正弦定理教案

發(fā)布時(shí)間:2024-07-17 正弦定理教案正弦教案

正弦定理教案模板十一篇。

常言道，優(yōu)秀的人都是有自己的事先計(jì)劃。在上課時(shí)幼兒園的老師都想讓自己的課堂知識(shí)能夠吸引小朋友們的注意力，為了加強(qiáng)學(xué)習(xí)效率，我們一般會(huì)事先準(zhǔn)備好教案，教案有助于讓同學(xué)們很好的吸收課堂上所講的知識(shí)點(diǎn)。關(guān)于好的幼兒園教案要怎么樣去寫(xiě)呢？下面是小編幫大家整理的正弦定理教案模板十一篇,歡迎閱讀，希望對(duì)你有幫助。

正弦定理教案【篇1】

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的邊和角的基本關(guān)系；同時(shí)在必修4，學(xué)生也學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量等內(nèi)容。這些為學(xué)生學(xué)習(xí)正弦定理提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形邊、角之間數(shù)量關(guān)系的重要公式，本節(jié)內(nèi)容同時(shí)又是學(xué)生學(xué)習(xí)解三角形，幾何計(jì)算等后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)，而且在物理學(xué)等其它學(xué)科、工業(yè)生產(chǎn)以及日常生活等常常涉及解三角形的問(wèn)題。依據(jù)教材的上述地位和作用，我確定如下教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)

（1）知識(shí)目標(biāo)：

①引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，探索證明正弦定理的方法；

②簡(jiǎn)單運(yùn)用正弦定理解三角形、初步解決某些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

（2）能力目標(biāo)：

①通過(guò)對(duì)直角三角形邊角數(shù)量關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理，體驗(yàn)用特殊到一般的思想方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程。

②在利用正弦定理來(lái)解三角形的過(guò)程中，逐步培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決社會(huì)實(shí)際問(wèn)題的能力。

（3）情感目標(biāo)：通過(guò)設(shè)立問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和好奇心理，使其主動(dòng)參與雙邊交流活動(dòng)。通過(guò)對(duì)問(wèn)題的提出、思考、解決培養(yǎng)學(xué)生自信、自立的優(yōu)良心理品質(zhì)。通過(guò)教師對(duì)例題的講解培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣及科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及基本應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索及證明；

教學(xué)中為了達(dá)到上述目標(biāo)，突破上述重難點(diǎn)，我將采用如下的教學(xué)方法與手段

教學(xué)過(guò)程中以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，創(chuàng)設(shè)和諧、愉悅教學(xué)環(huán)境。根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平，我主要采用啟導(dǎo)法、感性體驗(yàn)法、多媒體輔助教學(xué)。

學(xué)情調(diào)動(dòng)：學(xué)生在初中已獲得了直角三角形邊角關(guān)系的初步知識(shí)，正因如此學(xué)生在心理上會(huì)提出如何解決斜三角形邊角關(guān)系的疑問(wèn)。

學(xué)法指導(dǎo)：指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，讓學(xué)生在問(wèn)題情景中學(xué)習(xí)，再通過(guò)對(duì)實(shí)例進(jìn)行具體分析，進(jìn)而觀察歸納、演練鞏固，由具體到抽象，逐步實(shí)現(xiàn)對(duì)新知識(shí)的理解深化。

利用多媒體展示圖片，極大的吸引學(xué)生的注意力，活躍課堂氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與解決問(wèn)題的積極性。為了提高課堂效率，便于學(xué)生動(dòng)手練習(xí)，我把本節(jié)課的例題、課堂練習(xí)制作成一張習(xí)題紙，課前發(fā)給學(xué)生。

四、總結(jié)分析：

現(xiàn)代教育心理學(xué)的研究認(rèn)為，有效的性質(zhì)概念教學(xué)是建立在學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的，因此我在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中注意了：㈠在學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)和新性質(zhì)概念間尋找“最近發(fā)展區(qū)”，㈡引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)同化，順應(yīng)掌握新概念。

㈢設(shè)法走出“性質(zhì)概念一帶而過(guò)，演習(xí)作業(yè)鋪天蓋地”的誤區(qū)，促使自己與學(xué)生一起走進(jìn)“重視探究、重視交流、重視過(guò)程” 的新天地。

我認(rèn)為本節(jié)課的設(shè)計(jì)應(yīng)遵循教學(xué)的基本原則；注重對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展；貫徹教師對(duì)本節(jié)內(nèi)容的理解；體現(xiàn)“學(xué)思結(jié)合﹑學(xué)用結(jié)合”原則。希望對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)﹑數(shù)學(xué)思想的建立﹑心理品質(zhì)的優(yōu)化起到良好的作用．

設(shè)計(jì)意圖：我的板書(shū)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)原則：簡(jiǎn)明直觀，重點(diǎn)突出。本節(jié)課的板書(shū)教學(xué)重點(diǎn)放在黑板的正中間，為了能加深學(xué)生對(duì)正弦定理以及其應(yīng)用的認(rèn)識(shí)，把例題放在中間，以期全班同學(xué)都能看得到。

謝謝！

正弦定理教案【篇2】

一、教材分析

1.教材地位和作用

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的邊和角的基本關(guān)系；同時(shí)在必修4 ，學(xué)生也學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量等內(nèi)容。這些為學(xué)生學(xué)習(xí)正弦定理提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形邊、角之間數(shù)量關(guān)系的重要公式，本節(jié)內(nèi)容同時(shí)又是學(xué)生學(xué)習(xí)解三角形，幾何計(jì)算等后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)，而且在物理學(xué)等其它學(xué)科、工業(yè)生產(chǎn)以及日常生活等常常涉及解三角形的問(wèn)題。依據(jù)教材的上述地位和作用，我確定如下教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)

2.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)目標(biāo)：

①引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，探索證明正弦定理的方法；

②簡(jiǎn)單運(yùn)用正弦定理解三角形、初步解決某些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

（2）能力目標(biāo)：

②在利用正弦定理來(lái)解三角形的過(guò)程中，逐步培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決社會(huì)實(shí)際問(wèn)題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及基本應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索及證明；

教學(xué)中為了達(dá)到上述目標(biāo)，突破上述重難點(diǎn)，我將采用如下的教學(xué)方法與手段

二、教學(xué)方法與手段

1.教學(xué)方法

教學(xué)過(guò)程中以教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體，創(chuàng)設(shè)和諧、愉悅教學(xué)環(huán)境。根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平，我主要采用啟導(dǎo)法、感性體驗(yàn)法、多媒體輔助教學(xué)。

2.學(xué)法指導(dǎo)

學(xué)情調(diào)動(dòng)：學(xué)生在初中已獲得了直角三角形邊角關(guān)系的初步知識(shí),正因如此學(xué)生在心理上會(huì)提出如何解決斜三角形邊角關(guān)系的疑問(wèn)。

3.教學(xué)手段

下面我講解如何運(yùn)用上述教學(xué)方法和手段開(kāi)展教學(xué)過(guò)程

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)流程：

引出課題

引出新知

歸納方法

鞏固新知

布置作業(yè)

四、總結(jié)分析：

現(xiàn)代教育心理學(xué)的研究認(rèn)為，有效的性質(zhì)概念教學(xué)是建立在學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的，因此我在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中注意了：㈠在學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)和新性質(zhì)概念間尋找“最近發(fā)展區(qū)”．㈡引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)同化，順應(yīng)掌握新概念。

謝謝！

正弦定理教案【篇3】

一、教材分析

“解三角形”既是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強(qiáng)的應(yīng)用性，在這次課程改革中，被保留下來(lái)，并獨(dú)立成為一章。這部分內(nèi)容從知識(shí)體系上看，應(yīng)屬于三角函數(shù)這一章，從研究方法上看，也可以歸屬于向量應(yīng)用的一方面。從某種意義講，這部分內(nèi)容是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的典型內(nèi)容之一。而本課“正弦定理”，作為單元的起始課，是在學(xué)生已有的三角函數(shù)及向量知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系作量化探究，發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理(重要的解三角形工具)，通過(guò)這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從“實(shí)際問(wèn)題”抽象成“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的建模過(guò)程中，體驗(yàn) “觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。同時(shí)在解決問(wèn)題的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)的力量，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)。

二、學(xué)情分析

我所任教的學(xué)校是我縣一所農(nóng)村普通中學(xué)，大多數(shù)學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，對(duì)“一些重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法”的應(yīng)用意識(shí)和技能還不高。但是，大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣較高，比較喜歡數(shù)學(xué)，尤其是象本節(jié)課這樣與實(shí)際生活聯(lián)系比較緊密的內(nèi)容，相信學(xué)生能夠積極配合，有比較不錯(cuò)的表現(xiàn)。

三、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)和技能：在創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，推證正弦定理及簡(jiǎn)單運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題。

過(guò)程與方法：學(xué)生參與解題方案的探索，嘗試應(yīng)用觀察——猜想——證明——應(yīng)用”等思想方法，尋求最佳解決方案，從而引發(fā)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一些數(shù)學(xué)模型進(jìn)行思考。

情感、態(tài)度、價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。同時(shí)，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的探討、解決，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)成就感，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性，鍛煉探究精神。樹(shù)立“數(shù)學(xué)與我有關(guān)，數(shù)學(xué)是有用的，我要用數(shù)學(xué)，我能用數(shù)學(xué)”的理念。

2、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明;正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理證明及應(yīng)用。

四、教學(xué)方法與手段

為了更好的達(dá)成上面的教學(xué)目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，本節(jié)課我準(zhǔn)備采用“問(wèn)題教學(xué)法”，即由教師以問(wèn)題為主線組織教學(xué)，利用多媒體和實(shí)物投影儀等教學(xué)手段來(lái)激發(fā)興趣、突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，提高課堂效率，并引導(dǎo)學(xué)生采取自主探究與相互合作相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式參與到問(wèn)題解決的過(guò)程中去，從中體驗(yàn)成功與失敗，從而逐步建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

五、教學(xué)過(guò)程

為了很好地完成我所確定的教學(xué)目標(biāo)，順利地解決重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，同時(shí)本著貼近生活、貼近學(xué)生、貼近時(shí)代的原則，我設(shè)計(jì)了這樣的教學(xué)過(guò)程：

(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

問(wèn)題1：寧?kù)o的夜晚，明月高懸，當(dāng)你仰望夜空，欣賞這美好夜色的時(shí)候，會(huì)不會(huì)想要知道：那遙不可及的月亮離我們究竟有多遠(yuǎn)呢?

1671年兩個(gè)法國(guó)天文學(xué)家首次測(cè)出了地月之間的距離大約為 385400km，你知道他們當(dāng)時(shí)是怎樣測(cè)出這個(gè)距離的嗎?

問(wèn)題2：在現(xiàn)在的高科技時(shí)代，要想知道某座山的高度，沒(méi)必要親自去量，只需水平飛行的飛機(jī)從山頂一過(guò)便可測(cè)出，你知道這是為什么嗎?還有，交通警察是怎樣測(cè)出正在公路上行駛的汽車的速度呢?要想解決這些問(wèn)題，其實(shí)并不難，只要你學(xué)好本章內(nèi)容即可掌握其原理。(板書(shū)課題《解三角形》)

[設(shè)計(jì)說(shuō)明]引用教材本章引言，制造知識(shí)與問(wèn)題的沖突，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章知識(shí)的興趣。

(二)特殊入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問(wèn)題3：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《銳角三角函數(shù)和解直角三角形》這一章，老師想試試你的實(shí)力，請(qǐng)你根據(jù)初中知識(shí)，解決這樣一個(gè)問(wèn)題。在Rt⊿ABC中sinA= ，sinB= ,sinC= ,由此，你能把這個(gè)直角三角形中的所有的邊和角用一個(gè)表達(dá)式表示出來(lái)嗎?

引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)特殊情形下的正弦定理。

(三)類比歸納，嚴(yán)格證明

問(wèn)題4：本題屬于初中問(wèn)題，而且比較簡(jiǎn)單，不夠刺激，現(xiàn)在如果我為難為難你，讓你也當(dāng)一回老師，如果有個(gè)學(xué)生把條件中的Rt⊿ABC不小心寫(xiě)成了銳角⊿ABC，其它沒(méi)有變，你說(shuō)這個(gè)結(jié)論還成立嗎?

[設(shè)計(jì)說(shuō)明]此時(shí)放手讓學(xué)生自己完成，如果感覺(jué)自己解決有困難，學(xué)生也可以前后桌或同桌結(jié)組研究，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法證明這個(gè)結(jié)論，在巡視的過(guò)程中讓不同方法的學(xué)生上黑板展示，如果沒(méi)有用向量的學(xué)生，教師引導(dǎo)提示學(xué)生能否用向量完成證明。

正弦定理教案【篇4】

正弦定理證明

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

類似可證其余兩個(gè)等式。

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過(guò)于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過(guò)運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

=casin∠ABC.

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

因?yàn)锳B=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

因?yàn)閖AC=0，

jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

過(guò)A作，

法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根據(jù)向量的運(yùn)算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

,設(shè) 軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知

化簡(jiǎn)得b2-a2-c2=-2accos B.

