù)化抽象”作適當?shù)匿亯|。
問題(1)請你判斷,我們年級580人用餐,應該選擇哪家公司能讓每位學生的餐費平均算來更低呢?
預案 一:教師應關注學生能否在討論中認清“每位學生的餐費平均算來更低”所對應的數(shù)量意義,將之轉化為“付給公司的總金額少”。在此處不排除學生因生活經歷的缺乏,而對題目中所隱含的數(shù)量關系抽象能力弱。應關注每一位同學的感受,讓同學們充分理解交流,擴大參與思考的廣度,獲得基本抽象思維的生長點。
預案二:在進行甲乙公司所需費用的計算時,會有分部計算和綜合計算兩種計算形式,對于那些列綜合算式的同學,教師應多給予展示機會,從而幫助其他同學整理思路,理解算式的實際含義;為后續(xù)的字母抽象做好鋪墊。具體計算學生可以合理使用計算器提高課堂速度。
預案三:學生還有可能不通過計算,直接猜測甲公司合算或者乙公司合算,對于這種有可能產生的聲音,教師應從估算的角度加以引導。引導學生體會在 580人的前提下,超過100人部分(480人)的甲公司是九折乙公司是八折, 10%的差距,;100人以內(少于100人)甲公司九折,乙公司不打折10%的差距,480的10%明顯大于100的10%,所以選乙合算,并引導學生用計算的方法驗證估算的準確性。
不等式課件 篇4
教學建議
一、知識結構
本書首先結合實例引入一元一次不等式組的解集的概念,然后通過三個例題說明利用數(shù)軸解一元一次不等式組的方法,最后對一元一次不等式組的解法步驟進行了總結.
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是掌握一元一次不等式組的解法步驟并準確地求出解集.難點是正確應用不等式的基本性質對不等式進行變形、求不等式組中各個不等式解集的公共部分.不等式在中學代數(shù)中是研究問題的重要工具,例如求函數(shù)的定義域、值域、研究函數(shù)的單調性,求最大值、最小值,一元二次方程根的討論等,都要用到不等式的知識.不等式也是進一步學習其他數(shù)學內容的基礎.學習和掌握不等式的求解和不等式的證明方法,對培養(yǎng)學生邏輯思維能力也有極其重要的作用.在處理解不等式的問題中,一元一次不等式組的解法,具有特別重要的意義.這是因為,解各類不等式的問題都可以歸結為解一些由簡單不等式所組成的不等式組.
1、在構成不等式組的幾個不等式中
①這幾個一元一次不等式必須含有同一個未知數(shù);
②這里的“幾個”并未確定不等式的個數(shù),只要不是一個,兩個,三個,四個……都行.
2、當幾個不等式的解集沒有公共部分時,我們就說這個不等式組無解.
3、由兩個一元一次不等式組成的不等式的解集,共歸結為下面四種基本情況:
【注意】①其中第(4)個不等式組,實質上是矛盾不等式組,任何數(shù)都不能使兩個不等式同時成立。所以說這個不等式組無解或說其解集為空集。②從上面列出的表中,我們可以概括出來不等式組公共解的一規(guī)律:同大取大,同小取小,一大一小中間找。
三、教法建議
1.解本節(jié)的引例及例1、例2、例3時,注意把解不等式組的思路講清楚,即先分別解每一個不等式,求出解集,再求這些解集的公共部分.求公共部分的過程一定要結合數(shù)軸來講。
2.這節(jié)課的講解自始至終要突出解不等式組的基本思想以及解一元一次不等式組的步驟這兩個重點.準確熟練地解一元一次不等式以及用數(shù)軸上的點表示不等式的解集是這節(jié)課的基礎,因此講新課之前要復習提問這些內容。
3.求公共解集是這節(jié)課的新授內容,教師要充分利用數(shù)軸表示不等式解集具有形象、直觀、易于說明問題這些優(yōu)點.解集的公共部分教師可用彩筆在數(shù)軸的相應部分描畫出來,使學生感到醒目,便于理解記憶。
4.每組不等式不要超過三個,關鍵是使學生理解和掌握解不等式組的基本思想和兩個步驟,不宜做過于難、過于多、重復的機械計算。
不等式課件 篇5
(一)復習提問:
三角形的三邊關系?
(二)列一元一次不等式組
問題:現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm.如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么對木條c的長度有什么要求?
注:這個問題是本節(jié)的'引入問題,三角形木框的形狀不唯一確定,只要能成為三角形即可.
探究:用三根長度分別為14cm,9cm,6cm的木條c1,c2,c3分別試試,其中哪根木條能與木條a和b一起釘成三角形木框?
可以發(fā)現(xiàn),當木條a和b的長度確定后,木條c太長或太短,都不能與a和b一起釘成三角形.
由于“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,設木條c長xcm,則x必須同時滿足不等式x10+3①和x10-3②
注:木條c必須同時滿足兩個條件,即ca+b,ca-b.
類似于方程組,把這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組記作注:這里并未正式給一元一次不等式組下定義,只是說這兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組.實際上,兩個或更多的一元一次不等式組合起來,都組成一個一元一次不等式組.
(三)一元一次不等式組的解集
類比方程組的解,怎樣確定不等式組中x的可取值的范圍呢?
不等式組中的各不等式解集的公共部分,就是不等式組中x可以取值的范圍.
注:這里還未正式出現(xiàn)不等式組的解集的概念,但已點出各不等式的解集的公共部分即不等式組中未知數(shù)的可取值范圍.
由不等式①解得x13.
由不等式②解得x7.
從圖9.3—2容易看出,x可以取值的范圍為713.
注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.
這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.
一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.
注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義13.注:利用數(shù)軸可以直觀形象地認識公共部分.這個公共部分是兩端有界的開區(qū)間.這就是說,當木條c比7cm長并且比13cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框.一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.注:這里正式給出不等式組的解集以及解不等式組的定義。
不等式課件 篇6
一元一次不等式組(2)
文星中學唐波
一、教學目標
(一)知識與技能目標
1、熟練掌握一元一次不等式組的解法,會用一元一次不等式組解決有關的實際問題。
2、理解一元一次不等式組應用題的一般解題步驟,逐步形成分析問題和解決問題的能力。
(二)過程與方法目標
通過利用列一元一次不等式組解答實際問題,初步學會從數(shù)學的角度提出問題、理解問題、并能綜合運用所學的知識解決問題,發(fā)展應用意識。
(三)情感態(tài)度與價值觀
通過解決實際問題,體驗數(shù)學學習的樂趣,初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系。
二、教學重難點
(一)重點:建立用不等式組解決實際問題的數(shù)學模型。
(二)難點:正確分析實際問題中的不等關系,根據具體信息列出不等式組。
三、學法引導
(一)教師教法:直觀演示、引導探究相結合。
(二)學生學法:觀察發(fā)現(xiàn)、交流探究、練習鞏固相結合。
四、教具準備:多媒體演示
五、教學過程
(一)、設問激趣,引入新課
猜一猜:我屬狗,請同學們根據我的實際情況來猜測我的年齡。(學生大膽猜想,利用不等關系分析得出答案。)
(二)、觀察發(fā)現(xiàn),競賽闖關
1、比一比:填表找規(guī)律
(學生搶答,教師補充。)2利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解不等式組 ?(學生解答,抽生演板。)你可以得到它的整數(shù)解嗎?
(抽生回答:因為大于11小于14的整數(shù)有12和13,所以整數(shù)解為12和13。)3填空:三角形三邊長分別為2、7、c,則 c的取值范圍是__________。如果c是一個偶
數(shù),則 c=__________。
(學生回答,教師補充更正。)
(三)、欣賞圖片,探究新知
1、欣賞“五岳看山”。
2、利用欣賞引出例題(教科書P139例2仿編)
例:3名同學計劃在10天內到嵩山拍照500張(每天拍照數(shù)量相同),按原來的計劃,不能完成任務;如果每人每天比原計劃多拍1張,就能提前完成任務,每個同學原計劃每天............拍多少張?
生齊讀,找出題中的已知條件和未知條件;再默讀,找一找表示數(shù)量關系的句子。師引導分析,并提出問題:
(1)你是怎樣理解“不能完成任務”的數(shù)量含義的?你是怎樣理解“提前完成任務”的數(shù)量含義的?
(2)解決這個問題,你打算怎樣設未知數(shù)?
(3)在本題中,可以找出幾個不等關系,可以列出幾個不等式?(學生交流討論,教師指導。)
?7x?98
?7(x?3)?98
解答完成后,學生自學課本例2。
3、由例解題答過程,類比列二元一次方程組解應用題的步驟,總結列一元一次不等式組的解題步驟:
(1)、分析題意,設未知數(shù); .(2)、利用不等關系,列不等式組; .(3)、解不等式組; .
(4)、檢驗,根據題意寫出答案。.(學生總結,抽生回答,教師補充。)
(四)、闖關練習,鞏固新知
1練一練:為紀念“5·12”大地震一周年,“五一”部分同學到青城山拍照留念,如果每人拍8張則多于如果每人拍9張則不夠問共有多少個同學參加青城山旅游? ..150張;..180張。
教師引導:抓住重點詞語,找到不等關系,列出不等式組。學生獨立完成,抽生回答。
比較列二元一次方程組和列一元一次不等式組解應用題的區(qū)別:
(學生類比找區(qū)別,教師補充。)2練一練(教科書P140練習第2題):一本英語書共98頁,張力讀了一周(7天)還沒讀完,而李永不到一周就已讀完。李永平均每天比張力多讀3頁,張力平均每天讀多少頁(答案取整數(shù))?
學生分析列出不等式組,教師指導。(前面的練習已解出不等式組。)
(五)、暢所欲言,歸納小結 學生暢所欲言,談收獲體會 多媒體展示,本課內容小結:
1、解一元一次不等式組的秘笈:同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了。
2、具有多種不等關系的問題,可通過不等式組解決。
3、列一元一次不等式組解應用題的步驟是:(1)、分析題意,設未知數(shù);(2)、利用不等關系,列不等式組;(3)、解不等式組;
(4)、檢驗,根據題意寫出答案。
(六)、課后演練,終極挑戰(zhàn)
必做題:教材習題第4、5、6題;
選做題:一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個位數(shù)字大1,而且這個兩位數(shù)大于30小于42,則這個兩位數(shù)是多少?
六、板書設計
一元一次不等式組(2)
解:設每個同學原計劃每天拍x張,得
① ?3?10x?500
?
?3?10(x?1)?500②
1、分析題意,設未知數(shù);
解得x
3根據題意,x應為整數(shù),所以x=16 答:每個同學原計劃每天拍16張。
2??
2、找不等關系,列不等式組; ?
?
3、解不等式組; ?步驟
??
?
4、檢驗并根據題意寫出答案。?
不等式課件 篇7
科學合理的教學方法能使教學效果事半功倍,達到教與學的和諧完美統(tǒng)一。
基于此,我準備采用的教法講授法、討論法。德國教育學家第斯多慧:差的教師只會奉送真理,好的教師則交給學生如何發(fā)現(xiàn)真理,老師的教是為了不教,這才是教學的最高境界,所以我采用的學法是練習法、自主合作法。
在這節(jié)課的教學過程中,我注重突出重點,條理清晰,緊湊合理。各項活動的安排也注重互動、交流,最大限度的調動學生參與課堂的積極性、主動性。
首先是導入環(huán)節(jié),我采用復習舊知的導入方法。我會讓學生回憶不等式的概念以及一元一次方程的概念,明確指出今天學習的內容是《一元一次不等式》。
這樣的設計既可以考查學生對之前知識的掌握情況,還能夠為今天學習一元一次方程的概念打下基礎。而且開門見山的導入方式能夠快速地進入主題。
接下來是新知探索環(huán)節(jié),首先我請學生類比不等式以及一元一次方程的概念,給一元一次不等式下定義。
能夠總結出:含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式。
接下來讓學生回憶上節(jié)課學習的不等式x-7>26如何解決的,通過學生回憶總結可以得到:通過“不等式的兩邊都加7,不等號的方向不變”而得到的。
接下來提問學生有沒有更加簡便的方法解不等式?讓學生類比解一元一次方程的步驟進行解題??梢缘玫较喈斢诳梢杂谩耙祈棥保瑏斫鉀Q。
在這個過程中,強調每一個步驟,在第二題最后一步,強調當不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向改變。
解完不等式,先讓學生回憶解一元一次方程的步驟是什么?并類比解一元一次方程的步驟,總結一下解一元一次不等式的步驟是什么?
從而我們歸納:解一元一次方程,要根據等式的性質,將方程逐步化為x=a的形式;而解一元一次不等式,則要根據不等式的性質,將不等式逐步化為xa的形式。
《數(shù)學課程標準》指出:“學生是數(shù)學學習的主人,教師是數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者”。根據這一教學理念,在本環(huán)節(jié)中,我組織學生進行了自主探究活動,讓學生在保持高度學習熱情和探究欲望的活動過程中,始終以愉悅的心情,親身經歷和體驗知識的形成過程。培養(yǎng)學生的探究能力、分析思維能力,激發(fā)他們的創(chuàng)新意識、參與意識。
第三個環(huán)節(jié)是課堂練習環(huán)節(jié),出示問題,解不等式,并在數(shù)軸上表示數(shù)集:5x+15>4x-1
之所以這樣設計是因為練習是掌握知識、形成技能、發(fā)展思維的重要手段,針對本課的教學重點和難點,上述練習,目的是讓學生進一步鞏固對新知的理解??梢陨罨虒W內容,培養(yǎng)思維的靈活性。
最后一個環(huán)節(jié)為小結作業(yè)環(huán)節(jié),關于課堂小結,我打算讓學生自己來總結今天的收獲。
這樣既發(fā)揮了學生的主體性,又可以提高學生的總結概括能力,讓我在第一時間得到學習反饋,及時加以疏導。
通過這樣的方式能夠為本節(jié)課學習的知識進行進一步的鞏固。
我的板書設計遵循簡潔明了突出重點的意圖,這是我的板書設計:
不等式課件 篇8
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結出求不等式組解集的法則。
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結合”的方法今后經常用到,鍛煉同學們數(shù)形結合的能力,提高學習興趣。
一元一次不等式組的解法。
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設c的長為xcm,則x<____,①x>____,②合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的.解法。
全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
不等式課件 篇9
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關系,向學生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇10
1.了解不等式及一元一次不等式概念。
2.理解不等式的解、解集,能正確表示不等式的解集。
通過類比等式的對應知識,探索不等式的概念和解,體會不等式與等式的異同,初步掌握類比的思想方法。
1.經歷把實際問題抽象為不等式的過程,能夠列出不等關系式。
2.初步體會不等式(組)是刻畫現(xiàn)實世界中不等關系的一種有效數(shù)學模型,培養(yǎng)學生的建模意識。
通過對不等式概念及其解集等有關概念的探索,培養(yǎng)學生的知識遷移能力和建模意識,加強同學之間的使用與交流。
活動一:
感知不等關系,了解不等式的概念。
通過實例,讓學生認識到不等關系在生活中的存在,通過問題的解答,讓學生了解不等式的概念,體會不等式是解決實際問題的有效工具。
活動二:
通過類比方程,繼續(xù)探索出不等式的解、解集及其表示方法。
通過解決上個環(huán)節(jié)的問題,得出不等式的解,再引導學生觀察解的特點,探索出解集的兩種表示方法(符號表示、數(shù)軸表示),并且培養(yǎng)學生用估算方法求解集的技能。
活動三:
繼續(xù)探索,歸納出一元一次不等式的意義。
針對所學的不等式,讓學生歸納出特點,得到一元一次不等式的概念,并對概念進行辨析。
運用本節(jié)所學的知識,解決實際問題,使學生經歷將實際問題轉化為數(shù)學問題,再加以解決的過程,實現(xiàn)對所學知識的鞏固和深化。
讓學生通過自我反思和互相質疑提問,歸納總結本節(jié)課的主要內容,交流在概念、解及解集學習中的心得和體會,不斷積累數(shù)學活動經驗,教師應主動參與學生小結中,作好引導工作,布置好作業(yè),并作及時反饋。
小強準備隨父母乘車去武當山春游。
⑴在車上看到兒童買票所需的測身高標識線。
①x滿足______時,他可免票。
②x滿足______時,他該買全票。
⑵已知襄樊與武當山的距離為150千米,他們上午10點鐘從襄樊出發(fā),汽車勻速行駛。
①若該車計劃中午12點準時到達武當山,車速應滿足什么條件?
②若該車實際上在中午12點之前已到達武當山,車速應滿足什么條件?
用不等式表示:
⑴a是正數(shù);⑵a是負數(shù);⑶a與5的和小于7;⑷a與2的差大于-1;
⑸a的4倍大于8;
⑹a的一半小于3。
學生回答①這兩個由實際生活情境設置的問題,應非常容易.問題②相對①難度加大了,難在題意中的條件不象上面那樣直接明了,并且可從距離和時間兩個角度來分析、解決問題,而七年級學生恰恰缺乏閱讀分析題意、多維度思考解決問題的能力,所以采用小組討論交流的形式解決問題②
學生討論角度估計大都集中在距離這一角度,教師可深入小組討論中,認真聽聽同學們的思路,應鼓勵學生多發(fā)表意見,并適當點撥,直到得出兩種不等式。
此次活動中,教師應重點關注:討論要有足夠的時間和空間,學生在小組討論交流時,是否敢于發(fā)表自己的想法。
再給出不等式概念:
像前面式子一樣用“>”或“
教師可要求學生舉出一些表示大小的式子,學生舉出的不等式中,可能會有一些不含未知數(shù)的,如5>3等。教師此時應總結:不等式中可含有未知數(shù),也可不含未知數(shù)。
教師根據學生舉例給出表示不等關系的第三種符號“≠”,并強調:像前面式子一樣用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。
鞏固練習是讓學生用不等式來刻畫題中6個簡單的不等關系。學生得出答案并不難,所以該環(huán)節(jié)讓學生獨立完成、互相評價,教師可深入到學生的解題過程中,觀察指導學生的解題思路,傾聽學生的評價。
問題1在課本中起導入新課作用,考慮學生實際情況(分析應用題能力尚欠缺)和題目難度,所以設置問題串,降低難度。這樣編排教材我認為更能體現(xiàn)知識呈現(xiàn)的序列性,從易到難,讓學生“列不等式”能力實現(xiàn)螺旋上升。
問題3作用僅僅起鞏固上面所學的知識,所以采用書中的一組習題,讓學生獨立完成,進一步培養(yǎng)學生列不等式能力。
采用學生熟悉的生活情境作為導入內容,然后層層推進,步步設問,環(huán)環(huán)相扣,直至推出不等式的概念及概念理解中應注意的地方。這樣實現(xiàn)了:讓學生從已有的數(shù)學經驗出發(fā),從生活中建構數(shù)學模型,為后面利用“不等式”這一模型解決生活中實際問題作好鋪墊,體現(xiàn)了數(shù)學生活化、生活
不等式課件 篇11
1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式,這樣的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步驟:(1)去分母(2)去括號(3)移項(4)合并同類項(5)將x項的系數(shù)化為1
1、一元一次不等式組的概念:幾個一元一次不等式合在一起,就組成了一個一元一次不等式組。
2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。
3、求不等式組的解集的過程,叫做解不等式組。
4、當任何數(shù)x都不能使不等式同時成立,我們就說這個不等式組無解或其解為空集。
3、代數(shù)式1-m的值大于-1,又不大于3,則m的取值范圍是( )
A.x≥1 B.x≥-1/2 C.x>1 D.x>-1/2
A.5+4>8 B.2x-1 C.2x-5≤1 D.1/x-3x≥0
A. a>0? B.a≥0? C.a
11、若關于x的不等式組 的解集是x>2a,則a的取值范圍是
A. a>4 B. a>2 C. a=2 D.a≥2
12、若方程組 中,若未知數(shù)x、y滿足x+y>0,則m的取值范圍是
13、不等式2(1) x>-3的解集是 。
14、用代數(shù)式表示,比x的5倍大1的數(shù)不小于x的 與4的差 。
15、若(m-3)x-1,則m .
18、某次個人象棋賽規(guī)定:贏一局得2分,平一局得0分,負一局得反扣1分。在12局比賽中,積分超過15分就可以晉升下一輪比賽,小王進入了下一輪比賽,而且在全部12輪比賽中,沒有出現(xiàn)平局,問小王最多輸 局比賽
1、定義:把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心.這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點。
2、心對稱的兩條基本性質:
(1)關于中心對稱的兩個圖形,對稱點所連線段都經過對稱中心,而且被對稱中心所平分。
(2)關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形。
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心。
每上第一次課,我所講的課程內容都和學生的錯題有關。我通常把試卷中的錯題摘抄出幾個典型題,作為課堂的例題再講一遍。而學生的反應,或是像沒有見過,或是對題目非常熟悉,但沒有思路。
這些現(xiàn)象的發(fā)生,都是學生沒有及時總結的原因。所以第一次課后我都建議我的學生做一個錯題本,像寫日記一樣,記錄下自己的錯題和感想。
成也審題敗也審題。如何審題呢?
(1)這個題目有哪些個已知條件?我能不能把已知條件分開?
(2)求解的目標是什么?對求解有什么要求?
(3)能不能畫一個圖幫助思考?好多問題是沒有看清楚題意致錯。審題不清,你做得越多,可能錯的就越多。
(4)所給出的已知條件相互之間有什么關系?能不能從中發(fā)現(xiàn)隱含條件?
(5)已知條件與求解目標有什么聯(lián)系?能不能從中獲得解題的思路?找到進門的門檻?
不等式課件 篇12
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應用到生活的各個領域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據題意列出相應的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內容是向學生設疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應滿足什么條件?
設車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結,師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
不等式課件 篇13
教學重點:掌握不等式的三條基本性質,尤其是不等式的基本性質3.
教學難點:正確應用不等式的三條基本性質進行不等式變形.
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結出不等式的三條基本性質,從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
(設計說明:設置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內容提供必要的知識準備.)
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.
(教學說明: 復習等式的基本性質后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質,從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質.)
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質得出不等式的性質.
觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質1:
不等式基本性質1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.
比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關?由學生概括總結,教師補充完善得出:
不等式基本性質2 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的正數(shù),不等號的方向不變.
不等式基本性質3 不等式兩邊乘(或除以)同一個不為零的負數(shù),不等號的方向改變.
通過PPT用圖形演示不等式的基本性質,讓學生更加清楚地認識不等式的基本性質。
不等式有傳遞性嗎?
【學生通過討論能夠比較容易得出結論:不等式有對稱性,但要注意其不等號方向的`變化;不等式也有傳遞性,但要注意的是同向傳遞性?!?/p>
三、鞏固訓練,熟練技能:
1、(1) a - 3____b - 3;
(3) 0.1a____0.1b;
(5) 2a+3____2b+3;
【本題目采用提問的方式,因為內容相對簡單,所以可以迅速得到結論。要讓提問者說清楚答案,并說明利用不等式的性質幾來進行判定的?!?/p>
(1)因為7.5>5.7,所以-7.5<-5.7;
(2)因為a+8>4,所以a>-4;
(3)因為4a>4b,所以a>b;
(4)因為-1>-2,所以-a-1>-a-2;
(5)因為3>2,所以3a>2a.
【學生口答,并說明為什么。本題重點是第5小題,要引導學生總結出a的取值會影響到答案。當a>0時,3a>2a.(不等式基本性質2)
當 a=0時,3a=2a.當a<0時,3a<2a.(不等式基本性質3) 】
學生自己完成以下題目,之后進行集體講解。
(1)如果x-5>-1,那么______________________,得:x>4
(2)如果-2x>3,那么那么______________________,得X=______
師生共同小結本節(jié)課所學重點,不等式的基本性質的具體內容。
不等式課件 篇14
基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應用有著密切的關系。基本不等式的解法和思維方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質和應用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。下面,讓我們就基本不等式這一主題展開更加深入的探討。
一、基本不等式的定義、證明和性質
基本不等式定義:對于任意實數(shù)$x$,$y$,有$(x^2+y^2)\geq 2xy$,等號成立當且僅當$x=y$時成立。
基本不等式的證明:我們可以通過平方展開和配方進行證明,即:
$(x-y)^2\geq 0$
$x^2-2xy+y^2\geq 0$
$x^2+y^2\geq 2xy$
證畢。
基本不等式的性質:基本不等式可以用于求證其他不等式和解決實際問題,例如可以用基本不等式證明算術平均數(shù)$\ge$幾何平均數(shù),可以用基本不等式求證要想最小化一個多項式,需要使其中的各項等于彼此等于基本不等式中的相等值等。
二、基本不等式的應用及相關例題
基本不等式的應用廣泛,其中最常見的應用就是在證明和求解不等式問題中。下面,我們就通過例題來展示基本不等式的具體應用。
例題一:
已知$a,b,c$均為正實數(shù),求出$abc$與$\frac{(a+b+c)^3}{27}$的大小關系。
解:由于$a,b,c$均為正實數(shù),故可運用基本不等式進行求解,即
$\begin{aligned}
\frac{(a+b+c)}{3}\geq\sqrt[3]{abc}\\
(a+b+c)^3\geq 27abc
\end{aligned}$
因此,
$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
即$\frac{(a+b+c)^3}{27}\geq abc$
得證。
例題二:
已知$a+b=3$,$a^2+b^2=5$,求出$a,b$的大小關系。
解:由已知條件可得$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,即
$9=5+2ab$
$ab=\frac{4}{3}$
由基本不等式知得
$2ab=\frac{8}{3}\leq a^2+b^2=5$
即$a^2+b^2>2ab$,因此$a^2>b^2$,
又因為$a+b=3$,所以$b=3-a$,
所以$(3-a)^2
$9+a^2-6a
$a>\frac{3}{2}$
因此,
$a>b>\frac{3}{2}-a$
即$0
例題三:
已知$a,b,c>0$,求證$\frac{(a+b)^2}{c}+\frac{(b+c)^2}{a}+\frac{(c+a)^2}\geq 12(a+b+c)$
解:由基本不等式得
$(a+b)^2\geq 4ab,(b+c)^2\geq 4bc,(c+a)^2\geq 4ac$
將以上三個式子代入原式變化得
$\frac{4ab}{c}+\frac{4bc}{a}+\frac{4ac}\geq 12(a+b+c)$
即$4(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 12abc(a+b+c)$
即$(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 3abc$
由于$a,b,c>0$,故得證。
三、基本不等式的擴展
除了基本不等式外,還有一些基本不等式的擴展形式,例如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。這些擴展形式大大豐富了不等式的證明和應用,并為數(shù)學研究提供了更加廣泛的空間。下面,我們就來簡單介紹一下平均值不等式和柯西施瓦茲不等式的相關內容。
平均值不等式:對于$n$個非負實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$,有
$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$
其中等號成立當且僅當$x_1=x_2=\cdots=x_n$時成立。
柯西施瓦茲不等式:對于任意實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$,有
$(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)\geq(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2$
其中等號成立當且僅當$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdots=\frac{x_n}{y_n}$時成立。
四、總結
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應用有著密切的關系。基本不等式的解法和思維方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質和應用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。在學習和應用基本不等式時,我們還需掌握其相關的擴展形式,如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。只有充分掌握了這些知識點,我們才能更加深入地理解并應用不等式的知識。
等式課件
幼兒教師教育網編輯為大家整理的“等式課件”或許能幫助您解決一些疑惑。教案課件是每個老師在開學前需要準備的東西,每個人都要計劃自己的教案課件了。?設計有創(chuàng)意的教學課件可以增加學生的學習趣味。我們提供的樣本僅供參考具體操作請根據實際情況做出調整!
等式課件 篇1
【教材分析】
在新課程改革中,教材是重要的教育教學因素。等式的基本性質是學生解方程的依據,它是系統(tǒng)學習方程的開始。這節(jié)課的內容在簡易方程中就起到了承上啟下的作用。原來的教材中對于等式的基本性質只是初步的認識,并沒有總結成概念性的東西,但學生實際運用時卻需要概念來作支撐,所以在教材中作了調整,讓學生通過觀察天平演示實驗,由具體實物之間的平衡關系抽象概括出等式的兩個基本性質就成了本節(jié)課的教學重點。本課“等式的基本性質”是在上一節(jié)剛剛認識了等式和方程的基礎上進行教學的。,其核心思想是構建等量關系的數(shù)學模型。課程標準要求學生能“理解等式的性質,會利用等式的性質解簡單的方程”。
【教學目標】
1.通過天平演示保持平衡的幾種變換情況,初步認識等式的基本性質。
2.利用觀察天平保持平衡所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,能直接判斷天平發(fā)生變化后能否保持平衡。
3.逐步養(yǎng)成觀察與概括。比較與分析的能力。
【教學重點】
掌握等式的基本性質。
【教學難點】
理解并掌握等式的性質,能根據具體情境列出相應的方程。
【數(shù)學思想】
轉化的思想,數(shù)形結合的思想,符號化的思想
【教學過程】
一。創(chuàng)設情境,引出問題
教師活動
學生活動及達成目標
師:同學們,你們做過天平游戲嗎?這節(jié)課我們要利用天平一起來探索等式的性質。(板書課題:等式的性質)
達成目標:由熟悉的天平引出課題激發(fā)學生的興趣。
二。共同探索,總結方法
教師活動
學生活動及達成目標
(一)等式的基本性質一
1.出示教材第64頁情境圖1第一個天平圖。
讓學生仔細觀察圖,并說一說:通過圖你知道了什么?
教師小結:1個茶壺的重量=2個茶杯的重量。
追問:如果設一個茶壺的重量是a克,1個茶杯的重量是b克,能用式子表示嗎?
(師板書)
引導學生思考:如果在天平的兩邊同時再各放上一個茶杯,天平會發(fā)生什么變化呢?為什么?
教師先進行實際操作天平驗證,再演示這一過程,并明確:兩邊仍然相等。
提問:如果兩邊各放上2個茶杯,還保持平衡嗎?
兩邊各放同樣的一把茶壺呢?
2.出示教材第64頁圖2的第一個天平圖。
(1)如果用a表示一個花盆的重量,用b表示一個花瓶的重量,怎樣用等式來表示這幅圖呢?
(2)如果把兩邊都拿掉1個花瓶,天平還平衡嗎?讓學生嘗試用等式怎樣表示?
從圖上你能知道什么?(出示教材第64頁圖2第二個天平圖)
3.通過這幾個實驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
4.你能用一句話來表示你的發(fā)現(xiàn)嗎?
(二)等式的基本性質二
1.猜猜:除了向前面這樣的變化,天平仍保持平衡外,還可以怎么做能使天平保持平衡?
這時教師一定要及時強調:這都是把等式的兩邊加上或減去同一個數(shù),并提示學生如果把等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)(O除外),會怎么樣呢?
2.出示教材第65頁圖1的第一個天平圖,讓學生觀察并說明。
引導學生用a表示墨水的重量,用b表示鉛筆盒的重量,用式子怎樣表示?
猜一猜:左邊墨水的數(shù)量擴大到原來的2倍,右邊鉛筆盒的數(shù)量也擴大到原來的2倍,天平還保持平衡嗎?
如果把天平的兩邊物品的數(shù)量分別擴大到原來的。3倍。4倍呢?
3.出示教材第65頁圖2的第一個天平圖,讓學生觀察并說明知道了什么。
質疑:如果把兩邊的球都平均分成2份,各去掉一份,天平還能平衡嗎?
教師演示。
4.通過剛才的試驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
5.你能用一句話總結一下等式的這個性質嗎?
6.為什么等式兩邊不能除以O?