正弦定理教案【篇5】

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是高一數(shù)學(xué)第五章《三角比》第三單元中正弦定理的第一課時(shí)，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是坐標(biāo)法等知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的邊角之間的一種等量關(guān)系，它與后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。

本節(jié)課其主要任務(wù)是引入證明正弦定理及正弦定理的基本應(yīng)用，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，學(xué)生通過(guò)對(duì)定理證明的探究和討論，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

二、學(xué)情分析

對(duì)高一的學(xué)生來(lái)說(shuō)，一方面已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何，解直角三角形，任意角的三角比等知識(shí)，具有一定觀察分析、解決問(wèn)題的能力；但另一方面對(duì)新舊知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用往往會(huì)出現(xiàn)思維障礙，思維靈活性、深刻性受到制約。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，注意前后知識(shí)間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生直接參與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。

三、設(shè)計(jì)思想：

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要方面，也是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究呢?建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識(shí)不是被動(dòng)吸收的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的。”這個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)理解就是：知識(shí)不僅是通過(guò)教師傳授得到的，更重要的是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過(guò)與他人(在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下)協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。

四、教學(xué)目標(biāo)：

1、在創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境中，讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)和處理幾何圖形的常用方法出發(fā)，探索和證明正弦定理，體驗(yàn)坐標(biāo)法將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的優(yōu)越性，感受數(shù)學(xué)論證的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2、理解三角形面積公式，能運(yùn)用正弦定理解決三角形的兩類基本問(wèn)題，并初步認(rèn)識(shí)用正弦定理解三角形時(shí)，會(huì)有一解、兩解、無(wú)解三種情況。

3、通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)既來(lái)源于生活，又服務(wù)與生活。

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索與證明；正弦定理的基本應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索與證明。

突破難點(diǎn)的手段：抓知識(shí)選擇的切入點(diǎn)，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識(shí)特點(diǎn)入手，教師在學(xué)生主體下給于適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。

六、復(fù)習(xí)引入：

1、在任意三角形行中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系?是否可以把邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化?

2、在ABC中，角A、B、C的正弦對(duì)邊分別是a,b,c，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎?

結(jié)論：

證明：(向量法)過(guò)A作單位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB邊同乘以單位向量。

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。

七、教學(xué)反思

本節(jié)是“正弦定理”定理的第一節(jié)，在備課中有兩個(gè)問(wèn)題需要精心設(shè)計(jì)。一個(gè)是問(wèn)題的引入，一個(gè)是定理的證明。通過(guò)兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題引入，讓學(xué)生體會(huì)為什么要學(xué)習(xí)這節(jié)課，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”入手進(jìn)行設(shè)計(jì)，尋求解決問(wèn)題的方法。具體的思路就是從解決課本的實(shí)際問(wèn)題入手展開(kāi)，將問(wèn)題一般化導(dǎo)出三角形中的邊角關(guān)系——正弦定理。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)既能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，也能讓學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，有效提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

1、在教學(xué)過(guò)程中，我注重引導(dǎo)學(xué)生的思維發(fā)生，發(fā)展，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題是如何解決的，給學(xué)生解決問(wèn)題的一般思路。從學(xué)生熟悉的直角三角形邊角關(guān)系，把銳角三角形和鈍角三角形的問(wèn)題也轉(zhuǎn)化為直角三角形的性，從而得到解決，并滲透了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想等思想。

2、在教學(xué)中我恰當(dāng)?shù)乩枚嗝襟w技術(shù)，是突破教學(xué)難點(diǎn)的一個(gè)重要手段。利用《幾何畫(huà)板》探究比值的值，由動(dòng)到靜，取得了很好的效果，加深了學(xué)生的印象。

3、由于設(shè)計(jì)的內(nèi)容比較的多，教學(xué)時(shí)間的超時(shí)，這說(shuō)明我自己對(duì)學(xué)生情況的把握不夠準(zhǔn)確到位，致使教學(xué)過(guò)程中時(shí)間的分配不夠適當(dāng)，教學(xué)語(yǔ)言不夠精簡(jiǎn)，今后我一定避免此類問(wèn)題，爭(zhēng)取更大的進(jìn)步。

正弦定理教案【篇6】

一、教學(xué)內(nèi)容：

本節(jié)課主要通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)猜想發(fā)現(xiàn)正弦定理，并從理論上加以證實(shí)，最后進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

二、教材分析：

1、教材地位與作用：本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū).數(shù)學(xué)必修5》（A版）第一章中，是在高二學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識(shí)之后安排的，顯然是對(duì)三角知識(shí)的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對(duì)初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，而定理本身的應(yīng)用（定理應(yīng)用放在下一節(jié)專門(mén)研究）又十分廣泛，因此做好該節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生通過(guò)對(duì)任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證實(shí)，感受“類比--猜想--證實(shí)”的科學(xué)研究問(wèn)題的思路和方法，體會(huì)由“定性研究到定量研究”這種數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題和研究問(wèn)題的思想，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。

2、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)是正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證實(shí)；難點(diǎn)是三角形外接圓法證實(shí)。

把握正弦定理，理解證實(shí)過(guò)程。

2、能力目標(biāo)：

（1）通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

（2）增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和數(shù)學(xué)交流能力。

（3）發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：

（1）通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛(ài)好。

（2）通過(guò)實(shí)例的社會(huì)意義，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情感和為祖國(guó)努力學(xué)習(xí)的責(zé)任心。

四、教學(xué)設(shè)想：

本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過(guò)程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”為基本探究?jī)?nèi)容，以四周世界和生活實(shí)際為參照對(duì)象，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，將自己所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于對(duì)任意三角形性質(zhì)的深入探討。讓學(xué)生在“活動(dòng)”中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。設(shè)計(jì)思路如下：

正弦定理教案【篇7】

1理解并掌握正弦定理，能運(yùn)用正弦定理解斜三角形，解決實(shí)際問(wèn)題，正弦定理在高考中的應(yīng)用，熟悉高考題型。

2. 引導(dǎo)學(xué)習(xí)探索知識(shí)，學(xué)以致用，培養(yǎng)觀察、歸納、猜想、探究的思維方法與能力。通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的觀察問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和數(shù)學(xué)交流能力，提升數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想。

正弦定理的熟練運(yùn)用，提升正弦定理的綜合運(yùn)用能力，解決實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題。

2.三角形可分為直角三角形和斜三角形;

3.三角形中的邊角關(guān)系：A+B+C=π; A>B則a>b; a+b>c;

4.直角三角形中A+B=90°;勾股定理 ;

5.斜三角形ABC中的邊角關(guān)系如何表示? 三角形中的大邊對(duì)大角，正弦定理

[理解定理]

(1)正弦定理適合于任何三角形;

(2)正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦比值相等;即邊與其對(duì)角的正弦成正比;

(3) 等價(jià)于，，

①已知三角形的兩角和任意一邊，求另一角和其他邊;，如 ;

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其他的邊和角，如

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。

三.正弦定理的應(yīng)用：

1. 在△ABC中，已知B= ，C= ，c= ，求b;

2. 在△ABC中，已知 c=1 ,求 ;

題型二正弦定理的綜合運(yùn)用(能力提升)：運(yùn)用正弦定理解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，利用正弦定理求解三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用題，一般步驟: 分析，圖解，求解，檢驗(yàn)(高考題型)

學(xué)生的求知欲，并能感受到數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源于現(xiàn)實(shí)際生活。

思考題：

例4(高考題)在一條由西向東流的大河北岸，有建筑物A和B，其距離無(wú)法直接測(cè)量，于是間接測(cè)量如下：首先，在南岸C點(diǎn)處，測(cè)得A位于正北向，B位于北偏西的方向上;然后，沿河岸向正西方向移動(dòng)100m，到了點(diǎn)D，觀察到A位于北偏東的方向上，B位于北偏西的方向上，試求建筑物A和B的距離(參考數(shù)據(jù) )

(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角;

②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

1.三角形中的邊角關(guān)系：

在直角三角形ABC中,C=90°,則，，

6)如何解決斜三角形邊角關(guān)系的問(wèn)題?

7)正弦定理表示了三角形邊角關(guān)系的準(zhǔn)確量化。

正弦定理可以解決三角形中兩類問(wèn)題：

①已知三角形的，求另一角和其他邊;

②已知三角形的，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其他的邊和角。

8) 一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作。

1. 在△ABC中，已知B= ，C= ，c= ，求b;

2. 在△ABC中，已知 c=1 ,求 ;

3. 在△ABC中，已知b= ，A= ，B= ，解此三角形.

在容桂A處正東方向1412米處取點(diǎn)C，

則高贊大橋AB長(zhǎng)度為多少米?

正弦定理教案【篇8】

一教學(xué)內(nèi)容分析

正弦定理是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)數(shù)學(xué)(必修5)》(人教版)第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容它既是初中解直角三角形內(nèi)容的直接延拓也是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量等知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問(wèn)題的其它數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。為什么要研究正弦定理?正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的?其證明方法是怎樣想到的?還有別的證法嗎?這些都是教材沒(méi)有回答而確實(shí)又是學(xué)生所關(guān)心的問(wèn)題。

本節(jié)課是正弦定理教學(xué)的第一課時(shí)其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理在課型上屬于定理教學(xué)課。因此做好正弦定理的教學(xué)不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)體會(huì)聯(lián)系發(fā)展等辯證觀點(diǎn)而且通過(guò)對(duì)定理的探究能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

二學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容在必修4中又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和平面向量的有關(guān)內(nèi)容對(duì)解直角三角形三角函數(shù)平面向量已形成初步的知識(shí)框架這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)同時(shí)又是突破定理證明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一《課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過(guò)程并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問(wèn)題可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。

三設(shè)計(jì)思想

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)探究呢?建構(gòu)主義認(rèn)為：知識(shí)不是被動(dòng)吸收的而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的。這個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)理解就是：知識(shí)不是通過(guò)教師傳授得到的而是學(xué)生在一定的情境中運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)并通過(guò)與他人(在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下)協(xié)作主動(dòng)建構(gòu)而獲得的建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心視學(xué)生為認(rèn)知的主體教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)正弦定理的教學(xué)將遵循這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。

四教學(xué)目標(biāo)

1知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形的邊與其對(duì)角的關(guān)系的探索掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。

2過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中邊與其對(duì)角的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察歸納猜想證明由特殊到一般得到正弦定理等方法體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。

3情感態(tài)度與價(jià)值觀：在平等的教學(xué)氛圍中通過(guò)學(xué)生之間師生之間的交流合作和評(píng)價(jià)實(shí)現(xiàn)共同探究教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境。

五教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)

難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)

教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件學(xué)生準(zhǔn)備計(jì)算器直尺量角器。

六教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）設(shè)置情境

教師：展示情景圖如圖1船從港口B航行到港口C測(cè)得BC的距離為

船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行由于船員的疏忽沒(méi)有測(cè)得CA距離如果船上有測(cè)角儀我們能否計(jì)算出AB的距離?

學(xué)生：思考提出測(cè)量角AC。

教師：若已知測(cè)得

如何計(jì)算AB兩地距離?

師生共同回憶解直角三角形①直角三角形中已知兩邊可以求第三邊及兩個(gè)角。②直角三角形中已知一邊和一角可以求另兩邊及第三個(gè)角。

教師引導(dǎo)：

是斜三角形能否利用解直角三角形精確計(jì)算AB呢?

設(shè)計(jì)意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開(kāi)頭那就意味著成功的一半。因此我通過(guò)從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問(wèn)題引入激發(fā)學(xué)生思維激發(fā)學(xué)生的求知欲引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題在解決問(wèn)題后對(duì)特殊問(wèn)題一般化得出一個(gè)猜測(cè)性的結(jié)論猜想培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。

（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證猜想

教師：給學(xué)生指明一個(gè)方向我們先通過(guò)特殊例子檢驗(yàn)

是否成立舉出特例。

(1)在△ABC中ABC分別為

對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：1對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為

引導(dǎo)學(xué)生考察

的關(guān)系。(學(xué)生回答它們相等)

(2)在△ABC中ABC分別為

對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：

對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為

1;(學(xué)生回答它們相等)

(3)在△ABC中ABC分別為

對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：

：2對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為

1。(學(xué)生回答它們相等)(圖3)

教師：對(duì)于

呢?

學(xué)生：思考交流得出如圖4在Rt

ABC中設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

則有

又

則

從而在直角三角形ABC中

教師：那么任意三角形是否有

呢?

借助于電腦與多媒體利用《幾何畫(huà)板》軟件演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個(gè)比值的變化情況。

結(jié)論：

對(duì)于任意三角形都成立。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)《幾何畫(huà)板》軟件的演示使學(xué)生對(duì)結(jié)論的認(rèn)識(shí)從感性逐步上升到理性。

（三）證明猜想得出定理

師生活動(dòng)：

教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)多媒體技術(shù)支持對(duì)任意的三角形如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明

呢?前面探索過(guò)程對(duì)我們有沒(méi)有啟發(fā)?學(xué)生分組討論每組派一個(gè)代表總結(jié)。(以下證明過(guò)程根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述)

學(xué)生：思考得出

(1)在

中成立如前面檢驗(yàn)。

(2)在銳角三角形中如圖5設(shè)

(3)在鈍角三角形中如圖6設(shè)

同銳角三角形證明可知

教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等即

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教師：還有其它證明方法嗎?

學(xué)生：思考得出分析圖形(圖7)對(duì)于任意△ABC由初中所學(xué)過(guò)的面積公式可以得出：

而由圖中可以看出：

等式

中均除以

后可得

即

教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生同時(shí)板書(shū)證明過(guò)程。

在剛才的.證明過(guò)程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高

三角形的面積：

能否得到新面積公式

學(xué)生：

得到三角形面積公式

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷證明猜想的過(guò)程進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)論證猜想力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程。

（四）利用定理解決引例

師生活動(dòng)：

教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問(wèn)題。

學(xué)生：馬上得出

在

中

（五）了解解三角形概念

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念形成知識(shí)的完整性。

教師：一般地把三角形的三個(gè)角

和它們的對(duì)邊

叫做三角形的元素已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。

設(shè)計(jì)意圖：利用正弦定理重新解決引例讓學(xué)生體會(huì)用新的知識(shí)新的定理解決問(wèn)題更方便更簡(jiǎn)單激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識(shí)的欲望。

（六）運(yùn)用定理解決例題

師生活動(dòng)：

教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問(wèn)題。

學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問(wèn)題類型：

(1)如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊求三角形的另一角和另兩邊如

;

(2)如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角求另一邊與另兩角如

。

師生：例1的處理先讓學(xué)生思考回答解題思路教師板書(shū)讓學(xué)生思考主要是突出主體教師板書(shū)的目的是規(guī)范解題步驟。

例1：在

中已知

解三角形。

分析已知三角形中兩角及一邊求其他元素第一步可由三角形內(nèi)角和為

求出第三個(gè)角C再由正弦定理求其他兩邊。

例2：在

中已知

解三角形。

例2的處理目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想可先讓中等學(xué)生講解解題思路其他同學(xué)補(bǔ)充交流。

學(xué)生：反饋練習(xí)(教科書(shū)第5頁(yè)的練習(xí))

用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。

設(shè)計(jì)意圖：自己解決問(wèn)題提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感變要我學(xué)為我要學(xué)我要研究的主動(dòng)學(xué)習(xí)。

（七）嘗試小結(jié)：

教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。

學(xué)生：思考交流歸納總結(jié)。

師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)教師及時(shí)補(bǔ)充要體現(xiàn)：

(1)正弦定理的內(nèi)容(

)及其證明思想方法。

(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊求其他元素;②已知三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角求其他元素。

(3)分類討論的數(shù)學(xué)思想。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的總結(jié)培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。

（八）作業(yè)設(shè)計(jì)

作業(yè)：第10頁(yè)[習(xí)題1.1]A組第12題。

正弦定理教案【篇9】

高中數(shù)學(xué)正弦定理教案，一起拉看看吧。

本節(jié)內(nèi)容是正弦定理教學(xué)的第一節(jié)課，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理．做好正弦定理的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力，以及提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力．

本節(jié)課以及后面的解三角形中涉及到計(jì)算器的使用與近似計(jì)算，這是一種基本運(yùn)算能力，學(xué)生基本上已經(jīng)掌握了．若在解題中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，則應(yīng)及時(shí)糾正，若沒(méi)出現(xiàn)問(wèn)題就順其自然，不必花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間．

本節(jié)可結(jié)合課件“正弦定理猜想與驗(yàn)證”學(xué)習(xí)正弦定理．

三維目標(biāo)

1．通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題．

2．通過(guò)正弦定理的探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問(wèn)題的能力．通過(guò)學(xué)生的積極參與和親身實(shí)踐，并成功解決實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和勇于探索的創(chuàng)新精神．

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的證明及其基本運(yùn)用．YJs21.cOM

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索和證明；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，判斷解的個(gè)數(shù)．

課時(shí)安排

1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

思路1.(特例引入)教師可先通過(guò)直角三角形的特殊性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的邊角關(guān)系，若∠C為直角，則有a＝csinA，b＝csinB，這兩個(gè)等式間存在關(guān)系嗎？學(xué)生可以得到asinA＝bsinB，進(jìn)一步提問(wèn)，等式能否與邊c和∠C建立聯(lián)系？從而展開(kāi)正弦定理的探究．

思路2.(情境導(dǎo)入)如圖，某農(nóng)場(chǎng)為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)火情，在林場(chǎng)中設(shè)立了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A和B，某日兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的林場(chǎng)人員分別測(cè)到C處有火情發(fā)生．在A處測(cè)到火情在北偏西40°方向，而在B處測(cè)到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正東方向10千米處．現(xiàn)在要確定火場(chǎng)C距A、B多遠(yuǎn)？將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC與BC的長(zhǎng)．”這就是一個(gè)解三角形的問(wèn)題．為此我們需要學(xué)習(xí)一些解三角形的必要知識(shí)，今天要探究的是解三角形的第一個(gè)重要定理——正弦定理，由此展開(kāi)新課的探究學(xué)習(xí)．

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

1閱讀本章引言，明確本章將學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容及本章將要解決哪些問(wèn)題？

2聯(lián)想學(xué)習(xí)過(guò)的三角函數(shù)中的邊角關(guān)系，能否得到直角三角形中角與它所對(duì)的邊之間在數(shù)量上有什么關(guān)系？

3由2得到的數(shù)量關(guān)系式，對(duì)一般三角形是否仍然成立？

4正弦定理的內(nèi)容是什么，你能用文字語(yǔ)言敘述它嗎？你能用哪些方法證明它？

5什么叫做解三角形？

6利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問(wèn)題呢？

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀本章引言，點(diǎn)出本章數(shù)學(xué)知識(shí)的某些重要的實(shí)際背景及其實(shí)際需要，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)解三角形知識(shí)的必要性．如教師可提出以下問(wèn)題：怎樣在航行途中測(cè)出海上兩個(gè)島嶼之間的距離？怎樣測(cè)出海上航行的輪船的航速和航向？怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨龋窟@些實(shí)際問(wèn)題的解決需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識(shí)．讓學(xué)生明確本章將要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個(gè)定理解三角形及解決測(cè)量中的一些問(wèn)題．

關(guān)于任意三角形中大邊對(duì)大角、小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生探究其數(shù)量關(guān)系．先觀察特殊的直角三角形．如下圖，在Rt△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，則asinA＝bsinB＝csinC＝c.從而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.

那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖討論分析．

如下圖，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，有CD＝asinB＝bsinA，則asinA＝bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.從而asinA＝bsinB＝csinC.

(當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成)

通過(guò)上面的討論和探究，我們知道在任意三角形中，上述等式都成立．教師點(diǎn)出這就是今天要學(xué)習(xí)的三角形中的重要定理——正弦定理．

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

asinA＝bsinB＝csinC

上述的探究過(guò)程就是正弦定理的證明方法，即分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況進(jìn)行證明．教師提醒學(xué)生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想，同時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生觀察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系；描述了任意三角形中大邊對(duì)大角的一種準(zhǔn)確的`數(shù)量關(guān)系．因?yàn)槿绻螦＜∠B，由三角形性質(zhì)，得a＜b.當(dāng)∠A、∠B都是銳角，由正弦函數(shù)在區(qū)間(0，π2)上的單調(diào)性，可知sinA＜sinB.當(dāng)∠A是銳角，∠B是鈍角時(shí)，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函數(shù)在區(qū)間(π2，π)上的單調(diào)性，可知sinB＞sin(π－A)＝sinA，所以仍有sinA＜sinB.

正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，教師鼓勵(lì)學(xué)生課下進(jìn)一步探究正弦定理的其他證明方法．

討論結(jié)果：

(1)～(4)略．

(5)已知三角形的幾個(gè)元素(把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的過(guò)程叫做解三角形．

(6)應(yīng)用正弦定理可解決兩類解三角形問(wèn)題：①已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，由三角形內(nèi)角和定理，可以計(jì)算出三角形的另一角，并由正弦定理計(jì)算出三角形的另兩邊，即“兩角一邊問(wèn)題”．這類問(wèn)題的解是唯一的．②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，可以計(jì)算出另一邊的對(duì)角的正弦值，進(jìn)而確定這個(gè)角和三角形其他的邊和角，即“兩邊一對(duì)角問(wèn)題”．這類問(wèn)題的答案有時(shí)不是唯一的，需根據(jù)實(shí)際情況分類討論．

應(yīng)用示例

例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9 cm，解此三角形．

活動(dòng)：解三角形就是已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程，在本例中就是求解∠C，b，c.

此題屬于已知兩角和其中一角所對(duì)邊的問(wèn)題，直接應(yīng)用正弦定理可求出邊b，若求邊c，則先求∠C，再利用正弦定理即可．

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得

∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.

根據(jù)正弦定理，得

b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；

c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．

點(diǎn)評(píng)：(1)此類問(wèn)題結(jié)果為唯一解，學(xué)生較易掌握，如果已知兩角及兩角所夾的邊，也是先利用三角形內(nèi)角和定理180°求出第三個(gè)角，再利用正弦定理．

正弦定理教案【篇10】

步驟1.

在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 類似可證其余兩個(gè)等式。

平面向量證法：

∴c^2=a?a+2a?b+b?b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數(shù)公式)

同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

做AD⊥BC.

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

b^2=sinB?c+a^2+cosB?c^2-2ac*cosB

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

正弦定理教案【篇11】

課前放映一些有關(guān)軍事題材的圖片，并在課首給出引例：一天，我核潛艇A正在某海域執(zhí)行巡邏任務(wù)，突然發(fā)現(xiàn)其正東處有一敵艇B正以30海里/小時(shí)的速度朝北偏西40°方向航行。經(jīng)研究，決定向其發(fā)射魚(yú)雷給以威懾性打擊。已知魚(yú)雷的速度為60海里/小時(shí)，問(wèn)怎樣確定發(fā)射角度可擊中敵艦？

（二）啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

用幾何畫(huà)板模擬演示魚(yú)雷及敵艦行蹤,在探討魚(yú)雷發(fā)射角度的過(guò)程中，抽象出一個(gè)解三角形問(wèn)題：

從而抽象出一個(gè)雛形:

3、測(cè)量角A的實(shí)際角度,與猜測(cè)有誤差,從而產(chǎn)生矛盾:

定性研究如何轉(zhuǎn)化為定量研究?

（三）引導(dǎo)學(xué)生用“特例到一般”的研究方法，猜想數(shù)學(xué)規(guī)律。

提出問(wèn)題:

1、如何對(duì)以上等式進(jìn)行檢驗(yàn)?zāi)?激發(fā)學(xué)生思維，從自身熟悉的特例（直角三角形）入手進(jìn)行研究，篩選出能成立的等式。

2、那這一結(jié)論對(duì)任意三角形都適用嗎？指導(dǎo)學(xué)生用刻度尺、圓規(guī)、計(jì)算器等工具對(duì)一般三角形進(jìn)行驗(yàn)證。

（四）讓學(xué)生進(jìn)行各種嘗試，探尋理論證明的方法。

提出問(wèn)題:

1、如何把猜想變成定理呢？使學(xué)生注意到猜想和定理的區(qū)別，強(qiáng)化學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

2、怎樣進(jìn)行理論證明呢？培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)作高轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形進(jìn)行證明。

3、你能找出它們的比值嗎？借以檢驗(yàn)學(xué)生是否掌握了以上的研究思路。用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示，找到比值，突破難點(diǎn)。

4、將猜想變?yōu)槎ɡ恚⒂靡越鉀Q課首提出的問(wèn)題，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)乃枷虢逃?/p>

本節(jié)課授課對(duì)象為實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好。同時(shí)，考慮到這是一節(jié)探究課，授課前并沒(méi)有告訴學(xué)生授課內(nèi)容。學(xué)生在未經(jīng)預(yù)習(xí)不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預(yù)設(shè)的思路中，一步步發(fā)現(xiàn)了定理并證明了定理，感受到了創(chuàng)造的快樂(lè)，激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（一）、通過(guò)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激活了學(xué)生思維。從認(rèn)知的角度看，情境可視為一種信息載體，一種知識(shí)產(chǎn)生的背景。本節(jié)課數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)突出了以下兩點(diǎn)：

1．從有利于學(xué)生主動(dòng)探索設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)情境。新課標(biāo)指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的。從心理學(xué)的角度看，青少年有一種好奇的心態(tài)、探究的心理。因此，本教案緊緊地抓住高二學(xué)生的這一特征，利用“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”這一富有挑戰(zhàn)性和探索性的材料，精心設(shè)計(jì)教學(xué)情境，使學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理等活動(dòng)中，逐步形成創(chuàng)新意識(shí)。

2.以問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境?！皢?wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，本節(jié)課數(shù)學(xué)情境的設(shè)計(jì)處處以問(wèn)題為導(dǎo)向：“怎樣調(diào)整發(fā)射角度呢？”、“我們的工作該怎樣進(jìn)行呢？”、“我們的‘根據(jù)地’是什么？”、“對(duì)任意三角形都成立嗎？”……促使學(xué)生去思考問(wèn)題，去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

（二）、創(chuàng)造性地使用了教材。數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”，新課標(biāo)提倡教師創(chuàng)造性地使用教材。本節(jié)課從問(wèn)題情境的創(chuàng)造到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作，再到證明方法的發(fā)現(xiàn)，都對(duì)教材作了一定的調(diào)整和拓展，使其更符合學(xué)生的思維習(xí)慣和認(rèn)知水平，使學(xué)生在知識(shí)的形成過(guò)程、發(fā)展過(guò)程中展開(kāi)思維，發(fā)展了學(xué)生的能力。

（三）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)走進(jìn)了課堂，這一樸實(shí)無(wú)華而又意義重大的科學(xué)研究的思路和方法給了學(xué)生成功的快樂(lè)；這一思維模式的養(yǎng)成也為學(xué)生的終身發(fā)展提供了有利的武器。

一些遺憾：由于這種探究課型在平時(shí)的教學(xué)中還不夠深入，有些學(xué)生往往以一種觀賞者的身份參與其中，主動(dòng)探究意識(shí)不強(qiáng)，思維水平?jīng)]有達(dá)到足夠的提升。但相信隨著課改實(shí)驗(yàn)的深入，這種狀況會(huì)逐步改善。

一些感悟：輕松愉快的課堂是學(xué)生思維發(fā)展的天地，是合作交流、探索創(chuàng)新的主陣地，是思想教育的好場(chǎng)所。新課標(biāo)下的課堂是學(xué)生和教師共同成長(zhǎng)的舞臺(tái)！

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正弦定理教案通用9篇

為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)課堂內(nèi)容的理解，教師必須提前備好教材，同時(shí)在編寫(xiě)教材的過(guò)程中也需要用心去考慮和設(shè)計(jì)。教案是其中一種有效且科學(xué)的教學(xué)方式。如果您對(duì)“正弦定理教案”有所熱衷，那么相信這篇文章能為您提供所需的幫助，但請(qǐng)注意，文章中所包含的信息僅供參考，請(qǐng)結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行考慮！

正弦定理教案(篇1)

一、教學(xué)目標(biāo)：

1.知識(shí)與技能：通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理，并推證正弦定理。會(huì)初步運(yùn)用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類問(wèn)題。

2.過(guò)程與方法：引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角正弦的比值之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)觀察，猜想，由特殊到一般歸納得出結(jié)論的能力和化未知為已知的解決問(wèn)題的能力。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過(guò)學(xué)生

之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，給學(xué)生成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

②了解已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，解的情況不唯一。

寧?kù)o的夜晚，明月高懸，當(dāng)你仰望夜空，欣賞這美好夜色的時(shí)候，會(huì)不會(huì)想要知道：那遙不可及的月亮離我們究竟有多遠(yuǎn)呢?1671年兩個(gè)法國(guó)天文學(xué)家首次測(cè)出了地月之間的距離大約為385400km，你們想知道他們當(dāng)時(shí)是怎樣測(cè)出這個(gè)距離的嗎?