1.自主回答,學生可能會回答:天平的左邊放了一把茶壺,右邊放了兩個茶杯,天平保持平衡;這說明一個茶壺的重量與2個茶杯的重量相等。
嘗試寫出:a=2b
先猜一猜,學生可能會猜測出天平仍然平衡,因為兩邊加上的重量一樣多。
觀察小結:實驗證明1個茶壺+1個茶杯的質量=3個茶杯的質量。
同時學生嘗試用字母表示這個式子:a+b=2b+b
學生回答后,教師演示,并讓學生分別用式子表示:a+2b=2b+2ba+a=2b+a
觀察現(xiàn)在的天平是什么樣的?(平衡)
生嘗試寫出:a+b=4b
先猜一猜,再回答,平衡:a+b-b=4b-b
得出1個花盆和3個花瓶同樣重。
3.學生思考后小結:平衡的天平兩邊加上同樣的物品,天平還保持平衡。平衡的天平兩邊減去同樣的物品,天平還保持平衡。
4.學生歸納等式的性質1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:通過演示在天平的兩邊同時放上或拿走同樣的物品,天平仍然平衡。給學生思考。感悟天平保持平衡的變化規(guī)律,提供了直觀的觀察材料。從而得出天平平衡的原理,即等式的一條基本性質:等式兩邊加上或減去相等的數(shù),等式不變。
1.如:學生猜測天平的兩邊同時放2個。3個杯子;同時減去一把茶壺等。
2.學生觀察并說明:
一瓶墨水的重量=一盒鉛筆盒的重量
寫出等式:a=b。
學生猜測平衡后,教師進行實際天平操作,驗證學生的猜測。
學生用等式表示:2a=2b。
天平仍然保持平衡
3.學生觀察得出:
2個排球的質量=6個皮球的質量
有了前面的經驗學生用a表示排球的重量,用6表示皮球的重量,寫出等式:2a=6b。
學生猜測:平衡,并能用等式a=3b表示。
4.學生會發(fā)現(xiàn):平衡的天平兩邊的物品擴大到原來的相同倍數(shù),天平仍然平衡。平衡的天平兩邊的物品都縮小到原來的幾分之一,天平仍然平衡。
5.學生歸納小結:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:等式基本性質2的推導在性質1的基礎上,讓學生自己通過實驗探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
6.學生交流,匯報:O不能做除數(shù)。
三。運用方法,解決問題
教師活動
學生活動及達成目標
出示教材第66頁練習十四第4.5題。
學生試做集體訂正,注意學生列式計算時的取值是否正確。
四。反饋鞏固,分層練習
教師活動
學生活動及達成目標
基礎練習:利用等式的性質填空
1.如果2x-5=9,那么2x=9+()
2.如果5=10+x,那么5x-()=10
3.如果3x=7,那么6x=()
4.如果5x=15,那么x=()
拓展練習:見課件
讓學生回憶等式的性質,再自主完成填空。
達成目標:等式的基本性質一是簡易方程部分重要的概念,不僅要理解,而且還要會應用。
五。課堂總結,提升認識
教師活動
學生活動及達成目標
這節(jié)課你運用了哪些,你有什么收獲?你對自己這堂課的表現(xiàn)是怎么評價的?
學生總結本節(jié)課的收獲,在梳理總結過程中提高學生對性質的認識和理解。
等式課件 篇2
教學內容:教科書第3~4頁的內容,練習一的4~6題。
教學目標:
1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
2、根據等式的性質(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據圖獨立填空。
根據學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然
是等式。這是等式的性質。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據等式的性質把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調書寫的格式。
小結:求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
這時等式的性質。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
教后小記
等式課件 篇3
《不等式及其基本性質》習題
【教學內容】
課本上不等式的五個基本性質,并學會應用.【教學目標】
1、掌握不等式的五個基本性質并且能正確應用.
2、經歷探究不等式基本性質的過程,體會不等式與等式的異同點,發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力.
3、開展研究性學習,使學生初步體會學習不等式基本性質的價值.
【重點難點】
重點:理解不等式的五個基本性質.難點:對不等式的基本性質3的認識.【教學方法】
本節(jié)課采用“類比-實驗-交流”的教學方法.【教學過程】
一、回顧交流.
1、等式的基本性質 解一元一次方程的基本步驟
2、問題牽引:
用“﹥”或“﹤”填空,并總結其中的規(guī)律:
(1)5>3,5+2
3+2,5-2 3-2 ;
(2)–1
-1+2 3+2,-1-3 3-3 ;
結果:
(1)>、>(2)
當不等式兩邊加或減去同一個數(shù)(正數(shù)或負數(shù))時,不等號的方向______
3、繼續(xù)探究,接著又出示(3)、(4)題: 5 2×5,6×(3)6>2,6×(-5)
2×(-5),6 3×6,(4)2
3×(-6).得到:
當不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)時,不等號的方向不變; 當不等式的兩邊同乘以一個負數(shù)時,不等號的方向改變.總結出不等式的性質: 不等式的性質1:不等式的兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.c
> b±c 字母表示為:如果a>b,那么a±不等式的性質2:不等式的兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.字母表示為:如果a>b,c>0那么ac
> bc,不等式的性質3:不等式的兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.字母表示為:如果a>b,c<0那么ac
不等式的對稱性:如果a>b,那么bb,b>c,那么a>c
二、范例學習,應用所學.
1、利用不等式的性質解下列不等式. (1)x-7>26
(2)3x
(4)-4x﹥3
22、逐題分析得出結果.(1)x-7>26 分析:解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為x﹥a或x﹤a的形式.
解:(1)為了使不等式x-7>26中不等號的一邊變?yōu)閤,根據不等式的性質1,不等式兩邊都加7,不等號的方向不變,得 x-7+7﹥26+7 x﹥33(2)3x
為了使不等式3x
23不等號的方向不變,得 x﹥75(4)-4x﹥3
為了使不等式-4x﹥3中的不等號的一邊變?yōu)閤,根據不等式的性質3,不等式兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x
3 4通過(3)(4)的求解過程,類似于解方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)(未知數(shù)系數(shù)化為1),解不等式時要注意未知數(shù)系數(shù)的正負,以決定是否改變不等號的方向.三、課堂探究.
已知a
四、課堂小結提問.不等式性質的作用.
等式課件 篇4
尊敬的各位老師,下午好!
我叫孫有璽,來自音河中學。很高興能把《不等式的性質(1)》一課的教學和大家一起探討。下面我將從學生狀況、教學任務、教學過程、設計說明等四個方面加以分析。
一、學生狀況分析:
七年級下期的學生活潑好動,有一定合作探究意識,在知識方面已經學習了有理數(shù)大小比較,等式及基本性質。這些都為自主探究不等式的性質打下了良好的基礎。
二、教學任務分析:
(一)教材地位與作用:
不等式是初中代數(shù)的重要內容之一,是已知量與未知量的矛盾統(tǒng)一體。數(shù)學關系中的相等與不等是事物運動和平衡的反映,學習研究數(shù)量的不等關系,可以更好地認識和掌握事物運動變化的規(guī)律?!安坏仁降男再|”是學生學習整個不等式知識的理論基礎,為以后學習解不等式(組)起到奠基的作用。
(二)教學目標:
知識目標:
探索不等式的基本性質,并能準確運用不等式的三條性質將不等式變形。
能力目標:
讓學生學會類比的思想對等式性質及不等式性質進行了比較,培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納的能力。
情感目標:
通過“等”與“不等”的比較使學生進一步領會對立統(tǒng)一的思想,培養(yǎng)學生辨證唯物主義的觀點。
(三)教學重點、難點:
不等式的性質是本節(jié)不等式變形的基礎,也是今后解不等式(組)的依據,所以掌握不等式的基本性質,并能正確運用它們將不等式變形是本節(jié)課的重點。
不等式的兩邊同乘以(或除以)負數(shù),不等號方向改變和等式的性質不同,學生學習起來比較困難,因此,不等式性質3的理解與正確使用是本節(jié)課的難點。讓學生自己動口、動手、動腦,進行比較、討論,并加以強化練習達到突破的目的。
(四)教學方法與學法的指導:
本節(jié)課屬于性質類知識,重在探索,意在應用。因此,我采用啟發(fā)誘導、實例探究的方法進行教學,這種教學方法以“主動探索”為基礎,先“引導發(fā)現(xiàn)”后“講評點撥”,讓學生在克服困難與障礙的過程中發(fā)展自己的觀察力、想象力、思維力。引導學生學會類比、歸納的學習方法,幫助他們在自主探究過程中理解和掌握不等式的性質。
三、教學過程
(一)復習提問、引入新課
為了使學生自己能在教師的指導下,自主探究問題,發(fā)現(xiàn)問題,獲得結論。而不是把現(xiàn)成的結論告訴學生。對于不等式性質的發(fā)現(xiàn),我采用了下面的作法,我首先帶領學生復習等式的性質
等式性質1等式兩邊加(或減)同一個數(shù)或式子,結果仍相等。
等式性質2等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為零的數(shù),結果仍相等。
(二)合作交流、探究新知
在復習等式性質后,教師提出不等式是否也有類似的性質呢?先引導學生對不等式的兩邊都加、減同一個數(shù),會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過思考和計算后會說出不等式兩邊都加、減同一個數(shù),“仍是不等式”。此時,教師抓住學生敘述中的問題予以糾正,不能籠統(tǒng)的說“仍是不等式”,因為“=”沒有方向性,而不等號有方向性,所以要改為“不等號的方向不變”。接著,讓學生不等式作兩邊都乘以或除以同一個數(shù)的變形,會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過計算和討論,甚至會發(fā)生爭執(zhí),教師要深入學生,通過共同探討,學生會發(fā)現(xiàn)不等式兩邊都乘以或除以正數(shù),不等號方向不變,兩邊都乘以或除以負數(shù),不等號方向改變。最后由學生歸納出不等式的`性質2和性質3。
我這樣安排的目的是為了讓學生通過動手、動口、動腦發(fā)揮合作精神,學會運用類比、歸納的數(shù)學思想去探究問題,同時學生也會品嘗到成功的喜悅,從而提高他們學習數(shù)學的興趣。
(三)靈活運用、鞏固練習
為使學生能夠準確運用性質將不等式變形,也為例題的教學做一些鋪墊,我先設置了兩組搶答題:
搶答:看誰答的快又準
1·設m>n,用“<”或“>”填空:
(1)m—5___n—5
(2)m+4___n+4
(3)6m___6n(4)
—5m___—5n
2·判斷:
(1)∵3+x>3+y,∴x>y()
(2)∵3>2,∴n+3>2+n()
(3)∵a<b,∴2a+1<2b+1()
(4)∵—2a<6,∴x>—3()
在學生練習過程中,老師特別強調:當不等式兩邊同乘以或除以負數(shù)時,“不等號的方向改變”。
接著,給出例題:
例1·利用不等式的性質解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集:
(1)x+7>10
(2)3x>2x+1
(3)—10x>50
(4)—4x
例2·根據下列已知條件,說出a與b的不等關系:
(1)a—3>b—3
(2)—a>—b
(3)—2a+1
例1由學生分組討論,寫出解題過程,老師展示幾個同學的解答并給予講解。對于例2我采用先引導學生分析解題思路,再讓學生口述解題過程,并說明根據不等式的哪一條性質,由師生共同完成。
為了解學生能否獨立運用性質將練習三,安排學生演板:
3·利用不等式的性質解不等式。
(1)—3x>12
(2)3x—4
請兩位學生演板,其余學生獨立完成,并對學生演板的結果作出評價,教師深入小組,發(fā)現(xiàn)問題及時糾正,通過學生的互相評價找出應用不等式基本性質進行變形中出現(xiàn)的錯誤,以防患于未然。
以上練習完成之后,學生已能準確運用不等式的性質,將不等式變形,為培養(yǎng)學生的解題能力,讓學生更深層地理解不等式的基本性質,在此基礎上我又作出了一些引申和推廣。
4·判斷正誤,并說明理由。
(1)∵5>4,∴5a>4a
(2)不等式2x>5x的兩邊同除以x,得2>5
(3)若ac2>bc2,則a>b
第4題設計說明,當不等式兩邊同乘或除以一個字母,而字母的取值不明確時,需對字母分情況討論。
〔四〕歸納小結、整體把握
為幫助學生從整體把握本節(jié)課所學的知識,培養(yǎng)良好的學習習慣,讓學生自己對本節(jié)課所學知識以及用到的解決問題的方法進行小結。方法是:由學生四人一組互談本節(jié)課的收獲,總結解題方法,并說明解題過程中應該注意的問題,然后請一位同學小結,其他學生補充,達到鞏固知識的目的。
教學設計說明
學生的學習內容應該是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的,而老師則應該創(chuàng)造一個有利于學生主動求知的學習環(huán)境。因此,本節(jié)課把培養(yǎng)學生的學習興趣和思維能力放在首位。教學中采用合作學習的方式,互相交流,集思廣益,突破創(chuàng)新,以達到共同提高的目的。然后,通過多樣化的練習鞏固知識,既調動學生的積極性,又使學習伙伴之間進行了思維的碰撞和溝通。使其在輕松的氛圍中多層次、多角度地掌握“不等式的性質”。
本節(jié)課的設計體現(xiàn)了一個原則:低起點、多練習、勤反饋、快矯正、重能力、以求最大限度提高課堂效率。
等式課件 篇5
均值不等式
教學目標
(一) 知識與技能:明確均值不等式及其使用條件,能用均值不等式解決簡單的最值問題.
(二) 過程與方法:通過對問題主動探究,實現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn),體驗知識與規(guī)律的形成過程.
(三) 情感態(tài)度與價值觀:通過問題的解決以及自身的探索研究領略獲取新知的喜悅.教學重點:均值不等式的推導與證明,均值不等式的應用.教學難點:均值不等式的應用 教學過程
創(chuàng)設情境如圖,AB是圓的直徑,D是CAB上與A、B不重合的一點,AD=a,DB=b,過點D作垂直于AB的弦CD,連AC,BC,AaODbB則CD=__,半徑OC=____E 討論 :(1)CD OC (2)文字敘述(幾何意義): (3)試用含a、b的表達式來表示上述關系 注意:(1)當 時, (2)a、b的取值范圍
探求新知:均值不等式的內容及證明
均值定理:
證明:(比較作差法)
變形應用:(1)
(2)
討論釋疑:
牛刀小試:已知x?0,則x?1x? 例
1、已知ab?0,求證:baa?b?2并推導出式中等號成立的條件
例
2、求函數(shù)f(x)?x2?2x?3x(x?0)的最值,以及此時x的值
精煉鞏固:
?t2 1.設t?0,則函數(shù)f(t)?4t?1的最小值為此時t的值
4 2.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則ab有最值為
點撥提高:
總結本節(jié)課的你的收獲。
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
不等式基本性質教學設計
《等式的性質》教學設計
《等式的性質》教學設計
等式性質教學設計(共8篇)
基本不等式教學設計
等式課件 篇6
教學內容:教科書第3~4頁的內容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
2、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學重點與難點:根據等式的性質(一)學會解決含有加、減號的方程。
教學流程:
一、教學例3
出示圖,學生根據圖獨立填空。
根據學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然
是等式。這是等式的性質。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據等式的性質把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調書寫的格式。
小結:求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第5題。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
這時等式的性質。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
等式課件 篇7
1、具體情境,感受天平平衡
通過課件展示情境圖引導學生小結出等式并用字母表示。
2、猜想假設、小結規(guī)律
先讓學生猜想然后再通過課件在天平上演示過程。驗證學生的猜想,用字母表示。引導學生小結出:等式兩邊同時加上同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
3、觀察思考、總結發(fā)現(xiàn)
通過課件對教材第64頁圖2的演示過程讓學生獨立思考,再通過小組合作討論總結出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。等式的性質1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
4、假設數(shù)據、驗證規(guī)律
得到結論后通過假設物體的具體的數(shù)據驗證學生自己總結出的規(guī)律。
5、口算練習、應用規(guī)律
通過一些簡單的等式問答應用等式兩邊同加或同減相同的數(shù)以加強規(guī)律的應用。
6、設疑思考
提出問題讓學生思考還有沒有其他的運算也能使等式左右兩邊相等。留給學生思維的空間,再通過課件引導學生一步步總結出等式的性質2:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
等式課件 篇8
1、創(chuàng)設情景,引發(fā)認知沖突
以前學生解方程習慣用加減法、乘除法互為逆運算的方式解方程,這樣的思路只適宜解比較簡單的方程,例如:x+3=5、3x=-12等,簡單的一元一次方程的解用估算的方法或逆運算的方式我們都可以求出方程的解;而象19+28x=33x-1這樣比較復雜的方程我們用上述方法還能求出它的解嗎?我利用學生認知上的沖突引入新課。這樣既激發(fā)了學生的學習興趣又明確了本節(jié)課的教學目的。為等式性質的構建做好鋪墊。
2、實驗探索,從特殊到一般
等式性質的呈現(xiàn)屬于實驗探究型課,目的是要學生在活動中體驗等量的變化關系和等式的性質。這里我分段逐步呈現(xiàn)等式的特性。首先出示平衡天平的圖形,給學生一個天平平衡的印象,引導學生用字母構建一個等式,接著在上一個平衡天平的基礎上,兩側同放一個三角形的符號表示物體的重量,讓學生觀察這時出現(xiàn)什么現(xiàn)象,同時提出問題:怎樣做,兩邊才會保持平衡?通過學生實驗得出使天平兩邊平衡的方法,并用字母式子表示實驗的過程,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述,接著通過幾個練習加以鞏固,然后借助上一個實驗的經驗和方法,進一步指導學生完成天平兩邊成倍變化的實驗,最后根據實驗情況觀察歸納結論。同時注意在總結時先讓學生根據實驗,把自己所得到的結論敘述出來,然后教師再對學生的結論給予概括得到等式的性質。
上述講授等式的性質用的是觀察實驗法,實驗觀察是科學研究的一種基本的方法,它是根據客觀事物和現(xiàn)象找出它具有的客觀規(guī)律,有助于發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學事實,抽象出對象的屬性,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述。同時也體現(xiàn)了由特殊到一般的思維認知規(guī)律。
3、強化概念,指導學生嘗試
關于等式概念、等式與方程的聯(lián)系的引出,教法上采用充分利用學生已有的知識、練習回顧、交流的方式。等式的性質的教學,采用師生共同觀察實驗,讓學生通過對直觀圖形的觀察、實驗和猜想,自已發(fā)現(xiàn)結論,并用總結的形式表述結論。等式性質的理解和掌握關鍵在于應用,只有通過大量練習來鞏固和提高,練習的速度越快正確越高,說明知識理解和掌握的越好。因此在教學中得到等式性質后,就用三組嘗試練習加強鞏固和提高,這樣既調動了學生學習的趣味性和主動性,增強了學生積極參與教學活動的意識,又很好地培養(yǎng)了學生的動手操作能力、觀察能力、邏輯思維能力和總結歸納能力,同時,也向學生滲透了實踐——認識——再實踐——再認識的一種學習方法,使新舊知識技能得到了有機的結合。
等式課件 篇9
教學內容:教科書第3~4頁的內容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
2、根據等式的性質(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據圖獨立填空。
根據學生的回答,板書:
20=2020+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然
是等式。這是等式的性質。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據等式的性質把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調書寫的格式。
小結:求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
等式課件 篇10
一、學情分析:作為初一學生(132班和137班)在小學時已經對等量關系和等式的性質有所了解,通過本節(jié)課的學習,目的是要使學生從天平的特點中歸納得出等式的性質。
新課標對本節(jié)課的要求是:掌握等式的性質。在前面一節(jié)課的學習中,學生掌握了一元一次方程的概念和初步應用后,需要解決的是一元一次方程的解法。本節(jié)內容借助于等式的性質這一工具來解一元一次方程。首先,通過天平的實驗操作,使學生學會觀察。嘗試分析歸納等式的性質。然后,利用等式的性質解一元一次方程。通過解方程的學習提高學生的觀察問題、解決問題的能力。
2、教育教學目標。
根據以上對教材的理解與內容分析,考慮到學生已有的知識結構和心理特征,制定如下教學目標:
(1)知識與技能:探究等式的性質,并能利用等式的性質進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
(2)過程與方法:通過實驗培養(yǎng)學生探索能力、觀察能力,歸納能力和應用新知識的能力。
(3)情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式性質過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結論的確定性,建立學生學好數(shù)學的信心。
為了使學生能比較順利地達到教學目標,我確定了本節(jié)課的教學重、難點:
教學重點:探究等式的性質,能根據等式性質進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
教學難點:利用等式的性質把簡單的一元一次方程變形為x=a(常數(shù))的形式;正確理解等式性質2中除數(shù)不能為0。
(一)教學手段:如何突出重點、突破難點,從而實現(xiàn)教學目標,我在教學過程中利用多媒體演示擬計劃進行如下操作:
1、讀(看)――議――講結合法。
2、圖表分析法。
3、讀圖討論法。
4、教學過程中堅持啟發(fā)式教學的`原則。
堅持“以學生為主體,以教師為主導”的原則。即“以學生活動為主導,教師講述為輔,學生活動在前,教師點撥評價在后”的原則。根據初一學生的心理發(fā)展規(guī)律。聯(lián)系實際安排教學內容,采用學生參與高度的學導式討論教學法、師生交談法、圖象信號法、問答法、教學課堂討論法,使學生動口、主動探索、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、互動合作、歸納概括、形成能力,突出學生的主體地位。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題。
提問不同層次的學生面向全體,使基礎差的學生也有表現(xiàn)的機會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)學習熱情,有效開發(fā)各層次學生的潛在能力求使每個學生都在原有基礎上得到發(fā)展,同時通過課堂練習和課后作業(yè)啟發(fā)學生。在教學中要積極培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣和動機。明確學習目的,教師應在課堂上充分調動學生積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力。
實際上,青少年好動,注意力易分散,愛發(fā)表見解。希望得到老師的表揚所以在教學中應抓住學生這一生理特點。一方面運用直觀生動的形象,引發(fā)學生興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上。另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性。
首先我出了一些可以看出方程解的題目,讓學生回答,由易到難,激起學生學習的欲望,緊接著就引入等式的定義,從而使學生明白解方程先要研究等式,從而引入課題。
由于學生的認知結構是由簡單到復雜,由具體到抽象的過程,因此在這一環(huán)節(jié)中,我分兩個方面來教學:等式的性質1由老師課件演示,學生觀察歸納概括。
我利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
通過上面的觀察,讓學生分組討論:如何用算式表示實驗結果?學生交流后,教師進行課件演示。
本節(jié)課,讓學生經歷一種從平衡到不平衡再到新的平衡的過程,體驗變化是怎樣產生的,怎樣從打破平衡,又怎樣達到新的平衡。從而培養(yǎng)了學生觀察能力和抽象概括能力。
我接著提問:如果天平兩邊減去相同的質量,天平會有什么變化?
讓學生先獨立思考,然后教師課件演示。你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?怎樣用等式描述?得出等式兩邊同時減去同一個數(shù),等式仍然成立。并且由以上兩條規(guī)律得出:等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù),等式仍然成立。
如果在天平兩邊同時加上或減去不同的質量,天平會有什么變化?
學生經過思考得出:等式的兩邊加上或減去的必須是同一個數(shù),才能使等式成立。這樣符合學生的認知規(guī)律,從實踐認識,再到實踐認識的過程。
教師再用課件展示天平圖,學生通過觀察,歸納得出:等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)(除數(shù)不能為0),等式仍然成立。
等式基本性質2的推導在性質1的基礎上,讓學生自己通過觀察探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
(2)若a=b,則ac=bc,
注意:
(1)等式兩邊都要參加運算,且是同一種運算。
(2)等式兩邊加或減,乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同一個式子。
(3)等式兩邊不能都除以0,即0不能作除數(shù)或分母。
在這個環(huán)節(jié)中把等式的兩個性質展示出來,我特別提到了三個注意:因為這是在等式性質解方程中容易出錯的地方,就是希望同學們認真細心,正確利用性質解題。
我在練習中設計了三道題,從簡單的填空到判斷變形對錯,到最后的解方程,方程的四道題也是有簡單到復雜,總之練習題的設計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,是那些平時不舉手的同學也積極參與,竟然問題也答得很好。從這些方面培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
作業(yè)設計:
PPT投影出課本第83頁習題3.1第4題。
等式課件 篇11
一、教材分析
等式的基本性質是學生在剛剛認識了等式與方程的基礎上進行教學的。它是系統(tǒng)學習方程的開始,其核心思想是構建等量關系的數(shù)學模型。本節(jié)課的學習是學生在實驗的基礎上,掌握等式的兩個基本性質,引導學生通過比較,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并為今后運用等式的基本性質解方程打基礎。同時培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力。
二、教學目標:
知識與技能:理解并能用語言表述等式的基本性質,能用等式的基本性質解決簡單問題。
過程與方法:在用算式表示實驗結果、討論、歸納等活動中,經歷探索等式基本性質的過程。
情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式基本性質過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結論的確定性。
三、教學重點是:
引導學生探索發(fā)現(xiàn)等式的基本性質,利用等式的基本性質解決簡單問題。
教學難點是抽象歸納出等式的基本性質。
四、教學程序(分三部分教學)
(一)聯(lián)系實際,激趣引入
首先激發(fā)探究興趣:提出問題:“同學們,你用天平做過游戲嗎?”這節(jié)課我們就利用天平一起來探索天平游戲中所包含的數(shù)學知識?!?/p>
(二)自主探索,合作交流
學習等式的基本性質1
1、具體情境,感受天平平衡
利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
圖1、圖2的教學模式:先讓學生觀察,問:你發(fā)現(xiàn)了什么?然后提問:怎樣變換,能使天平仍然保持平衡呢?待學生思考片刻,再進一步提問:往兩邊各放1個杯子,天平會發(fā)生什么變化?生口答,驗證。接下去,繼續(xù)提問:如果兩邊各放上2個茶杯,天平還會保持平衡嗎?兩邊各放上同樣的一把茶壺呢?生答,再一一演示驗證。
圖3、圖4的教學模式和前面一樣。
板書如下:
2、總結抽象,認識規(guī)律
通過上面的觀察,先用一句話歸納圖1和圖2的內容。(1、等式的兩邊都加上或減去相同的數(shù),等式不變。)再以第一句話為基礎歸納出圖3和圖4的內容。(2、等式的兩邊都乘或除以相同的數(shù)(0除外)等式不變。)
教師指出這是等式的一個非常重要的性質。板書:等式的基本性質
(三)鞏固練習,深化認識
練習題的設計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
1、根據圖(1)在下面每幅圖的括號里填上適當?shù)姆柣驍?shù)字,使天平平衡。
2、課堂作業(yè)。(當堂完成)
填一填。(a、b均不為0)
(1) 如果x+a=b,那么x+a-a=b○
(2) 如果x-a=b,那么x-a+a=b○
(3) 如果ax=b,那么a x÷a=b○
(4) 如果x÷a =b,那么x÷a×a=b○
3、拓展訓練。
五、最后,關注學生的和感受,提出:通過本節(jié)課的學習你有什么收獲?
不等式課件精選九篇
為了促進學生掌握上課知識點,老師需要提前準備教案,老師在寫教案課件時還需要花點心思去寫。?教案和課件優(yōu)化可使教學任務的完成更加精細化。幼兒教師教育網小編特意為大家收集整理了“不等式課件”,歡迎參考愿您成為更好的自己!
不等式課件 篇1
不等式的性質 教學設計
十六中 尚進軍
【教學重點與難點】
教學重點:掌握不等式的三條基本性質,尤其是不等式的基本性質3 教學難點:正確應用不等式的三條基本性質進行不等式變形 【教學目標】
1、探索并掌握不等式的基本性質
2、會用不等式的基本性質進行化簡 【教學方法】
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結出不等式的三條基本性質,從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
【教學過程】
一、創(chuàng)設情境 復習引入
(設計說明:設置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內容提供必要的知識準備.)問題:
1、什么是等式?等式的基本性質是什么?
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.(1)3
2×5 3×5
2×(-1)3×(-1)3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5)3×(-5)3+a 7+a
2÷(-2)3÷(-2)(教學說明: 復習等式的基本性質后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質,從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質.)
二、師生互動,探索新知
1、不等式的基本性質
問題1:觀察思考問題3,猜想出不等式的性質
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質得出不等式的性質.觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質1: 不等式基本性質1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變. 比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關?由學生概括總結,教師補充完善得出: 不等式基本性質2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變. 不等式基本性質3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.
問題2:將不等式-2<6兩邊都加上7,-9,兩邊都乘3,-3試一試,進一步驗證上面得出的三條結論. 教師 強調指出:不等式的三條基本性質實質上是對不等式兩邊進行“+”、“-”、“×”、“÷”四則運算,當進行“+”、“-”法時,不等號方向不變;當乘(或除以)同一個正數(shù)時,不等號方向不變;只有當乘(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向才改變.
問題3:嘗試用數(shù)學式子表示不等式的三條基本性質. 學生思考出答案,教師訂正,最后得出:(1)如果a>b,那么a±c>b±c(2)如果a>b,c>0那么ac>bc(或>)(3)如果a>b,ca” 或“x26;(2)3x50;(4)-4x>3.解:(l)根據不等式基本性質1,不等式的兩邊都加上7,不等號的方向不變. 得 x-7+7>26 +>33(2)根據不等式基本性質1,兩邊都減去2x,不等號的方向不變,得3x-2x75,不等號的方向不變,得(4)根據不等式基本性質3,兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x(教學說明:這些不等式比較簡單,可以利用不等式的性質直接求解,從而加深對這些性質的認識.教師板書(1)題解題過程.(2)(3)(4)題由學生在練習本上完成,指定三個學生板演,然后師生共同判斷板演是否正確.解題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,有助于加強知識之間的前后聯(lián)系,突出新知識的特點,并將原題與“x>a” 或“xc, a+c>b, b+c>a 我們現(xiàn)在求的是兩邊之差與第三邊的關系,所以由不等式的性質1將上式變形為: 由a +b>c得a>c-b, b>c-a.同理,由a+c>b, b+c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.這就是說,三角形中任意兩邊之差小于第三邊.(教學說明:此問題應用不等式的性質由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”得出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”這個與已有結論等價的新結論.“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”對應的是三個形式一樣的不等式,而不是一個不等式.由這三個不等式再推出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”.為了加深學生的感性認識,可以通過測量的方法驗證這個結論.)三、鞏固訓練,熟練技能:1、如果a>b,那么(1)a-3 b-3,(2)2a 2b(3)-3a-3b,(4)a-b 0(5)(6)-b_____-、在下列各題橫線上填入不等號,并說明是根據不等式的哪一條基本性質.(1)若a–3<9,則a_____12;(2)若-a<10,則a_____–10;(3)若a>–1,則a_____–4;(4)若-a>0,則a_____0.3、利用不等式的性質解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集(解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為“x>a”或“x<a”的形式)(1)x-1<0;(2)x>-x+6;(3)3x>7;(4)-x<-3.(教學說明:這些練習進一步加深了學生對不等式性質的理解,做此練習題時,應讓學生注意觀察它們是應用不等式的哪條性質,是怎樣由已知變形得到的.注意應用不等式性質3時,不等號要改變方向.做第3題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,讓學生認識到應用不等式的性質1變形,相當于移項.)四、總結反思,課堂小結1、不等式的基本性質是什么?如何用數(shù)學式子表示?2、在本節(jié)課的學習中,你還有什么疑惑? 3.主要用到的思想方法是類比思想.4.注意的問題: 當不等式兩邊同乘(或除以)同一個數(shù)時,一定要看清是正數(shù)還是負數(shù),若是負數(shù),要變兩個號,一個性質符號,另一個是不等號,對于未給定范圍的字母,應分情況討論.六、布置課后作業(yè):1、課本127頁練習2、課本128習題的5、6、7題 【評價與反思】通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質,引導學生用數(shù)學式子表示三條基本性質,同時注意將不等式的三條基本性質與等式的基本性質進行比較,以加深學生的理解.在教學過程中,注重培養(yǎng)學生運用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結概括的能力.同時培養(yǎng)了學生積極主動的參與意識和勇敢嘗試、探索的精神.
不等式課件 篇2
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關系,向學生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇3
基本不等式是數(shù)學中一個重要的基礎公式,也是高中數(shù)學學習的重點之一。此公式廣泛應用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,具有廣泛的實際應用價值。本文將圍繞基本不等式的定義、推導、應用和解題技巧進行講解。
一、基本不等式的定義
基本不等式又稱柯西-施瓦茨不等式,其一般形式為:
∣∣∣∣∑iaibi∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
其中a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn為任意實數(shù)。該不等式的本質含義是,在平面直角坐標系中,向量間的內積不大于它們模的乘積之積,并且當且僅當向量線性相關時取等號。
二、基本不等式的推導
基本不等式的推導涉及到向量的概念。假設有兩個n維向量a和b,它們的內積為∑iaibi,則它們的長度分別為:|a|=√∑iai2和|b|=√∑ibi2。
將a和b定義為Rn中的兩個向量,則它們的夾角為θ,則有:
cosθ=∑iaibi/|a||b|
通過分析cosθ的大小關系,顯然有:
?1≤cosθ≤1
進一步得到基本不等式:
|∑iaibi|≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
三、基本不等式的應用
基本不等式廣泛應用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,下面將分別介紹它們的應用。
1. 求證
基本不等式可以用于求證數(shù)學中的一些定理,比如互余等比數(shù)列的和定理。具體應用時,我們可以將等比數(shù)列拆成兩個向量,然后應用基本不等式即可得到所證定理。
2. 排列組合
在排列組合問題中,基本不等式可以幫助我們確定最優(yōu)解,以最小或最大值為目標得到所需的數(shù)字。例如,在n個數(shù)字中有幾對數(shù)對,他們之間的差值恰好為k,可以通過將原問題轉換為求兩個向量之間的夾角,然后應用基本不等式進行求解。
3. 概率
在概率問題中,基本不等式可以用于推算隨機事件中不等的概率值,例如玩牌游戲中的胡牌概率等。我們可以將每個事件看作向量,然后使用基本不等式計算它們的夾角,從而得到相應的概率值。
四、基本不等式的解題技巧
基本不等式的應用需要掌握一些解題技巧。下面列舉一些常用的技巧:
1. 將數(shù)列表示成向量
在排列組合問題中,將數(shù)列表示成向量,有利于方便運用基本不等式進行計算。
2. 極小化或極大化
當問題中要求最小或最大值時,我們可以使用極小化或極大化的思路,以求解最優(yōu)解。
3. 利用對稱性
當有對稱條件時,可以運用基本不等式中的對稱性質,簡化數(shù)學推理。
4. 運用方法的差異性
在某些情況下,我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)在大小方面的差異,從而確定使用哪個方法進行計算。
綜上所述,基本不等式是高中數(shù)學學習的重點之一,應用范圍廣泛。掌握了基本不等式的定義、推導、應用和解題技巧,能夠在數(shù)學競賽中取得更好的成績,也有利于我們理解、應用其它數(shù)學定理。
不等式課件 篇4
《不等式的性質(1)》教學設計
一、引入
展示任務單的數(shù)據分析,向學生明確本堂課的教學內容。
二、預習檢測
學生回答“什么是不等式的性質” 不等式的性質1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變 不等式的性質2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變 不等式的性質3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變
三、應用1:利用不等式的性質比較大小
【例1】若a?b,判斷3?2a與3?2b的大小關系.小結:利用不等式的性質比較大小的一般思路: 利用不等式的性質將“已知”逐步化成“目標
(1)教師對任務單中錯誤率較高的題目進行講解;
(2)設置類似的問題作為例題,并進行鞏固訓練和變式訓練。
【鞏固】(1)若3a?4?3b?4,則a___b;(2)若?5a?7??5b?7,則a___?b,則: 【變式一】若 ①(k2?1)a___(k2?1)b ②1?k2a___1?k2b
【變式二】若a?b,試比較ka與kb的大小.【鞏固】(1)若a?b,且(k?1)a?(k?1)b,則k的取值范圍是______.1(2)由kx?1變形可得x?,則k的取值范圍是________.k
四、應用2:利用不等式的性質解不等式
(1)針對任務單中學生解不等式時在步驟中出現(xiàn)的問題,教師規(guī)范解題步驟;
(2)教師分享某位同學任務單中對“不等式的性質與等式性質的異同?”的回答,小組討論利用不等式的性質解不等式步驟中需要注意的問題;(3)學生綜合范例和討論結果,進行鞏固訓練和變式訓練。【例2】利用不等式的性質解不等式:4y?12??2?3y.【鞏固】13用不等式的性質解不等式:y?2?y?522 【變式】13已知y?2?y?5,化簡y?3?(6?2y)
五、課堂小結
小組討論分享:通過本節(jié)課的學習,“我知道了??”“我掌握了??”。
六、課堂檢測
學生獨立完成課堂檢測,由數(shù)據反饋出本堂課的達成度
七、課后思考 布置課后思考題
利用不等式性質1,比較2a與a的大?。╝?0).2,比較2a與a的大?。╝?0).利用不等式性質
不等式課件 篇5
基本不等式是中學數(shù)學中比較重要的知識點,它是一條數(shù)學公式,可以用來證明數(shù)學上的不等式問題。在中學階段,我們通常會學習到關于基本不等式的概念、性質以及應用等方面的知識。接下來,本篇文章將圍繞這一主題展開,詳細說明基本不等式的相關知識點和應用場景。
一、基本不等式的概念和性質
基本不等式實際上是針對于a、b兩個正實數(shù)而言的,它的數(shù)學表述為:(a+b)2≥4ab 。 這個公式被稱為基本不等式的“基本式”。同時,在這個式子中,等號成立的條件是a=b時。接下來,讓我們來看看基本不等式的一些性質。
1.基本不等式的證明:
(a+b)2=a2+2ab+b2≥4ab (由于a2+b2≥2ab)
化簡得:a2+b2≥2ab,即(a-b)2≥0,結合等式左側兩邊同時加上4ab,則得到公式(a+b)2≥4ab,也就是基本不等式。
2. 基本不等式的解釋:
從式子來看,基本不等式的左邊是一個完全平方數(shù),即(a+b)2。右邊是4ab。又因為基本不等式中的變量a和b都是正實數(shù),所以無論a和b的大小關系如何,四倍的乘積4ab一定是大于等于a2+b2、即2ab的。因此,我們可以得到基本不等式的結論:(a+b)2≥4ab。
3. 基本不等式的應用:
基本不等式有非常廣泛的應用,其中一些典型的應用場景包括以下幾種:
a. 使用基本不等式證明其他不等式:
比如,對于x、y兩個正實數(shù),我們可以將不等式(x-y)2≥0 化簡為x2+y2≥2xy 的形式,然后用上基本不等式,即可快速證明(x-y)2≥0 成立。
b. 使用基本不等式解決實際問題:
比如,用4米長的繩子圍成一個矩形獸欄,求獸欄能夠圍住的最大面積是多少? 我們可以將這個問題轉換為求:4m邊長的正方形對面提醒獸欄的最大面積問題。此時,我們可以利用基本不等式,推導出正方形的對角線最大長度即為4√2米,由此可以得出此時正方形的面積即為16平方米,也就是獸欄的最大面積。
c. 使用基本不等式驗證一些數(shù)學結論:
比如,我們可以利用基本不等式來驗證任意兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。 具體的,對于兩個正實數(shù)a和b,我們可以推導得到:
(a+b)2≥4ab
(a+b)2/4≥ab
(√ab+√ab)2/4≥ab
(?ab) ≥ (a+b)/2
由此可得,兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù),即( a+b)/2≥?ab。
二、基本不等式的應用實例
1.題目描述:
小峰有若干元錢,他能夠涵蓋八天的生活物資開銷?,F(xiàn)在,他去買菜了,花掉了R元錢,求他能不能仍然用這筆錢過完余下的那幾天。
2.解題思路:
我們可以設小峰剩下的錢數(shù)為x,應該取得一個不等式來表示這個問題。具體地,設日均消費為m(m 一定是小于R/x 和x/8之間較小數(shù)),則從第9天開始,小峰所存的錢應數(shù)學表達式為:
x-R≥m*(8),
x≥m*(8)+R
這是一個關于x的不等式,為驗證其是否成立,我們需要對它進行推導。為了推導方便,我們將不等式變形如下:
m*(8)+R≤x
然后,我們可以利用基本不等式將其化簡為如下形式:
(mx/?8)^2+(Rx/?8)^2≥2mRx/4
由于 x>0,所以令 t = x/?8,則上式化簡為:
(m/2)t^2+(R/2)^2≥tmR
或者
(t-R/m)^2+(m/2)^2≥R^2/ 4m^2
根據上面的式子,我們可以得出,只要 t≥R/m,即x≥m*(8)+R,則小峰就有足夠的錢過余下的幾天生活了。
3.綜述
基本不等式是非常重要的中學數(shù)學知識點,它不僅有較為實際的應用場景,還能用于證明和推導其他數(shù)學結論。在學習基本不等式的時候,我們需要注意,對于不等式的變量,要理解它們所表示的實際含義和邏輯關系,從而更好地應用基本不等式來解決實際問題。
不等式課件 篇6
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望.根據本節(jié)課的教學內容,應用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應關系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應點位置間的關系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結構美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產生用數(shù)學研究不等關系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關系的相關素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關系,又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應的兩實數(shù)具有怎樣的關系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關內容.
實例1:某天的天氣預報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結論.
討論結果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經常使用的方法,應讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據實數(shù)的運算性質與大小順序的關系,歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關系,只需確定它們的差與0的大小關系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關鍵首先是把文字語言轉換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結,從實數(shù)的基本性質的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設計關注了教學方法的優(yōu)化.經驗告訴我們:課堂上應根據具體情況,選擇、設計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中,沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣,可以說與其他所有內容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產生負面影響.
3.本節(jié)設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質,是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大小:(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式課件 篇7
《課題:實際問題與一元一次不等式》教學設計
【教學目標】:
1.通過列一元一次不等式解決具有不等關系的實際問題,進一步熟練掌握一元一次不等式的解法,體會不等式是解決實際問題的有效的數(shù)學模型。
2.通過應用一元一次不等式解決實際問題,進一步強化應用數(shù)學的意識,從而使學生樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學信息,談論數(shù)學話題,能夠在數(shù)學活動中發(fā)揮積極作用。
3.通過探究,增進學生之間的配合,培養(yǎng)學生敢于面對困難和克服困難的勇氣,樹立學好數(shù)學的自信心。
【重點難點】:
重點:由實際問題中的不等關系列出不等式。
難點:列一元一次不等式描述實際問題中的不等關系
【教學過程】:
回顧舊知、引入新課
師:之前我們學習過利用一元一次方程解決生活中的銷售問題,現(xiàn)在李老師就來考考大家,請看第一題:
出示幻燈片1
1.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利10元,設進價為x元,則可列等式。
(學生解決并給出合理解釋)
師:那我們一起來回顧一下利用一元一次方程解決實際問題的基本步驟是什么?
學生回答后,教師總結:
利用一元一次方程解決實際問題的一般步驟:
審、設、列、解、答
師:好!請看第二題:
2.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利不低于10元,設進價為x元,則。
師:相較于第一題,題目發(fā)生了什么變化?
學生抓住關鍵詞“不低于”,列出不等式。
師:找到不等關系,列一元一次不等式也是解決實際問題的常用方法。今天,我們就來學習實際問題與一元一次不等式。
出示幻燈片
2小組討論、探究新知
師:馬上就要過春節(jié)了,想要給自己準備什么禮物?
師:老師也想給可愛的兒子買禮物,通過考察,已經知道有兩家超市正在舉行優(yōu)惠活動,咱們一起去逛一逛,好不好?
出示幻燈片3
甲超市說:凡在本超市累計購買100元商品后,再購買的商品按原價的90%收費。
乙超市:凡在本超市累計購買50元商品后,再購買的商品按原價的95%收費
師:李老師覺得甲超市優(yōu)惠,因為打9折?你的意見呢?
(學生發(fā)表自己的意見)
師:剛才幾位同學表達了自己的觀點,可是這僅僅是我們的猜想,解決問題不能只靠猜想,運用數(shù)學知識該如何解決這個問題呢?
出示幻燈片
4下面老師就把時間交給大家,4人一小組展開討論,到底該選擇哪家超市購買才能獲得更大優(yōu)惠?
(學生討論的過程中,教師主要巡視并和學生共同探究。)
經過探討,小組形成初步想法,小組派代表分享討論結果,逐一解決列表達式、分類、建模列不等式、解不等式等題目中難點,教師以板書形式將結果呈現(xiàn)在黑板上,并引導學生補充,完善解題過程,并利用多媒體進行展示。
學以致用 挑戰(zhàn)自我?guī)煟和瑢W們理解得非常到位!那么再碰到類似的問題你能解決了嗎?
出示幻燈片
5我校計劃在暑假期間組織學生到某地旅游,參加旅游的人數(shù)估計為10~25人,甲、乙兩家旅行社的服務質量相同,且報價都是每人200元.經過協(xié)商:甲旅行社表示可給予每位學生七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一位學生的旅游費用,其余學生八折優(yōu)惠.我校選擇哪一家旅行社支付的旅游費用較少?
學生獨立思考后進行小組討論,選代表上黑板展示。
梳理過程 總結提高
教師引導學生回顧兩道題的解題過程,談談獲得的感悟,學生獨立思考片刻后進行小組交流討論。
出示幻燈片6
回顧這個問題的解題過程,你有哪些感悟呢?
例如:我感受最深的是??
我感到最困難的是??
我發(fā)現(xiàn)生活中??
我學會了??
布置作業(yè) 測評反饋
出示幻燈片7
作業(yè):
一、在市場上收集兩種手機收費方式,幫爸爸(媽媽)選擇一種合適的消費方式.二、習題(134頁)1.(1)(2)5.
不等式課件 篇8
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應用到生活的各個領域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據題意列出相應的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內容是向學生設疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應滿足什么條件?
設車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結,師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
不等式課件 篇9
不等式的性質(2)教學目標
1.知識與技能:理解不等式的性質,會解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出解集。
2.過程與方法:通過經歷不等式性質的簡單應用,積累數(shù)學活動。通過獨立解題,進一步理解不等式的性質,體會不等式性質的價值。
3.情感態(tài)度和價值觀:認識到通過觀察、實驗、類比可以獲得數(shù)學結論,體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。在獨立思考的基礎上,積極參與對數(shù)學問題的討論,敢于發(fā)表自己的觀點,學會分享別人的想法和結果,并重新審視自己的想法,能從交流中獲益。重點難點
1.重點:不等式的性質及其解法. 2.難點:不等式性質的探索及運用.方法策略
啟發(fā)式教學法——以設問和疑問層層引導,激發(fā)學生,啟發(fā)學生積極思考,培養(yǎng)和發(fā)展學生的抽象思維能力。
探究教學法——引導學生去疑;鼓勵學生去探; 激勵學生去思,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和批判精神。教學過程:
一、梳理舊知,引出新課
問題1: 在前面的學習中,你學到了不等式的哪些性質?(用文字語言敘述)(鼓勵學生回答問題,用電子白版顯示三條性質的符號語言)問題2: 解一元一次方程最終的目的是把方程轉化成哪種形式?其主要的理論依據是什么?
(為問題3做鋪墊)
二、合作交流,探究新知
問題3: 利用不等式的性質解下列不等式:
(1)x?7?26(2)3x?2x?1 2(3)x?50(4)?4x?3 3(類比著解一元一次方程的方法教師先解(1),并用數(shù)軸表示其解集,然后讓學生試解(2)(3)(4)并和同學交流,最后教師點評。)
思考1:(3)(4)的求解過程,類似于解方程的哪一步變形? 思考2:依據不等式性質3解不等式時應注意什么? 隨堂練習:1.完成課本P119練習1 問題4: 2011年北京的最低氣溫是19℃,最高氣溫是28℃,你能把北京的氣溫用不等式表示出來嗎?
(符號“≥”讀作“大于或等于”,也可以說是“不小于”;符號“≤”讀作“小于或等于”,也可以說是“不大于”.形如a≥b或a≤b的式子也是不等式,它們具有類似前面所說的不等式的性質).隨堂練習:完成課本119頁練習2.問題5: 某長方體形狀的容器長5 cm,寬3 cm,高10 cm.容器內原有水的高度為3cm,現(xiàn)準備向它繼續(xù)注水.用V(單位:cm3)表示新注入水的體積,寫出V的取值范圍.(學生先合作探究,然后讓學生交流探究結果,最后老師講評并強調在解決實際問題的時候,要考慮取值的現(xiàn)實意義。)
三、歸納完善,豐富新知
1:如何利用不等式的性質解簡單不等式? 2:依據不等式性質3解不等式時應注意什么? 3:請說明符號“≥”和“≤”的含義?
四、布置作業(yè)
必做題:P120第5,7,8題.選做題:P120第9題
一元一次不等式課件
每位老師不可或缺的課件是教案課件,因此教案課件可能就需要每天都去寫。教案是課程開展的向導。今天小編為大家?guī)砹艘黄P于“一元一次不等式課件”的相關文章,如果你希望長期關注我的分享請不要忘記將它收藏起來!
一元一次不等式課件 篇1
【知識與技能】
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
【過程與方法】
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結出求不等式組解集的法則。
【情感態(tài)度】
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結合”的方法今后經常用到,鍛煉同學們數(shù)形結合的能力,提高學習興趣。
【教學重點】
一元一次不等式組的解法。
【教學難點】
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1 現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設c的長為xcm,則x<____,①x>____,②
合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2 由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的解法。
【教學說明】全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
【歸納結論】
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
一元一次不等式課件 篇2
一元一次不等式教案
教學目標
1、能夠根據實際問題中的數(shù)量關系,列一元一次不等式(組)解決實際問題.
2、通過例題教學,學生能夠學會從數(shù)學的角度認識問題,理解問題,提出問題,?? 學會從實際問題中抽象出數(shù)學模型.
3、能夠認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系,培養(yǎng)學生應用所學數(shù)學知識解決實際問題的意識.
教學重點? 能夠根據實際問題中的數(shù)量關系,列出一元一次不等式(組)解決 實際問題
教學難點? 審題,根據實際問題列出不等式.
例題? 甲、乙兩商場以同樣的。價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案:在甲商場累計購物超過100元后,超出100元的部分按90%收費;在乙商場累計購物超過50元后,超出50元的部分按95%收費。顧客到哪家商場購物花費少??
解:設累計購物x元,根據題意得
(1)當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
(2)當50< x≤100時,到乙商場購物 m. 花費少;
(3)當x > 100時,到甲商場的花費為100+0.9(x-100) , 到乙商場的花費為50+0.95(x-50)則
50+0.95(x-50) > 100+0.9(x-100),解之得x >150
50+0.95(x-50) < 100+0.9(x-100),解之得x < 150
50+0.95(x-50) = 100+0.9(x-100),?? 解之得x = 150
答:當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
當50< x≤100時,到乙商場購物花費少;當x>150時,到甲商場購物花費少;當100 < x <150時,到乙商場購物花費少;當x=150時,到甲、乙兩商場購物花費一樣。
變式練習? 學校為解決部分學生的午餐問題,聯(lián)系了兩家快餐公司,兩家公司的報價、質量和服務承諾都相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費。問:選擇哪家公司較好?
解:設購買午餐x份,每份報價為“1”,根據題意得
0.9x > 100+0.8(x-100),解之得x >200
0.9x < 100+0.8(x-100),解之得x < 200
0.9x = 100+0.8(x-100),解之得x = 200
答:當x>200時,選乙公司較好;當0 < x <200時,選甲公司較好;當x=200時,兩公司實際收費相同。
作業(yè)
1、某商店5月1號舉行促銷優(yōu)惠活動,當天到該商店購買商品有兩種方案,方案一:用168元購買會員卡成為會員后,憑會員卡購買商店內任何商品,一律按商品價格的8折優(yōu)惠;方案二:若不購買會員卡,則購買商店內任何商品,一律按商品價格的9.5折優(yōu)惠。已知小敏5月1日前不是該商店的會員。請幫小敏算一算,采用哪種方案更合算?
2、某單位計劃10月份組織員工到杭州旅游,人數(shù)估計在10~25之間。甲乙兩旅行社的服務質量相同,且組織到杭州旅游的價格都是每人200元。該單位聯(lián)系時,甲旅行社表示可以給予每位旅客七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一帶隊領導的旅游費用,其余游客八折優(yōu)惠。問該單位怎樣選擇,可使其支付的旅游總費用較少?
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一元一次不等式課件 篇3
尊敬的各位老師:
大家好,今天,我說課的內容是一元一次不等式。
對于本節(jié)課,我將從教什么、怎么教、為什么這么教來闡述本次說課。
新課標指出:數(shù)學課程要面向全體學生,適應學生個性發(fā)展的需要,使得人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上都能得到不同的發(fā)展。今天我將貫徹這一理念從教材分析、學情分析、教學過程等幾個方面展開我的說課。
教材是連接教師和學生的紐帶,在整個教學過程中起著至關重要的作用,所以,先談談我對教材的理解。
本節(jié)課主要講述的是一元一次不等式的概念及其解法。
在本節(jié)課之前學生已經掌握了一元一次方程的相關知識和不等式的性質,所以,本節(jié)課類比一元一次方程的解法,利用不等式的性質解一元一次不等式。另外,本節(jié)課為后續(xù)學習解一元一次不等式組奠定基礎。
不等式在日常生產生活中的應用很廣泛,它與數(shù)、式、方程、函數(shù)甚至幾何圖形有著密切的聯(lián)系,它幾乎滲透到初中數(shù)學的每一部分。所以,本節(jié)課在數(shù)學領域中起著非常重要的地位。
合理把握學情是上好一堂課的基礎,本次課所面對的學生群體具有以下特點。
本學段的學生逐漸掌握抽象概念和復雜的概念系統(tǒng),能作科學定義,抽象邏輯思維逐步占優(yōu)勢。
本階段的學生類比推理能力都有了一定的發(fā)展,并且在生活中已經遇到過很多關于一元一次方程的具體的事例,所以在生活上面有了很多的經驗基礎。為本節(jié)課的順利開展做好了充分準備。
根據以上對教材的.分析以及對學情的把握,我制定了如下三維目標:
通過對比解一元一次方程的步驟,學生自己總結歸納一元一次不等式步驟的過程,提高歸納能力,并學會類比的學習方法。
通過數(shù)學建模,提高對數(shù)學的學習興趣。
本著新課程標準,吃透教材,了解學生特點的基礎上我確定了以下重難點:
掌握一元一次不等式的概念,會解一元一次不等式并能夠在數(shù)軸上表示出來。
一元一次不等式課件 篇4
人教版七年級數(shù)學下冊《一次函數(shù)與一元一次不等式》教學反思
例1:請畫出函數(shù)y=-3x+12的圖像,你能利用圖像解決下列問題嗎?
(1)方程-3x+12=0的解(2)不等式-3x+12>0的解集.
(3)如果y的值在-6≤y≤6的范圍內,那么相應的x的值在什么范圍內?
問題一提出,就有學生不假思索,答案脫口而出,前兩問也太簡單了吧?我提醒學生注意題目要求,這時有學生開始畫函數(shù)圖像。讓學生自己動手,畫出一次函數(shù)y=-3x+12的圖像,目的是讓學生從畫圖的過程中感受從左至右,直線是呈“下降”趨勢的。即y隨x的增大而減小。對于前兩問,學生還比較好理解,但到第3問,有些學生就找不到答案了。這時就要引導學生從第2問,開始延伸,當解-3x+12>0,即函數(shù)值為正數(shù)時,對應的函數(shù)的圖像在x軸的上方,y>0時,坐標系中表示的`是一個平面區(qū)域,在這個區(qū)域中找出對應的自變量x的取值范圍即為不等式的解。讓學生對第3問,再次進行探究,由圖像找出函數(shù)值在-6--6之間的部分,對應地可以找出自變量x的取值范圍。要求學生能在函數(shù)圖像上找到這個區(qū)域,老師再用多媒體進行動態(tài)演示。進一步激發(fā)學生思考,你能用其他方法解決這個問題嗎?學生能聯(lián)想到第3問也可以利用解不等式組的方法求出x的取值范圍。通過本題的解決,讓學生初步感受不等式與方程、函數(shù)的內在聯(lián)系
一元一次不等式課件 篇5
一元一次不等式的應用教案
一元一次不等式的應用教案 孫云云 一、前置作業(yè) 請自學課本12、13頁,相信你會有很大的收獲!帶著的你的例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 二、教學過程 一)導入 在現(xiàn)實中的許多問題,可以借助于一元一次不等式來解決。本節(jié)課我們來研究用元一次不等式解決實際 問題。 二、檢查前置作業(yè),交流組內存在問題 怎樣借助一元一次不等式解決實際問題 三、班級匯報展示 帶著你的`例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 四、總結提升 你學會了什么? 五、布置作業(yè) 教學反思:開始課堂沉悶,學生有些緊張,后來在教師的調解下,氣氛活躍了。樊廣文出的題中缺少一個條件,馬悅出的三道題所提出的問題都有不正確,盡管學生在編的實際問題中出現(xiàn)了失誤,但學生真的動起來了,在思想的相互碰撞中,每個問題都得到了解決。但也有不足,如小組的時效性較小,雖然經歷了小組交流,但問題并未深入的解決,馬悅的三道題是代表小組的,但小組只停留在馬悅出題了,也沒有交流她出題的正確性。導致三道題都出現(xiàn)同一個問題。在今后的教學中教師更應該關注小組的時效性。
2023一元二次不等式課件
今天筆者為大家?guī)砹艘黄P于一元二次不等式課件的精彩文章,歡迎保存本網站,并時刻關注我們的最新動態(tài)。每位教師都應該在授課前準備充分的教案課件,只要在課前認真編寫好教案,便可以有效地促進學校的不斷發(fā)展。教案是推進教育教學創(chuàng)新的有力工具。
一元二次不等式課件 篇1
《一元二次不等式及其解法》
教 學 設 計 說 明
《一元二次不等式及其解法》教學設計說明
一.教學內容分析:
1.本節(jié)課內容在整個教材中的地位和作用.
必修五第三章不等式第二節(jié)一元二次不等式及其解法共有三個課時,本節(jié)課是第一課時,教學內容的地位體現(xiàn)在它的基礎性,作用體現(xiàn)在它的工具性.一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化,對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用.許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法.因此,一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學教學中具有很強的基礎性,體現(xiàn)出很大的工具作用. 2.教學目標定位.
根據教學大綱要求、高考考試大綱說明、新課程標準精神、高一學生已有的知識儲備狀況和學生心理認知特征,我確定了四個層面的教學目標.第一層面是面向全體學生的知識目標:熟練掌握一元二次不等式的解法,正確理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系.第二層面是能力目標,培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合與分類討論等數(shù)學思想方法解決問題的能力,提高運算和作圖能力.第三層面是德育目標,通過對解不等式過程中等與不等對立統(tǒng)一關系的認識,向學生逐步滲透辨證唯物主義思想.第四層面是情感目標,在教師的啟發(fā)引導下,學生自主探究,交流討論,培養(yǎng)學生的合作意識和創(chuàng)新精神. 3.教學重點、難點確定.
本節(jié)課是在復習了一元二次方程和二次函數(shù)之后,利用二次函數(shù)的圖象研究一元二次不等式的解法.只要學生能夠理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系,并利用其關系解不等式即可.因此,我確定本節(jié)課的教學重點為一元二次不等式的解法,關鍵是一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系. 二.教法學法分析:
數(shù)學是發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生良好意志品質和美好情感的重要學科,在教學中,我們不僅要使學生獲得知識、提高解題能力,還要讓學生在教師的啟發(fā)引導下學會學習、樂于學習,感受數(shù)學學科的人文思想,使學生在學習中培養(yǎng)堅強的意志品質、形成良好的道德情感.為了更好地體現(xiàn)課堂教學中“教師為主導,學生為主體”的教學關系和“以人為本,以學定教”的教學理念,在本節(jié)課的教學過程中,將緊緊圍繞教師組織——啟發(fā)引導,學生探究——交流發(fā)現(xiàn),組織開展教學活動.我設計了①回憶舊知,服務新知,②創(chuàng)設情境,提出問題,③合作交流,探究新知,④數(shù)學運用,深化認知,⑤練習檢測,反饋新知,⑥談談收獲,強化思想,⑦布置作業(yè),實踐新知,環(huán)環(huán)相扣、層層深入的教學環(huán)節(jié),在教學中注意關注整個過程和全體學生,充分調動學生積極參與教學過程的每個環(huán)節(jié). 三.教學過程分析:
(一)聯(lián)系舊知,構建新知
設置一系列的問題喚起學生對舊知識的回憶. 問題1:一元二次方程的解法有哪些呢?
(意圖:讓學生回顧一元二次方程的解法,為解一元二次不等式做準備.)
問題2:同學們還記得二次函數(shù)嗎?二次函數(shù)的形式是怎樣的?你記得二次函數(shù)的性質嗎?
(意圖:引導學生從圖象的角度出發(fā),并啟發(fā)學生二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,其開口方向由二次項系數(shù)決定,為突出重點做準備)
(二)創(chuàng)設情景,提出問題
1、讓學生動手畫直角坐標系,然后沿x軸方向上下對折這張紙,觀察它們的值有什么特點?
22、請在剛才的坐標系中畫出y=x-7x+6的圖像 問題1:
(1)x軸上方有無圖像?若有請用紅線描出。這部分圖像對應的y值如何?(2)x軸下方有無圖像?若有請用藍線描出。這部分圖像對應的y值如何?(3)紅線與藍線有無交點?若有請用綠色標出。
(4)你能找出上述各種情況的x的取值范圍嗎?請在圖中寫出。
問題2:你能說一說這兩個不等式有何共同特點么?(1)含有一個未知數(shù)x;
(2)未知數(shù)的最高次數(shù)為2。通過兩問題得出一元二次不等式的概念:一般地,只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式,叫做一元二次不等式。
問題3:判斷下列式子是不是一元二次不等式?
問題4:一元二次函數(shù)、一元二次方程之間有何聯(lián)系呢?
一元二次方程的解即一元二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標,也就是說方程的解即對應函數(shù)的零點。
問題5:一元二次不等式如何求解呢?
(三)合作交流,探究新知
1. 探究一元二次不等式x2?x?2?0的解.
容易知道:一元二次方程x2?x?2?0的有兩個實數(shù)根:x1??1或x2?2. 二次函數(shù)y?x2?x?2與x軸有兩個交點:??1,0?和?2,0?. 思考1:觀察圖象一元二次方程的根與二次函數(shù)之間有什么關系? 思考2:觀察圖象,當x為何值時,y?0;
當x為何值時,y?0; 當x為何值時,y?0.
(設計意圖 : ①體現(xiàn)學生的主體性;②有利于加強對圖象的認識,從而加強數(shù)形結合的數(shù)學思想 ;③有利于加強學生理解一元二次不等式的解相關的三個因素;④為歸納解一元二次不等式做好準備.根據前面探討的問題引導學生歸納一元二次不等式的解.)
2. 探究一元二次不等式ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0?a?0?的解法. 組織討論:從上面的例子出發(fā),綜合學生的意見,可以歸納出確定一元二次不等式的解集,關鍵要考慮:
2拋物線y?ax?bx?c與x軸的相關位置的情況,也就是一元二次方程2ax2?bx?c=0的根的情況,而一元二次方程根的情況是由判別式??b?4ac三 3 種取值情況(??0,??0,??0)來確定.
(設計意圖:這里我將運用多媒體圖標的形式來展現(xiàn)出其解法思路,學生有一個完整的邏輯思維,讓學生在探究中建立知識間的聯(lián)系,體會數(shù)形結合,強調突出本節(jié)的難點.)
(四)數(shù)學運用,深化認知.
2例1.求不等式2x?3x?2?0的解集. 2變式為:求不等式2x?3x?2?0的解集.
2例2.解不等式?x?2x?3?0.
(設計意圖:先讓學生來解答例題,若教師巡視、指導,講評學生完成情況,尋找學生中的閃光點,給予熱情表揚.)總結:
解一元二次不等式的步驟:
一化:化二次項前的系數(shù)為正(a>0).二判:判斷對應方程的根.三求:求對應方程的根.四畫:畫出對應函數(shù)的圖象.五解集:根據圖象寫出不等式的解集.(五)練習檢測,鞏固收獲
(設計意圖:為了鞏固和加深一元二次不等式的解法,讓學生學以致用,接下來及時組織學生進行課堂練習.然后就學生在解題中出現(xiàn)的問題共同糾正.)
(六)歸納小結,強化思想
設計意圖:梳理本節(jié)課的知識點,總結一元二次不等式解法的步驟:“一化,二判,三求根,四畫圖,五寫解集”的口訣來幫助學生記憶和歸納,讓學生掌握嚴謹?shù)淖鲱}方法,知曉本節(jié)課的重難點.