學(xué)習(xí)了本章《解三角形》的內(nèi)容之后，這個(gè)問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。

㈡新課學(xué)習(xí)：

⒈提出問(wèn)題：我們知道，在任意三角形中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個(gè)邊、角關(guān)系的準(zhǔn)確量化的表示呢?

⒉解決問(wèn)題：

，sinC=1。

(引導(dǎo)學(xué)生首先分為兩種情況，銳角三角形和鈍角三角形，然后按照化未知為已知的思路，構(gòu)造直角三角形完成證明。)

ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有

ABC是鈍角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有

ABC中，

成立. 從而得到：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，即

接著給出解三角形的概念：一般地，把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其它元素的過(guò)程叫做解三角形.

問(wèn)題2：你能否從方程的角度分析一下，解三角形需要已知三角形中的幾個(gè)元素?

問(wèn)題 3：我們利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問(wèn)題呢?

(1)已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求其他兩邊和另一角。

(2)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，計(jì)算另一邊的對(duì)角，進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角。

問(wèn)題4：你發(fā)現(xiàn)運(yùn)用正弦定理解決的這兩類問(wèn)題的解的情況有什么不同嗎?

㈣布置作業(yè)：

1.思考：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,解三角形時(shí),解的情況可能有幾種?試

從理論上說(shuō)明.

[人教版數(shù)學(xué)正弦定理優(yōu)秀教案及教學(xué)設(shè)計(jì)]

正弦定理教案(篇2)

（二）啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

用幾何畫(huà)板模擬演示魚(yú)雷及敵艦行蹤,在探討魚(yú)雷發(fā)射角度的過(guò)程中，抽象出一個(gè)解三角形問(wèn)題：

從而抽象出一個(gè)雛形:

3、測(cè)量角A的實(shí)際角度,與猜測(cè)有誤差,從而產(chǎn)生矛盾:

定性研究如何轉(zhuǎn)化為定量研究?

（三）引導(dǎo)學(xué)生用“特例到一般”的研究方法，猜想數(shù)學(xué)規(guī)律。

提出問(wèn)題:

1、如何對(duì)以上等式進(jìn)行檢驗(yàn)?zāi)?激發(fā)學(xué)生思維，從自身熟悉的特例（直角三角形）入手進(jìn)行研究，篩選出能成立的等式。

2、那這一結(jié)論對(duì)任意三角形都適用嗎？指導(dǎo)學(xué)生用刻度尺、圓規(guī)、計(jì)算器等工具對(duì)一般三角形進(jìn)行驗(yàn)證。

（四）讓學(xué)生進(jìn)行各種嘗試，探尋理論證明的方法。

提出問(wèn)題:

1、如何把猜想變成定理呢？使學(xué)生注意到猜想和定理的區(qū)別，強(qiáng)化學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

2、怎樣進(jìn)行理論證明呢？培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)作高轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形進(jìn)行證明。

3、你能找出它們的比值嗎？借以檢驗(yàn)學(xué)生是否掌握了以上的研究思路。用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示，找到比值，突破難點(diǎn)。

4、將猜想變?yōu)槎ɡ恚⒂靡越鉀Q課首提出的問(wèn)題，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)乃枷虢逃?/p>

正弦定理教案(篇3)

一、教學(xué)內(nèi)容：

二、教材分析：

2、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)是正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證實(shí)；難點(diǎn)是三角形外接圓法證實(shí)。

把握正弦定理，理解證實(shí)過(guò)程。

2、能力目標(biāo)：

（2）增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和數(shù)學(xué)交流能力。

（3）發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：

（2）通過(guò)實(shí)例的社會(huì)意義，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情感和為祖國(guó)努力學(xué)習(xí)的責(zé)任心。

四、教學(xué)設(shè)想：

正弦定理教案(篇4)

高中數(shù)學(xué)正弦定理教案，一起拉看看吧。

本節(jié)可結(jié)合課件“正弦定理猜想與驗(yàn)證”學(xué)習(xí)正弦定理．

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索和證明；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，判斷解的個(gè)數(shù)．

1閱讀本章引言，明確本章將學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容及本章將要解決哪些問(wèn)題？

2聯(lián)想學(xué)習(xí)過(guò)的三角函數(shù)中的邊角關(guān)系，能否得到直角三角形中角與它所對(duì)的邊之間在數(shù)量上有什么關(guān)系？

3由2得到的數(shù)量關(guān)系式，對(duì)一般三角形是否仍然成立？

4正弦定理的內(nèi)容是什么，你能用文字語(yǔ)言敘述它嗎？你能用哪些方法證明它？

5什么叫做解三角形？

6利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問(wèn)題呢？

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀本章引言，點(diǎn)出本章數(shù)學(xué)知識(shí)的某些重要的實(shí)際背景及其實(shí)際需要，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)解三角形知識(shí)的必要性．如教師可提出以下問(wèn)題：怎樣在航行途中測(cè)出海上兩個(gè)島嶼之間的距離？怎樣測(cè)出海上航行的輪船的航速和航向？怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨?？這些實(shí)際問(wèn)題的解決需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識(shí)．讓學(xué)生明確本章將要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個(gè)定理解三角形及解決測(cè)量中的一些問(wèn)題．

那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖討論分析．

(當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成)

上述的探究過(guò)程就是正弦定理的證明方法，即分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況進(jìn)行證明．教師提醒學(xué)生要掌握這種由特殊到一般的分類證明思想，同時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生觀察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系；描述了任意三角形中大邊對(duì)大角的一種準(zhǔn)確的數(shù)量關(guān)系．因?yàn)槿绻螦＜∠B，由三角形性質(zhì)，得a＜b.當(dāng)∠A、∠B都是銳角，由正弦函數(shù)在區(qū)間(0，π2)上的單調(diào)性，可知sinA＜sinB.當(dāng)∠A是銳角，∠B是鈍角時(shí)，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函數(shù)在區(qū)間(π2，π)上的單調(diào)性，可知sinB＞sin(π－A)＝sinA，所以仍有sinA＜sinB.

正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，教師鼓勵(lì)學(xué)生課下進(jìn)一步探究正弦定理的其他證明方法．

(5)已知三角形的幾個(gè)元素(把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的過(guò)程叫做解三角形．

例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9 cm，解此三角形．

活動(dòng)：解三角形就是已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程，在本例中就是求解∠C，b，c.

此題屬于已知兩角和其中一角所對(duì)邊的問(wèn)題，直接應(yīng)用正弦定理可求出邊b，若求邊c，則先求∠C，再利用正弦定理即可．

∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.

b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；

c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．

正弦定理教案(篇5)

大家好，今天我向大家說(shuō)課的題目是《正弦定理》。下面我將從以下幾個(gè)方面介紹我這堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)。

本節(jié)知識(shí)是必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的'聯(lián)系與判定三角形的全等也有密切聯(lián)系，在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中也時(shí)常有解三角形的問(wèn)題，而且解三角形和三角函數(shù)聯(lián)系在高考當(dāng)中也時(shí)常考一些解答題。因此，正弦定理和余弦定理的知識(shí)非常重要。

根據(jù)上述教材內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征及原有知識(shí)水平，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

認(rèn)知目標(biāo)：通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，使學(xué)生會(huì)運(yùn)用正弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題。

能力目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和觀察與邏輯思維能力，能體會(huì)用向量作為數(shù)形結(jié)合的工具，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。

情感目標(biāo)：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及基本應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

根據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點(diǎn)，為是更有效地突出重點(diǎn)，空破難點(diǎn)，以學(xué)業(yè)生的發(fā)展為本，遵照學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，本講遵照以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體，訓(xùn)練為主線的指導(dǎo)思想，采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過(guò)程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”為基本探究?jī)?nèi)容，以生活實(shí)際為參照對(duì)象，讓學(xué)生的思維由問(wèn)題開(kāi)始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導(dǎo)，并逐步得到深化。

指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察――猜想――證明――應(yīng)用”這一思維方法，采取個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，將自己所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于對(duì)任意三角形性質(zhì)的探究。讓學(xué)生在問(wèn)題情景中學(xué)習(xí)，觀察，類比，思考，探究，概括，動(dòng)手嘗試相結(jié)合，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，增強(qiáng)學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，形成了實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，增強(qiáng)了鍥而不舍的求學(xué)精神。

“興趣是最好的老師”，如果一節(jié)課有個(gè)好的開(kāi)頭，那就意味著成功了一半，本節(jié)課由一個(gè)實(shí)際問(wèn)題引入，“工人師傅的一個(gè)三角形模型壞了，只剩下如右圖所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB長(zhǎng)為1m,想修好這個(gè)零件，但他不知道AC和BC的長(zhǎng)度是多少好去截料，你能幫師傅這個(gè)忙嗎?”激發(fā)學(xué)生幫助別人的熱情和學(xué)習(xí)的興趣，從而進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)課題。

激發(fā)學(xué)生思維，從自身熟悉的特例(直角三角形)入手進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理。提問(wèn)：那結(jié)論對(duì)任意三角形都適用嗎?(讓學(xué)生分小組討論，并得出猜想)

注意：1.強(qiáng)調(diào)將猜想轉(zhuǎn)化為定理，需要嚴(yán)格的理論證明。

2.鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)作高轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形進(jìn)行證明。

3.提示學(xué)生思考哪些知識(shí)能把長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，繼而思考向量分析層面，用數(shù)量積作為工具證明定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

1.正弦定理的內(nèi)容，討論可以解決哪幾類有關(guān)三角形的問(wèn)題。

2.運(yùn)用正弦定理求解本節(jié)課引入的三角形零件邊長(zhǎng)的問(wèn)題。自己參與實(shí)際問(wèn)題的解決，能激發(fā)學(xué)生知識(shí)后用于實(shí)際的價(jià)值觀。

1.例1. 在△ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.

例1簡(jiǎn)單，結(jié)果為唯一解，如果已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對(duì)邊，都可利用正弦定理來(lái)解三角形。

2. 例2. 在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

例2較難，使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。要求學(xué)生熟悉掌握已知兩邊和其中

一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形。完了把時(shí)間交給學(xué)生。

1.在△ABC中,已知下列條件,解三角形. (1)A=45°,C=30°,c=10cm (2)A=60°,B=45°,c=20cm

2. 在△ABC中,已知下列條件,解三角形. (1)a=20cm,b=11cm,B=30° (2)c=54cm,b=39cm,C=115°

學(xué)生板演，老師巡視，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并解答。

1.它表述了三角形的邊與對(duì)角的正弦值的關(guān)系。

2.定理證明分別從直角、銳角、鈍角出發(fā)，運(yùn)用分類討論的思想。

3.會(huì)用向量作為數(shù)形結(jié)合的工具，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。

正弦定理教案(篇6)

一、說(shuō)教材

正弦定理是高中新教材人教A版必修五第一章1.1.1的內(nèi)容，是學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形的邊長(zhǎng)與角度之間的數(shù)量關(guān)系。提出兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題，并指出解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于研究三角形的邊、角關(guān)系，從而引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生探索愿望，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生自主探究三角形的邊角關(guān)系，先由特殊情況發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再對(duì)一般三角形進(jìn)行推導(dǎo)，并引導(dǎo)學(xué)生分析正弦定理可以解決兩類關(guān)于解三角形的問(wèn)題：

(1)已知兩角和一邊，解三角形;

(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形。

二、說(shuō)學(xué)情

本節(jié)授課對(duì)象是高二學(xué)生，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了必修四基本初等函數(shù)和三角恒等變換的基礎(chǔ)上，由實(shí)際問(wèn)題出發(fā)探索研究三角形邊角關(guān)系，得出正弦定理。高二學(xué)生對(duì)生產(chǎn)生活問(wèn)題比較感興趣，由實(shí)際問(wèn)題出發(fā)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生產(chǎn)生探索研究的愿望。

三、說(shuō)教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能目標(biāo)】

能準(zhǔn)確寫(xiě)出正弦定理的符號(hào)表達(dá)式，能夠運(yùn)用正弦定理理解三角形、初步解決某些測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

【過(guò)程與方法目標(biāo)】

通過(guò)對(duì)定理的證明和應(yīng)用，鍛煉獨(dú)立解決問(wèn)題的能力和體會(huì)分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法。

【情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】

通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過(guò)程，體會(huì)由特殊到一般再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物規(guī)律，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識(shí)。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

正弦定理及其推導(dǎo)。

【難點(diǎn)】

正弦定理的推導(dǎo)與正弦定理的運(yùn)用。

五、說(shuō)教學(xué)方法

運(yùn)用“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——自主探究——嘗試指導(dǎo)——合作交流”的教學(xué)方式，整堂課圍繞“一切為了學(xué)生發(fā)展”的教學(xué)原則，突出：師生互動(dòng)、共同探索，教師指導(dǎo)、循序漸進(jìn)。

新課引入——提出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的求知欲。掌握正弦定理的推導(dǎo)證明——分類討論，數(shù)形結(jié)合動(dòng)腦思考，由一般到特殊，組織學(xué)生自主探索，獲得正弦定理及證明過(guò)程。

例題處理——始終由問(wèn)題出發(fā)，層層設(shè)疑，讓他們?cè)谔剿髦械玫街R(shí)。鞏固練習(xí)——深化對(duì)正弦定理的理解。

六、說(shuō)教學(xué)過(guò)程

(一)導(dǎo)入新課

我采用的是設(shè)疑導(dǎo)入，進(jìn)行口頭提問(wèn)：

(1)在我國(guó)古代就有嫦娥奔月的神話故事，明月高懸，我們仰望星空，會(huì)有無(wú)限遐想，不禁會(huì)問(wèn)，月亮離我們地球有多遠(yuǎn)呢?科學(xué)家們是怎樣測(cè)出來(lái)的呢?

(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，只給你米尺和量角設(shè)備，不過(guò)河你可以測(cè)出它們之間的距離嗎?

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生活中的知識(shí)引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)需要和學(xué)習(xí)期待，以問(wèn)題引起學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和探索新知的欲望。讓學(xué)生積極主動(dòng)的參與到課堂里面來(lái)，更好的調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)氛圍。

(二)新課教學(xué)

1.復(fù)習(xí)舊知

帶動(dòng)學(xué)生回憶以前學(xué)過(guò)的知識(shí)，并設(shè)置如下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，減少學(xué)生對(duì)新知識(shí)的陌生感。

教師提問(wèn)：(1)請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，直角三角形中的各個(gè)角的正弦是怎樣表示的?這三個(gè)式子可以用同一個(gè)量聯(lián)系起來(lái)嗎?

正弦定理教案(篇7)

正弦定理證明方法

作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.

因?yàn)橥∷鶎?duì)的'圓周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個(gè)等式。

證明：在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a?sinB CH=b?sinA ∴a?sinB=b?sinA 得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

在直角三角形中,在鈍角三角形中(略)。

證明：記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c) =i?a+i?b+i?c

=a?cos(180-(C-90))+0+c?cos(90-A)=-asinC+csinA=0 ∴a/sinA =c/sinC (b與i垂直,i?b=0)

證明：在△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足為點(diǎn)D，作BE⊥AC垂足為點(diǎn)E，則CD=a?sinB，BE= c sinA,由三角形面積公式得：AB?CD=AC?BE

即c?a?sinB= b?c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

例如，用BC邊和經(jīng)過(guò)B的直徑BD，構(gòu)成的直角三角形DBC可以得到：

聽(tīng)說(shuō)能用向量證，咋么證呢?

三角形ABC為銳角三角形時(shí)，過(guò)A作單位向量j垂直于向量AB，則j 與向量AB夾角為90，j與向量BC夾角為(90-B),j與向量CA夾角為(90+A),設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,

|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得證用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得證

步驟1.

在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 類似可證其余兩個(gè)等式。

平面向量證法：

∴c^2=a?a+2a?b+b?b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數(shù)公式)

同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

做AD⊥BC.

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

b^2=sinB?c+a^2+cosB?c^2-2ac*cosB

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

正弦定理教案(篇8)

對(duì)高一的學(xué)生來(lái)說(shuō)，一方面已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面幾何，解直角三角形，任意角的三角比等知識(shí)，具有一定觀察分析、解決問(wèn)題的能力;但另一方面對(duì)新舊知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用往往會(huì)出現(xiàn)思維障礙，思維靈活性、深刻性受到制約。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，注意前后知識(shí)間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生直接參與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。

三、設(shè)計(jì)思想：

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要方面，也是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究呢?建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識(shí)不是被動(dòng)吸收的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的?！边@個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)理解就是：知識(shí)不僅是通過(guò)教師傳授得到的，更重要的是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過(guò)與他人(在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下)協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。

四、教學(xué)目標(biāo)：

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索與證明;正弦定理的基本應(yīng)用。

突破難點(diǎn)的手段：抓知識(shí)選擇的切入點(diǎn)，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識(shí)特點(diǎn)入手，教師在學(xué)生

主體下給于適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。

六、復(fù)習(xí)引入：

1.在任意三角形行中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系?是否可以把邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化?

2.在ABC中，角A、B、C的正弦對(duì)邊分別是a,b,c，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎?

結(jié)論：

證明：(向量法)過(guò)A作單位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB邊同乘以單位向量。

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。

正弦定理教案(篇9)

教材地位與作用：

本節(jié)知識(shí)是必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系與判定三角形的全等也有密切聯(lián)系，在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中也時(shí)常有解三角形的問(wèn)題，而且解三角形和三角函數(shù)聯(lián)系在高考當(dāng)中也時(shí)常考一些解答題。因此，正弦定理的知識(shí)非常重要。

學(xué)情分析：

作為高一學(xué)生，同學(xué)們已經(jīng)掌握了基本的三角函數(shù)，特別是在一些特殊三角形中，而學(xué)生們?cè)诮鉀Q任意三角形的邊與角問(wèn)題，就比較困難。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及基本應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索及證明，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

（根據(jù)我的教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情分析以及教學(xué)重難點(diǎn)，我制定了如下幾點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)）

教學(xué)目標(biāo)分析：

知識(shí)目標(biāo)：理解并掌握正弦定理的證明，運(yùn)用正弦定理解三角形。

能力目標(biāo)：探索正弦定理的證明過(guò)程，用歸納法得出結(jié)論。

情感目標(biāo)：通過(guò)推導(dǎo)得出正弦定理，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)公式的整潔對(duì)稱美和數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

教法學(xué)法分析：

教法：采用探究式課堂教學(xué)模式，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”為基本探究?jī)?nèi)容，以生活實(shí)際為參照對(duì)象，讓學(xué)生的思維由問(wèn)題開(kāi)始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導(dǎo)，并逐步得到深化。

學(xué)法：指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法，采取個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，將自己所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于對(duì)任意三角形性質(zhì)的探究。讓學(xué)生在問(wèn)題情景中學(xué)習(xí)，觀察，類比，思考，探究，動(dòng)手嘗試相結(jié)合，增強(qiáng)學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，鍥而不舍的求學(xué)精神。

教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，布疑激趣

“興趣是最好的老師”，如果一節(jié)課有個(gè)好的開(kāi)頭，那就意味著成功了一半，本節(jié)課由一個(gè)實(shí)際問(wèn)題引入，“工人師傅的一個(gè)三角形的模型壞了，只剩下如右圖所示的部分，∠A=47°，∠B=53°，AB長(zhǎng)為1m，想修好這個(gè)零件，但他不知道AC和BC的長(zhǎng)度是多少好去截料，你能幫師傅這個(gè)忙嗎？”激發(fā)學(xué)生幫助別人的熱情和學(xué)習(xí)的興趣，從而進(jìn)入今天的學(xué)習(xí)課題。

（二）探尋特例，提出猜想

1．激發(fā)學(xué)生思維，從自身熟悉的特例（直角三角形）入手進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理。

2．那結(jié)論對(duì)任意三角形都適用嗎？指導(dǎo)學(xué)生分小組用刻度尺、量角器、計(jì)算器等工具對(duì)一般三角形進(jìn)行驗(yàn)證。

3．讓學(xué)生總結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得出猜想：

在三角形中，角與所對(duì)的邊滿足關(guān)系

這為下一步證明樹(shù)立信心，不斷的使學(xué)生對(duì)結(jié)論的認(rèn)識(shí)從感性逐步上升到理性。

（三）邏輯推理，證明猜想

1．強(qiáng)調(diào)將猜想轉(zhuǎn)化為定理，需要嚴(yán)格的理論證明。

2．鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)作高轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形進(jìn)行證明。

3．提示學(xué)生思考哪些知識(shí)能把長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，繼而思考向量分析層面，用數(shù)量積作為工具證明定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

4．思考是否還有其他的方法來(lái)證明正弦定理，布置課后練習(xí)，提示，做三角形的外接圓構(gòu)造直角三角形，或用坐標(biāo)法來(lái)證明

（四）歸納總結(jié)，簡(jiǎn)單應(yīng)用

1．讓學(xué)生用文字?jǐn)⑹稣叶ɡ?，引?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理具有對(duì)稱和諧美，提升對(duì)數(shù)學(xué)美的享受。

2．正弦定理的內(nèi)容，討論可以解決哪幾類有關(guān)三角形的問(wèn)題。

3．運(yùn)用正弦定理求解本節(jié)課引入的三角形零件邊長(zhǎng)的問(wèn)題。自己參與實(shí)際問(wèn)題的解決，能激發(fā)學(xué)生知識(shí)后用于實(shí)際的價(jià)值觀。

（五）講解例題，鞏固定理

1．例1。在△ABC中，已知A=32°，B=81。8°，a=42。9cm。解三角形。

例1簡(jiǎn)單，結(jié)果為唯一解，如果已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對(duì)邊，都可利用正弦定理來(lái)解三角形。

2．例2。在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形。

例2較難，使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。要求學(xué)生熟悉掌握已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形。完了把時(shí)間交給學(xué)生。

（六）課堂練習(xí)，提高鞏固

1、在△ABC中，已知下列條件，解三角形。

（1）A=45°，C=30°，c=10cm（2）A=60°，B=45°，c=20cm

2、在△ABC中，已知下列條件，解三角形。

（1）a=20cm，b=11cm，B=30°（2）c=54cm，b=39cm，C=115°

學(xué)生板演，老師巡視，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并解答。

（七）小結(jié)反思，提高認(rèn)識(shí)

通過(guò)以上的研究過(guò)程，同學(xué)們主要學(xué)到了那些知識(shí)和方法？你對(duì)此有何體會(huì)？

1．用向量證明了正弦定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

2．它表述了三角形的邊與對(duì)角的正弦值的關(guān)系。

3．定理證明分別從直角、銳角、鈍角出發(fā)，運(yùn)用分類討論的思想。

（從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)猜想、實(shí)驗(yàn)、歸納等思維方法，最后得到了推導(dǎo)出正弦定理。我們研究問(wèn)題的突出特點(diǎn)是從特殊到一般，我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個(gè)探索過(guò)程我們也掌握了研究問(wèn)題的一般方法。在強(qiáng)調(diào)研究性學(xué)習(xí)方法，注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。）

（八）任務(wù)后延，自主探究

如果已知一個(gè)三角形的兩邊及其夾角，要求第三邊，怎么辦？發(fā)現(xiàn)正弦定理不適用了，那么自然過(guò)渡到下一節(jié)內(nèi)容，余弦定理。布置作業(yè)，預(yù)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容。

（九）作業(yè)布置

正弦定理教案錦集11篇

教師的職責(zé)之一是制作教案課件，這需要教師對(duì)每個(gè)課件進(jìn)行更加完善的設(shè)計(jì)。教案是教學(xué)過(guò)程中的重要規(guī)劃。幼兒教師教育網(wǎng)編輯為大家準(zhǔn)備了有關(guān)“正弦定理教案”的相關(guān)資訊，請(qǐng)隨時(shí)查閱，并收藏本站。歡迎關(guān)注網(wǎng)站的更新！

正弦定理教案篇1

高中數(shù)學(xué)正弦定理教案，一起拉看看吧。

本節(jié)可結(jié)合課件“正弦定理猜想與驗(yàn)證”學(xué)習(xí)正弦定理．

三維目標(biāo)

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的證明及其基本運(yùn)用．

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索和證明；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，判斷解的個(gè)數(shù)．

課時(shí)安排

1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

1閱讀本章引言，明確本章將學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容及本章將要解決哪些問(wèn)題？

2聯(lián)想學(xué)習(xí)過(guò)的三角函數(shù)中的邊角關(guān)系，能否得到直角三角形中角與它所對(duì)的邊之間在數(shù)量上有什么關(guān)系？

3由2得到的數(shù)量關(guān)系式，對(duì)一般三角形是否仍然成立？

4正弦定理的內(nèi)容是什么，你能用文字語(yǔ)言敘述它嗎？你能用哪些方法證明它？

5什么叫做解三角形？

6利用正弦定理可以解決一些怎樣的三角形問(wèn)題呢？

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀本章引言，點(diǎn)出本章數(shù)學(xué)知識(shí)的某些重要的實(shí)際背景及其實(shí)際需要，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)解三角形知識(shí)的必要性．如教師可提出以下問(wèn)題：怎樣在航行途中測(cè)出海上兩個(gè)島嶼之間的距離？怎樣測(cè)出海上航行的輪船的航速和航向？怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮０胃叨?？這些實(shí)際問(wèn)題的解決需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識(shí)．讓學(xué)生明確本章將要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個(gè)定理解三角形及解決測(cè)量中的一些問(wèn)題．

那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖討論分析．

(當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，解法類似銳角三角形的情況，由學(xué)生自己完成)

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

asinA＝bsinB＝csinC

正弦定理的證明方法很多，除了上述的證明方法以外，教師鼓勵(lì)學(xué)生課下進(jìn)一步探究正弦定理的其他證明方法．

討論結(jié)果：

(1)～(4)略．

(5)已知三角形的幾個(gè)元素(把三角形的三個(gè)角A、B、C和它們的對(duì)邊a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的過(guò)程叫做解三角形．

應(yīng)用示例

例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9 cm，解此三角形．

活動(dòng)：解三角形就是已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程，在本例中就是求解∠C，b，c.

此題屬于已知兩角和其中一角所對(duì)邊的問(wèn)題，直接應(yīng)用正弦定理可求出邊b，若求邊c，則先求∠C，再利用正弦定理即可．

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得

∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.