(七)布置作業(yè),拓展延伸
必做題:課本第80頁習題A組 1,2.選做題:(1)若關于m的一元二次方程x
2?(m?1)x?m?0有兩個不相 等的實數(shù)根,求m的取值范圍.2(2)已知不等式x?ax?b?0的解集為x2?x?3?,求a,b的
?值.(設計意圖:以作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性為出發(fā)點,我設計了必做題和選做題,必做題是對本節(jié)課內容的反饋,選做題是對本節(jié)課知識的延伸,整體的設計意圖是反饋教學,鞏固提高.)四.教學總結
本節(jié)課的所有內容以習題的形式展現(xiàn)給學生,學生始終在解題中探究,在解題中發(fā)現(xiàn),學生參與教學的全過程,成為課堂教學的主體和學習的主人,而老師只須時刻關注學生的活動過程,不時給予引導,及時糾正.
一元二次不等式課件 篇2
高中數(shù)學《一元二次不等式的解法(2)》教案
一、教學目標
【知識與技能】
掌握求解一元二次不等式的簡單方法,能正確求解一元二次不等式的解集。
【過程與方法】
在探究一元二次不等式的解法的過程中,提升邏輯推理能力。
【情感、態(tài)度與價值觀】
感受數(shù)學知識的前后聯(lián)系,提升學習數(shù)學的熱情。
二、教學重難點
【重點】一元二次不等式的解法。
【難點】一元二次不等式的解法的探究過程。
三、教學過程
(一)導入新課
回顧一元二次不等式的一般形式,組織學生舉例一些簡單的一元二次不等式。
提問:如何求解?引出課題。
(二)講解新知
結合課前回顧的一元二次不等式的一般形式,對比之前所學內容,引導學生發(fā)現(xiàn)其與一元二次方程和二次函數(shù)的共同特點。
一元二次不等式課件 篇3
新課程理念下的教學更多的關注學生自主探究、關注學生的個性發(fā)展,鼓勵學生勇于提出問題,培養(yǎng)學生思維的批評性。在課堂上學生往往會提出讓老師感到“意外”的問題,我在平時的教學中重視對“課堂意外預案”的探索和思考,備課時盡量設想課堂中可能會出現(xiàn)的各種情況,做到有備無患,以免在課堂中學生提出讓自己出乎意料的問題,使自己陷入被動尷尬境地。結合以往經驗,在本節(jié)課,我提出兩個“意外預案”。
1、學生在做課本練習1(x+2)(x-3)>0時,可能會問到轉化為不等式組{或{求解對不對。學生提出的問題,想法非常好,應給予肯定和鼓勵,這與下節(jié)簡單分式不等式和高次不等式的解法有關,是解不等式的另一種解法——等價轉化法,不在本節(jié)課之列。
2、根據以往的經驗,在解(x-1)(x+2)>1一類的不等式的時候,由于受方程(x+1)(x+2)=0可轉化為x-1=0或x+2=0求解的影響,有可能會出現(xiàn)將不等式轉化為不等式組{來求解的錯誤做法,教師要關注學生,及時發(fā)現(xiàn)問題并給予糾正,指出上面的轉化不是等價轉化。
以上是我對本節(jié)課的一些粗淺的認識和構想,如有不妥之處,懇請各位專家、各位同仁批評指正。謝謝大家!
一元二次不等式課件 篇4
一、教材分析
1、地位和作用。本課是五年制高等師范教材南京大學出版社《數(shù)學》教材第一冊第二章第二節(jié)的教學內容,從知識結構看:它是一元一次不等式的延續(xù)和拓展,又是以后研究函數(shù)的定義域、值域等問題的重要工具,起到承前啟后的作用;
從思想層次上看:它涉及到數(shù)形結合、分類轉化等數(shù)學思想方法,在整個教材中有很強的基礎性。
2、教材內容剖析。本節(jié)課的主要內容是通過二次函數(shù)的圖像探究一元二次不等式的解法。教材中首先復習引入了“三個一次”的關系,然后依舊帶新,揭示“三個二次”的關系,其次通過變式例題討論了△=0和△
3、重難點剖析。重點:一元二次不等式的解法。難點:一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)的關系。難點突破:
(1)教師引導,學生自主探究,分組討論。
(2)借助多媒體直觀展示,數(shù)形結合。
(3)采用由簡單到復雜,由特殊到一般的教學策略。
二、目的分析
知識目標:掌握一元二次不等式的解法,理解“三個二次”之間的關系
能力目標:培養(yǎng)學生“從形到數(shù)”的轉化能力,由具體到抽象再到具體,從特殊到一般的歸納概括能力。
情感目標:在自主探究與討論交流過程中,培養(yǎng)學生的合作意識。
三、教法分析
教法:“問題串”解決教學法
以“一串問題”為出發(fā)點,指導學生“動腦、動手、動眼、動口”,參與知識的形成過程,注重學生的內在發(fā)展。
學法:合作學習(1)以問題為依托,分組探究,合作交流學習。(2)以現(xiàn)有認知結構為依托,指導學生用類比方法建構新知,用化歸思想解決問題。
四、過程分析
本節(jié)課的教學,設計了四個教學環(huán)節(jié):
創(chuàng)設情景、提出問題
問題1:用一根長為10m的繩子能圍成一個面積大于6m2的矩形嗎?“數(shù)學來源于生活,應用于生活”,首先,以生活中的一個實際問題為背景切入,通過建立簡單的數(shù)學模型,抽象出一個一元二次不等式,引入課題。
設計意圖:激發(fā)學生學習興趣,體現(xiàn)數(shù)學的科學價值和使用價值。
自主探究,發(fā)現(xiàn)規(guī)律
問題2:解下列方程和不等式。①2x—4=0②2x—4>0③2x—4
歸納、類比法是我們發(fā)現(xiàn)問題、尋求規(guī)律,揭示問題本質最常用的方法之一。尋求一元二次不等式的解法,首先從一元一次不等式的解法著手。展示問題2。學生:用等式和不等式的基本性質解題。教師:還有其他的解決方法嗎?展示問題3。
問題3:畫出一次函數(shù)y=2x—4的圖像,觀察圖像,縱坐標y=0、y>0、y
學生:發(fā)現(xiàn)可以借用圖像解題。此問題揭示了“三個一次”的關系。
設計意圖:為后面學習二次不等式的解法提供鋪墊。
問題4:用圖像法能不能解決一元二次不等式的解呢?已知二次函數(shù)y=x2—2x—8。
(1)求出此函數(shù)與x軸的交點坐標。
(2)畫出這個二次函數(shù)的草圖。
(3)在拋物線上找到縱坐標y>0的點。
(4)縱坐標y>0(即:x2—2x—8>0)的點所對應的橫坐標x取哪些數(shù)呢?
(5)二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的關系是什幺?
教師:展示問題4。此環(huán)節(jié),要注意下面幾個問題:
(1)啟發(fā)引導學生運用歸納、類比的方法,組織學生分組討論,自主探究。(2)及時解決學生的疑點,實現(xiàn)師生合作。(3)先讓學生自己思考,最后教師和學生一起歸納步驟。(求根—畫圖—找解),抓住問題本質,畫圖可省去y軸。教師抓住時機,展示例題1,鞏固方法(△>0的情況),規(guī)范步驟,板書做題步驟,起到示范的作用。設計意圖:運用“解決問題”的教學方法,使每位學生參與知識的形成過程,體現(xiàn)了教師主導學生主體的地位。
變式提問,啟發(fā)誘導
方程:ax2+bx+c=0的解情況函數(shù):y=ax2+bx+c的圖象
不等式的解集
ax2+bx+c>0ax2+bx+c
⊿>0
⊿=0
⊿
教師:展示例題2(1)—x2+x+6≥0(2)x2—4x+40。
學生:嘗試通過畫圖求解。
此環(huán)節(jié)要注意:引導學生把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題解決;對于△=0,△
設計意圖:通過探索、嘗試的過程,培養(yǎng)了學生大膽猜想,勇于探索的精神。
自我嘗試,反饋小結。
教師:展示練習題,把學生分成兩個小組,要求當堂完成,看哪個組做的好做的快。教師對出現(xiàn)的問題及時反饋。同時,進一步啟發(fā)引導學生將特殊、具體問題的結論推廣到一般化。展示表格。
學生:填寫內容。
學生理解了“三個二次”的關系,得到一般結論應該是水到渠成。最后,教師做本節(jié)課的小結,布置作業(yè)。設計意圖:激發(fā)了學生的求知欲,培養(yǎng)了學生的主動參與意識。
五、評價分析
1、重視學生學習的結果評價,更重視過程評價。
2、本節(jié)課貫徹了新課程的理念,教學形式開放,體現(xiàn)了“教師主導,學生主體”的教學關系。以上是我對本節(jié)課的粗淺認識,如有不妥之處,懇求各位專家、各位同仁批評指正。
一元二次不等式課件 篇5
一元二次不等式及其解法教學反思
塘沽中專-----戚衛(wèi)民
我在13級電子班教室上了一節(jié)課,由此我進行了深刻的反思:
我教的是一個普通中專的班,學生基礎比較差。因此,第一,課前組織很重要,給 學生 做思想 工 作,這 節(jié) 課很重要,是大家表現(xiàn) 自己 的好機會,同 學 們應該遵守紀律,積極發(fā)言,展示 自己 班良好的素質和班風。這樣學生激情會高一些,自然課堂也會活躍一些。第二,把握本節(jié)課的難點,課前做好鋪墊。一元二次不等式及其解法看上去好像很簡單,但是它需要同學們有很好的基礎,解一元二次方程的基礎。而學生在初中只是熟悉用求根公式解方程,對于十字相乘法分解因式只有極個別會,對于這種情形我在課前把一元二次方程的解法好好的補了一下。還有二次函數(shù)的圖象畫法,也好好的復習一下,加深鞏固,突破難點,使得這節(jié)課能順利進行下去。
盡管這樣我的課堂效果也不是很好,這是為什么呢?我陷入迷茫之中可能是我的學生不適應教學方式?可能是學生緊張?弄錯?后來想想可能我沒有好好地備學生。我覺得這節(jié)課的教案應該這樣設計,可能會更好:課前引入去掉,應該在復習時讓學生解一元二次方程,畫二次函數(shù)圖象,這樣學生容易進入狀態(tài)。然后直接導入新課,有特殊到 一般,由具體到抽象,逐步揭開解一元二次不等式的方法。給出例題應由淺入深,先給出形如這樣的:(x-2)(x-3)
讓他們好求方程的根,從而畫圖求不等式的解集,為后續(xù)例題做鋪墊。作為教師我應該很規(guī)范的板書。以給學生榜樣。然后給出形如這樣的不等式:x2+3x-4≥0 由上道題的啟示他們自然會去驗證Δ,用十字相乘法求一元二次方程x2+3x-4=0 的根,畫函數(shù)的圖像,從而求出解集。從這兩道題讓他們自己歸納一下解一元二次不等式的步驟,再出課本習題,這樣他們一定可以解出來,此種做法可以提高他們的解興趣,把課堂氣氛變得濃烈一些。接著給出-x2-3x+4>0提醒他們要把二項式系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)。用課本課后題做練習。再給出x2-3x+4>0這種Δ0Δ=0的情形。根據二次函數(shù)的圖像學生應該可以解決。
一節(jié)課究竟要解決什么問題,怎樣解決這是課堂的首要。貼近學生實際,層層深入,各個擊破,幫學生排憂解難,同時發(fā)揮他們的主觀能動性,讓學感受到自己是課堂的主人,這是教師課堂的主旨。還有一點非常重要,老師必須要有很強的親和力。其實親和力的前提是要有愛心,有愛才會親。一個孩子在班上是六十分之一,但在一個家庭是百分百,所以我覺得我們應該向愛我們自己的孩子一樣去愛他們,讓學生感受到我們的關懷,怎樣做到愛學生,我覺得自己以后可這樣努力 :記住每一個學生的名字,在路上和他們打招呼,下課和他們談談心,說笑說笑,不 要說一些傷學生人 格的話語,適當鼓勵他們,人心都是肉長的呀,他們會感覺得到的。成績差的學生其實是非常敏感的,也是很容易叛逆的,在任何時候老師都要想到自己是成年人,是長者,要站在一定的高度考慮我們的學生,設身處地為他們想象。這樣就不會有芥蒂,沖突,代溝。這節(jié)課我比較真實展現(xiàn)我的學生和我自己。無論從哪一方面,業(yè)務能力,管理能力,對學生的掌控能力,課堂的把握能力。我都有待學習提高。我會努力的!
一元二次不等式課件 篇6
《一元二次不等式解法》說課稿范文
一、 教材簡析
1、地位和價值
一元二次不等式解法是高中數(shù)學新教材第一冊(上)第一章第5節(jié)的內容。在此之前,學生在初中已學習了一元一次不等式,一元一次不等式組,一元二次方程,二次函數(shù),絕對值不等式(高中),這為過渡到本節(jié)的學習起著鋪墊作用。一元二次不等式解法是解不等式的基礎和核心,它在高中代數(shù)中起著廣泛應用的工具作用,蘊藏著“數(shù)與形結合”的重要思想方法,它已成為代數(shù)、三角、解析幾何交匯綜合的重要部分,是高考綜合題的熱點。
2、教材結構簡介
教材首先以一個一次函數(shù)圖象的應用解一元一次不等式,引出圖象法,然后給出一個二次函數(shù),通過具體畫圖象,提出問題。再一般地給出了二次函數(shù)圖象解二次不等式的結論。課本精選了四個解不等式的例題,并配有相應的練習和習題。它的后一小節(jié)為解可轉化為一元二次不等式的分式不等式。
二、 教育教學觀
1、 學生為主體,重學生參與學習活動。
2、 重過程。按照認知規(guī)律及學生認知特點,由淺入深,由表及里,設計一系列教學活動過程。體現(xiàn)由“實踐……觀察……歸納 ……猜想…… 結論…… 驗證應用”的循環(huán)往復的認知過程。
3、 重能力與態(tài)度的培養(yǎng),在活動中培養(yǎng)學生自主、交流合作、探究、發(fā)現(xiàn)的能力。重科學嚴謹?shù)膫€性品質。重參與學習的興趣和體驗。
4、 重指導點撥。在學生自主探究、實踐的基礎上,相機啟發(fā),恰當點撥,促進學生知識由感性向理性提升,由具體到概括抽象,形成師生間的有效互動。
三、 教學目標
基于上述認識,及不等式的基本知識,同時學生在初中已學過二次函數(shù),考慮到學生已有的認知結構心理特征,制訂如下教學目標:
1、 知識目標:一元二次方程,一元二次不等式及二次函數(shù)間的聯(lián)系,及利用二次函數(shù)的圖象求解一元二次不等式。
2、 能力目標:數(shù)形結合的思想(應用二次函數(shù)圖象解不等式)
3、 情感態(tài)度目標:通過問題解決,培養(yǎng)學生自主參與學習,以及嚴謹求實的.態(tài)度。
四、 教與學重點、難點
1、重點:用圖象解一元二次不等式。
2、難點:圍繞二次函數(shù)圖象、性質這一主線,解決三個“二次”的聯(lián)系和應用。
五、 教法與學法
1、學情分析及學法:函數(shù)與圖象應用是初中生數(shù)學的薄弱之處,同時剛進入高中的學生,對高中學習還很不適應,需要加強主動學習的指導。基于此,在學生初中知識經驗的基礎上,以舊探新;以一系列問題,促進主體的學習活動(如畫圖象、讀圖等),建構知識;以問題情景激勵學生參與,在恰當時機進行點撥啟發(fā),練、導結合,講練結合;通過學生自己做數(shù)學,教師啟發(fā)指導,以及學生領悟,實現(xiàn)學生對知識的再創(chuàng)造和主動建構;具體通過教材中的問題及設計的問題情景,給予學生活動的空間,通過這些問題(“腳手架”)的解決,使學生逐步攀升,達到知識與能力的目標。
2、教法:數(shù)學教學是數(shù)學教與學活動過程的教學,學生是在探究與發(fā)現(xiàn)中建構知識,發(fā)展能力的,因而確定以“問題解決”為教法。實現(xiàn)學生在教師指導下的發(fā)現(xiàn)探索。同時所學內容適宜用“計算機高中數(shù)學問題處理系統(tǒng)”輔助教學。
六、教學手段及工具:
多媒體教學手段,高中數(shù)學問題處理系統(tǒng)。
七、教學設計及教學過程
1、復習設問,引入新課
高中數(shù)學新教材第一冊(上)《一元二次不等式解法》(第一課時)說課稿.rar
一元二次不等式課件 篇7
解一元二次不等式化為標準型。判斷△的符號。若△<0,則不等式是在R上恒成立或恒不成立。
若△>0,則求出兩根,在數(shù)軸上標出,每個根上畫一條豎線,再從右到左相間標正負號,不等式大于0則取標正的范圍,小于0則取標負的范圍。
2.解簡單一元高次不等式
a.化為標準型。
b.將不等式分解成若干個因式的積。
c.求出各個根,在數(shù)軸上標出,每個根上畫一條豎線,再從右到左相間標正負號,不等式大于0則取標正的范圍,小于0則取標負的范圍。
3.解分式不等式的解
a.化為標準型。
b.可將分式化為整式,將整式分解成若干個因式的積。
c.求出各個根,在數(shù)軸上標出,每個根上畫一條豎線,再從右到左相間標正負號,不等式大于0則取標正的范圍,小于0則取標負的范圍。(如果不等式是非嚴格不等式,則要注意分式分母不等于0。)
4.解含參數(shù)的一元二次不等式
a.對二次項系數(shù)a的討論。
若二次項系數(shù)a中含有參數(shù),則須對a的符號進行分類討論。分為a>0,a=0,a<0。
b.對判別式△的討論
若判別式△中含有參數(shù),則須對△的符號進行分類討論。分為△>0,△=0,△<0。
c.對根大小的討論
若不等式對應的方程的根x1、x2中含有參數(shù),則須對x1、x2的大小進行分類討論。分為x1>x2,x1=x2,x1<x2。
5.一元二次方程的根的分布問題
a.將方程化為標準型。(a的符號)
b.畫圖觀察,若有區(qū)間端點對應的函數(shù)值小于0,則只須討論區(qū)間端點的函數(shù)值。
若沒有區(qū)間端點對應的函數(shù)值小于0,則須討論區(qū)間端點的函數(shù)值、△、軸。
6.一元二次不等式的應用
⑴在R上恒成立問題(恒不成立問題相反,在某區(qū)間恒成立可轉化為實根分布問題)
a.對二次項系數(shù)a的符號進行討論,分為a=0與a≠0。
b.a=0時,把a=0帶入,檢驗不等式是否成立,判斷a=0是否屬于不等式解集。
a≠0時,則轉化為二次函數(shù)圖像全在x軸上方或下方。
若f(x)>0,則要求a>0,△<0。
若f(x)<0,則要求a<0,△<0。
⑵特殊題型:已知一不等式的解集(含有字母),求另一不等式的解集(與原不等式系數(shù)大小相同,位置不同)。a.寫出原不等式對應的方程,由韋達定理得出解集字母與方程系數(shù)間的關系。
b.寫出變換后不等式對應的方程,由由韋達定理得出解集字母與方程系數(shù)間的關系。
c.將a中得到的關系變化后帶入b的關系中,得到變換后方程的兩根。
d.判斷兩根的大小,變換后不等式二次項的系數(shù),從而寫出所求解集。
一元二次不等式課件 篇8
一、教材分析
(一)教材的地位和作用
“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知識上的延伸和發(fā)展,又是本章集合知識的運用與鞏固,也為下一章函數(shù)的定義域和值域教學作鋪墊,起著鏈條的作用。同時,這部分內容較好地反映了方程、不等式、函數(shù)知識的內在聯(lián)系和相互轉化,蘊含著歸納、轉化、數(shù)形結合等豐富的數(shù)學思想方法,能較好地培養(yǎng)學生的觀察能力、概括能力、探究能力及創(chuàng)新意識。
(二)教學內容
本節(jié)內容分2課時學習。本課時通過二次函數(shù)的圖象探索一元二次不等式的解集。通過復習“三個一次”的關系,即一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關系;以舊帶新尋找“三個二次”的關系,即二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關系;采用“畫、看、說、用”的思維模式,得出一元二次不等式的解集,品味數(shù)學中的和諧美,體驗成功的樂趣。
二、教學目標分析
根據教學大綱的要求、本節(jié)教材的特點和高一學生的認知規(guī)律,本節(jié)課的教學目標確定為:
知識目標——理解“三個二次”的關系;掌握看圖象找解集的方法,熟悉一元二次不等式的解法。
能力目標——通過看圖象找解集,培養(yǎng)學生“從形到數(shù)”的轉化能力,“從具體到抽象”、“從特殊到一般”的歸納概括能力。
情感目標——創(chuàng)設問題情景,激發(fā)學生觀察、分析、探求的學習激情、強化學生參與意識及主體作用。
三、重難點分析
一元二次不等式是高中數(shù)學中最基本的不等式之一,是解決許多數(shù)學問題的重要工具。本節(jié)課的重點確定為:一元二次不等式的解法。
要把握這個重點。關鍵在于理解并掌握利用二次函數(shù)的圖象確定一元二次不等式解集的方法——圖象法,其本質就是要能利用數(shù)形結合的思想方法認識方程的解,不等式的解集與函數(shù)圖象上對應點的橫坐標的內在聯(lián)系。由于初中沒有專門研究過這類問題,高一學生比較陌生,要真正掌握有一定的難度。因此,本節(jié)課的難點確定為:“三個二次”的關系。要突破這個難點,讓學生歸納“三個一次”的關系作鋪墊。
四、教法與學法分析
(一)學法指導
教學矛盾的主要方面是學生的學。學是中心,會學是目的。因此在教學中要不斷指導學生學會學習。本節(jié)課主要是教給學生“動手畫、動眼看、動腦想、動口說、善提煉、勤鉆研”的研討式學習方法,這樣做增加了學生自主參與,合作交流的機會,教給了學生獲取知識的途徑、思考問題的方法,使學生真正成了教學的主體;只有這樣做,才能使學生“學”有新“思”,“思”有新“得”,“練”有新“獲”,學生也才會逐步感受到數(shù)學的美,會產生一種成功感,從而提高學生學習數(shù)學的興趣;也只有這樣做,課堂教學才富有時代特色,才能適應素質教育下培養(yǎng)“創(chuàng)新型”人才的需要。
(二)教法分析
本節(jié)課設計的指導思想是:現(xiàn)代認知心理學——建構主義學習理論。
建構主義學習理論認為:應把學習看成是學生主動的建構活動,學生應與一定的知識背景即情景相聯(lián)系,在實際情景下進行學習,可以使學生利用已有知識與經驗同化和索引出當前要學習的新知識,這樣獲取的知識,不但便于保持,而且易于遷移到陌生的問題情景中。
本節(jié)課采用“誘思引探教學法”。把問題作為出發(fā)點,指導學生“畫、看、說、用”。較好地探求一元二次不等式的解法。
五、課堂設計
本節(jié)課的教學設計充分體現(xiàn)以學生發(fā)展為本,培養(yǎng)學生的觀察、概括和探究能力,遵循學生的認知規(guī)律,體現(xiàn)理論聯(lián)系實際、循序漸進和因材施教的教學原則,通過問題情境的創(chuàng)設,激發(fā)興趣,使學生在問題解決的探索過程中,由學會走向會學,由被動答題走向主動探究。
(一)創(chuàng)設情景,引出“三個一次”的關系
本節(jié)課開始,先讓學生解一元二次方程x2—x—6=0,如果我把“=”改成“>”則變成一元二次不等式x2—x—6>0讓學生解,學生肯定感到很突然。但是“思維往往是從驚奇和疑問開始”,這樣直奔主題,目的在于構造懸念,激活學生的思維興趣。
為此,我設計了以下幾個問題:
1、請同學們解以下方程和不等式:
①2x—7=0;②2x—7>0;③2x—7
一元二次不等式課件 篇9
1.創(chuàng)設情景——引入新課。我們常說“興趣是最好的老師”,長期以來,學生對學習數(shù)學缺乏興趣,甚至失去信心,一個重要的原因,是老師在教學中不重視學生對學習的情感體驗,教學應該充分考慮學生的情感和需要,想方設法讓學生在學習中樹立信心,感受學習的樂趣。根據教材內容的安排,我以學生熟悉的畫一次函數(shù)圖象、求一次方程和一次不等式的解為背景知識切入,設置一個練習題組,一方面讓學生總結復習已有知識,為后面學習二次不等式的解法打下基礎,做好鋪墊,另一方面,使學生在自己熟悉的問題中首先獲得解題成功的快樂體驗,然后以20xx年江蘇省的一道高考試題為引子,引入本節(jié)課的新授內容。對于本題,引導學生,利用上面解練習題組1的方法,畫出二次函數(shù)圖象來解答。二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內容,本題又給出了函數(shù)圖象上許多點,相信學生畫出圖象應該不成問題,只要教師適當點撥,學生不難得到正確答案。以高考試題為背景引入新課,可以提高學生興趣,抓住學生眼球,吸引學生注意力,還可以讓學生實實在在感受到,高考題就在我們的課本中,就在我們平常的練習中。
2.探究交流——發(fā)現(xiàn)規(guī)律。從特殊到一般是我們發(fā)現(xiàn)問題、尋求規(guī)律、揭示問題本質最常用的方法之一。我把課本例題1、2編為練習題組(一),交由學生用上面解高考題的方法——圖象法去解,學生由于熟知二次函數(shù)圖象,求解應該不會有太大的問題。在這個過程中,教師要啟發(fā)引導學生注意對比兩題的異同,組織引導學生展開交流討論,探討第(2)題能不能先把二次項系數(shù)化正以后再構造函數(shù)畫圖求解。然后達成共識,如果二次項系數(shù)為負數(shù)時,先做等價轉化,把二次項系數(shù)化為正數(shù)再解,課本19頁例3、例4作為題組(二),繼續(xù)讓學生用上面的圖象法,由學生自己求解,這時我及時提示學生注意這兩題與題組(一)中兩題的不同(例1、例2對應方程都有兩個不等實根,例3對應方程有兩相等實根,例4對應方程無實根)。兩個題組的練習之后,可以尋求解二次不等式的一般規(guī)律。
3.啟發(fā)引導——形成結論。前面兩個題組的四個小題,基本涵蓋了一般一元二次不等式解的各種情況,進一步啟發(fā)引導學生將特殊、具體題目的結論做一般化總結,與學生一起就△>0,△<0,△=0的三種情況,總結二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解的情況應該水到渠成。至此,學生可以感受到,解二次不等式只須①將二次項系數(shù)化為正數(shù),②求解二次方程ax2+bx+c=0的.根。③根據①后的二次不等式的符號寫出解集即可,必要時也可以結合圖象寫解集。這樣我們就得到了二次不等式的另外一種解法(可稱為“三步曲”法)。
4.訓練小結——鞏固深化。為了鞏固和加深二次不等式的兩種解法,接下來及時組織學生進行課堂練習,完成課本21頁練習1—4題。本環(huán)節(jié)請不同層次的學生在黑板上書寫解題過程,之后師生共同糾正問題,規(guī)范解題過程的書寫。
5.延伸拓寬——提高能力。課堂教學既要面向全體學生,又應關注學生的個體差異。體現(xiàn)分類推進,分層教學的原則。為此,我又設計了一個提高練習題組,共有三道備選題目,以供程度較好學有余力的學生能夠更好的展示自己的解題能力,取得更進一步的提高。
一元二次不等式課件 篇10
展過程一元二次不等式教學設計
一、教學內容分析:
1、教材地位和作用
本節(jié)課是數(shù)學(基礎模塊)上冊第二章第三節(jié)《一元二次不等式》。從內容上看它是我們初中學過的一元一次不等式的延伸,同時它也與一元二次方程、二次函數(shù)之間聯(lián)系緊密,涉及的知識面較多。從思想層面看,本節(jié)課突出本現(xiàn)了數(shù)形結合思想。同時一元二次不等式是解決函數(shù)定義域、值域等問題的重要工具,因此本節(jié)課在整個中學數(shù)學中具有較重要的地位和作用。
2、教學目標
知識目標:正確理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)的關系。熟練掌握一元二次不等式的解法。
能力目標:培養(yǎng)數(shù)形結合思想、抽象思維能力和形象思維能力。
思想目標:在教學中滲透由具體到抽象,由特殊到一般,類比猜想、等價轉化的數(shù)學思想方法。
情感目標:通過具體情境,使學生體驗數(shù)學與實踐的緊密聯(lián)系,感受數(shù)學魅力,激發(fā)學生求知欲望。
3、重難點
重點:一元二次不等式的解法。
難點:一元二次方程,一元二次不等式與二次函數(shù)的關系。
二、學生情況分析:
我們的學生是在學習了一元一次不等式,一元一次方程、一元一次函數(shù),一元二次方程的基礎上學習一元二次不等式。但大都數(shù)學生的基礎都不是很好,解一元二次方程有一定的困難。
三、教學環(huán)境分析:教學環(huán)境應包括和諧的師生關系、多媒體的合理應用、良好的課堂組織、合理的問題情境。創(chuàng)設和諧的師生關系有利于提高學習效率,我們學校要建立和諧的師生關系是需要花很多心思的,特別是就業(yè)班的同學,且要有一個相當長的適應時間。我們學校的每位老師都有手提電腦,每間教室都有寬屏電子顯示器,老師都能熟練掌握多媒體設備的運用。運用多媒體教學效果好、學生容易理解、學習的積極性高。上課時比較注意創(chuàng)設合適的問題情境,效果會不錯,學生從生活實際出發(fā),回答所提的問題,不知不覺學習了新的知識,他們不會感覺到學習疲勞,反而能積極主動地學習。
四、教學目標分析:
知識與技能:正確理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)的關系。熟練掌握一元二次不等式的解法。
過程與方法:通過看圖象找解集,培養(yǎng)學生從從形到數(shù)的轉化能力,從具體到抽象、從特殊到一般的歸納概括能力;通過對問題的思考、探究、交流,培養(yǎng)學生良好的數(shù)學交流能力,增強其數(shù)形結合的思維意識。在教學中滲透由具體到抽象,由特殊到一般,類比猜想、等價轉化的數(shù)學思想方法。
情感態(tài)度與價值觀:通過具體情境,使學生體驗數(shù)學與實踐的緊密聯(lián)系,激發(fā)學生學習研究一元二次不等式的積極性和對數(shù)學的情感,使學生充分體驗獲取知識的成功感受;在探究、討論、交流過程中培養(yǎng)學生的合作意識和團隊精神,使其養(yǎng)成嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和良好的思維習慣。
一元二次不等式課件 篇11
《一元二次不等式及其解法(第1課時)》教學設計
Eric 一 內容分析
本節(jié)課內容的地位體現(xiàn)在它的基礎性,作用體現(xiàn)在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化,對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用,也與后面的函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、線形規(guī)劃、直線與圓錐曲線以及導數(shù)等內容密切相關。許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法。因此,一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學教學中具有很強的基礎性,體現(xiàn)出很大的工具作用。
二 學情分析
學生已經掌握了高中所學的基本初等函數(shù)的圖象及其性質, 能利用函數(shù)的圖象及其性質解決一些問題。學生知道不等關系, 掌握了不等式的性質, 通過這部分內容的學習, 學生將學會利用二次函數(shù)的圖象, 通過數(shù)形結合的思想, 掌握一元二次不等式的解法。
三 教學目標
1.知識與技能目標:(1)熟練應用二次函數(shù)圖象解一元二次不等式的方法(2)了解一元二次不等式與相應函數(shù), 方程的聯(lián)系 2.過程與方法:(1)通過學生已學過的一元一次不等式為例引入一元二次不等式的有關概及解法(2)讓學生觀察二次函數(shù),在此基礎上, 找到一元二次不等式的解法并掌握此解法(3)在學生尋找一元二次不等式的過中程中培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思想 3.情感與價值目標:(1)通過新舊知識的聯(lián)系獲取新知,使學生體會溫故而知新的道理
(2)通過對解不等式過程中等與不等對立統(tǒng)一關系的認識,向學生逐步滲透辨證唯物主義思想。
(3)在教師的啟發(fā)引導下,學生自主探究,交流討論,培養(yǎng)學生的合作意識和創(chuàng)新精神。
四 教學重點、難點 1.重點
一元二次不等式的解法 2.難點
理解元二次方程與一元二次不等式解集的關系
五 教學方法
啟發(fā)式教學法,討論法,講授法
六 教學過程
1.創(chuàng)設情景,提出問題(約10分鐘)
師:在初中,我們解過一元一次不等式,如解不等式x – 1 > 0,現(xiàn)在請同學們先畫出函數(shù)y = x – 1 的圖象,并通過觀察圖象回答以下問題: 1)x 為何值時,y = 0;2)x 為何值時,y > 0;3)x 為何值時,y 0的解集能從函數(shù)y = x – 1上看出來嗎?