根據(jù)正弦定理，得

b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；

c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．

正弦定理教案篇2

本節(jié)內(nèi)容安排在《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)?數(shù)學(xué)必修5》（北師大版）第二章，正弦定理第一課時(shí)，是在高一學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識(shí)之后，顯然是對(duì)三角知識(shí)的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對(duì)初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。

根據(jù)實(shí)際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一層次教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問(wèn)，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過(guò)“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“ 向量法”等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性，并得到三角形面積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。學(xué)生通過(guò)對(duì)任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察――實(shí)驗(yàn)――猜想――證明――應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。

布魯納指出，學(xué)生不是被動(dòng)的、消極的知識(shí)的接受者，而是主動(dòng)的、積極的知識(shí)的探究者。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學(xué)生能夠獨(dú)立探究的情境，引導(dǎo)學(xué)生去思考，參與知識(shí)獲得的過(guò)程。因此，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力，以及提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

三、設(shè)計(jì)思想：

《正弦定理》一課教學(xué)模式和策略設(shè)計(jì)就是想讓素質(zhì)教育如何落實(shí)在課堂教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)上進(jìn)行一些探索和研究。旨在通過(guò)學(xué)生自己的思維活動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生基礎(chǔ)性學(xué)力(基礎(chǔ)能力)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展性學(xué)力(培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)能力)，誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性學(xué)力(提高應(yīng)用能力)，最終達(dá)到素質(zhì)教育目的。為此，我在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí)，采用問(wèn)題開(kāi)放式課堂教學(xué)模式，以學(xué)生參與為主，教師啟發(fā)、點(diǎn)撥的課堂教學(xué)策略。通過(guò)設(shè)置開(kāi)放性問(wèn)題，問(wèn)題的層次性推進(jìn)和教師啟發(fā)、點(diǎn)撥發(fā)展學(xué)生有效思維，提高數(shù)學(xué)能力，達(dá)到上述三種學(xué)力的提高、培養(yǎng)和誘發(fā)。以學(xué)生參與為主，教師啟發(fā)、點(diǎn)撥教學(xué)策略是體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本的現(xiàn)代教育觀，在開(kāi)放式討論過(guò)程中，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力，發(fā)展學(xué)生的各種數(shù)學(xué)需要，使其獲得終身受用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力和創(chuàng)造才能。建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)，學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室的。在日常生活中，在以往的學(xué)習(xí)中，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗(yàn)，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運(yùn)行，從自然現(xiàn)象到社會(huì)生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問(wèn)題即使他們還沒(méi)有接觸過(guò)，沒(méi)有現(xiàn)成的經(jīng)驗(yàn)，但當(dāng)問(wèn)題一旦呈現(xiàn)在面前時(shí)，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，依靠他們的認(rèn)知能力，形成對(duì)問(wèn)題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測(cè)，而是從他們的經(jīng)驗(yàn)背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設(shè)。所以，教學(xué)不能無(wú)視學(xué)生的這些經(jīng)驗(yàn)，另起爐灶，從外部裝進(jìn)新知識(shí)，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)

的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。

為此我們根據(jù)“問(wèn)題教學(xué)”模式，沿著“設(shè)置情境--提出問(wèn)題--解決問(wèn)題--反思應(yīng)用”這條主線，把從情境中探索和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，以“問(wèn)題”為主線組織教學(xué)，形成以提出問(wèn)題與解決問(wèn)題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境--問(wèn)題”學(xué)習(xí)鏈，使學(xué)生真正成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的主體，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程。

根據(jù)上述精神，做出了如下設(shè)計(jì)：

1、創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境作為提出問(wèn)題的背景；

2、啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，逐步將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象成過(guò)渡性數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決過(guò)渡性問(wèn)題時(shí)需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問(wèn)題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過(guò)渡性問(wèn)題引伸成一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知三角形的兩條邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及第三邊。解決這兩個(gè)問(wèn)題需要先回答目標(biāo)問(wèn)題：在三角形中，兩邊與它們的對(duì)角之間有怎樣的關(guān)系？

3、為了解決提出的目標(biāo)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問(wèn)題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證。

四、教學(xué)目標(biāo)：

1．讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā), 通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，實(shí)驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問(wèn)題。

2．通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。

3．通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

4．培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

利用投影展示：一條河的兩岸平行，河寬d=1km，因上游突發(fā)洪水，在洪峰到來(lái)之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及人員用船轉(zhuǎn)運(yùn)到正對(duì)岸的碼頭B處或其下游1 km的碼頭C處。已知船在靜水中的速度OvlO= 5 kmMh，水流速度Ov2O=3 kmMh。

師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)身處地地考慮一下有關(guān)的問(wèn)題，將各自的問(wèn)題經(jīng)小組(前后4人為一小組)匯總整理后交給我。

待各小組將題紙交給老師后，老師篩選幾張有代表性的題紙通過(guò)投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的5個(gè)問(wèn)題：

(l)船應(yīng)開(kāi)往B處還是C處？

(2)船從A開(kāi)到B、C分別需要多少時(shí)間？

(3)船從A到B、C的距離分別是多少？

(4)船從A到B、C時(shí)的速度大小分別是多少？

(5)船應(yīng)向什么方向開(kāi)，才能保證沿直線到達(dá)B、C？

大家經(jīng)過(guò)討論達(dá)成如下共識(shí)：要回答問(wèn)題(l)，需要解決問(wèn)題(2)，要解決問(wèn)題(2)，需要先解決問(wèn)題(3)和(4)，問(wèn)題(3)用直角三角形知識(shí)可解，所以重點(diǎn)是解決問(wèn)題(4)，問(wèn)題(4)與問(wèn)題(5)是兩個(gè)相關(guān)問(wèn)題，因此，解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵是解決問(wèn)題(4)和(5)。

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問(wèn)題對(duì)應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生：船從A開(kāi)往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，可求得船在河水中的速度大小OvO及vl與v2的夾角θ：

生：船從A開(kāi)往C的情況如圖3，OADO=Ov1O= 5，ODEO=OAFO=Ov2O=3，易求得∠AED =∠EAF = 450，還需求θ及v。我不知道怎樣解這兩個(gè)問(wèn)題，因?yàn)橐郧皬奈唇膺^(guò)類似的問(wèn)題。

師：請(qǐng)大家想一下，這兩個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？

部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。

生：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對(duì)角這4個(gè)元素之間的數(shù)量關(guān)系，則可以解決上述問(wèn)題，求出另一邊的對(duì)角。

生：如果另一邊的對(duì)角已經(jīng)求出，那么第三個(gè)角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對(duì)角這4個(gè)元素的數(shù)量關(guān)系，則第三邊也可求出。

生：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個(gè)角這4個(gè)元素之間的數(shù)量關(guān)系，也能求出第三邊和另一邊的對(duì)角。

師：同學(xué)們的設(shè)想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對(duì)角間的數(shù)量關(guān)系，或者三條邊與一個(gè)角間的數(shù)量關(guān)系，則兩個(gè)問(wèn)題都能夠順利解決。下面我們先來(lái)解答問(wèn)題：三角形中，任意兩邊與其對(duì)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問(wèn)題時(shí)，是怎樣處理的？

眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。

師：請(qǐng)各小組研究在Rt△ABC中，任意兩邊及其對(duì)角這4個(gè)元素間有什么關(guān)系？

多數(shù)小組很快得出結(jié)論：a／sinA = b／sinB = c／sinC。

師：a／sinA = b／sinB = c／sinC在非Rt△ABc中是否成立？

眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)。若有一個(gè)不成立，則否定結(jié)論；若都成立，則說(shuō)明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。

師：這是個(gè)好主意。請(qǐng)每個(gè)小組任意做出一個(gè)非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各邊的長(zhǎng)和各角的大小，用計(jì)算器作為計(jì)算工具，具體檢驗(yàn)一下，然后報(bào)告檢驗(yàn)結(jié)果。

幾分鐘后，多數(shù)小組報(bào)告結(jié)論成立，只有一個(gè)小組因測(cè)量和計(jì)算誤差，得出否定的結(jié)論。教師在引導(dǎo)學(xué)生找出失誤的原因后指出：此關(guān)系式在任意△ABC中都能成立，請(qǐng)大家先考慮一下證明思路。

生：想法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問(wèn)題進(jìn)行解決。

生：因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式，所以應(yīng)先找到一個(gè)可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系。

師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？

學(xué)生七嘴八舌地說(shuō)出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價(jià)值：1、三角形的面積不變；2、三角形同一邊上的高不變；3、三角形外接圓直徑不變。

師：據(jù)我所知，從AC+CB=AB出發(fā)，也能證得結(jié)論，請(qǐng)大家討論一下。

生：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。

生：還要想辦法將有三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式。

生：因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮選一個(gè)與三個(gè)向量中的一個(gè)向量(如向量AC)垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數(shù)量積。

師：同學(xué)們通過(guò)自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對(duì)角的關(guān)系，請(qǐng)大家留意身邊的事例，正弦定理能夠解決哪些問(wèn)題。

師生活動(dòng)：

教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問(wèn)題。

①如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；

②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊與另兩角，如。

師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書(shū)，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書(shū)的目的是規(guī)范解題步驟。

分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個(gè)角∠C，再由正弦定理求其他兩邊。

例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流

6.嘗試小結(jié)：

（1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想方法。

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；②已知三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其他元素。

在本課的教學(xué)中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、應(yīng)用反思的過(guò)程，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂(lè)，知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)。

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是這種教學(xué)模式的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對(duì)學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識(shí)水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮，對(duì)可用的情境進(jìn)行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。這種教學(xué)模式主張以問(wèn)題為連線組織教學(xué)活動(dòng)，以學(xué)生作為提出問(wèn)題的主體，因此，如何引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵。教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對(duì)提問(wèn)的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境，而且要真正轉(zhuǎn)變對(duì)學(xué)生提問(wèn)的態(tài)度，提高引導(dǎo)水平，一方面要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地提出問(wèn)題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問(wèn)題。教師還要積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所提的問(wèn)題進(jìn)行分析、整理，篩選出有價(jià)值的問(wèn)題，注意啟發(fā)學(xué)生揭示問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將提問(wèn)引向深入.

正弦定理教案篇3

大家好，今天我向大家說(shuō)課的題目是《正弦定理》。下面我將從以下幾個(gè)方面介紹我這堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)。

本節(jié)知識(shí)是必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的'聯(lián)系與判定三角形的全等也有密切聯(lián)系，在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中也時(shí)常有解三角形的問(wèn)題，而且解三角形和三角函數(shù)聯(lián)系在高考當(dāng)中也時(shí)?？家恍┙獯痤}。因此，正弦定理和余弦定理的知識(shí)非常重要。

根據(jù)上述教材內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征及原有知識(shí)水平，制定如下教學(xué)目標(biāo)：

注意：1.強(qiáng)調(diào)將猜想轉(zhuǎn)化為定理，需要嚴(yán)格的理論證明。

2.鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)作高轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形進(jìn)行證明。

1.正弦定理的內(nèi)容，討論可以解決哪幾類有關(guān)三角形的問(wèn)題。

1.例1. 在△ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.

例1簡(jiǎn)單，結(jié)果為唯一解，如果已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對(duì)邊，都可利用正弦定理來(lái)解三角形。

2. 例2. 在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.

例2較難，使學(xué)生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。要求學(xué)生熟悉掌握已知兩邊和其中

一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的各種情形。完了把時(shí)間交給學(xué)生。

1.在△ABC中,已知下列條件,解三角形. (1)A=45°,C=30°,c=10cm (2)A=60°,B=45°,c=20cm

2. 在△ABC中,已知下列條件,解三角形. (1)a=20cm,b=11cm,B=30° (2)c=54cm,b=39cm,C=115°

學(xué)生板演，老師巡視，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并解答。

1.它表述了三角形的邊與對(duì)角的正弦值的關(guān)系。

2.定理證明分別從直角、銳角、鈍角出發(fā)，運(yùn)用分類討論的思想。

3.會(huì)用向量作為數(shù)形結(jié)合的工具，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。

正弦定理教案篇4

（二）啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

用幾何畫(huà)板模擬演示魚(yú)雷及敵艦行蹤,在探討魚(yú)雷發(fā)射角度的過(guò)程中，抽象出一個(gè)解三角形問(wèn)題：

從而抽象出一個(gè)雛形:

3、測(cè)量角A的實(shí)際角度,與猜測(cè)有誤差,從而產(chǎn)生矛盾:

定性研究如何轉(zhuǎn)化為定量研究?

（三）引導(dǎo)學(xué)生用“特例到一般”的研究方法，猜想數(shù)學(xué)規(guī)律。

提出問(wèn)題:

1、如何對(duì)以上等式進(jìn)行檢驗(yàn)?zāi)?激發(fā)學(xué)生思維，從自身熟悉的特例（直角三角形）入手進(jìn)行研究，篩選出能成立的等式。

2、那這一結(jié)論對(duì)任意三角形都適用嗎？指導(dǎo)學(xué)生用刻度尺、圓規(guī)、計(jì)算器等工具對(duì)一般三角形進(jìn)行驗(yàn)證。

（四）讓學(xué)生進(jìn)行各種嘗試，探尋理論證明的方法。

提出問(wèn)題:

1、如何把猜想變成定理呢？使學(xué)生注意到猜想和定理的區(qū)別，強(qiáng)化學(xué)生思維的嚴(yán)密性。

2、怎樣進(jìn)行理論證明呢？培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)作高轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形進(jìn)行證明。

3、你能找出它們的比值嗎？借以檢驗(yàn)學(xué)生是否掌握了以上的研究思路。用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示，找到比值，突破難點(diǎn)。

4、將猜想變?yōu)槎ɡ?，并用以解決課首提出的問(wèn)題，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)乃枷虢逃?/p>

正弦定理教案篇5

一、教學(xué)內(nèi)容分析

二、學(xué)情分析

三、設(shè)計(jì)思想：

四、教學(xué)目標(biāo)：

五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索與證明；正弦定理的基本應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索與證明。

六、復(fù)習(xí)引入：

1、在任意三角形行中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系?是否可以把邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化?

2、在ABC中，角A、B、C的正弦對(duì)邊分別是a,b,c，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎?

結(jié)論：

證明：(向量法)過(guò)A作單位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB邊同乘以單位向量。

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。

七、教學(xué)反思

正弦定理教案篇6

一、教學(xué)內(nèi)容：

二、教材分析：

2、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)是正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證實(shí)；難點(diǎn)是三角形外接圓法證實(shí)。

把握正弦定理，理解證實(shí)過(guò)程。

2、能力目標(biāo)：

（2）增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和數(shù)學(xué)交流能力。

（3）發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：

（2）通過(guò)實(shí)例的社會(huì)意義，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情感和為祖國(guó)努力學(xué)習(xí)的責(zé)任心。

四、教學(xué)設(shè)想：

正弦定理教案篇7

一、教材分析

1.教材地位和作用

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的邊和角的基本關(guān)系；同時(shí)在必修4 ，學(xué)生也學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量等內(nèi)容。這些為學(xué)生學(xué)習(xí)正弦定理提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形邊、角之間數(shù)量關(guān)系的重要公式，本節(jié)內(nèi)容同時(shí)又是學(xué)生學(xué)習(xí)解三角形，幾何計(jì)算等后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)，而且在物理學(xué)等其它學(xué)科、工業(yè)生產(chǎn)以及日常生活等常常涉及解三角形的問(wèn)題。依據(jù)教材的上述地位和作用，我確定如下教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)

2.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)目標(biāo)：

①引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，探索證明正弦定理的方法；

②簡(jiǎn)單運(yùn)用正弦定理解三角形、初步解決某些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

（2）能力目標(biāo)：

②在利用正弦定理來(lái)解三角形的過(guò)程中，逐步培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決社會(huì)實(shí)際問(wèn)題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容，正弦定理的證明及基本應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索及證明；

教學(xué)中為了達(dá)到上述目標(biāo)，突破上述重難點(diǎn)，我將采用如下的教學(xué)方法與手段

二、教學(xué)方法與手段

1.教學(xué)方法

2.學(xué)法指導(dǎo)

3.教學(xué)手段

下面我講解如何運(yùn)用上述教學(xué)方法和手段開(kāi)展教學(xué)過(guò)程

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

教學(xué)流程：

引出課題

引出新知

歸納方法

鞏固新知

布置作業(yè)

四、總結(jié)分析：

現(xiàn)代教育心理學(xué)的研究認(rèn)為，有效的性質(zhì)概念教學(xué)是建立在學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的，因此我在教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中注意了：㈠在學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)和新性質(zhì)概念間尋找“最近發(fā)展區(qū)”．㈡引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)同化，順應(yīng)掌握新概念。

謝謝！

正弦定理教案篇8

一教學(xué)內(nèi)容分析

二學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

三設(shè)計(jì)思想

四教學(xué)目標(biāo)

1知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形的邊與其對(duì)角的關(guān)系的探索掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。

五教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)

難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)

教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件學(xué)生準(zhǔn)備計(jì)算器直尺量角器。

六教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）設(shè)置情境

教師：展示情景圖如圖1船從港口B航行到港口C測(cè)得BC的距離為

船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行由于船員的疏忽沒(méi)有測(cè)得CA距離如果船上有測(cè)角儀我們能否計(jì)算出AB的距離?

學(xué)生：思考提出測(cè)量角AC。

教師：若已知測(cè)得

如何計(jì)算AB兩地距離?

師生共同回憶解直角三角形①直角三角形中已知兩邊可以求第三邊及兩個(gè)角。②直角三角形中已知一邊和一角可以求另兩邊及第三個(gè)角。

教師引導(dǎo)：

是斜三角形能否利用解直角三角形精確計(jì)算AB呢?

（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證猜想

教師：給學(xué)生指明一個(gè)方向我們先通過(guò)特殊例子檢驗(yàn)

是否成立舉出特例。

(1)在△ABC中ABC分別為

對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：1對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為

引導(dǎo)學(xué)生考察

的關(guān)系。(學(xué)生回答它們相等)

(2)在△ABC中ABC分別為

對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：

對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為

1;(學(xué)生回答它們相等)

(3)在△ABC中ABC分別為

對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：

：2對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為

1。(學(xué)生回答它們相等)(圖3)

教師：對(duì)于

呢?

學(xué)生：思考交流得出如圖4在Rt

ABC中設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

則有

又

則

從而在直角三角形ABC中

教師：那么任意三角形是否有

呢?

結(jié)論：

對(duì)于任意三角形都成立。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)《幾何畫(huà)板》軟件的演示使學(xué)生對(duì)結(jié)論的認(rèn)識(shí)從感性逐步上升到理性。

（三）證明猜想得出定理

師生活動(dòng)：

教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)多媒體技術(shù)支持對(duì)任意的三角形如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明

學(xué)生：思考得出

(1)在

中成立如前面檢驗(yàn)。

(2)在銳角三角形中如圖5設(shè)

(3)在鈍角三角形中如圖6設(shè)

同銳角三角形證明可知

教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等即

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教師：還有其它證明方法嗎?

學(xué)生：思考得出分析圖形(圖7)對(duì)于任意△ABC由初中所學(xué)過(guò)的面積公式可以得出：

而由圖中可以看出：

等式

中均除以

后可得

即

教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生同時(shí)板書(shū)證明過(guò)程。

在剛才的.證明過(guò)程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高

三角形的面積：

能否得到新面積公式

學(xué)生：

得到三角形面積公式

（四）利用定理解決引例

師生活動(dòng)：

教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問(wèn)題。

學(xué)生：馬上得出

在

中

（五）了解解三角形概念

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念形成知識(shí)的完整性。

教師：一般地把三角形的三個(gè)角

和它們的對(duì)邊

叫做三角形的元素已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。

（六）運(yùn)用定理解決例題

師生活動(dòng)：

教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問(wèn)題。

學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問(wèn)題類型：

(1)如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊求三角形的另一角和另兩邊如

;

(2)如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角求另一邊與另兩角如

。

師生：例1的處理先讓學(xué)生思考回答解題思路教師板書(shū)讓學(xué)生思考主要是突出主體教師板書(shū)的目的是規(guī)范解題步驟。

例1：在

中已知

解三角形。

分析已知三角形中兩角及一邊求其他元素第一步可由三角形內(nèi)角和為

求出第三個(gè)角C再由正弦定理求其他兩邊。

例2：在

中已知

解三角形。

例2的處理目的是讓學(xué)生掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想可先讓中等學(xué)生講解解題思路其他同學(xué)補(bǔ)充交流。

學(xué)生：反饋練習(xí)(教科書(shū)第5頁(yè)的練習(xí))

用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。

（七）嘗試小結(jié)：

教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。

學(xué)生：思考交流歸納總結(jié)。

師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)教師及時(shí)補(bǔ)充要體現(xiàn)：

(1)正弦定理的內(nèi)容(

)及其證明思想方法。

(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三角形中兩角及一邊求其他元素;②已知三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角求其他元素。

(3)分類討論的數(shù)學(xué)思想。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的總結(jié)培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。

（八）作業(yè)設(shè)計(jì)

作業(yè)：第10頁(yè)[習(xí)題1.1]A組第12題。

正弦定理教案篇9

尊敬的各位考官：

大家好，我是今天的X號(hào)考生，今天我說(shuō)課的題目是《正弦定理》。

新課標(biāo)指出：高中教育屬于基礎(chǔ)教育，具有基礎(chǔ)性，且具有多樣性與選擇性，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。今天我將貫徹這一理念從教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)過(guò)程等幾個(gè)方面展開(kāi)我的說(shuō)課。

一、說(shuō)教材

教師對(duì)教材的掌握程度，是評(píng)判一位教師是否能上好一堂課的基本標(biāo)準(zhǔn)。在正式內(nèi)容開(kāi)始之前，我要先談一談對(duì)教材的理解。

《正弦定理》是人教A版必修5第一章第一節(jié)的內(nèi)容，其主要內(nèi)容是正弦定理及其應(yīng)用。此前學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，且積累很多的證明、推導(dǎo)的經(jīng)驗(yàn)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)都起到了一定的鋪墊作用。本節(jié)課的學(xué)習(xí)，也為以后學(xué)習(xí)和解決生活中的一些問(wèn)題提供幫助。因此本節(jié)的學(xué)習(xí)有著極其重要的地位。

二、說(shuō)學(xué)情

合理把握學(xué)情是上好一堂課的基礎(chǔ)，下面我來(lái)談?wù)剬W(xué)生的實(shí)際情況。

這一階段的學(xué)生已經(jīng)具備了一定的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，且在知識(shí)方面也有了一定的積累。所以，教學(xué)中，利用學(xué)生的特點(diǎn)以及原有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生的課堂參與度。

三、說(shuō)教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)以上對(duì)教材的分析以及對(duì)學(xué)情的把握，我制定了如下三維教學(xué)目標(biāo)：

(一)知識(shí)與技能

能證明正弦定理，并能利用正弦定理解決實(shí)際問(wèn)題。

(二)過(guò)程與方法

通過(guò)正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

(三)情感、態(tài)度與價(jià)值觀

在正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，提升對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。

四、說(shuō)教學(xué)重難點(diǎn)

我認(rèn)為一節(jié)好的數(shù)學(xué)課，從教學(xué)內(nèi)容上說(shuō)一定要突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。而教學(xué)重點(diǎn)的確立與我本節(jié)課的內(nèi)容肯定是密不可分的。那么根據(jù)授課內(nèi)容可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：正弦定理。難點(diǎn)：正弦定理的證明。

五、說(shuō)教法和學(xué)法

現(xiàn)代教學(xué)理論認(rèn)為，在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者，教學(xué)的一切活動(dòng)都必須以強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)性、積極性為出發(fā)點(diǎn)。根據(jù)這一教學(xué)理念，結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生的年齡特征，本節(jié)課我采用講授法、啟發(fā)法、練習(xí)法、小組合作、自主探究等教學(xué)方法。

六、說(shuō)教學(xué)過(guò)程

在這節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中，我注重突出重點(diǎn)，條理清晰，緊湊合理。各項(xiàng)活動(dòng)的安排也注重互動(dòng)、交流，最大限度的調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性、主動(dòng)性。

(一)導(dǎo)入新課

首先是導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我將采用溫故知新的導(dǎo)入方式。

復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)的任意三角形中的邊和角存在什么樣的關(guān)系。在學(xué)生回顧之后，再提問(wèn)：能否得到這個(gè)邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化的表示?引出本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容——正弦定理。

通過(guò)溫故知新的導(dǎo)入方式，能為本節(jié)課的后續(xù)的教學(xué)做好鋪墊。

(二)講解新知

接下來(lái)是新課講授環(huán)節(jié)，我將分為四部分，分別為在直角三角形中推導(dǎo)正弦定理、在銳角三角形中推導(dǎo)正弦定理、在鈍角三角形中推導(dǎo)正弦定理以及正弦定理的應(yīng)用。

素的過(guò)程叫做解三角形。

在介紹完正弦定理后，接下來(lái)介紹正弦定理的應(yīng)用。通過(guò)提問(wèn)：我們利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問(wèn)題呢?總結(jié)：如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，由三角形內(nèi)角和定理，可以計(jì)算出三角形的另一角，并由正弦定理計(jì)算出三角形的另兩邊;如果已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理，可以計(jì)算出另一邊的對(duì)角的正弦值，進(jìn)而確定這個(gè)角和三角形其他的邊和角。

整節(jié)課，本著學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的設(shè)計(jì)理念，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的特點(diǎn)，利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，采用層次性的問(wèn)題，一步步引導(dǎo)學(xué)生思考交流、發(fā)現(xiàn)知識(shí)。并且在整個(gè)過(guò)程中，講授法、引導(dǎo)法、合作探究等多種教學(xué)方法的使用，不但讓學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)，也培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

(三)課堂練習(xí)

正弦定理教案篇10

三、設(shè)計(jì)思想：

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要方面，也是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究呢?建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識(shí)不是被動(dòng)吸收的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的?！边@個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)理解就是：知識(shí)不僅是通過(guò)教師傳授得到的，更重要的是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過(guò)與他人(在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下)協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。

四、教學(xué)目標(biāo)：

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索與證明;正弦定理的基本應(yīng)用。

突破難點(diǎn)的手段：抓知識(shí)選擇的切入點(diǎn)，從學(xué)生原有的認(rèn)知水平和所需的知識(shí)特點(diǎn)入手，教師在學(xué)生

主體下給于適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。

六、復(fù)習(xí)引入：

1.在任意三角形行中有大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角關(guān)系?是否可以把邊、角關(guān)系準(zhǔn)確量化?

2.在ABC中，角A、B、C的正弦對(duì)邊分別是a,b,c，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎?

結(jié)論：

證明：(向量法)過(guò)A作單位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB邊同乘以單位向量。

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。

正弦定理教案篇11

一、說(shuō)教材

(1)已知兩角和一邊，解三角形;

(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形。

二、說(shuō)學(xué)情

三、說(shuō)教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能目標(biāo)】

【過(guò)程與方法目標(biāo)】

通過(guò)對(duì)定理的證明和應(yīng)用，鍛煉獨(dú)立解決問(wèn)題的能力和體會(huì)分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法。

【情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】

四、教學(xué)重難點(diǎn)

【重點(diǎn)】

正弦定理及其推導(dǎo)。

【難點(diǎn)】

正弦定理的推導(dǎo)與正弦定理的運(yùn)用。

五、說(shuō)教學(xué)方法

例題處理——始終由問(wèn)題出發(fā)，層層設(shè)疑，讓他們?cè)谔剿髦械玫街R(shí)。鞏固練習(xí)——深化對(duì)正弦定理的理解。

六、說(shuō)教學(xué)過(guò)程

(一)導(dǎo)入新課

我采用的是設(shè)疑導(dǎo)入，進(jìn)行口頭提問(wèn)：

(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，只給你米尺和量角設(shè)備，不過(guò)河你可以測(cè)出它們之間的距離嗎?