學生畫圖,思考。先把問題交給學生自主探究,過一段時間,再小組交流,此間教師巡視并指導。提問學生代表。
通過對上述問題的探究,學生得出以下結論:
因為上述方程x – 1 = 0以及不等式x – 1 > 0的左邊恰好是上述函數(shù)y = x3x – 2 > 0;2)4x23x – 2 = 0的解是x1 =-1/2, x2 = 2.所以2x24x + 1 = 0 的解是x1 = x2 = 1/2, 所以不等式4x22x + 3
練習:課本80頁練習第1題(1)-(3)【靈活掌握】.師:今天我們這節(jié)課的內容有兩個: 1)會一元二次不等式的解法 2)理解三個“二次”的關系
作業(yè):課本第80頁 習題 A
4.板書設計
§ 一元二次不等式及其解法
解不等式x2 – x – 6 > 0, 請先畫出二次函數(shù) y = x2 – x – 6的圖像,并回答以下問題: 1)x 為何值時,y = 0;y > 0;y 0的解集呢?
七 教學反思
組1、2題 例,解不等式:
1)2x24x + 1 > 0;3)-x2 + 2x – 3
解:1)因為Δ =(-3)2 – 4×2×(-2)= 25 > 0, 方程的2x23x – 2 > 0的解集是{x| x1 2}.2)因為Δ = 0,方程4x24x + 1 > 0的解集是{x|x ≠ 1/2}.
一元二次不等式課件 篇12
各位評委、各位老師:
大家好!
我叫,來自。今天我說課的課題是《一元二次不等式的解法》(第一課時)。下面我將圍繞本節(jié)課“教什么?”、“怎樣教?”以及“為什么這樣教?”三個問題,從教材內容分析、教法學法分析、教學過程分析和課堂意外預案等幾個方面逐一加以分析和說明。
一、教材內容分析:
1、本節(jié)課內容在整個教材中的地位和作用。
概括地講,本節(jié)課內容的地位體現(xiàn)在它的基礎性,作用體現(xiàn)在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化,對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用,也與后面的函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、線形規(guī)劃、直線與圓錐曲線以及導數(shù)等內容密切相關。許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法。因此,一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學教學中具有很強的基礎性,體現(xiàn)出很大的工具作用。
2、教學目標定位。
根據教學大綱要求、高考考試大綱說明、新課程標準精神、高一學生已有的知識儲備狀況和學生心理認知特征,我確定了四個層面的教學目標。第一層面是面向全體學生的知識目標:熟練掌握一元二次不等式的兩種解法,正確理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系。第二層面是能力目標,培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合與等價轉化等數(shù)學思想方法解決問題的能力,提高運算和作圖能力。第三層面是德育目標,通過對解不等式過程中等與不等對立統(tǒng)一關系的認識,向學生逐步滲透辨證唯物主義思想。第四層面是情感目標,在教師的啟發(fā)引導下,學生自主探究,交流討論,培養(yǎng)學生的合作意識和創(chuàng)新精神。
3、教學重點、難點確定。
本節(jié)課是在復習了一次不等式的解法之后,利用二次函數(shù)的圖象研究一元二次不等式的解法。只要學生能夠理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系,并利用其關系解不等式即可。因此,我確定本節(jié)課的教學重點為一元二次不等式的解法,關鍵是一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系。
二、教法學法分析:
數(shù)學是發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生良好意志品質和美好情感的重要學科,在教學中,我們不僅要使學生獲得知識、提高解題能力,還要讓學生在教師的啟發(fā)引導下學會學習、樂于學習,感受數(shù)學學科的人文思想,使學生在學習中培養(yǎng)堅強的意志品質、形成良好的道德情感。為了更好地體現(xiàn)課堂教學中“教師為主導,學生為主體”的教學關系和“以人為本,以學定教”的教學理念,在本節(jié)課的教學過程中,我將緊緊圍繞教師組織——啟發(fā)引導,學生探究——交流發(fā)現(xiàn),組織開展教學活動。我設計了①創(chuàng)設情景——引入新課,②交流探究——發(fā)現(xiàn)規(guī)律,③啟發(fā)引導——形成結論,④練習小結——深化鞏固,⑤思維拓展——提高能力,五個環(huán)環(huán)相扣、層層深入的教學環(huán)節(jié),在教學中注意關注整個過程和全體學生,充分調動學生積極參與教學過程的每個環(huán)節(jié)。
例題三:
已知$a,b,c>0$,求證$\frac{(a+b)^2}{c}+\frac{(b+c)^2}{a}+\frac{(c+a)^2}\geq 12(a+b+c)$
解:由基本不等式得
$(a+b)^2\geq 4ab,(b+c)^2\geq 4bc,(c+a)^2\geq 4ac$
將以上三個式子代入原式變化得
$\frac{4ab}{c}+\frac{4bc}{a}+\frac{4ac}\geq 12(a+b+c)$
即(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 12abc(a+b+c)$
即$(ab^2+bc^2+ca^2)\geq 3abc$
由于$a,b,c>0$,故得證。
三、基本不等式的擴展
除了基本不等式外,還有一些基本不等式的擴展形式,例如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。這些擴展形式大大豐富了不等式的證明和應用,并為數(shù)學研究提供了更加廣泛的空間。下面,我們就來簡單介紹一下平均值不等式和柯西施瓦茲不等式的相關內容。
平均值不等式:對于$n$個非負實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$,有
$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$
其中等號成立當且僅當$x_1=x_2=\cdots=x_n$時成立。
柯西施瓦茲不等式:對于任意實數(shù)$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$,有
$(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)\geq(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2$
其中等號成立當且僅當$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\cdots=\frac{x_n}{y_n}$時成立。
四、總結
綜上所述,基本不等式是數(shù)學中重要的一個概念,它與不等式的證明和應用有著密切的關系?;静坏仁降慕夥ê退季S方法不僅能讓我們更好地掌握不等式的性質和應用,同時也能讓我們更好地解決數(shù)學中的其他問題。在學習和應用基本不等式時,我們還需掌握其相關的擴展形式,如平均值不等式和柯西施瓦茲不等式等。只有充分掌握了這些知識點,我們才能更加深入地理解并應用不等式的知識。
等式課件
幼兒教師教育網編輯為大家整理的“等式課件”或許能幫助您解決一些疑惑。教案課件是每個老師在開學前需要準備的東西,每個人都要計劃自己的教案課件了。?設計有創(chuàng)意的教學課件可以增加學生的學習趣味。我們提供的樣本僅供參考具體操作請根據實際情況做出調整!
等式課件 篇1
【教材分析】
在新課程改革中,教材是重要的教育教學因素。等式的基本性質是學生解方程的依據,它是系統(tǒng)學習方程的開始。這節(jié)課的內容在簡易方程中就起到了承上啟下的作用。原來的教材中對于等式的基本性質只是初步的認識,并沒有總結成概念性的東西,但學生實際運用時卻需要概念來作支撐,所以在教材中作了調整,讓學生通過觀察天平演示實驗,由具體實物之間的平衡關系抽象概括出等式的兩個基本性質就成了本節(jié)課的教學重點。本課“等式的基本性質”是在上一節(jié)剛剛認識了等式和方程的基礎上進行教學的。,其核心思想是構建等量關系的數(shù)學模型。課程標準要求學生能“理解等式的性質,會利用等式的性質解簡單的方程”。
【教學目標】
1.通過天平演示保持平衡的幾種變換情況,初步認識等式的基本性質。
2.利用觀察天平保持平衡所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,能直接判斷天平發(fā)生變化后能否保持平衡。
3.逐步養(yǎng)成觀察與概括。比較與分析的能力。
【教學重點】
掌握等式的基本性質。
【教學難點】
理解并掌握等式的性質,能根據具體情境列出相應的方程。
【數(shù)學思想】
轉化的思想,數(shù)形結合的思想,符號化的思想
【教學過程】
一。創(chuàng)設情境,引出問題
教師活動
學生活動及達成目標
師:同學們,你們做過天平游戲嗎?這節(jié)課我們要利用天平一起來探索等式的性質。(板書課題:等式的性質)
達成目標:由熟悉的天平引出課題激發(fā)學生的興趣。
二。共同探索,總結方法
教師活動
學生活動及達成目標
(一)等式的基本性質一
1.出示教材第64頁情境圖1第一個天平圖。
讓學生仔細觀察圖,并說一說:通過圖你知道了什么?
教師小結:1個茶壺的重量=2個茶杯的重量。
追問:如果設一個茶壺的重量是a克,1個茶杯的重量是b克,能用式子表示嗎?
(師板書)
引導學生思考:如果在天平的兩邊同時再各放上一個茶杯,天平會發(fā)生什么變化呢?為什么?
教師先進行實際操作天平驗證,再演示這一過程,并明確:兩邊仍然相等。
提問:如果兩邊各放上2個茶杯,還保持平衡嗎?
兩邊各放同樣的一把茶壺呢?
2.出示教材第64頁圖2的第一個天平圖。
(1)如果用a表示一個花盆的重量,用b表示一個花瓶的重量,怎樣用等式來表示這幅圖呢?
(2)如果把兩邊都拿掉1個花瓶,天平還平衡嗎?讓學生嘗試用等式怎樣表示?
從圖上你能知道什么?(出示教材第64頁圖2第二個天平圖)
3.通過這幾個實驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
4.你能用一句話來表示你的發(fā)現(xiàn)嗎?
(二)等式的基本性質二
1.猜猜:除了向前面這樣的變化,天平仍保持平衡外,還可以怎么做能使天平保持平衡?
這時教師一定要及時強調:這都是把等式的兩邊加上或減去同一個數(shù),并提示學生如果把等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數(shù)(O除外),會怎么樣呢?
2.出示教材第65頁圖1的第一個天平圖,讓學生觀察并說明。
引導學生用a表示墨水的重量,用b表示鉛筆盒的重量,用式子怎樣表示?
猜一猜:左邊墨水的數(shù)量擴大到原來的2倍,右邊鉛筆盒的數(shù)量也擴大到原來的2倍,天平還保持平衡嗎?
如果把天平的兩邊物品的數(shù)量分別擴大到原來的。3倍。4倍呢?
3.出示教材第65頁圖2的第一個天平圖,讓學生觀察并說明知道了什么。
質疑:如果把兩邊的球都平均分成2份,各去掉一份,天平還能平衡嗎?
教師演示。
4.通過剛才的試驗,你發(fā)現(xiàn)了什么?
5.你能用一句話總結一下等式的這個性質嗎?
6.為什么等式兩邊不能除以O?
1.自主回答,學生可能會回答:天平的左邊放了一把茶壺,右邊放了兩個茶杯,天平保持平衡;這說明一個茶壺的重量與2個茶杯的重量相等。
嘗試寫出:a=2b
先猜一猜,學生可能會猜測出天平仍然平衡,因為兩邊加上的重量一樣多。
觀察小結:實驗證明1個茶壺+1個茶杯的質量=3個茶杯的質量。
同時學生嘗試用字母表示這個式子:a+b=2b+b
學生回答后,教師演示,并讓學生分別用式子表示:a+2b=2b+2ba+a=2b+a
觀察現(xiàn)在的天平是什么樣的?(平衡)
生嘗試寫出:a+b=4b
先猜一猜,再回答,平衡:a+b-b=4b-b
得出1個花盆和3個花瓶同樣重。
3.學生思考后小結:平衡的天平兩邊加上同樣的物品,天平還保持平衡。平衡的天平兩邊減去同樣的物品,天平還保持平衡。
4.學生歸納等式的性質1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:通過演示在天平的兩邊同時放上或拿走同樣的物品,天平仍然平衡。給學生思考。感悟天平保持平衡的變化規(guī)律,提供了直觀的觀察材料。從而得出天平平衡的原理,即等式的一條基本性質:等式兩邊加上或減去相等的數(shù),等式不變。
1.如:學生猜測天平的兩邊同時放2個。3個杯子;同時減去一把茶壺等。
2.學生觀察并說明:
一瓶墨水的重量=一盒鉛筆盒的重量
寫出等式:a=b。
學生猜測平衡后,教師進行實際天平操作,驗證學生的猜測。
學生用等式表示:2a=2b。
天平仍然保持平衡
3.學生觀察得出:
2個排球的質量=6個皮球的質量
有了前面的經驗學生用a表示排球的重量,用6表示皮球的重量,寫出等式:2a=6b。
學生猜測:平衡,并能用等式a=3b表示。
4.學生會發(fā)現(xiàn):平衡的天平兩邊的物品擴大到原來的相同倍數(shù),天平仍然平衡。平衡的天平兩邊的物品都縮小到原來的幾分之一,天平仍然平衡。
5.學生歸納小結:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
達成目標:等式基本性質2的推導在性質1的基礎上,讓學生自己通過實驗探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
6.學生交流,匯報:O不能做除數(shù)。
三。運用方法,解決問題
教師活動
學生活動及達成目標
出示教材第66頁練習十四第4.5題。
學生試做集體訂正,注意學生列式計算時的取值是否正確。
四。反饋鞏固,分層練習
教師活動
學生活動及達成目標
基礎練習:利用等式的性質填空
1.如果2x-5=9,那么2x=9+()
2.如果5=10+x,那么5x-()=10
3.如果3x=7,那么6x=()
4.如果5x=15,那么x=()
拓展練習:見課件
讓學生回憶等式的性質,再自主完成填空。
達成目標:等式的基本性質一是簡易方程部分重要的概念,不僅要理解,而且還要會應用。
五。課堂總結,提升認識
教師活動
學生活動及達成目標
這節(jié)課你運用了哪些,你有什么收獲?你對自己這堂課的表現(xiàn)是怎么評價的?
學生總結本節(jié)課的收獲,在梳理總結過程中提高學生對性質的認識和理解。
等式課件 篇2
教學內容:教科書第3~4頁的內容,練習一的4~6題。
教學目標:
1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
2、根據等式的性質(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據圖獨立填空。
根據學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然
是等式。這是等式的性質。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據等式的性質把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調書寫的格式。
小結:求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
這時等式的性質。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
教后小記
等式課件 篇3
《不等式及其基本性質》習題
【教學內容】
課本上不等式的五個基本性質,并學會應用.【教學目標】
1、掌握不等式的五個基本性質并且能正確應用.
2、經歷探究不等式基本性質的過程,體會不等式與等式的異同點,發(fā)展學生分析問題和解決問題的能力.
3、開展研究性學習,使學生初步體會學習不等式基本性質的價值.
【重點難點】
重點:理解不等式的五個基本性質.難點:對不等式的基本性質3的認識.【教學方法】
本節(jié)課采用“類比-實驗-交流”的教學方法.【教學過程】
一、回顧交流.
1、等式的基本性質 解一元一次方程的基本步驟
2、問題牽引:
用“﹥”或“﹤”填空,并總結其中的規(guī)律:
(1)5>3,5+2
3+2,5-2 3-2 ;
(2)–1
-1+2 3+2,-1-3 3-3 ;
結果:
(1)>、>(2)
當不等式兩邊加或減去同一個數(shù)(正數(shù)或負數(shù))時,不等號的方向______
3、繼續(xù)探究,接著又出示(3)、(4)題: 5 2×5,6×(3)6>2,6×(-5)
2×(-5),6 3×6,(4)2
3×(-6).得到:
當不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)時,不等號的方向不變; 當不等式的兩邊同乘以一個負數(shù)時,不等號的方向改變.總結出不等式的性質: 不等式的性質1:不等式的兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變.c
> b±c 字母表示為:如果a>b,那么a±不等式的性質2:不等式的兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變.字母表示為:如果a>b,c>0那么ac
> bc,不等式的性質3:不等式的兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.字母表示為:如果a>b,c<0那么ac
不等式的對稱性:如果a>b,那么bb,b>c,那么a>c
二、范例學習,應用所學.
1、利用不等式的性質解下列不等式. (1)x-7>26
(2)3x
(4)-4x﹥3
22、逐題分析得出結果.(1)x-7>26 分析:解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為x﹥a或x﹤a的形式.
解:(1)為了使不等式x-7>26中不等號的一邊變?yōu)閤,根據不等式的性質1,不等式兩邊都加7,不等號的方向不變,得 x-7+7﹥26+7 x﹥33(2)3x
為了使不等式3x
23不等號的方向不變,得 x﹥75(4)-4x﹥3
為了使不等式-4x﹥3中的不等號的一邊變?yōu)閤,根據不等式的性質3,不等式兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x
3 4通過(3)(4)的求解過程,類似于解方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)(未知數(shù)系數(shù)化為1),解不等式時要注意未知數(shù)系數(shù)的正負,以決定是否改變不等號的方向.三、課堂探究.
已知a
四、課堂小結提問.不等式性質的作用.
等式課件 篇4
尊敬的各位老師,下午好!
我叫孫有璽,來自音河中學。很高興能把《不等式的性質(1)》一課的教學和大家一起探討。下面我將從學生狀況、教學任務、教學過程、設計說明等四個方面加以分析。
一、學生狀況分析:
七年級下期的學生活潑好動,有一定合作探究意識,在知識方面已經學習了有理數(shù)大小比較,等式及基本性質。這些都為自主探究不等式的性質打下了良好的基礎。
二、教學任務分析:
(一)教材地位與作用:
不等式是初中代數(shù)的重要內容之一,是已知量與未知量的矛盾統(tǒng)一體。數(shù)學關系中的相等與不等是事物運動和平衡的反映,學習研究數(shù)量的不等關系,可以更好地認識和掌握事物運動變化的規(guī)律。“不等式的性質”是學生學習整個不等式知識的理論基礎,為以后學習解不等式(組)起到奠基的作用。
(二)教學目標:
知識目標:
探索不等式的基本性質,并能準確運用不等式的三條性質將不等式變形。
能力目標:
讓學生學會類比的思想對等式性質及不等式性質進行了比較,培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納的能力。
情感目標:
通過“等”與“不等”的比較使學生進一步領會對立統(tǒng)一的思想,培養(yǎng)學生辨證唯物主義的觀點。
(三)教學重點、難點:
不等式的性質是本節(jié)不等式變形的基礎,也是今后解不等式(組)的依據,所以掌握不等式的基本性質,并能正確運用它們將不等式變形是本節(jié)課的重點。
不等式的兩邊同乘以(或除以)負數(shù),不等號方向改變和等式的性質不同,學生學習起來比較困難,因此,不等式性質3的理解與正確使用是本節(jié)課的難點。讓學生自己動口、動手、動腦,進行比較、討論,并加以強化練習達到突破的目的。
(四)教學方法與學法的指導:
本節(jié)課屬于性質類知識,重在探索,意在應用。因此,我采用啟發(fā)誘導、實例探究的方法進行教學,這種教學方法以“主動探索”為基礎,先“引導發(fā)現(xiàn)”后“講評點撥”,讓學生在克服困難與障礙的過程中發(fā)展自己的觀察力、想象力、思維力。引導學生學會類比、歸納的學習方法,幫助他們在自主探究過程中理解和掌握不等式的性質。
三、教學過程
(一)復習提問、引入新課
為了使學生自己能在教師的指導下,自主探究問題,發(fā)現(xiàn)問題,獲得結論。而不是把現(xiàn)成的結論告訴學生。對于不等式性質的發(fā)現(xiàn),我采用了下面的作法,我首先帶領學生復習等式的性質
等式性質1等式兩邊加(或減)同一個數(shù)或式子,結果仍相等。
等式性質2等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為零的數(shù),結果仍相等。
(二)合作交流、探究新知
在復習等式性質后,教師提出不等式是否也有類似的性質呢?先引導學生對不等式的兩邊都加、減同一個數(shù),會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過思考和計算后會說出不等式兩邊都加、減同一個數(shù),“仍是不等式”。此時,教師抓住學生敘述中的問題予以糾正,不能籠統(tǒng)的說“仍是不等式”,因為“=”沒有方向性,而不等號有方向性,所以要改為“不等號的方向不變”。接著,讓學生不等式作兩邊都乘以或除以同一個數(shù)的變形,會發(fā)現(xiàn)什么呢?學生通過計算和討論,甚至會發(fā)生爭執(zhí),教師要深入學生,通過共同探討,學生會發(fā)現(xiàn)不等式兩邊都乘以或除以正數(shù),不等號方向不變,兩邊都乘以或除以負數(shù),不等號方向改變。最后由學生歸納出不等式的`性質2和性質3。
我這樣安排的目的是為了讓學生通過動手、動口、動腦發(fā)揮合作精神,學會運用類比、歸納的數(shù)學思想去探究問題,同時學生也會品嘗到成功的喜悅,從而提高他們學習數(shù)學的興趣。
(三)靈活運用、鞏固練習
為使學生能夠準確運用性質將不等式變形,也為例題的教學做一些鋪墊,我先設置了兩組搶答題:
搶答:看誰答的快又準
1·設m>n,用“<”或“>”填空:
(1)m—5___n—5
(2)m+4___n+4
(3)6m___6n(4)
—5m___—5n
2·判斷:
(1)∵3+x>3+y,∴x>y()
(2)∵3>2,∴n+3>2+n()
(3)∵a<b,∴2a+1<2b+1()
(4)∵—2a<6,∴x>—3()
在學生練習過程中,老師特別強調:當不等式兩邊同乘以或除以負數(shù)時,“不等號的方向改變”。
接著,給出例題:
例1·利用不等式的性質解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集:
(1)x+7>10
(2)3x>2x+1
(3)—10x>50
(4)—4x
例2·根據下列已知條件,說出a與b的不等關系:
(1)a—3>b—3
(2)—a>—b
(3)—2a+1
例1由學生分組討論,寫出解題過程,老師展示幾個同學的解答并給予講解。對于例2我采用先引導學生分析解題思路,再讓學生口述解題過程,并說明根據不等式的哪一條性質,由師生共同完成。
為了解學生能否獨立運用性質將練習三,安排學生演板:
3·利用不等式的性質解不等式。
(1)—3x>12
(2)3x—4
請兩位學生演板,其余學生獨立完成,并對學生演板的結果作出評價,教師深入小組,發(fā)現(xiàn)問題及時糾正,通過學生的互相評價找出應用不等式基本性質進行變形中出現(xiàn)的錯誤,以防患于未然。
以上練習完成之后,學生已能準確運用不等式的性質,將不等式變形,為培養(yǎng)學生的解題能力,讓學生更深層地理解不等式的基本性質,在此基礎上我又作出了一些引申和推廣。
4·判斷正誤,并說明理由。
(1)∵5>4,∴5a>4a
(2)不等式2x>5x的兩邊同除以x,得2>5
(3)若ac2>bc2,則a>b
第4題設計說明,當不等式兩邊同乘或除以一個字母,而字母的取值不明確時,需對字母分情況討論。
〔四〕歸納小結、整體把握
為幫助學生從整體把握本節(jié)課所學的知識,培養(yǎng)良好的學習習慣,讓學生自己對本節(jié)課所學知識以及用到的解決問題的方法進行小結。方法是:由學生四人一組互談本節(jié)課的收獲,總結解題方法,并說明解題過程中應該注意的問題,然后請一位同學小結,其他學生補充,達到鞏固知識的目的。
教學設計說明
學生的學習內容應該是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的,而老師則應該創(chuàng)造一個有利于學生主動求知的學習環(huán)境。因此,本節(jié)課把培養(yǎng)學生的學習興趣和思維能力放在首位。教學中采用合作學習的方式,互相交流,集思廣益,突破創(chuàng)新,以達到共同提高的目的。然后,通過多樣化的練習鞏固知識,既調動學生的積極性,又使學習伙伴之間進行了思維的碰撞和溝通。使其在輕松的氛圍中多層次、多角度地掌握“不等式的性質”。
本節(jié)課的設計體現(xiàn)了一個原則:低起點、多練習、勤反饋、快矯正、重能力、以求最大限度提高課堂效率。
等式課件 篇5
均值不等式
教學目標
(一) 知識與技能:明確均值不等式及其使用條件,能用均值不等式解決簡單的最值問題.
(二) 過程與方法:通過對問題主動探究,實現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn),體驗知識與規(guī)律的形成過程.
(三) 情感態(tài)度與價值觀:通過問題的解決以及自身的探索研究領略獲取新知的喜悅.教學重點:均值不等式的推導與證明,均值不等式的應用.教學難點:均值不等式的應用 教學過程
創(chuàng)設情境如圖,AB是圓的直徑,D是CAB上與A、B不重合的一點,AD=a,DB=b,過點D作垂直于AB的弦CD,連AC,BC,AaODbB則CD=__,半徑OC=____E 討論 :(1)CD OC (2)文字敘述(幾何意義): (3)試用含a、b的表達式來表示上述關系 注意:(1)當 時, (2)a、b的取值范圍
探求新知:均值不等式的內容及證明
均值定理:
證明:(比較作差法)
變形應用:(1)
(2)
討論釋疑:
牛刀小試:已知x?0,則x?1x? 例
1、已知ab?0,求證:baa?b?2并推導出式中等號成立的條件
例
2、求函數(shù)f(x)?x2?2x?3x(x?0)的最值,以及此時x的值
精煉鞏固:
?t2 1.設t?0,則函數(shù)f(t)?4t?1的最小值為此時t的值
4 2.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則ab有最值為
點撥提高:
總結本節(jié)課的你的收獲。
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1 .已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
課堂小測:
1
.已知正數(shù)a,b滿足a?b?1,則1a?1b有最值為。 2 .設x?3,則函數(shù)f(x)?(x?3)?2x?3的最小值為此時x的值3.已知a、b?R?,求證:(a?11a)(b?b)?4
不等式基本性質教學設計
《等式的性質》教學設計
《等式的性質》教學設計
等式性質教學設計(共8篇)
基本不等式教學設計
等式課件 篇6
教學內容:教科書第3~4頁的內容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
2、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學重點與難點:根據等式的性質(一)學會解決含有加、減號的方程。
教學流程:
一、教學例3
出示圖,學生根據圖獨立填空。
根據學生的回答,板書:
20=20xx+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然
是等式。這是等式的性質。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據等式的性質把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調書寫的格式。
小結:求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第5題。
板書:
等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
這時等式的性質。
X+10=50
解:X+10-10=50-10
X=40
等式課件 篇7
1、具體情境,感受天平平衡
通過課件展示情境圖引導學生小結出等式并用字母表示。
2、猜想假設、小結規(guī)律
先讓學生猜想然后再通過課件在天平上演示過程。驗證學生的猜想,用字母表示。引導學生小結出:等式兩邊同時加上同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
3、觀察思考、總結發(fā)現(xiàn)
通過課件對教材第64頁圖2的演示過程讓學生獨立思考,再通過小組合作討論總結出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。等式的性質1:等式兩邊加上或減去同一個數(shù),左右兩邊仍然相等。
4、假設數(shù)據、驗證規(guī)律
得到結論后通過假設物體的具體的數(shù)據驗證學生自己總結出的規(guī)律。
5、口算練習、應用規(guī)律
通過一些簡單的等式問答應用等式兩邊同加或同減相同的數(shù)以加強規(guī)律的應用。
6、設疑思考
提出問題讓學生思考還有沒有其他的運算也能使等式左右兩邊相等。留給學生思維的空間,再通過課件引導學生一步步總結出等式的性質2:等式兩邊乘同一個數(shù),或除以同一個不為0的數(shù),左右兩邊仍然相等。
等式課件 篇8
1、創(chuàng)設情景,引發(fā)認知沖突
以前學生解方程習慣用加減法、乘除法互為逆運算的方式解方程,這樣的思路只適宜解比較簡單的方程,例如:x+3=5、3x=-12等,簡單的一元一次方程的解用估算的方法或逆運算的方式我們都可以求出方程的解;而象19+28x=33x-1這樣比較復雜的方程我們用上述方法還能求出它的解嗎?我利用學生認知上的沖突引入新課。這樣既激發(fā)了學生的學習興趣又明確了本節(jié)課的教學目的。為等式性質的構建做好鋪墊。
2、實驗探索,從特殊到一般
等式性質的呈現(xiàn)屬于實驗探究型課,目的是要學生在活動中體驗等量的變化關系和等式的性質。這里我分段逐步呈現(xiàn)等式的特性。首先出示平衡天平的圖形,給學生一個天平平衡的印象,引導學生用字母構建一個等式,接著在上一個平衡天平的基礎上,兩側同放一個三角形的符號表示物體的重量,讓學生觀察這時出現(xiàn)什么現(xiàn)象,同時提出問題:怎樣做,兩邊才會保持平衡?通過學生實驗得出使天平兩邊平衡的方法,并用字母式子表示實驗的過程,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述,接著通過幾個練習加以鞏固,然后借助上一個實驗的經驗和方法,進一步指導學生完成天平兩邊成倍變化的實驗,最后根據實驗情況觀察歸納結論。同時注意在總結時先讓學生根據實驗,把自己所得到的結論敘述出來,然后教師再對學生的結論給予概括得到等式的性質。
上述講授等式的性質用的是觀察實驗法,實驗觀察是科學研究的一種基本的方法,它是根據客觀事物和現(xiàn)象找出它具有的客觀規(guī)律,有助于發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學事實,抽象出對象的屬性,再通過歸納,概括出對象的共同屬性加以表述。同時也體現(xiàn)了由特殊到一般的思維認知規(guī)律。
3、強化概念,指導學生嘗試
關于等式概念、等式與方程的聯(lián)系的引出,教法上采用充分利用學生已有的知識、練習回顧、交流的方式。等式的性質的教學,采用師生共同觀察實驗,讓學生通過對直觀圖形的觀察、實驗和猜想,自已發(fā)現(xiàn)結論,并用總結的形式表述結論。等式性質的理解和掌握關鍵在于應用,只有通過大量練習來鞏固和提高,練習的速度越快正確越高,說明知識理解和掌握的越好。因此在教學中得到等式性質后,就用三組嘗試練習加強鞏固和提高,這樣既調動了學生學習的趣味性和主動性,增強了學生積極參與教學活動的意識,又很好地培養(yǎng)了學生的動手操作能力、觀察能力、邏輯思維能力和總結歸納能力,同時,也向學生滲透了實踐——認識——再實踐——再認識的一種學習方法,使新舊知識技能得到了有機的結合。
等式課件 篇9
教學內容:教科書第3~4頁的內容,練習一的4~6題。
教學目標:1、通過學習,使學生知道等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然是等式。
2、根據等式的性質(一)學會解決含有加、減號的方程。
3、有意識地培養(yǎng)學生的自學能力。
教學過程:
一、教學例3
出示圖,學生根據圖獨立填空。
根據學生的回答,板書:
20=2020+10=20+10
X=50X+20=50+20
50+a=50+a50+a-a=50+a-a
X+20=70X+20-20=70-20
提問:比較兩邊的算式,你有什么發(fā)現(xiàn),在小組里說說。
全班交流,引導學生說出:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),所得的結果仍然
是等式。這是等式的性質。
獨立完成練一練第1題
二、教學例4
學生自學,不懂的問題和同組同學交流,能解決的就小組內交流。
全班交流:例4中還有什么不懂的地方提出來,能由學生解決的就由學生解決,
學生解決不了的教師解決。
一是方法:根據等式的性質把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。
二是檢驗:把計算的結果代到原式,看左右兩邊是否相等。
三強調書寫的格式。
小結:求方程中未知數(shù)值的過程,叫做解方程。
完成試一試練一練的第2題。
學生獨立完成后集體訂正,重點幫助有困難的學生,針對學生出錯的地方及時分
析錯誤原因,幫助他們弄懂。
三、課堂作業(yè)
練習一的第4、5、6題。
第4、6題做在書上,第5題寫在作業(yè)本上。
等式課件 篇10
一、學情分析:作為初一學生(132班和137班)在小學時已經對等量關系和等式的性質有所了解,通過本節(jié)課的學習,目的是要使學生從天平的特點中歸納得出等式的性質。
新課標對本節(jié)課的要求是:掌握等式的性質。在前面一節(jié)課的學習中,學生掌握了一元一次方程的概念和初步應用后,需要解決的是一元一次方程的解法。本節(jié)內容借助于等式的性質這一工具來解一元一次方程。首先,通過天平的實驗操作,使學生學會觀察。嘗試分析歸納等式的性質。然后,利用等式的性質解一元一次方程。通過解方程的學習提高學生的觀察問題、解決問題的能力。
2、教育教學目標。
根據以上對教材的理解與內容分析,考慮到學生已有的知識結構和心理特征,制定如下教學目標:
(1)知識與技能:探究等式的性質,并能利用等式的性質進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
(2)過程與方法:通過實驗培養(yǎng)學生探索能力、觀察能力,歸納能力和應用新知識的能力。
(3)情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式性質過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結論的確定性,建立學生學好數(shù)學的信心。
為了使學生能比較順利地達到教學目標,我確定了本節(jié)課的教學重、難點:
教學重點:探究等式的性質,能根據等式性質進行等式變形、解簡單的一元一次方程。
教學難點:利用等式的性質把簡單的一元一次方程變形為x=a(常數(shù))的形式;正確理解等式性質2中除數(shù)不能為0。
(一)教學手段:如何突出重點、突破難點,從而實現(xiàn)教學目標,我在教學過程中利用多媒體演示擬計劃進行如下操作:
1、讀(看)――議――講結合法。
2、圖表分析法。
3、讀圖討論法。
4、教學過程中堅持啟發(fā)式教學的`原則。
堅持“以學生為主體,以教師為主導”的原則。即“以學生活動為主導,教師講述為輔,學生活動在前,教師點撥評價在后”的原則。根據初一學生的心理發(fā)展規(guī)律。聯(lián)系實際安排教學內容,采用學生參與高度的學導式討論教學法、師生交談法、圖象信號法、問答法、教學課堂討論法,使學生動口、主動探索、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、互動合作、歸納概括、形成能力,突出學生的主體地位。在采用問答法時,特別注重不同難度的問題。
提問不同層次的學生面向全體,使基礎差的學生也有表現(xiàn)的機會,培養(yǎng)其自信心,激發(fā)學習熱情,有效開發(fā)各層次學生的潛在能力求使每個學生都在原有基礎上得到發(fā)展,同時通過課堂練習和課后作業(yè)啟發(fā)學生。在教學中要積極培養(yǎng)學生數(shù)學學習興趣和動機。明確學習目的,教師應在課堂上充分調動學生積極性,激發(fā)來自學生主體的最有力的動力。
實際上,青少年好動,注意力易分散,愛發(fā)表見解。希望得到老師的表揚所以在教學中應抓住學生這一生理特點。一方面運用直觀生動的形象,引發(fā)學生興趣,使他們的注意力始終集中在課堂上。另一方面要創(chuàng)造條件和機會,讓學生發(fā)表見解,發(fā)揮學生學習的主動性。
首先我出了一些可以看出方程解的題目,讓學生回答,由易到難,激起學生學習的欲望,緊接著就引入等式的定義,從而使學生明白解方程先要研究等式,從而引入課題。
由于學生的認知結構是由簡單到復雜,由具體到抽象的過程,因此在這一環(huán)節(jié)中,我分兩個方面來教學:等式的性質1由老師課件演示,學生觀察歸納概括。
我利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
通過上面的觀察,讓學生分組討論:如何用算式表示實驗結果?學生交流后,教師進行課件演示。
本節(jié)課,讓學生經歷一種從平衡到不平衡再到新的平衡的過程,體驗變化是怎樣產生的,怎樣從打破平衡,又怎樣達到新的平衡。從而培養(yǎng)了學生觀察能力和抽象概括能力。
我接著提問:如果天平兩邊減去相同的質量,天平會有什么變化?
讓學生先獨立思考,然后教師課件演示。你又發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?怎樣用等式描述?得出等式兩邊同時減去同一個數(shù),等式仍然成立。并且由以上兩條規(guī)律得出:等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù),等式仍然成立。
如果在天平兩邊同時加上或減去不同的質量,天平會有什么變化?
學生經過思考得出:等式的兩邊加上或減去的必須是同一個數(shù),才能使等式成立。這樣符合學生的認知規(guī)律,從實踐認識,再到實踐認識的過程。
教師再用課件展示天平圖,學生通過觀察,歸納得出:等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)(除數(shù)不能為0),等式仍然成立。
等式基本性質2的推導在性質1的基礎上,讓學生自己通過觀察探究,運用知識的遷移得出,這樣培養(yǎng)了學生邏輯思維能力,抽象概括能力和口頭表達能力。
(2)若a=b,則ac=bc,
注意:
(1)等式兩邊都要參加運算,且是同一種運算。
(2)等式兩邊加或減,乘或除以的數(shù)一定是同一個數(shù)或同一個式子。
(3)等式兩邊不能都除以0,即0不能作除數(shù)或分母。
在這個環(huán)節(jié)中把等式的兩個性質展示出來,我特別提到了三個注意:因為這是在等式性質解方程中容易出錯的地方,就是希望同學們認真細心,正確利用性質解題。
我在練習中設計了三道題,從簡單的填空到判斷變形對錯,到最后的解方程,方程的四道題也是有簡單到復雜,總之練習題的設計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,是那些平時不舉手的同學也積極參與,竟然問題也答得很好。從這些方面培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
作業(yè)設計:
PPT投影出課本第83頁習題3.1第4題。
等式課件 篇11
一、教材分析
等式的基本性質是學生在剛剛認識了等式與方程的基礎上進行教學的。它是系統(tǒng)學習方程的開始,其核心思想是構建等量關系的數(shù)學模型。本節(jié)課的學習是學生在實驗的基礎上,掌握等式的兩個基本性質,引導學生通過比較,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并為今后運用等式的基本性質解方程打基礎。同時培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力。
二、教學目標:
知識與技能:理解并能用語言表述等式的基本性質,能用等式的基本性質解決簡單問題。
過程與方法:在用算式表示實驗結果、討論、歸納等活動中,經歷探索等式基本性質的過程。
情感態(tài)度價值觀:積極參與數(shù)學活動,體驗探索等式基本性質過程的挑戰(zhàn)性和數(shù)學結論的確定性。
三、教學重點是:
引導學生探索發(fā)現(xiàn)等式的基本性質,利用等式的基本性質解決簡單問題。
教學難點是抽象歸納出等式的基本性質。
四、教學程序(分三部分教學)
(一)聯(lián)系實際,激趣引入
首先激發(fā)探究興趣:提出問題:“同學們,你用天平做過游戲嗎?”這節(jié)課我們就利用天平一起來探索天平游戲中所包含的數(shù)學知識?!?/p>
(二)自主探索,合作交流
學習等式的基本性質1
1、具體情境,感受天平平衡
利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察,用語言來描述發(fā)現(xiàn),與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括,使學生記憶深刻,充分體現(xiàn)了學生為主體,教師為主導的原則。
圖1、圖2的教學模式:先讓學生觀察,問:你發(fā)現(xiàn)了什么?然后提問:怎樣變換,能使天平仍然保持平衡呢?待學生思考片刻,再進一步提問:往兩邊各放1個杯子,天平會發(fā)生什么變化?生口答,驗證。接下去,繼續(xù)提問:如果兩邊各放上2個茶杯,天平還會保持平衡嗎?兩邊各放上同樣的一把茶壺呢?生答,再一一演示驗證。
圖3、圖4的教學模式和前面一樣。
板書如下:
2、總結抽象,認識規(guī)律
通過上面的觀察,先用一句話歸納圖1和圖2的內容。(1、等式的兩邊都加上或減去相同的數(shù),等式不變。)再以第一句話為基礎歸納出圖3和圖4的內容。(2、等式的兩邊都乘或除以相同的數(shù)(0除外)等式不變。)
教師指出這是等式的一個非常重要的性質。板書:等式的基本性質
(三)鞏固練習,深化認識
練習題的設計,低起點,小臺階,循序漸進,符合學生接受知識的特點,培養(yǎng)了學生的靈活性,使學生獲得成功的滿足感。
1、根據圖(1)在下面每幅圖的括號里填上適當?shù)姆柣驍?shù)字,使天平平衡。
2、課堂作業(yè)。(當堂完成)
填一填。(a、b均不為0)
(1) 如果x+a=b,那么x+a-a=b○
(2) 如果x-a=b,那么x-a+a=b○
(3) 如果ax=b,那么a x÷a=b○
(4) 如果x÷a =b,那么x÷a×a=b○
3、拓展訓練。
五、最后,關注學生的和感受,提出:通過本節(jié)課的學習你有什么收獲?
不等式課件精選九篇
為了促進學生掌握上課知識點,老師需要提前準備教案,老師在寫教案課件時還需要花點心思去寫。?教案和課件優(yōu)化可使教學任務的完成更加精細化。幼兒教師教育網小編特意為大家收集整理了“不等式課件”,歡迎參考愿您成為更好的自己!
不等式課件 篇1
不等式的性質 教學設計
十六中 尚進軍
【教學重點與難點】
教學重點:掌握不等式的三條基本性質,尤其是不等式的基本性質3 教學難點:正確應用不等式的三條基本性質進行不等式變形 【教學目標】
1、探索并掌握不等式的基本性質
2、會用不等式的基本性質進行化簡 【教學方法】
通過觀察、分析、討論,引導學生歸納總結出不等式的三條基本性質,從具體上升到理論,再由理論指導具體的練習,從而強化學生對知識的理解與掌握.
【教學過程】
一、創(chuàng)設情境 復習引入
(設計說明:設置以下習題是為了溫故而知新,為學習本節(jié)內容提供必要的知識準備.)問題:
1、什么是等式?等式的基本性質是什么?
2、什么是不等式?
3、用“>”或“<”填空.(1)3
2×5 3×5
2×(-1)3×(-1)3-5 7-5 2÷2 3÷2 2×(-5)3×(-5)3+a 7+a
2÷(-2)3÷(-2)(教學說明: 復習等式的基本性質后學生自然會聯(lián)想到,不等式是否有與等式相類似的性質,從而引起學生的探究欲望.接著問題3為學生探究不等式的性質提供了載體,通過觀察,尋找規(guī)律,得出不等式的性質.)
二、師生互動,探索新知
1、不等式的基本性質
問題1:觀察思考問題3,猜想出不等式的性質
先讓學生獨立思考,后合作交流,通過充分討論,類比等式性質得出不等式的性質.觀察時,引導學生注意不等號的方向,通過(1)題學生容易得出不等式性質1: 不等式基本性質1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變. 比較(2)、(3)題,注意觀察不等號方向,并思考不等號方向的改變與什么有關?由學生概括總結,教師補充完善得出: 不等式基本性質2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變. 不等式基本性質3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變.
問題2:將不等式-2<6兩邊都加上7,-9,兩邊都乘3,-3試一試,進一步驗證上面得出的三條結論. 教師 強調指出:不等式的三條基本性質實質上是對不等式兩邊進行“+”、“-”、“×”、“÷”四則運算,當進行“+”、“-”法時,不等號方向不變;當乘(或除以)同一個正數(shù)時,不等號方向不變;只有當乘(或除以)同一個負數(shù)時,不等號的方向才改變.
問題3:嘗試用數(shù)學式子表示不等式的三條基本性質. 學生思考出答案,教師訂正,最后得出:(1)如果a>b,那么a±c>b±c(2)如果a>b,c>0那么ac>bc(或>)(3)如果a>b,ca” 或“x26;(2)3x50;(4)-4x>3.解:(l)根據不等式基本性質1,不等式的兩邊都加上7,不等號的方向不變. 得 x-7+7>26 +>33(2)根據不等式基本性質1,兩邊都減去2x,不等號的方向不變,得3x-2x75,不等號的方向不變,得(4)根據不等式基本性質3,兩邊都除以-4,不等號的方向改變,得x(教學說明:這些不等式比較簡單,可以利用不等式的性質直接求解,從而加深對這些性質的認識.教師板書(1)題解題過程.(2)(3)(4)題由學生在練習本上完成,指定三個學生板演,然后師生共同判斷板演是否正確.解題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,有助于加強知識之間的前后聯(lián)系,突出新知識的特點,并將原題與“x>a” 或“xc, a+c>b, b+c>a 我們現(xiàn)在求的是兩邊之差與第三邊的關系,所以由不等式的性質1將上式變形為: 由a +b>c得a>c-b, b>c-a.同理,由a+c>b, b+c>a可得c>b-a, b>a-c,c>a-b, a>b-c.這就是說,三角形中任意兩邊之差小于第三邊.(教學說明:此問題應用不等式的性質由“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”得出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”這個與已有結論等價的新結論.“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”對應的是三個形式一樣的不等式,而不是一個不等式.由這三個不等式再推出“三角形中任意兩邊之差小于第三邊”.為了加深學生的感性認識,可以通過測量的方法驗證這個結論.)三、鞏固訓練,熟練技能:1、如果a>b,那么(1)a-3 b-3,(2)2a 2b(3)-3a-3b,(4)a-b 0(5)(6)-b_____-、在下列各題橫線上填入不等號,并說明是根據不等式的哪一條基本性質.(1)若a–3<9,則a_____12;(2)若-a<10,則a_____–10;(3)若a>–1,則a_____–4;(4)若-a>0,則a_____0.3、利用不等式的性質解下列不等式,并在數(shù)軸上表示解集(解未知數(shù)為x的不等式,就是要使不等式逐步化為“x>a”或“x<a”的形式)(1)x-1<0;(2)x>-x+6;(3)3x>7;(4)-x<-3.(教學說明:這些練習進一步加深了學生對不等式性質的理解,做此練習題時,應讓學生注意觀察它們是應用不等式的哪條性質,是怎樣由已知變形得到的.注意應用不等式性質3時,不等號要改變方向.做第3題時要引導學生與解一元一次方程的思路進行對比,讓學生認識到應用不等式的性質1變形,相當于移項.)四、總結反思,課堂小結1、不等式的基本性質是什么?如何用數(shù)學式子表示?2、在本節(jié)課的學習中,你還有什么疑惑? 3.主要用到的思想方法是類比思想.4.注意的問題: 當不等式兩邊同乘(或除以)同一個數(shù)時,一定要看清是正數(shù)還是負數(shù),若是負數(shù),要變兩個號,一個性質符號,另一個是不等號,對于未給定范圍的字母,應分情況討論.六、布置課后作業(yè):1、課本127頁練習2、課本128習題的5、6、7題 【評價與反思】通過具體的事例觀察并歸納出不等式的三條基本性質,引導學生用數(shù)學式子表示三條基本性質,同時注意將不等式的三條基本性質與等式的基本性質進行比較,以加深學生的理解.在教學過程中,注重培養(yǎng)學生運用類比方法觀察、分析、解決問題的能力及歸納總結概括的能力.同時培養(yǎng)了學生積極主動的參與意識和勇敢嘗試、探索的精神.
不等式課件 篇2
本節(jié)教學的重點是不等式的解集的概念及在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法.難點為不等式的解集的概念.
相同點:定義方式相同(使方程成立的未知數(shù)的值,叫做方程的解);解的表示方法也相同.
不同點:解的個數(shù)不同,一般地,一個不等式有無數(shù)多個解,而一個方程只有一個或幾個解,例如, 能使不等式 成立,那么 是不等式的一個解,類似地 等也能使不等式 成立,它們都是不等式 的解,事實上,當 取大于 的數(shù)時,不等式 都成立,所以不等式 有無數(shù)多個解.
不等式的解與不等式的解集是兩個不同的概念,不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值,而不等式的解集,是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有的值,不等式的所有解組成了解集,解集中包括了每一個解.
注意:不等式的解集必須滿足兩個條件:第一,解集中的任何一個數(shù)值,都能使不等式成立;第二,解集外的任何一個數(shù)值,都不能使不等式成立.
一般地,一個含未知數(shù)的不等式有無數(shù)多個解,其解集是某個范圍,這個范圍可用一個最簡單的不等式表示出來,例如,不等式 的解集是 .
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圓.
如不等式 的解集 ,可以用數(shù)軸上表示4的點的左邊部分表示,因為 包含 ,所以在表示4的點上畫實心圈.
注意:在數(shù)軸上,右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大,所以在數(shù)軸上表示不等式的解集時應牢記:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
1.使學生了解不等式的解集、解不等式的概念,會在數(shù)軸上表示出不等式的解集.
2.知道不等式的“解集”與方程“解”的不同點.
通過教學,使學生能夠正確地在數(shù)軸上表示出不等式的解集,并且能把數(shù)軸上的某部分數(shù)集用相應的不等式表示.
通過講解不等式的“解集”與方程“解”的關系,向學生滲透對立統(tǒng)一的辯證觀點.
通過本節(jié)課的學習,讓學生了解不等式的解集可利用圖形來表達,滲透數(shù)形結合的數(shù)學美.
2.學生學法:明確不等式的解與解集的區(qū)別和聯(lián)系,并能熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集,在數(shù)軸上表示不等式的解集時,要特別注意:大于向右畫,小于向左畫;有等號的畫實心圓點,無等號的畫空心圓圈.
不等式課件 篇3
基本不等式是數(shù)學中一個重要的基礎公式,也是高中數(shù)學學習的重點之一。此公式廣泛應用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,具有廣泛的實際應用價值。本文將圍繞基本不等式的定義、推導、應用和解題技巧進行講解。
一、基本不等式的定義
基本不等式又稱柯西-施瓦茨不等式,其一般形式為:
∣∣∣∣∑iaibi∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
其中a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn為任意實數(shù)。該不等式的本質含義是,在平面直角坐標系中,向量間的內積不大于它們模的乘積之積,并且當且僅當向量線性相關時取等號。
二、基本不等式的推導
基本不等式的推導涉及到向量的概念。假設有兩個n維向量a和b,它們的內積為∑iaibi,則它們的長度分別為:|a|=√∑iai2和|b|=√∑ibi2。
將a和b定義為Rn中的兩個向量,則它們的夾角為θ,則有:
cosθ=∑iaibi/|a||b|
通過分析cosθ的大小關系,顯然有:
?1≤cosθ≤1
進一步得到基本不等式:
|∑iaibi|≤∣∣∣∣∑iai∣∣∣∣∣∣∣∣∑ibi∣∣∣∣∣
三、基本不等式的應用
基本不等式廣泛應用于各種求證、排列、組合、概率等數(shù)學問題中,下面將分別介紹它們的應用。
1. 求證
基本不等式可以用于求證數(shù)學中的一些定理,比如互余等比數(shù)列的和定理。具體應用時,我們可以將等比數(shù)列拆成兩個向量,然后應用基本不等式即可得到所證定理。
2. 排列組合
在排列組合問題中,基本不等式可以幫助我們確定最優(yōu)解,以最小或最大值為目標得到所需的數(shù)字。例如,在n個數(shù)字中有幾對數(shù)對,他們之間的差值恰好為k,可以通過將原問題轉換為求兩個向量之間的夾角,然后應用基本不等式進行求解。
3. 概率
在概率問題中,基本不等式可以用于推算隨機事件中不等的概率值,例如玩牌游戲中的胡牌概率等。我們可以將每個事件看作向量,然后使用基本不等式計算它們的夾角,從而得到相應的概率值。
四、基本不等式的解題技巧
基本不等式的應用需要掌握一些解題技巧。下面列舉一些常用的技巧:
1. 將數(shù)列表示成向量
在排列組合問題中,將數(shù)列表示成向量,有利于方便運用基本不等式進行計算。
2. 極小化或極大化
當問題中要求最小或最大值時,我們可以使用極小化或極大化的思路,以求解最優(yōu)解。
3. 利用對稱性
當有對稱條件時,可以運用基本不等式中的對稱性質,簡化數(shù)學推理。
4. 運用方法的差異性
在某些情況下,我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)在大小方面的差異,從而確定使用哪個方法進行計算。
綜上所述,基本不等式是高中數(shù)學學習的重點之一,應用范圍廣泛。掌握了基本不等式的定義、推導、應用和解題技巧,能夠在數(shù)學競賽中取得更好的成績,也有利于我們理解、應用其它數(shù)學定理。
不等式課件 篇4
《不等式的性質(1)》教學設計
一、引入
展示任務單的數(shù)據分析,向學生明確本堂課的教學內容。
二、預習檢測
學生回答“什么是不等式的性質” 不等式的性質1 不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子),不等號的方向不變 不等式的性質2 不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù),不等號的方向不變 不等式的性質3 不等式兩邊乘(或除以)同一個負數(shù),不等號的方向改變
三、應用1:利用不等式的性質比較大小
【例1】若a?b,判斷3?2a與3?2b的大小關系.小結:利用不等式的性質比較大小的一般思路: 利用不等式的性質將“已知”逐步化成“目標
(1)教師對任務單中錯誤率較高的題目進行講解;
(2)設置類似的問題作為例題,并進行鞏固訓練和變式訓練。
【鞏固】(1)若3a?4?3b?4,則a___b;(2)若?5a?7??5b?7,則a___?b,則: 【變式一】若 ①(k2?1)a___(k2?1)b ②1?k2a___1?k2b
【變式二】若a?b,試比較ka與kb的大小.【鞏固】(1)若a?b,且(k?1)a?(k?1)b,則k的取值范圍是______.1(2)由kx?1變形可得x?,則k的取值范圍是________.k
四、應用2:利用不等式的性質解不等式
(1)針對任務單中學生解不等式時在步驟中出現(xiàn)的問題,教師規(guī)范解題步驟;
(2)教師分享某位同學任務單中對“不等式的性質與等式性質的異同?”的回答,小組討論利用不等式的性質解不等式步驟中需要注意的問題;(3)學生綜合范例和討論結果,進行鞏固訓練和變式訓練。【例2】利用不等式的性質解不等式:4y?12??2?3y.【鞏固】13用不等式的性質解不等式:y?2?y?522 【變式】13已知y?2?y?5,化簡y?3?(6?2y)
五、課堂小結
小組討論分享:通過本節(jié)課的學習,“我知道了??”“我掌握了??”。
六、課堂檢測
學生獨立完成課堂檢測,由數(shù)據反饋出本堂課的達成度
七、課后思考 布置課后思考題
利用不等式性質1,比較2a與a的大?。╝?0).2,比較2a與a的大?。╝?0).利用不等式性質
不等式課件 篇5
基本不等式是中學數(shù)學中比較重要的知識點,它是一條數(shù)學公式,可以用來證明數(shù)學上的不等式問題。在中學階段,我們通常會學習到關于基本不等式的概念、性質以及應用等方面的知識。接下來,本篇文章將圍繞這一主題展開,詳細說明基本不等式的相關知識點和應用場景。
一、基本不等式的概念和性質
基本不等式實際上是針對于a、b兩個正實數(shù)而言的,它的數(shù)學表述為:(a+b)2≥4ab 。 這個公式被稱為基本不等式的“基本式”。同時,在這個式子中,等號成立的條件是a=b時。接下來,讓我們來看看基本不等式的一些性質。
1.基本不等式的證明:
(a+b)2=a2+2ab+b2≥4ab (由于a2+b2≥2ab)
化簡得:a2+b2≥2ab,即(a-b)2≥0,結合等式左側兩邊同時加上4ab,則得到公式(a+b)2≥4ab,也就是基本不等式。
2. 基本不等式的解釋:
從式子來看,基本不等式的左邊是一個完全平方數(shù),即(a+b)2。右邊是4ab。又因為基本不等式中的變量a和b都是正實數(shù),所以無論a和b的大小關系如何,四倍的乘積4ab一定是大于等于a2+b2、即2ab的。因此,我們可以得到基本不等式的結論:(a+b)2≥4ab。
3. 基本不等式的應用:
基本不等式有非常廣泛的應用,其中一些典型的應用場景包括以下幾種:
a. 使用基本不等式證明其他不等式:
比如,對于x、y兩個正實數(shù),我們可以將不等式(x-y)2≥0 化簡為x2+y2≥2xy 的形式,然后用上基本不等式,即可快速證明(x-y)2≥0 成立。
b. 使用基本不等式解決實際問題:
比如,用4米長的繩子圍成一個矩形獸欄,求獸欄能夠圍住的最大面積是多少? 我們可以將這個問題轉換為求:4m邊長的正方形對面提醒獸欄的最大面積問題。此時,我們可以利用基本不等式,推導出正方形的對角線最大長度即為4√2米,由此可以得出此時正方形的面積即為16平方米,也就是獸欄的最大面積。
c. 使用基本不等式驗證一些數(shù)學結論:
比如,我們可以利用基本不等式來驗證任意兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù)。 具體的,對于兩個正實數(shù)a和b,我們可以推導得到:
(a+b)2≥4ab
(a+b)2/4≥ab
(√ab+√ab)2/4≥ab
(?ab) ≥ (a+b)/2
由此可得,兩個正實數(shù)的平均數(shù)一定大于等于它們的幾何平均數(shù),即( a+b)/2≥?ab。
二、基本不等式的應用實例
1.題目描述:
小峰有若干元錢,他能夠涵蓋八天的生活物資開銷?,F(xiàn)在,他去買菜了,花掉了R元錢,求他能不能仍然用這筆錢過完余下的那幾天。
2.解題思路:
我們可以設小峰剩下的錢數(shù)為x,應該取得一個不等式來表示這個問題。具體地,設日均消費為m(m 一定是小于R/x 和x/8之間較小數(shù)),則從第9天開始,小峰所存的錢應數(shù)學表達式為:
x-R≥m*(8),
x≥m*(8)+R
這是一個關于x的不等式,為驗證其是否成立,我們需要對它進行推導。為了推導方便,我們將不等式變形如下:
m*(8)+R≤x
然后,我們可以利用基本不等式將其化簡為如下形式:
(mx/?8)^2+(Rx/?8)^2≥2mRx/4
由于 x>0,所以令 t = x/?8,則上式化簡為:
(m/2)t^2+(R/2)^2≥tmR
或者
(t-R/m)^2+(m/2)^2≥R^2/ 4m^2
根據上面的式子,我們可以得出,只要 t≥R/m,即x≥m*(8)+R,則小峰就有足夠的錢過余下的幾天生活了。
3.綜述
基本不等式是非常重要的中學數(shù)學知識點,它不僅有較為實際的應用場景,還能用于證明和推導其他數(shù)學結論。在學習基本不等式的時候,我們需要注意,對于不等式的變量,要理解它們所表示的實際含義和邏輯關系,從而更好地應用基本不等式來解決實際問題。
不等式課件 篇6
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,并充分認識不等關系的存在與應用.對不等關系的相關素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望.根據本節(jié)課的教學內容,應用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應關系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關系.要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識.
1.在學生了解不等式產生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應點位置間的關系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結構美.
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關系,判斷二次式的大小和范圍.
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產生用數(shù)學研究不等關系的強烈愿望,自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關系.這些不等關系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關系的相關素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產生用數(shù)學工具研究不等關系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.
1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關系,又存在著大量的不等關系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應的兩實數(shù)具有怎樣的關系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關系?用邏輯用語怎樣表達這個關系?
活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同.不等關系強調的是關系,可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關系.在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關內容.
實例1:某天的天氣預報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.
實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7:某品牌酸奶的質量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%,蛋白質的含量p應不少于2.3%.
教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6,若用v表示速度,則v≤40 km/h.實例7,f≥2.5%,p≥2.3%.對于實例7,教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足,避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%,這是不對的.但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題,教師讓學生輪流回答,再用投影儀給出課本上的兩個結論.
討論結果:
(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點中,右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大.
(4)對于任意兩個實數(shù)a和b,在a=b,a>b,a0a>b;a-b=0a=b;a-b
活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經常使用的方法,應讓學生熟練掌握.
1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關系是( )
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據實數(shù)的運算性質與大小順序的關系,歸結為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.
解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),
又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差——變形——判斷符號.變形常用的手段是分解因式和配方,前者將“差”變?yōu)椤胺e”,后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”,也可兩者并用.
已知x>y,且y≠0,比較xy與1的大小.
活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關系,只需確定它們的差與0的大小關系.
∵x>y,∴x-y>0.
當y
當y>0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.
例3建筑設計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關鍵首先是把文字語言轉換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.
解:設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.
已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.
又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.
1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案:
1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結,從實數(shù)的基本性質的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
1.本節(jié)設計關注了教學方法的優(yōu)化.經驗告訴我們:課堂上應根據具體情況,選擇、設計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中,沒有一種能很好地適應一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設計注重了難度控制.不等式內容應用面廣,可以說與其他所有內容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產生負面影響.
3.本節(jié)設計關注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質,是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升.
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大?。?1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
5.設a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
=m2.
∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
=a2+2.
∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
=x24,
又∵x>0,∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0,得1+x2>1+x.
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0,x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,
當a>b>0時,ab>1,a-b>0,
則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.
不等式課件 篇7
《課題:實際問題與一元一次不等式》教學設計
【教學目標】:
1.通過列一元一次不等式解決具有不等關系的實際問題,進一步熟練掌握一元一次不等式的解法,體會不等式是解決實際問題的有效的數(shù)學模型。
2.通過應用一元一次不等式解決實際問題,進一步強化應用數(shù)學的意識,從而使學生樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學信息,談論數(shù)學話題,能夠在數(shù)學活動中發(fā)揮積極作用。
3.通過探究,增進學生之間的配合,培養(yǎng)學生敢于面對困難和克服困難的勇氣,樹立學好數(shù)學的自信心。
【重點難點】:
重點:由實際問題中的不等關系列出不等式。
難點:列一元一次不等式描述實際問題中的不等關系
【教學過程】:
回顧舊知、引入新課
師:之前我們學習過利用一元一次方程解決生活中的銷售問題,現(xiàn)在李老師就來考考大家,請看第一題:
出示幻燈片1
1.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利10元,設進價為x元,則可列等式。
(學生解決并給出合理解釋)
師:那我們一起來回顧一下利用一元一次方程解決實際問題的基本步驟是什么?
學生回答后,教師總結:
利用一元一次方程解決實際問題的一般步驟:
審、設、列、解、答
師:好!請看第二題:
2.一種商品標價100元,按標價的8折出售,若想單件商品獲利不低于10元,設進價為x元,則。
師:相較于第一題,題目發(fā)生了什么變化?
學生抓住關鍵詞“不低于”,列出不等式。
師:找到不等關系,列一元一次不等式也是解決實際問題的常用方法。今天,我們就來學習實際問題與一元一次不等式。
出示幻燈片
2小組討論、探究新知
師:馬上就要過春節(jié)了,想要給自己準備什么禮物?
師:老師也想給可愛的兒子買禮物,通過考察,已經知道有兩家超市正在舉行優(yōu)惠活動,咱們一起去逛一逛,好不好?
出示幻燈片3
甲超市說:凡在本超市累計購買100元商品后,再購買的商品按原價的90%收費。
乙超市:凡在本超市累計購買50元商品后,再購買的商品按原價的95%收費
師:李老師覺得甲超市優(yōu)惠,因為打9折?你的意見呢?
(學生發(fā)表自己的意見)
師:剛才幾位同學表達了自己的觀點,可是這僅僅是我們的猜想,解決問題不能只靠猜想,運用數(shù)學知識該如何解決這個問題呢?
出示幻燈片
4下面老師就把時間交給大家,4人一小組展開討論,到底該選擇哪家超市購買才能獲得更大優(yōu)惠?
(學生討論的過程中,教師主要巡視并和學生共同探究。)
經過探討,小組形成初步想法,小組派代表分享討論結果,逐一解決列表達式、分類、建模列不等式、解不等式等題目中難點,教師以板書形式將結果呈現(xiàn)在黑板上,并引導學生補充,完善解題過程,并利用多媒體進行展示。
學以致用 挑戰(zhàn)自我?guī)煟和瑢W們理解得非常到位!那么再碰到類似的問題你能解決了嗎?
出示幻燈片
5我校計劃在暑假期間組織學生到某地旅游,參加旅游的人數(shù)估計為10~25人,甲、乙兩家旅行社的服務質量相同,且報價都是每人200元.經過協(xié)商:甲旅行社表示可給予每位學生七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一位學生的旅游費用,其余學生八折優(yōu)惠.我校選擇哪一家旅行社支付的旅游費用較少?
學生獨立思考后進行小組討論,選代表上黑板展示。
梳理過程 總結提高
教師引導學生回顧兩道題的解題過程,談談獲得的感悟,學生獨立思考片刻后進行小組交流討論。
出示幻燈片6
回顧這個問題的解題過程,你有哪些感悟呢?
例如:我感受最深的是??
我感到最困難的是??
我發(fā)現(xiàn)生活中??
我學會了??
布置作業(yè) 測評反饋
出示幻燈片7
作業(yè):
一、在市場上收集兩種手機收費方式,幫爸爸(媽媽)選擇一種合適的消費方式.二、習題(134頁)1.(1)(2)5.
不等式課件 篇8
1.使學生感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式的意義;
2.讓學生自發(fā)地尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
1.通過汽車行駛過a地這一實例的研究,使學生體會到數(shù)學來源于生活,又服務于生活,培養(yǎng)學生“學數(shù)學、用數(shù)學”的意識;
2.經歷由具體實例建立不等模型的過程,探究不等式的解與解集的不同意義的過程,滲透數(shù)形結合的思想。
㈢情感、態(tài)度、價值觀:
1.通過對不等式、不等式的解與解集的探究,引導學生在獨立思考的基礎上積極參與對數(shù)學問題的討論,培養(yǎng)他們的合作交流意識;
2.讓學生充分體會到生活中處處有數(shù)學,并能將它們應用到生活的各個領域中去。
3.培養(yǎng)學生類比的思想方法、數(shù)形結合的思想。
1.教學重點:不等式、一元一次不等式、不等式解與解集的意義;在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
2.教學難點:不等式解集的意義,根據題意列出相應的不等式。
計算機、自制cai課件、實物投影儀、三角板等。
教師創(chuàng)設情境引入,學生交流探討;師生共同歸納;教師示范畫圖,課件交互式練習。
〖創(chuàng)設情境——從生活走向數(shù)學〗
[多媒體展示]“五·一黃金周”快要到了,蕪湖市某兩個商場為了促銷商品,推行以下促銷方案:①甲商場:購物不超過50元者,不優(yōu)惠;超過50元的,超過部分折優(yōu)惠。②乙商場:購物不超過100元者,不優(yōu)惠;超過100元的,超過部分九折優(yōu)惠。親愛的同學,如果五·一期間,你去購物,選擇到哪個商場,才比較合算呢?
(以上教學內容是向學生設疑,激發(fā)學生探索問題、研究問題的積極性,可以讓學生討論一會兒)
教師:要想正確地解決這個問題,我們大家就要學習第九章《不等式和不等式組》,學完本章的內容后,我相信,聰明的你們一定都會作出正確的選擇,真正地做到既經濟又實惠。
首先,我們來共同學習本章的第一節(jié)課——9.1.1節(jié)《不等式及其解集》
〖新課學習〗
學習目標:
1.能感受到生活中存在著大量的不等關系,了解不等式和一元一次不等式和意義;
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
[多媒體展示一段動畫]:引例:一輛勻速行駛的汽車在11:20距離a地50千米,要在12:00之前駛過a地,車速應滿足什么條件?
設車速是x千米/小時,
(1)從時間上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛50千米所用的時間不到 小時,即
(2)從路程上看,汽車要在12:00之前駛過a地,則以這個速度行駛 小時的路程要超過50千米,即
請同學們觀察上面的兩個式子,式子左右兩邊的大小關系是怎樣的? 左右兩邊相等嗎?
在學生充分發(fā)表自己意見的基礎上,師生共同歸納得出:
用“>”或“<”號表示大小關系的式子叫做不等式;
用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。
判斷下列式子中哪些是不等式,是不等式的請在題后的括號內劃“√”,不是的請劃“×”
(1)3> 2????? (???? ) (2)2a+1> 0?? (???? )?? (3)a+b=b+a? (???? )
(4)x< 2x+1?? (???? )???? (5)x=2x-5??? (???? ) (6)2x+4x< 3x+1 (???? )????????? (7)15≠7+9? (???? )
上面的不等式中,有些不含未知數(shù),有些含有未知數(shù),大家把(2)、(4)、(6)式與(5)式類比,(5)式是一個一元一次方程,能不能給(2)、(4)、(6)式也起個名字呢?
含有一個未知數(shù), 未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.
問題2:車速可以是78千米/小時嗎?75千米/小時呢? 72千米/小時呢?
問題3:我們曾經學過“使方程兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”,那么我們可以把使不等式成立的未知數(shù)的值叫做什么呢?
(師生共同歸納)使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解。
2.課堂練習二——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60
(學生做完后,師問):你還能找出這個不等式的其他的解嗎?這個不等式有多少個解?你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?
(學生討論后,師生共同總結):當x>75時,不等式 x>50總成立;而當x<75或x=75時,不等式 x>50不成立,這就是說,任何一個大于75的數(shù)都是不等式 x>50的解,這樣的解有無數(shù)個。因此,x>75表示了能使不等式 x>50成立的x的取值范圍,叫做不等式 x>50的解的集合,簡稱解集。
我們再回到前面的問題,經過剛才的分析,可以知道,要使汽車在12:00之前駛過a地,車速必須大于75千米/小時。
一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解,組成了這個不等式的解集。
4.在數(shù)軸上表示不等式的解集;
注意:在表示75的點上畫空心圓圈,表示不包括這一點.
5.課堂練習三——動一動腦,動一動手,你一定能算得對。
判斷下列數(shù)中哪些是不等式x+3>6的解? 哪些不是?
-4, -2.5,? 0,? 1,? 2.5,? 3,? 3.2,? 4.8,? 8,? 12
求不等式的解集的過程叫做解不等式。
7.課堂練習四——看誰算得最快最準。
直接想出不等式的解集,并在數(shù)軸上表示出不等式的解集:
(1) x+3>6;??????? (2)2x<8;?? ?(3)x-2>0
解:(1)x>3;???????? (2)x<4;??? (3)x>2。
1.例用不等式表示:
(1)x與1的和是正數(shù);??????(2)的與的的差是負數(shù);
(3)的2倍與1的和大于3;(4)的一半與4的差小于的3倍.
解:(1)x+1>0;???????? (2)+b<0;
(3)2+1>3;????? (4)-4<3;
2.課堂練習五——看誰最列得又快又準。
用不等式表示:
(1)是正數(shù);??????????(2)是負數(shù);
(3)與5的和小于7;??(4)與2的差大于-1;
(5)的4倍大于8;??????(6)的一半小于3.
答案;(1)>0;??????? (2)<0;?? (3)+5>0;
學生小結,師生共同完善:
2.會尋找不等式的解,會在數(shù)軸上正確地表示出不等式的解集;
3.能夠根據題意準確迅速地列出相應的不等式。
不等式課件 篇9
不等式的性質(2)教學目標
1.知識與技能:理解不等式的性質,會解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出解集。
2.過程與方法:通過經歷不等式性質的簡單應用,積累數(shù)學活動。通過獨立解題,進一步理解不等式的性質,體會不等式性質的價值。
3.情感態(tài)度和價值觀:認識到通過觀察、實驗、類比可以獲得數(shù)學結論,體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。在獨立思考的基礎上,積極參與對數(shù)學問題的討論,敢于發(fā)表自己的觀點,學會分享別人的想法和結果,并重新審視自己的想法,能從交流中獲益。重點難點
1.重點:不等式的性質及其解法. 2.難點:不等式性質的探索及運用.方法策略
啟發(fā)式教學法——以設問和疑問層層引導,激發(fā)學生,啟發(fā)學生積極思考,培養(yǎng)和發(fā)展學生的抽象思維能力。
探究教學法——引導學生去疑;鼓勵學生去探; 激勵學生去思,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和批判精神。教學過程:
一、梳理舊知,引出新課
問題1: 在前面的學習中,你學到了不等式的哪些性質?(用文字語言敘述)(鼓勵學生回答問題,用電子白版顯示三條性質的符號語言)問題2: 解一元一次方程最終的目的是把方程轉化成哪種形式?其主要的理論依據是什么?
(為問題3做鋪墊)
二、合作交流,探究新知
問題3: 利用不等式的性質解下列不等式:
(1)x?7?26(2)3x?2x?1 2(3)x?50(4)?4x?3 3(類比著解一元一次方程的方法教師先解(1),并用數(shù)軸表示其解集,然后讓學生試解(2)(3)(4)并和同學交流,最后教師點評。)
思考1:(3)(4)的求解過程,類似于解方程的哪一步變形? 思考2:依據不等式性質3解不等式時應注意什么? 隨堂練習:1.完成課本P119練習1 問題4: 2011年北京的最低氣溫是19℃,最高氣溫是28℃,你能把北京的氣溫用不等式表示出來嗎?
(符號“≥”讀作“大于或等于”,也可以說是“不小于”;符號“≤”讀作“小于或等于”,也可以說是“不大于”.形如a≥b或a≤b的式子也是不等式,它們具有類似前面所說的不等式的性質).隨堂練習:完成課本119頁練習2.問題5: 某長方體形狀的容器長5 cm,寬3 cm,高10 cm.容器內原有水的高度為3cm,現(xiàn)準備向它繼續(xù)注水.用V(單位:cm3)表示新注入水的體積,寫出V的取值范圍.(學生先合作探究,然后讓學生交流探究結果,最后老師講評并強調在解決實際問題的時候,要考慮取值的現(xiàn)實意義。)
三、歸納完善,豐富新知
1:如何利用不等式的性質解簡單不等式? 2:依據不等式性質3解不等式時應注意什么? 3:請說明符號“≥”和“≤”的含義?
四、布置作業(yè)
必做題:P120第5,7,8題.選做題:P120第9題
一元一次不等式課件
每位老師不可或缺的課件是教案課件,因此教案課件可能就需要每天都去寫。教案是課程開展的向導。今天小編為大家?guī)砹艘黄P于“一元一次不等式課件”的相關文章,如果你希望長期關注我的分享請不要忘記將它收藏起來!
一元一次不等式課件 篇1
【知識與技能】
1、了解一元一次不等式組的概念。
2、理解一元一次不等式組的解集,能求一元一次不等式組的解集。
3、會解一元一次不等式組。
【過程與方法】
通過具體問題得到一元一次不等式組,從而了解一元一次不等式組的概念,解出每個不等式,利用數(shù)軸求出各不等式解集的公共部分,從而得到不等式組的解集,通過解幾個有代表性的一元一次不等式組,總結出求不等式組解集的法則。
【情感態(tài)度】
運用數(shù)軸確定不等式組的解集是行之有效的方法。這種“數(shù)形結合”的方法今后經常用到,鍛煉同學們數(shù)形結合的能力,提高學習興趣。
【教學重點】
一元一次不等式組的解法。
【教學難點】
確定一元一次不等式組的解集。
一、情境導入,初步認識
問題1 現(xiàn)有兩根木條a和b,a長10cm,b長3cm,如果要再找一根木條c,用這三根木條釘成一個三角形木框,那么木條c的長度有什么要求?
解:由于三角形中兩邊之____大于第三邊,兩邊之____小于第三邊,設c的長為xcm,則x<____,①x>____,②
合起來,組成一個__________。
由①解得_____________,由②解得_____________。
在數(shù)軸上表示就是________________。
容易看出:x的取值范圍是____________________。
這就是說,當木條c比____cm長并且比____cm短時,它能與木條a和b一起釘成三角形木框。
問題2 由上面的解不等式組的過程用自己的語言歸納出一元一次不等式組的解法。
【教學說明】全班同學可獨立作業(yè),也可分組自由討論,10分鐘后交流成果,逐步得出結論。
二、思考探究,獲取新知
思考什么叫一元一次不等式組,什么叫一元一次不等式組的解集,什么叫解不等式組?
【歸納結論】
1、定義:
(1)一元一次不等式組:幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組的解集:幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。
(3)解不等式組:求一元一次不等式組的解集的過程叫解一元一次不等式組。
2、一元一次不等式組的解法:
(1)求出每個一元一次不等式的解集。
(2)求出這些解集的公共部分,便得到一元一次不等式組的解集。
一元一次不等式課件 篇2
一元一次不等式教案
教學目標
1、能夠根據實際問題中的數(shù)量關系,列一元一次不等式(組)解決實際問題.
2、通過例題教學,學生能夠學會從數(shù)學的角度認識問題,理解問題,提出問題,?? 學會從實際問題中抽象出數(shù)學模型.
3、能夠認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系,培養(yǎng)學生應用所學數(shù)學知識解決實際問題的意識.
教學重點? 能夠根據實際問題中的數(shù)量關系,列出一元一次不等式(組)解決 實際問題
教學難點? 審題,根據實際問題列出不等式.
例題? 甲、乙兩商場以同樣的。價格出售同樣的商品,并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案:在甲商場累計購物超過100元后,超出100元的部分按90%收費;在乙商場累計購物超過50元后,超出50元的部分按95%收費。顧客到哪家商場購物花費少??
解:設累計購物x元,根據題意得
(1)當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
(2)當50< x≤100時,到乙商場購物 m. 花費少;
(3)當x > 100時,到甲商場的花費為100+0.9(x-100) , 到乙商場的花費為50+0.95(x-50)則
50+0.95(x-50) > 100+0.9(x-100),解之得x >150
50+0.95(x-50) < 100+0.9(x-100),解之得x < 150
50+0.95(x-50) = 100+0.9(x-100),?? 解之得x = 150
答:當0 < x≤50時,到甲、乙兩商場購物花費一樣;
當50< x≤100時,到乙商場購物花費少;當x>150時,到甲商場購物花費少;當100 < x <150時,到乙商場購物花費少;當x=150時,到甲、乙兩商場購物花費一樣。
變式練習? 學校為解決部分學生的午餐問題,聯(lián)系了兩家快餐公司,兩家公司的報價、質量和服務承諾都相同,且都表示對學生優(yōu)惠:甲公司表示每份按報價的90%收費,乙公司表示購買100份以上的部分按報價的80%收費。問:選擇哪家公司較好?
解:設購買午餐x份,每份報價為“1”,根據題意得
0.9x > 100+0.8(x-100),解之得x >200
0.9x < 100+0.8(x-100),解之得x < 200
0.9x = 100+0.8(x-100),解之得x = 200
答:當x>200時,選乙公司較好;當0 < x <200時,選甲公司較好;當x=200時,兩公司實際收費相同。
作業(yè)
1、某商店5月1號舉行促銷優(yōu)惠活動,當天到該商店購買商品有兩種方案,方案一:用168元購買會員卡成為會員后,憑會員卡購買商店內任何商品,一律按商品價格的8折優(yōu)惠;方案二:若不購買會員卡,則購買商店內任何商品,一律按商品價格的9.5折優(yōu)惠。已知小敏5月1日前不是該商店的會員。請幫小敏算一算,采用哪種方案更合算?
2、某單位計劃10月份組織員工到杭州旅游,人數(shù)估計在10~25之間。甲乙兩旅行社的服務質量相同,且組織到杭州旅游的價格都是每人200元。該單位聯(lián)系時,甲旅行社表示可以給予每位旅客七五折優(yōu)惠;乙旅行社表示可先免去一帶隊領導的旅游費用,其余游客八折優(yōu)惠。問該單位怎樣選擇,可使其支付的旅游總費用較少?
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一元一次不等式課件 篇3
尊敬的各位老師:
大家好,今天,我說課的內容是一元一次不等式。
對于本節(jié)課,我將從教什么、怎么教、為什么這么教來闡述本次說課。
新課標指出:數(shù)學課程要面向全體學生,適應學生個性發(fā)展的需要,使得人人都能獲得良好的數(shù)學教育,不同的人在數(shù)學上都能得到不同的發(fā)展。今天我將貫徹這一理念從教材分析、學情分析、教學過程等幾個方面展開我的說課。
教材是連接教師和學生的紐帶,在整個教學過程中起著至關重要的作用,所以,先談談我對教材的理解。
本節(jié)課主要講述的是一元一次不等式的概念及其解法。
在本節(jié)課之前學生已經掌握了一元一次方程的相關知識和不等式的性質,所以,本節(jié)課類比一元一次方程的解法,利用不等式的性質解一元一次不等式。另外,本節(jié)課為后續(xù)學習解一元一次不等式組奠定基礎。
不等式在日常生產生活中的應用很廣泛,它與數(shù)、式、方程、函數(shù)甚至幾何圖形有著密切的聯(lián)系,它幾乎滲透到初中數(shù)學的每一部分。所以,本節(jié)課在數(shù)學領域中起著非常重要的地位。
合理把握學情是上好一堂課的基礎,本次課所面對的學生群體具有以下特點。
本學段的學生逐漸掌握抽象概念和復雜的概念系統(tǒng),能作科學定義,抽象邏輯思維逐步占優(yōu)勢。
本階段的學生類比推理能力都有了一定的發(fā)展,并且在生活中已經遇到過很多關于一元一次方程的具體的事例,所以在生活上面有了很多的經驗基礎。為本節(jié)課的順利開展做好了充分準備。
根據以上對教材的.分析以及對學情的把握,我制定了如下三維目標:
通過對比解一元一次方程的步驟,學生自己總結歸納一元一次不等式步驟的過程,提高歸納能力,并學會類比的學習方法。
通過數(shù)學建模,提高對數(shù)學的學習興趣。
本著新課程標準,吃透教材,了解學生特點的基礎上我確定了以下重難點:
掌握一元一次不等式的概念,會解一元一次不等式并能夠在數(shù)軸上表示出來。
一元一次不等式課件 篇4
人教版七年級數(shù)學下冊《一次函數(shù)與一元一次不等式》教學反思
例1:請畫出函數(shù)y=-3x+12的圖像,你能利用圖像解決下列問題嗎?
(1)方程-3x+12=0的解(2)不等式-3x+12>0的解集.
(3)如果y的值在-6≤y≤6的范圍內,那么相應的x的值在什么范圍內?
問題一提出,就有學生不假思索,答案脫口而出,前兩問也太簡單了吧?我提醒學生注意題目要求,這時有學生開始畫函數(shù)圖像。讓學生自己動手,畫出一次函數(shù)y=-3x+12的圖像,目的是讓學生從畫圖的過程中感受從左至右,直線是呈“下降”趨勢的。即y隨x的增大而減小。對于前兩問,學生還比較好理解,但到第3問,有些學生就找不到答案了。這時就要引導學生從第2問,開始延伸,當解-3x+12>0,即函數(shù)值為正數(shù)時,對應的函數(shù)的圖像在x軸的上方,y>0時,坐標系中表示的`是一個平面區(qū)域,在這個區(qū)域中找出對應的自變量x的取值范圍即為不等式的解。讓學生對第3問,再次進行探究,由圖像找出函數(shù)值在-6--6之間的部分,對應地可以找出自變量x的取值范圍。要求學生能在函數(shù)圖像上找到這個區(qū)域,老師再用多媒體進行動態(tài)演示。進一步激發(fā)學生思考,你能用其他方法解決這個問題嗎?學生能聯(lián)想到第3問也可以利用解不等式組的方法求出x的取值范圍。通過本題的解決,讓學生初步感受不等式與方程、函數(shù)的內在聯(lián)系
一元一次不等式課件 篇5
一元一次不等式的應用教案
一元一次不等式的應用教案 孫云云 一、前置作業(yè) 請自學課本12、13頁,相信你會有很大的收獲!帶著的你的例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 二、教學過程 一)導入 在現(xiàn)實中的許多問題,可以借助于一元一次不等式來解決。本節(jié)課我們來研究用元一次不等式解決實際 問題。 二、檢查前置作業(yè),交流組內存在問題 怎樣借助一元一次不等式解決實際問題 三、班級匯報展示 帶著你的`例子借助一元一次不等式來解決實際問題。 四、總結提升 你學會了什么? 五、布置作業(yè) 教學反思:開始課堂沉悶,學生有些緊張,后來在教師的調解下,氣氛活躍了。樊廣文出的題中缺少一個條件,馬悅出的三道題所提出的問題都有不正確,盡管學生在編的實際問題中出現(xiàn)了失誤,但學生真的動起來了,在思想的相互碰撞中,每個問題都得到了解決。但也有不足,如小組的時效性較小,雖然經歷了小組交流,但問題并未深入的解決,馬悅的三道題是代表小組的,但小組只停留在馬悅出題了,也沒有交流她出題的正確性。導致三道題都出現(xiàn)同一個問題。在今后的教學中教師更應該關注小組的時效性。
2023一元二次不等式課件
今天筆者為大家?guī)砹艘黄P于一元二次不等式課件的精彩文章,歡迎保存本網站,并時刻關注我們的最新動態(tài)。每位教師都應該在授課前準備充分的教案課件,只要在課前認真編寫好教案,便可以有效地促進學校的不斷發(fā)展。教案是推進教育教學創(chuàng)新的有力工具。
一元二次不等式課件 篇1
《一元二次不等式及其解法》
教 學 設 計 說 明
《一元二次不等式及其解法》教學設計說明
一.教學內容分析:
1.本節(jié)課內容在整個教材中的地位和作用.
必修五第三章不等式第二節(jié)一元二次不等式及其解法共有三個課時,本節(jié)課是第一課時,教學內容的地位體現(xiàn)在它的基礎性,作用體現(xiàn)在它的工具性.一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化,對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用.許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法.因此,一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學教學中具有很強的基礎性,體現(xiàn)出很大的工具作用. 2.教學目標定位.
根據教學大綱要求、高考考試大綱說明、新課程標準精神、高一學生已有的知識儲備狀況和學生心理認知特征,我確定了四個層面的教學目標.第一層面是面向全體學生的知識目標:熟練掌握一元二次不等式的解法,正確理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系.第二層面是能力目標,培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合與分類討論等數(shù)學思想方法解決問題的能力,提高運算和作圖能力.第三層面是德育目標,通過對解不等式過程中等與不等對立統(tǒng)一關系的認識,向學生逐步滲透辨證唯物主義思想.第四層面是情感目標,在教師的啟發(fā)引導下,學生自主探究,交流討論,培養(yǎng)學生的合作意識和創(chuàng)新精神. 3.教學重點、難點確定.
本節(jié)課是在復習了一元二次方程和二次函數(shù)之后,利用二次函數(shù)的圖象研究一元二次不等式的解法.只要學生能夠理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系,并利用其關系解不等式即可.因此,我確定本節(jié)課的教學重點為一元二次不等式的解法,關鍵是一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系. 二.教法學法分析:
數(shù)學是發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生良好意志品質和美好情感的重要學科,在教學中,我們不僅要使學生獲得知識、提高解題能力,還要讓學生在教師的啟發(fā)引導下學會學習、樂于學習,感受數(shù)學學科的人文思想,使學生在學習中培養(yǎng)堅強的意志品質、形成良好的道德情感.為了更好地體現(xiàn)課堂教學中“教師為主導,學生為主體”的教學關系和“以人為本,以學定教”的教學理念,在本節(jié)課的教學過程中,將緊緊圍繞教師組織——啟發(fā)引導,學生探究——交流發(fā)現(xiàn),組織開展教學活動.我設計了①回憶舊知,服務新知,②創(chuàng)設情境,提出問題,③合作交流,探究新知,④數(shù)學運用,深化認知,⑤練習檢測,反饋新知,⑥談談收獲,強化思想,⑦布置作業(yè),實踐新知,環(huán)環(huán)相扣、層層深入的教學環(huán)節(jié),在教學中注意關注整個過程和全體學生,充分調動學生積極參與教學過程的每個環(huán)節(jié). 三.教學過程分析:
(一)聯(lián)系舊知,構建新知
設置一系列的問題喚起學生對舊知識的回憶. 問題1:一元二次方程的解法有哪些呢?
(意圖:讓學生回顧一元二次方程的解法,為解一元二次不等式做準備.)
問題2:同學們還記得二次函數(shù)嗎?二次函數(shù)的形式是怎樣的?你記得二次函數(shù)的性質嗎?
(意圖:引導學生從圖象的角度出發(fā),并啟發(fā)學生二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,其開口方向由二次項系數(shù)決定,為突出重點做準備)
(二)創(chuàng)設情景,提出問題
1、讓學生動手畫直角坐標系,然后沿x軸方向上下對折這張紙,觀察它們的值有什么特點?
22、請在剛才的坐標系中畫出y=x-7x+6的圖像 問題1:
(1)x軸上方有無圖像?若有請用紅線描出。這部分圖像對應的y值如何?(2)x軸下方有無圖像?若有請用藍線描出。這部分圖像對應的y值如何?(3)紅線與藍線有無交點?若有請用綠色標出。
(4)你能找出上述各種情況的x的取值范圍嗎?請在圖中寫出。
問題2:你能說一說這兩個不等式有何共同特點么?(1)含有一個未知數(shù)x;
(2)未知數(shù)的最高次數(shù)為2。通過兩問題得出一元二次不等式的概念:一般地,只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式,叫做一元二次不等式。
問題3:判斷下列式子是不是一元二次不等式?
問題4:一元二次函數(shù)、一元二次方程之間有何聯(lián)系呢?
一元二次方程的解即一元二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標,也就是說方程的解即對應函數(shù)的零點。
問題5:一元二次不等式如何求解呢?
(三)合作交流,探究新知
1. 探究一元二次不等式x2?x?2?0的解.
容易知道:一元二次方程x2?x?2?0的有兩個實數(shù)根:x1??1或x2?2. 二次函數(shù)y?x2?x?2與x軸有兩個交點:??1,0?和?2,0?. 思考1:觀察圖象一元二次方程的根與二次函數(shù)之間有什么關系? 思考2:觀察圖象,當x為何值時,y?0;
當x為何值時,y?0; 當x為何值時,y?0.
(設計意圖 : ①體現(xiàn)學生的主體性;②有利于加強對圖象的認識,從而加強數(shù)形結合的數(shù)學思想 ;③有利于加強學生理解一元二次不等式的解相關的三個因素;④為歸納解一元二次不等式做好準備.根據前面探討的問題引導學生歸納一元二次不等式的解.)
2. 探究一元二次不等式ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0?a?0?的解法. 組織討論:從上面的例子出發(fā),綜合學生的意見,可以歸納出確定一元二次不等式的解集,關鍵要考慮:
2拋物線y?ax?bx?c與x軸的相關位置的情況,也就是一元二次方程2ax2?bx?c=0的根的情況,而一元二次方程根的情況是由判別式??b?4ac三 3 種取值情況(??0,??0,??0)來確定.
(設計意圖:這里我將運用多媒體圖標的形式來展現(xiàn)出其解法思路,學生有一個完整的邏輯思維,讓學生在探究中建立知識間的聯(lián)系,體會數(shù)形結合,強調突出本節(jié)的難點.)
(四)數(shù)學運用,深化認知.
2例1.求不等式2x?3x?2?0的解集. 2變式為:求不等式2x?3x?2?0的解集.
2例2.解不等式?x?2x?3?0.
(設計意圖:先讓學生來解答例題,若教師巡視、指導,講評學生完成情況,尋找學生中的閃光點,給予熱情表揚.)總結:
解一元二次不等式的步驟:
一化:化二次項前的系數(shù)為正(a>0).二判:判斷對應方程的根.三求:求對應方程的根.四畫:畫出對應函數(shù)的圖象.五解集:根據圖象寫出不等式的解集.(五)練習檢測,鞏固收獲
(設計意圖:為了鞏固和加深一元二次不等式的解法,讓學生學以致用,接下來及時組織學生進行課堂練習.然后就學生在解題中出現(xiàn)的問題共同糾正.)
(六)歸納小結,強化思想
設計意圖:梳理本節(jié)課的知識點,總結一元二次不等式解法的步驟:“一化,二判,三求根,四畫圖,五寫解集”的口訣來幫助學生記憶和歸納,讓學生掌握嚴謹?shù)淖鲱}方法,知曉本節(jié)課的重難點.
(七)布置作業(yè),拓展延伸
必做題:課本第80頁習題A組 1,2.選做題:(1)若關于m的一元二次方程x
2?(m?1)x?m?0有兩個不相 等的實數(shù)根,求m的取值范圍.2(2)已知不等式x?ax?b?0的解集為x2?x?3?,求a,b的
?值.(設計意圖:以作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性為出發(fā)點,我設計了必做題和選做題,必做題是對本節(jié)課內容的反饋,選做題是對本節(jié)課知識的延伸,整體的設計意圖是反饋教學,鞏固提高.)四.教學總結
本節(jié)課的所有內容以習題的形式展現(xiàn)給學生,學生始終在解題中探究,在解題中發(fā)現(xiàn),學生參與教學的全過程,成為課堂教學的主體和學習的主人,而老師只須時刻關注學生的活動過程,不時給予引導,及時糾正.
一元二次不等式課件 篇2
高中數(shù)學《一元二次不等式的解法(2)》教案
一、教學目標
【知識與技能】
掌握求解一元二次不等式的簡單方法,能正確求解一元二次不等式的解集。
【過程與方法】
在探究一元二次不等式的解法的過程中,提升邏輯推理能力。
【情感、態(tài)度與價值觀】
感受數(shù)學知識的前后聯(lián)系,提升學習數(shù)學的熱情。
二、教學重難點
【重點】一元二次不等式的解法。
【難點】一元二次不等式的解法的探究過程。
三、教學過程
(一)導入新課
回顧一元二次不等式的一般形式,組織學生舉例一些簡單的一元二次不等式。
提問:如何求解?引出課題。
(二)講解新知
結合課前回顧的一元二次不等式的一般形式,對比之前所學內容,引導學生發(fā)現(xiàn)其與一元二次方程和二次函數(shù)的共同特點。
一元二次不等式課件 篇3
新課程理念下的教學更多的關注學生自主探究、關注學生的個性發(fā)展,鼓勵學生勇于提出問題,培養(yǎng)學生思維的批評性。在課堂上學生往往會提出讓老師感到“意外”的問題,我在平時的教學中重視對“課堂意外預案”的探索和思考,備課時盡量設想課堂中可能會出現(xiàn)的各種情況,做到有備無患,以免在課堂中學生提出讓自己出乎意料的問題,使自己陷入被動尷尬境地。結合以往經驗,在本節(jié)課,我提出兩個“意外預案”。
1、學生在做課本練習1(x+2)(x-3)>0時,可能會問到轉化為不等式組{或{求解對不對。學生提出的問題,想法非常好,應給予肯定和鼓勵,這與下節(jié)簡單分式不等式和高次不等式的解法有關,是解不等式的另一種解法——等價轉化法,不在本節(jié)課之列。
2、根據以往的經驗,在解(x-1)(x+2)>1一類的不等式的時候,由于受方程(x+1)(x+2)=0可轉化為x-1=0或x+2=0求解的影響,有可能會出現(xiàn)將不等式轉化為不等式組{來求解的錯誤做法,教師要關注學生,及時發(fā)現(xiàn)問題并給予糾正,指出上面的轉化不是等價轉化。
以上是我對本節(jié)課的一些粗淺的認識和構想,如有不妥之處,懇請各位專家、各位同仁批評指正。謝謝大家!
一元二次不等式課件 篇4
一、教材分析
1、地位和作用。本課是五年制高等師范教材南京大學出版社《數(shù)學》教材第一冊第二章第二節(jié)的教學內容,從知識結構看:它是一元一次不等式的延續(xù)和拓展,又是以后研究函數(shù)的定義域、值域等問題的重要工具,起到承前啟后的作用;
從思想層次上看:它涉及到數(shù)形結合、分類轉化等數(shù)學思想方法,在整個教材中有很強的基礎性。
2、教材內容剖析。本節(jié)課的主要內容是通過二次函數(shù)的圖像探究一元二次不等式的解法。教材中首先復習引入了“三個一次”的關系,然后依舊帶新,揭示“三個二次”的關系,其次通過變式例題討論了△=0和△
3、重難點剖析。重點:一元二次不等式的解法。難點:一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)的關系。難點突破:
(1)教師引導,學生自主探究,分組討論。
(2)借助多媒體直觀展示,數(shù)形結合。
(3)采用由簡單到復雜,由特殊到一般的教學策略。
二、目的分析
知識目標:掌握一元二次不等式的解法,理解“三個二次”之間的關系
能力目標:培養(yǎng)學生“從形到數(shù)”的轉化能力,由具體到抽象再到具體,從特殊到一般的歸納概括能力。
情感目標:在自主探究與討論交流過程中,培養(yǎng)學生的合作意識。
三、教法分析
教法:“問題串”解決教學法
以“一串問題”為出發(fā)點,指導學生“動腦、動手、動眼、動口”,參與知識的形成過程,注重學生的內在發(fā)展。
學法:合作學習(1)以問題為依托,分組探究,合作交流學習。(2)以現(xiàn)有認知結構為依托,指導學生用類比方法建構新知,用化歸思想解決問題。
四、過程分析
本節(jié)課的教學,設計了四個教學環(huán)節(jié):
創(chuàng)設情景、提出問題
問題1:用一根長為10m的繩子能圍成一個面積大于6m2的矩形嗎?“數(shù)學來源于生活,應用于生活”,首先,以生活中的一個實際問題為背景切入,通過建立簡單的數(shù)學模型,抽象出一個一元二次不等式,引入課題。
設計意圖:激發(fā)學生學習興趣,體現(xiàn)數(shù)學的科學價值和使用價值。
自主探究,發(fā)現(xiàn)規(guī)律
問題2:解下列方程和不等式。①2x—4=0②2x—4>0③2x—4
歸納、類比法是我們發(fā)現(xiàn)問題、尋求規(guī)律,揭示問題本質最常用的方法之一。尋求一元二次不等式的解法,首先從一元一次不等式的解法著手。展示問題2。學生:用等式和不等式的基本性質解題。教師:還有其他的解決方法嗎?展示問題3。
問題3:畫出一次函數(shù)y=2x—4的圖像,觀察圖像,縱坐標y=0、y>0、y
學生:發(fā)現(xiàn)可以借用圖像解題。此問題揭示了“三個一次”的關系。
設計意圖:為后面學習二次不等式的解法提供鋪墊。
問題4:用圖像法能不能解決一元二次不等式的解呢?已知二次函數(shù)y=x2—2x—8。
(1)求出此函數(shù)與x軸的交點坐標。
(2)畫出這個二次函數(shù)的草圖。
(3)在拋物線上找到縱坐標y>0的點。
(4)縱坐標y>0(即:x2—2x—8>0)的點所對應的橫坐標x取哪些數(shù)呢?
(5)二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的關系是什幺?
教師:展示問題4。此環(huán)節(jié),要注意下面幾個問題:
(1)啟發(fā)引導學生運用歸納、類比的方法,組織學生分組討論,自主探究。(2)及時解決學生的疑點,實現(xiàn)師生合作。(3)先讓學生自己思考,最后教師和學生一起歸納步驟。(求根—畫圖—找解),抓住問題本質,畫圖可省去y軸。教師抓住時機,展示例題1,鞏固方法(△>0的情況),規(guī)范步驟,板書做題步驟,起到示范的作用。設計意圖:運用“解決問題”的教學方法,使每位學生參與知識的形成過程,體現(xiàn)了教師主導學生主體的地位。
變式提問,啟發(fā)誘導
方程:ax2+bx+c=0的解情況函數(shù):y=ax2+bx+c的圖象
不等式的解集
ax2+bx+c>0ax2+bx+c
⊿>0
⊿=0
⊿
教師:展示例題2(1)—x2+x+6≥0(2)x2—4x+40。
學生:嘗試通過畫圖求解。
此環(huán)節(jié)要注意:引導學生把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題解決;對于△=0,△
設計意圖:通過探索、嘗試的過程,培養(yǎng)了學生大膽猜想,勇于探索的精神。
自我嘗試,反饋小結。
教師:展示練習題,把學生分成兩個小組,要求當堂完成,看哪個組做的好做的快。教師對出現(xiàn)的問題及時反饋。同時,進一步啟發(fā)引導學生將特殊、具體問題的結論推廣到一般化。展示表格。
學生:填寫內容。
學生理解了“三個二次”的關系,得到一般結論應該是水到渠成。最后,教師做本節(jié)課的小結,布置作業(yè)。設計意圖:激發(fā)了學生的求知欲,培養(yǎng)了學生的主動參與意識。
五、評價分析
1、重視學生學習的結果評價,更重視過程評價。
2、本節(jié)課貫徹了新課程的理念,教學形式開放,體現(xiàn)了“教師主導,學生主體”的教學關系。以上是我對本節(jié)課的粗淺認識,如有不妥之處,懇求各位專家、各位同仁批評指正。
一元二次不等式課件 篇5
一元二次不等式及其解法教學反思
塘沽中專-----戚衛(wèi)民
我在13級電子班教室上了一節(jié)課,由此我進行了深刻的反思:
我教的是一個普通中專的班,學生基礎比較差。因此,第一,課前組織很重要,給 學生 做思想 工 作,這 節(jié) 課很重要,是大家表現(xiàn) 自己 的好機會,同 學 們應該遵守紀律,積極發(fā)言,展示 自己 班良好的素質和班風。這樣學生激情會高一些,自然課堂也會活躍一些。第二,把握本節(jié)課的難點,課前做好鋪墊。一元二次不等式及其解法看上去好像很簡單,但是它需要同學們有很好的基礎,解一元二次方程的基礎。而學生在初中只是熟悉用求根公式解方程,對于十字相乘法分解因式只有極個別會,對于這種情形我在課前把一元二次方程的解法好好的補了一下。還有二次函數(shù)的圖象畫法,也好好的復習一下,加深鞏固,突破難點,使得這節(jié)課能順利進行下去。
盡管這樣我的課堂效果也不是很好,這是為什么呢?我陷入迷茫之中可能是我的學生不適應教學方式?可能是學生緊張?弄錯?后來想想可能我沒有好好地備學生。我覺得這節(jié)課的教案應該這樣設計,可能會更好:課前引入去掉,應該在復習時讓學生解一元二次方程,畫二次函數(shù)圖象,這樣學生容易進入狀態(tài)。然后直接導入新課,有特殊到 一般,由具體到抽象,逐步揭開解一元二次不等式的方法。給出例題應由淺入深,先給出形如這樣的:(x-2)(x-3)
讓他們好求方程的根,從而畫圖求不等式的解集,為后續(xù)例題做鋪墊。作為教師我應該很規(guī)范的板書。以給學生榜樣。然后給出形如這樣的不等式:x2+3x-4≥0 由上道題的啟示他們自然會去驗證Δ,用十字相乘法求一元二次方程x2+3x-4=0 的根,畫函數(shù)的圖像,從而求出解集。從這兩道題讓他們自己歸納一下解一元二次不等式的步驟,再出課本習題,這樣他們一定可以解出來,此種做法可以提高他們的解興趣,把課堂氣氛變得濃烈一些。接著給出-x2-3x+4>0提醒他們要把二項式系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)。用課本課后題做練習。再給出x2-3x+4>0這種Δ0Δ=0的情形。根據二次函數(shù)的圖像學生應該可以解決。
一節(jié)課究竟要解決什么問題,怎樣解決這是課堂的首要。貼近學生實際,層層深入,各個擊破,幫學生排憂解難,同時發(fā)揮他們的主觀能動性,讓學感受到自己是課堂的主人,這是教師課堂的主旨。還有一點非常重要,老師必須要有很強的親和力。其實親和力的前提是要有愛心,有愛才會親。一個孩子在班上是六十分之一,但在一個家庭是百分百,所以我覺得我們應該向愛我們自己的孩子一樣去愛他們,讓學生感受到我們的關懷,怎樣做到愛學生,我覺得自己以后可這樣努力 :記住每一個學生的名字,在路上和他們打招呼,下課和他們談談心,說笑說笑,不 要說一些傷學生人 格的話語,適當鼓勵他們,人心都是肉長的呀,他們會感覺得到的。成績差的學生其實是非常敏感的,也是很容易叛逆的,在任何時候老師都要想到自己是成年人,是長者,要站在一定的高度考慮我們的學生,設身處地為他們想象。這樣就不會有芥蒂,沖突,代溝。這節(jié)課我比較真實展現(xiàn)我的學生和我自己。無論從哪一方面,業(yè)務能力,管理能力,對學生的掌控能力,課堂的把握能力。我都有待學習提高。我會努力的!
一元二次不等式課件 篇6
《一元二次不等式解法》說課稿范文
一、 教材簡析
1、地位和價值
一元二次不等式解法是高中數(shù)學新教材第一冊(上)第一章第5節(jié)的內容。在此之前,學生在初中已學習了一元一次不等式,一元一次不等式組,一元二次方程,二次函數(shù),絕對值不等式(高中),這為過渡到本節(jié)的學習起著鋪墊作用。一元二次不等式解法是解不等式的基礎和核心,它在高中代數(shù)中起著廣泛應用的工具作用,蘊藏著“數(shù)與形結合”的重要思想方法,它已成為代數(shù)、三角、解析幾何交匯綜合的重要部分,是高考綜合題的熱點。
2、教材結構簡介
教材首先以一個一次函數(shù)圖象的應用解一元一次不等式,引出圖象法,然后給出一個二次函數(shù),通過具體畫圖象,提出問題。再一般地給出了二次函數(shù)圖象解二次不等式的結論。課本精選了四個解不等式的例題,并配有相應的練習和習題。它的后一小節(jié)為解可轉化為一元二次不等式的分式不等式。
二、 教育教學觀
1、 學生為主體,重學生參與學習活動。
2、 重過程。按照認知規(guī)律及學生認知特點,由淺入深,由表及里,設計一系列教學活動過程。體現(xiàn)由“實踐……觀察……歸納 ……猜想…… 結論…… 驗證應用”的循環(huán)往復的認知過程。
3、 重能力與態(tài)度的培養(yǎng),在活動中培養(yǎng)學生自主、交流合作、探究、發(fā)現(xiàn)的能力。重科學嚴謹?shù)膫€性品質。重參與學習的興趣和體驗。
4、 重指導點撥。在學生自主探究、實踐的基礎上,相機啟發(fā),恰當點撥,促進學生知識由感性向理性提升,由具體到概括抽象,形成師生間的有效互動。
三、 教學目標
基于上述認識,及不等式的基本知識,同時學生在初中已學過二次函數(shù),考慮到學生已有的認知結構心理特征,制訂如下教學目標:
1、 知識目標:一元二次方程,一元二次不等式及二次函數(shù)間的聯(lián)系,及利用二次函數(shù)的圖象求解一元二次不等式。
2、 能力目標:數(shù)形結合的思想(應用二次函數(shù)圖象解不等式)
3、 情感態(tài)度目標:通過問題解決,培養(yǎng)學生自主參與學習,以及嚴謹求實的.態(tài)度。
四、 教與學重點、難點
1、重點:用圖象解一元二次不等式。
2、難點:圍繞二次函數(shù)圖象、性質這一主線,解決三個“二次”的聯(lián)系和應用。
五、 教法與學法
1、學情分析及學法:函數(shù)與圖象應用是初中生數(shù)學的薄弱之處,同時剛進入高中的學生,對高中學習還很不適應,需要加強主動學習的指導?;诖?,在學生初中知識經驗的基礎上,以舊探新;以一系列問題,促進主體的學習活動(如畫圖象、讀圖等),建構知識;以問題情景激勵學生參與,在恰當時機進行點撥啟發(fā),練、導結合,講練結合;通過學生自己做數(shù)學,教師啟發(fā)指導,以及學生領悟,實現(xiàn)學生對知識的再創(chuàng)造和主動建構;具體通過教材中的問題及設計的問題情景,給予學生活動的空間,通過這些問題(“腳手架”)的解決,使學生逐步攀升,達到知識與能力的目標。
2、教法:數(shù)學教學是數(shù)學教與學活動過程的教學,學生是在探究與發(fā)現(xiàn)中建構知識,發(fā)展能力的,因而確定以“問題解決”為教法。實現(xiàn)學生在教師指導下的發(fā)現(xiàn)探索。同時所學內容適宜用“計算機高中數(shù)學問題處理系統(tǒng)”輔助教學。
六、教學手段及工具:
多媒體教學手段,高中數(shù)學問題處理系統(tǒng)。
七、教學設計及教學過程
1、復習設問,引入新課
高中數(shù)學新教材第一冊(上)《一元二次不等式解法》(第一課時)說課稿.rar
一元二次不等式課件 篇7
解一元二次不等式化為標準型。判斷△的符號。若△<0,則不等式是在R上恒成立或恒不成立。
若△>0,則求出兩根,在數(shù)軸上標出,每個根上畫一條豎線,再從右到左相間標正負號,不等式大于0則取標正的范圍,小于0則取標負的范圍。
2.解簡單一元高次不等式
a.化為標準型。
b.將不等式分解成若干個因式的積。
c.求出各個根,在數(shù)軸上標出,每個根上畫一條豎線,再從右到左相間標正負號,不等式大于0則取標正的范圍,小于0則取標負的范圍。
3.解分式不等式的解
a.化為標準型。
b.可將分式化為整式,將整式分解成若干個因式的積。
c.求出各個根,在數(shù)軸上標出,每個根上畫一條豎線,再從右到左相間標正負號,不等式大于0則取標正的范圍,小于0則取標負的范圍。(如果不等式是非嚴格不等式,則要注意分式分母不等于0。)
4.解含參數(shù)的一元二次不等式
a.對二次項系數(shù)a的討論。
若二次項系數(shù)a中含有參數(shù),則須對a的符號進行分類討論。分為a>0,a=0,a<0。
b.對判別式△的討論
若判別式△中含有參數(shù),則須對△的符號進行分類討論。分為△>0,△=0,△<0。
c.對根大小的討論
若不等式對應的方程的根x1、x2中含有參數(shù),則須對x1、x2的大小進行分類討論。分為x1>x2,x1=x2,x1<x2。
5.一元二次方程的根的分布問題
a.將方程化為標準型。(a的符號)
b.畫圖觀察,若有區(qū)間端點對應的函數(shù)值小于0,則只須討論區(qū)間端點的函數(shù)值。
若沒有區(qū)間端點對應的函數(shù)值小于0,則須討論區(qū)間端點的函數(shù)值、△、軸。
6.一元二次不等式的應用
⑴在R上恒成立問題(恒不成立問題相反,在某區(qū)間恒成立可轉化為實根分布問題)
a.對二次項系數(shù)a的符號進行討論,分為a=0與a≠0。
b.a=0時,把a=0帶入,檢驗不等式是否成立,判斷a=0是否屬于不等式解集。
a≠0時,則轉化為二次函數(shù)圖像全在x軸上方或下方。
若f(x)>0,則要求a>0,△<0。
若f(x)<0,則要求a<0,△<0。
⑵特殊題型:已知一不等式的解集(含有字母),求另一不等式的解集(與原不等式系數(shù)大小相同,位置不同)。a.寫出原不等式對應的方程,由韋達定理得出解集字母與方程系數(shù)間的關系。
b.寫出變換后不等式對應的方程,由由韋達定理得出解集字母與方程系數(shù)間的關系。
c.將a中得到的關系變化后帶入b的關系中,得到變換后方程的兩根。
d.判斷兩根的大小,變換后不等式二次項的系數(shù),從而寫出所求解集。
一元二次不等式課件 篇8
一、教材分析
(一)教材的地位和作用
“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知識上的延伸和發(fā)展,又是本章集合知識的運用與鞏固,也為下一章函數(shù)的定義域和值域教學作鋪墊,起著鏈條的作用。同時,這部分內容較好地反映了方程、不等式、函數(shù)知識的內在聯(lián)系和相互轉化,蘊含著歸納、轉化、數(shù)形結合等豐富的數(shù)學思想方法,能較好地培養(yǎng)學生的觀察能力、概括能力、探究能力及創(chuàng)新意識。
(二)教學內容
本節(jié)內容分2課時學習。本課時通過二次函數(shù)的圖象探索一元二次不等式的解集。通過復習“三個一次”的關系,即一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關系;以舊帶新尋找“三個二次”的關系,即二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關系;采用“畫、看、說、用”的思維模式,得出一元二次不等式的解集,品味數(shù)學中的和諧美,體驗成功的樂趣。
二、教學目標分析
根據教學大綱的要求、本節(jié)教材的特點和高一學生的認知規(guī)律,本節(jié)課的教學目標確定為:
知識目標——理解“三個二次”的關系;掌握看圖象找解集的方法,熟悉一元二次不等式的解法。
能力目標——通過看圖象找解集,培養(yǎng)學生“從形到數(shù)”的轉化能力,“從具體到抽象”、“從特殊到一般”的歸納概括能力。
情感目標——創(chuàng)設問題情景,激發(fā)學生觀察、分析、探求的學習激情、強化學生參與意識及主體作用。
三、重難點分析
一元二次不等式是高中數(shù)學中最基本的不等式之一,是解決許多數(shù)學問題的重要工具。本節(jié)課的重點確定為:一元二次不等式的解法。
要把握這個重點。關鍵在于理解并掌握利用二次函數(shù)的圖象確定一元二次不等式解集的方法——圖象法,其本質就是要能利用數(shù)形結合的思想方法認識方程的解,不等式的解集與函數(shù)圖象上對應點的橫坐標的內在聯(lián)系。由于初中沒有專門研究過這類問題,高一學生比較陌生,要真正掌握有一定的難度。因此,本節(jié)課的難點確定為:“三個二次”的關系。要突破這個難點,讓學生歸納“三個一次”的關系作鋪墊。
四、教法與學法分析
(一)學法指導
教學矛盾的主要方面是學生的學。學是中心,會學是目的。因此在教學中要不斷指導學生學會學習。本節(jié)課主要是教給學生“動手畫、動眼看、動腦想、動口說、善提煉、勤鉆研”的研討式學習方法,這樣做增加了學生自主參與,合作交流的機會,教給了學生獲取知識的途徑、思考問題的方法,使學生真正成了教學的主體;只有這樣做,才能使學生“學”有新“思”,“思”有新“得”,“練”有新“獲”,學生也才會逐步感受到數(shù)學的美,會產生一種成功感,從而提高學生學習數(shù)學的興趣;也只有這樣做,課堂教學才富有時代特色,才能適應素質教育下培養(yǎng)“創(chuàng)新型”人才的需要。
(二)教法分析
本節(jié)課設計的指導思想是:現(xiàn)代認知心理學——建構主義學習理論。
建構主義學習理論認為:應把學習看成是學生主動的建構活動,學生應與一定的知識背景即情景相聯(lián)系,在實際情景下進行學習,可以使學生利用已有知識與經驗同化和索引出當前要學習的新知識,這樣獲取的知識,不但便于保持,而且易于遷移到陌生的問題情景中。
本節(jié)課采用“誘思引探教學法”。把問題作為出發(fā)點,指導學生“畫、看、說、用”。較好地探求一元二次不等式的解法。
五、課堂設計
本節(jié)課的教學設計充分體現(xiàn)以學生發(fā)展為本,培養(yǎng)學生的觀察、概括和探究能力,遵循學生的認知規(guī)律,體現(xiàn)理論聯(lián)系實際、循序漸進和因材施教的教學原則,通過問題情境的創(chuàng)設,激發(fā)興趣,使學生在問題解決的探索過程中,由學會走向會學,由被動答題走向主動探究。
(一)創(chuàng)設情景,引出“三個一次”的關系
本節(jié)課開始,先讓學生解一元二次方程x2—x—6=0,如果我把“=”改成“>”則變成一元二次不等式x2—x—6>0讓學生解,學生肯定感到很突然。但是“思維往往是從驚奇和疑問開始”,這樣直奔主題,目的在于構造懸念,激活學生的思維興趣。
為此,我設計了以下幾個問題:
1、請同學們解以下方程和不等式:
①2x—7=0;②2x—7>0;③2x—7
一元二次不等式課件 篇9
1.創(chuàng)設情景——引入新課。我們常說“興趣是最好的老師”,長期以來,學生對學習數(shù)學缺乏興趣,甚至失去信心,一個重要的原因,是老師在教學中不重視學生對學習的情感體驗,教學應該充分考慮學生的情感和需要,想方設法讓學生在學習中樹立信心,感受學習的樂趣。根據教材內容的安排,我以學生熟悉的畫一次函數(shù)圖象、求一次方程和一次不等式的解為背景知識切入,設置一個練習題組,一方面讓學生總結復習已有知識,為后面學習二次不等式的解法打下基礎,做好鋪墊,另一方面,使學生在自己熟悉的問題中首先獲得解題成功的快樂體驗,然后以20xx年江蘇省的一道高考試題為引子,引入本節(jié)課的新授內容。對于本題,引導學生,利用上面解練習題組1的方法,畫出二次函數(shù)圖象來解答。二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內容,本題又給出了函數(shù)圖象上許多點,相信學生畫出圖象應該不成問題,只要教師適當點撥,學生不難得到正確答案。以高考試題為背景引入新課,可以提高學生興趣,抓住學生眼球,吸引學生注意力,還可以讓學生實實在在感受到,高考題就在我們的課本中,就在我們平常的練習中。
2.探究交流——發(fā)現(xiàn)規(guī)律。從特殊到一般是我們發(fā)現(xiàn)問題、尋求規(guī)律、揭示問題本質最常用的方法之一。我把課本例題1、2編為練習題組(一),交由學生用上面解高考題的方法——圖象法去解,學生由于熟知二次函數(shù)圖象,求解應該不會有太大的問題。在這個過程中,教師要啟發(fā)引導學生注意對比兩題的異同,組織引導學生展開交流討論,探討第(2)題能不能先把二次項系數(shù)化正以后再構造函數(shù)畫圖求解。然后達成共識,如果二次項系數(shù)為負數(shù)時,先做等價轉化,把二次項系數(shù)化為正數(shù)再解,課本19頁例3、例4作為題組(二),繼續(xù)讓學生用上面的圖象法,由學生自己求解,這時我及時提示學生注意這兩題與題組(一)中兩題的不同(例1、例2對應方程都有兩個不等實根,例3對應方程有兩相等實根,例4對應方程無實根)。兩個題組的練習之后,可以尋求解二次不等式的一般規(guī)律。
3.啟發(fā)引導——形成結論。前面兩個題組的四個小題,基本涵蓋了一般一元二次不等式解的各種情況,進一步啟發(fā)引導學生將特殊、具體題目的結論做一般化總結,與學生一起就△>0,△<0,△=0的三種情況,總結二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解的情況應該水到渠成。至此,學生可以感受到,解二次不等式只須①將二次項系數(shù)化為正數(shù),②求解二次方程ax2+bx+c=0的.根。③根據①后的二次不等式的符號寫出解集即可,必要時也可以結合圖象寫解集。這樣我們就得到了二次不等式的另外一種解法(可稱為“三步曲”法)。
4.訓練小結——鞏固深化。為了鞏固和加深二次不等式的兩種解法,接下來及時組織學生進行課堂練習,完成課本21頁練習1—4題。本環(huán)節(jié)請不同層次的學生在黑板上書寫解題過程,之后師生共同糾正問題,規(guī)范解題過程的書寫。
5.延伸拓寬——提高能力。課堂教學既要面向全體學生,又應關注學生的個體差異。體現(xiàn)分類推進,分層教學的原則。為此,我又設計了一個提高練習題組,共有三道備選題目,以供程度較好學有余力的學生能夠更好的展示自己的解題能力,取得更進一步的提高。
一元二次不等式課件 篇10
展過程一元二次不等式教學設計
一、教學內容分析:
1、教材地位和作用
本節(jié)課是數(shù)學(基礎模塊)上冊第二章第三節(jié)《一元二次不等式》。從內容上看它是我們初中學過的一元一次不等式的延伸,同時它也與一元二次方程、二次函數(shù)之間聯(lián)系緊密,涉及的知識面較多。從思想層面看,本節(jié)課突出本現(xiàn)了數(shù)形結合思想。同時一元二次不等式是解決函數(shù)定義域、值域等問題的重要工具,因此本節(jié)課在整個中學數(shù)學中具有較重要的地位和作用。
2、教學目標
知識目標:正確理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)的關系。熟練掌握一元二次不等式的解法。
能力目標:培養(yǎng)數(shù)形結合思想、抽象思維能力和形象思維能力。
思想目標:在教學中滲透由具體到抽象,由特殊到一般,類比猜想、等價轉化的數(shù)學思想方法。
情感目標:通過具體情境,使學生體驗數(shù)學與實踐的緊密聯(lián)系,感受數(shù)學魅力,激發(fā)學生求知欲望。
3、重難點
重點:一元二次不等式的解法。
難點:一元二次方程,一元二次不等式與二次函數(shù)的關系。
二、學生情況分析:
我們的學生是在學習了一元一次不等式,一元一次方程、一元一次函數(shù),一元二次方程的基礎上學習一元二次不等式。但大都數(shù)學生的基礎都不是很好,解一元二次方程有一定的困難。
三、教學環(huán)境分析:教學環(huán)境應包括和諧的師生關系、多媒體的合理應用、良好的課堂組織、合理的問題情境。創(chuàng)設和諧的師生關系有利于提高學習效率,我們學校要建立和諧的師生關系是需要花很多心思的,特別是就業(yè)班的同學,且要有一個相當長的適應時間。我們學校的每位老師都有手提電腦,每間教室都有寬屏電子顯示器,老師都能熟練掌握多媒體設備的運用。運用多媒體教學效果好、學生容易理解、學習的積極性高。上課時比較注意創(chuàng)設合適的問題情境,效果會不錯,學生從生活實際出發(fā),回答所提的問題,不知不覺學習了新的知識,他們不會感覺到學習疲勞,反而能積極主動地學習。
四、教學目標分析:
知識與技能:正確理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)的關系。熟練掌握一元二次不等式的解法。
過程與方法:通過看圖象找解集,培養(yǎng)學生從從形到數(shù)的轉化能力,從具體到抽象、從特殊到一般的歸納概括能力;通過對問題的思考、探究、交流,培養(yǎng)學生良好的數(shù)學交流能力,增強其數(shù)形結合的思維意識。在教學中滲透由具體到抽象,由特殊到一般,類比猜想、等價轉化的數(shù)學思想方法。
情感態(tài)度與價值觀:通過具體情境,使學生體驗數(shù)學與實踐的緊密聯(lián)系,激發(fā)學生學習研究一元二次不等式的積極性和對數(shù)學的情感,使學生充分體驗獲取知識的成功感受;在探究、討論、交流過程中培養(yǎng)學生的合作意識和團隊精神,使其養(yǎng)成嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和良好的思維習慣。
一元二次不等式課件 篇11
《一元二次不等式及其解法(第1課時)》教學設計
Eric 一 內容分析
本節(jié)課內容的地位體現(xiàn)在它的基礎性,作用體現(xiàn)在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化,對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用,也與后面的函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、線形規(guī)劃、直線與圓錐曲線以及導數(shù)等內容密切相關。許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法。因此,一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學教學中具有很強的基礎性,體現(xiàn)出很大的工具作用。
二 學情分析
學生已經掌握了高中所學的基本初等函數(shù)的圖象及其性質, 能利用函數(shù)的圖象及其性質解決一些問題。學生知道不等關系, 掌握了不等式的性質, 通過這部分內容的學習, 學生將學會利用二次函數(shù)的圖象, 通過數(shù)形結合的思想, 掌握一元二次不等式的解法。
三 教學目標
1.知識與技能目標:(1)熟練應用二次函數(shù)圖象解一元二次不等式的方法(2)了解一元二次不等式與相應函數(shù), 方程的聯(lián)系 2.過程與方法:(1)通過學生已學過的一元一次不等式為例引入一元二次不等式的有關概及解法(2)讓學生觀察二次函數(shù),在此基礎上, 找到一元二次不等式的解法并掌握此解法(3)在學生尋找一元二次不等式的過中程中培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思想 3.情感與價值目標:(1)通過新舊知識的聯(lián)系獲取新知,使學生體會溫故而知新的道理
(2)通過對解不等式過程中等與不等對立統(tǒng)一關系的認識,向學生逐步滲透辨證唯物主義思想。
(3)在教師的啟發(fā)引導下,學生自主探究,交流討論,培養(yǎng)學生的合作意識和創(chuàng)新精神。
四 教學重點、難點 1.重點
一元二次不等式的解法 2.難點
理解元二次方程與一元二次不等式解集的關系
五 教學方法
啟發(fā)式教學法,討論法,講授法
六 教學過程
1.創(chuàng)設情景,提出問題(約10分鐘)
師:在初中,我們解過一元一次不等式,如解不等式x – 1 > 0,現(xiàn)在請同學們先畫出函數(shù)y = x – 1 的圖象,并通過觀察圖象回答以下問題: 1)x 為何值時,y = 0;2)x 為何值時,y > 0;3)x 為何值時,y 0的解集能從函數(shù)y = x – 1上看出來嗎?
學生畫圖,思考。先把問題交給學生自主探究,過一段時間,再小組交流,此間教師巡視并指導。提問學生代表。
通過對上述問題的探究,學生得出以下結論:
因為上述方程x – 1 = 0以及不等式x – 1 > 0的左邊恰好是上述函數(shù)y = x3x – 2 > 0;2)4x23x – 2 = 0的解是x1 =-1/2, x2 = 2.所以2x24x + 1 = 0 的解是x1 = x2 = 1/2, 所以不等式4x22x + 3
練習:課本80頁練習第1題(1)-(3)【靈活掌握】.師:今天我們這節(jié)課的內容有兩個: 1)會一元二次不等式的解法 2)理解三個“二次”的關系
作業(yè):課本第80頁 習題 A
4.板書設計
§ 一元二次不等式及其解法
解不等式x2 – x – 6 > 0, 請先畫出二次函數(shù) y = x2 – x – 6的圖像,并回答以下問題: 1)x 為何值時,y = 0;y > 0;y 0的解集呢?
七 教學反思
組1、2題 例,解不等式:
1)2x24x + 1 > 0;3)-x2 + 2x – 3
解:1)因為Δ =(-3)2 – 4×2×(-2)= 25 > 0, 方程的2x23x – 2 > 0的解集是{x| x1 2}.2)因為Δ = 0,方程4x24x + 1 > 0的解集是{x|x ≠ 1/2}.
一元二次不等式課件 篇12
各位評委、各位老師:
大家好!
我叫,來自。今天我說課的課題是《一元二次不等式的解法》(第一課時)。下面我將圍繞本節(jié)課“教什么?”、“怎樣教?”以及“為什么這樣教?”三個問題,從教材內容分析、教法學法分析、教學過程分析和課堂意外預案等幾個方面逐一加以分析和說明。
一、教材內容分析:
1、本節(jié)課內容在整個教材中的地位和作用。
概括地講,本節(jié)課內容的地位體現(xiàn)在它的基礎性,作用體現(xiàn)在它的工具性。一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化,對已學習過的集合知識的鞏固和運用具有重要的作用,也與后面的函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、線形規(guī)劃、直線與圓錐曲線以及導數(shù)等內容密切相關。許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法。因此,一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學教學中具有很強的基礎性,體現(xiàn)出很大的工具作用。
2、教學目標定位。
根據教學大綱要求、高考考試大綱說明、新課程標準精神、高一學生已有的知識儲備狀況和學生心理認知特征,我確定了四個層面的教學目標。第一層面是面向全體學生的知識目標:熟練掌握一元二次不等式的兩種解法,正確理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系。第二層面是能力目標,培養(yǎng)學生運用數(shù)形結合與等價轉化等數(shù)學思想方法解決問題的能力,提高運算和作圖能力。第三層面是德育目標,通過對解不等式過程中等與不等對立統(tǒng)一關系的認識,向學生逐步滲透辨證唯物主義思想。第四層面是情感目標,在教師的啟發(fā)引導下,學生自主探究,交流討論,培養(yǎng)學生的合作意識和創(chuàng)新精神。
3、教學重點、難點確定。
本節(jié)課是在復習了一次不等式的解法之后,利用二次函數(shù)的圖象研究一元二次不等式的解法。只要學生能夠理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系,并利用其關系解不等式即可。因此,我確定本節(jié)課的教學重點為一元二次不等式的解法,關鍵是一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)三者的關系。
二、教法學法分析:
數(shù)學是發(fā)展學生思維、培養(yǎng)學生良好意志品質和美好情感的重要學科,在教學中,我們不僅要使學生獲得知識、提高解題能力,還要讓學生在教師的啟發(fā)引導下學會學習、樂于學習,感受數(shù)學學科的人文思想,使學生在學習中培養(yǎng)堅強的意志品質、形成良好的道德情感。為了更好地體現(xiàn)課堂教學中“教師為主導,學生為主體”的教學關系和“以人為本,以學定教”的教學理念,在本節(jié)課的教學過程中,我將緊緊圍繞教師組織——啟發(fā)引導,學生探究——交流發(fā)現(xiàn),組織開展教學活動。我設計了①創(chuàng)設情景——引入新課,②交流探究——發(fā)現(xiàn)規(guī)律,③啟發(fā)引導——形成結論,④練習小結——深化鞏固,⑤思維拓展——提高能力,五個環(huán)環(huán)相扣、層層深入的教學環(huán)節(jié),在教學中注意關注整個過程和全體學生,充分調動學生積極參與教學過程的每個環(huán)節(jié)。
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