(二)新課教學(xué)

1.復(fù)習(xí)舊知

帶動(dòng)學(xué)生回憶以前學(xué)過(guò)的知識(shí)，并設(shè)置如下問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，減少學(xué)生對(duì)新知識(shí)的陌生感。

余弦定理教案

前輩告訴我們，做事之前提前下功夫是成功的一部分。在上課時(shí)幼兒園的老師都想讓自己的課堂知識(shí)能夠吸引小朋友們的注意力，大部分老師為了讓學(xué)生學(xué)的更好都會(huì)事先準(zhǔn)備好教案，有了教案上課才能夠?yàn)橥瑢W(xué)講更多的，更全面的知識(shí)。那么怎么才能寫(xiě)出優(yōu)秀的幼兒園教案呢？有請(qǐng)駐留一會(huì)，閱讀小編為你整理的余弦定理教案，為防遺忘，建議你收藏本頁(yè)！

余弦定理教案篇1

教學(xué)目標(biāo):(1)掌握余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的度量問(wèn)題.

(2)初步運(yùn)用余弦定理解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題. (3)經(jīng)歷余弦定理的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證過(guò)程,增強(qiáng)學(xué)生的理性思維能力. 教學(xué)重點(diǎn):余弦定理的發(fā)現(xiàn)與運(yùn)用. 教學(xué)難點(diǎn):余弦定理的證明.

(2)課前,教者在黑板上畫(huà)好如圖所示的三個(gè)三角形.

情境1 A,B兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要測(cè)量A、B之間即將修建的一條直的隧道的長(zhǎng)度.另選一個(gè)點(diǎn)C,可以測(cè)得的數(shù)據(jù)有:AC?182m,BC?126m,?ACB?630,如何求A、B兩地之間隧道的長(zhǎng)度(精確到1m).

情境2 一位工人欲做一個(gè)三角形的支架.已知桿BC的長(zhǎng)度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點(diǎn)A彎折而成.若彎折點(diǎn)A與焊接點(diǎn)B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點(diǎn)相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

師:顯然,這兩個(gè)都是解三角形的問(wèn)題.其中,情境1的實(shí)質(zhì)是知道了三角形的兩邊與其夾角,求第三邊的長(zhǎng)度；而情境2的實(shí)質(zhì)就是已知三角形的三條邊,要求其一個(gè)內(nèi)角的大小.

請(qǐng)問(wèn):(1)這兩個(gè)問(wèn)題能用正弦定理來(lái)解決嗎? 生:不能.

師:對(duì),在解法上是互逆的,所以本節(jié)課我們將要探究的核心問(wèn)題是:在已知三角形兩條邊的前提下,其夾角的大小與第三條邊的長(zhǎng)度之間有著怎樣的關(guān)系?這正是余弦定理所揭示的規(guī)律----引入課題.

問(wèn)題1 在?ABC中,已知CB?a,CA?b(其中a?b),當(dāng)?C從小到大變化時(shí),AB的長(zhǎng)度的變化趨勢(shì)如何?

師:(學(xué)生思考了一會(huì)兒后)我們可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)看一下. (課上,利用課前制作道具做一下演示實(shí)驗(yàn).) 生: AB的長(zhǎng)度隨著?C的增大而增大.

師:這是一個(gè)定性的結(jié)論.那么對(duì)于定量的研究,一個(gè)常用的思維策略是特殊化. 取C=90?是最容易想到的；另外,雖然角C不能取0?與180?,但它可以無(wú)限接近這兩個(gè)角,所以不妨再考察一下這兩種情形.

續(xù)問(wèn): 若將?C的范圍擴(kuò)大到[00,1800],特別地:當(dāng)?C?00,?C?900,?C?1800這三種特殊情形時(shí),AB的長(zhǎng)度分別是多少?

時(shí),AB?a?b.

當(dāng)?C?00時(shí),AB?當(dāng)?C?900時(shí),AB?當(dāng)?C?1800時(shí),AB?B

問(wèn)題2 請(qǐng)你根據(jù)上述三個(gè)特例的結(jié)果,試猜想:當(dāng)?C??(00???1800)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度是多少?

:AB?問(wèn)題3 你能驗(yàn)證該猜想嗎?請(qǐng)?jiān)囈辉?

(課上,利用課前畫(huà)好的三張圖進(jìn)行討論.先讓學(xué)生獨(dú)立思考一會(huì)兒,然后根據(jù)學(xué)生回答的情況進(jìn)行講解,至少討論下列前兩種方法.)

方法一:

證: (1)當(dāng)?C??為銳角時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AD?BC于D.

則AB2?BD2?AD2?(a?bcos?)2?(bsin?)2=a2?b2?2abcos?.

(2)當(dāng)?C??為直角時(shí),結(jié)論顯然成立.

(3)當(dāng)?C??為鈍角時(shí), 過(guò)點(diǎn)A作AD?BC交BC的延長(zhǎng)線于D. 則AB?BD?AD?(a?bcos(???))?(bsin(???))

?(a?bcos?)?(bsin?)=a?b?2abcos?.

綜上所述,

均有AB?故猜想成立.

師:這種思路是構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來(lái)計(jì)算AB的長(zhǎng),但要注意這里要分三種情況討論.

方法二:

????2????2????????

?AC?CB?2AC?CB?a2?b2?2abcos(???)?a2?b2?2abcos?,

即AB?故猜想成立.

師:這種方法的思路是構(gòu)造向量,借助向量的運(yùn)算來(lái)證題.將向量等式轉(zhuǎn)化數(shù)量等式常用的手段是作數(shù)量積.

方法三:

證:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

????

則B(a,0),A(bcos?,bsin?),則BA?(bcos??a,bsin?),所以

|AB|?(bcos??a)2?(bsin??0)2=a2?b2?2abcos?,

????

即AB?|AB|?故猜想成立.

師:這種思路是建立平面直角坐標(biāo)系,借助于坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證題.利用坐標(biāo)法的優(yōu)點(diǎn)在于不必分類討論了且運(yùn)算簡(jiǎn)單.

當(dāng)然,我們還可以從其它途徑來(lái)驗(yàn)證這一猜想,這里就不再討論了,有興趣的同學(xué)課后我們可以作些交流.

問(wèn)題4 在三角形中,如何用符號(hào)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言表示出上述結(jié)論? (提示:根式的表示形式不如平方的形式來(lái)得美觀.)

c2?a2?b2?2abcosC,

生:符號(hào)語(yǔ)言:在△ABC中,有a2?b2?c2?2bccosA,

b2?a2?c2?2accosB.

文字語(yǔ)言:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

師:很好!這一結(jié)論我們稱之為余弦定理,上述三個(gè)公式是余弦定理的一種表現(xiàn)形式. 問(wèn)題5 如何根據(jù)三角形三條邊的長(zhǎng)度來(lái)求其內(nèi)角的大小呢?

師:這是余弦定理的另一種表現(xiàn)形式.對(duì)于余弦定理的這兩種形式,我們?cè)诮忸}中應(yīng)該靈活地加以選用.

感悟:(1)在第一組式子中,當(dāng)C=90°時(shí),即有c2?a2?b2.所以,勾股定理是余弦定理的特殊情形,余弦定理可以看做是勾股定理的推廣.

(2)在第二組式子中,我們考察式子左右兩邊的符號(hào),不難發(fā)現(xiàn):

在△ABC中,C為銳角?a2?b2?c2;C為直角?a2?b2?c2;C為鈍角?a2?b2?c2. 師:也就是說(shuō),在三角形中,要判斷一個(gè)內(nèi)角是什么角,只要看它的對(duì)邊的平方與其它兩邊平方的和的.大小.

例1 在△ABC中,已知b=3,c=1,A=60°,求a.

解析:由余弦定理,得a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1?cos600?7,

反思:(1)利用余弦定理,可以解決“已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角”的問(wèn)題.

(2)用余弦定理求邊的長(zhǎng)度時(shí),切記最后的結(jié)果要開(kāi)平方. 師: 情境1就是這種類型的問(wèn)題,我們也不妨看一下解答.

情境1:A,B兩地之間隔著一座小山,現(xiàn)要測(cè)量A、B之間即將修建的一條隧道的長(zhǎng)度.另選一個(gè)點(diǎn)C,可以測(cè)得的數(shù)據(jù)有:AC=182m,BC=126m,∠ACB=63°,如何求A,B兩地之間隧道的長(zhǎng)度(精確到1m).

解析: 在?ABC中,因?yàn)锳C?182m,BC?126m,?ACB?630,則由余弦定理,得

AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?1822?1262?2?182?126cos630 ?1822?1262?2?182?126?0.454?28177.15,

所以AB?168m.

答:A，B兩地之間隧道的長(zhǎng)度約為168m. 例2 在?ABC中,已知a=7,b=5,c=3,求A.

所以A=120°.

反思: (1)利用余弦定理,可以解決“已知三邊,求三個(gè)角”的問(wèn)題. 師:情境2就是這種類型的問(wèn)題,我們不妨看一下解答.

情境2: 一位工人欲做一個(gè)三角形的支架.已知桿BC的長(zhǎng)度為6分米,DAE是由一根直的鋼管沿著點(diǎn)A彎折而成.若彎折點(diǎn)A與焊接點(diǎn)B,C的距離分別為4分米和5分米,欲彎折后桿BC恰好能與兩焊接點(diǎn)相接,則彎折后∠BAC的大小是多少(精確到0.1度)?

解析:在?ABC中,因?yàn)閏?4,b?5,a?6,則由余弦定理,得

cosA???0.125,,所以A?82.80；

反思:(2)利用余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是建立出相應(yīng)的三角形的模型.同時(shí),要注意最后結(jié)果的精確度的要求.

變式:(1)在△ABC中,已知a2+b2+ab=c2,求角C的大小.

???,即cosC??, 解析:由a+b+ab=c,得a?b?c??ab,則

所以C?1200.

反思:(3)在解三角形時(shí),由邊的條件式求角時(shí),別忘了余弦定理；同時(shí)要注重余弦定理的逆用.

變式:(2)若三條線段的長(zhǎng)分別為5,6,7,則用這三條線段( ). A.能組成直角三角形 B.能組成銳角三角形

解析:首先因?yàn)閮蓷l小邊之和大于第三邊,所以能夠組成三角形；接著,只要看最大的角是什么角.因?yàn)?2?62?72,所以最大角為銳角,故這三條線段能組成銳角三角形.

思考:(1)若用長(zhǎng)為5,6,x的三條線段構(gòu)成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

?x?11或1?x??x2?52?62?62?x2?52??

13c2?3a2?6ca3(c?a)2??0, ?=

數(shù)學(xué)知識(shí)----本節(jié)課新學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)只有余弦定理.余弦定理與正弦定理是三角形中的兩朵奇葩,從形式上看,兩者都具有“美觀”的外形,余弦定理雖有多個(gè)表達(dá)式,但它們之間具有可以輪換的對(duì)稱美；從本質(zhì)上看,兩者都揭示了三角形中邊與角之間“美妙”的內(nèi)在聯(lián)系.

在解三角形的問(wèn)題中,“已知三個(gè)元素”包括了“三條邊,兩角一邊,兩邊一角”這三種情況,前面學(xué)習(xí)的正弦定理能夠解決已知“兩角與任一邊” 以及“兩邊與其中一邊的對(duì)角”這兩類問(wèn)題；今天學(xué)習(xí)的余弦定理又能夠解決已知“三邊” 以及“兩邊及其夾角”的這兩類問(wèn)題.這樣,對(duì)于一般的解三角形問(wèn)題,我們就都能找到解決的辦法了.當(dāng)然,對(duì)于一些較為復(fù)雜的三角形問(wèn)題,往往還要把這兩個(gè)定理聯(lián)合起來(lái)解決問(wèn)題.

思維啟迪----從本節(jié)課的討論與研究中,我們獲得了以下的一些思維啟迪:

(1)本節(jié)課上,對(duì)于余弦定理的發(fā)現(xiàn),我們是從三個(gè)特例開(kāi)始的,這遵循了“從特殊到一般”的思維策略.

(2)在三個(gè)特例的基礎(chǔ)上,我們進(jìn)行了大膽的猜想,所以合理運(yùn)用數(shù)學(xué)猜想等合情推理手段,是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)重要途徑.

(3)另外,在驗(yàn)證余弦定理時(shí),我們運(yùn)用到了幾何、三角、向量等多個(gè)知識(shí)領(lǐng)域,所以我們要注重不同知識(shí)內(nèi)容之間的融會(huì)貫通.

必做作業(yè):教材第16頁(yè)習(xí)題1.2第1,2,3,4題. 選做作業(yè):教材第16頁(yè)習(xí)題1.2第12題.

課后探究: (1) 思考:若用長(zhǎng)為5,6,x的三條線段構(gòu)成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

余弦定理教案篇2

各位評(píng)委各位同學(xué)，大家好！我是數(shù)學(xué)（）號(hào)選手，今天我說(shuō)課的題目是余弦定理，選自高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)(下)中第五章平面向量第二部分解斜三角形的第二節(jié)。我以新課標(biāo)的理念為指導(dǎo)，將教什么、怎樣教，為什么這樣教，分為教材與學(xué)情分析、教法與學(xué)法、教學(xué)過(guò)程、板書(shū)設(shè)計(jì)四個(gè)方面進(jìn)行說(shuō)明：

一、教材與學(xué)情分析

這節(jié)課與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系及判定三角形的全等有密切聯(lián)系，是高考的必考內(nèi)容之一，在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中也應(yīng)用很多。因此，余弦定理的知識(shí)非常重要。這堂課，我并不準(zhǔn)備將余弦定理全盤(pán)托出呈現(xiàn)給學(xué)生，而是采用創(chuàng)設(shè)情境式教學(xué)，通過(guò)具體的情景激發(fā)學(xué)生探索新知識(shí)的欲望，引導(dǎo)學(xué)生一步步探究并發(fā)現(xiàn)余弦定理。

根據(jù)教材內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征及原有知識(shí)水平，我制定如下三個(gè)教學(xué)目標(biāo)：

（1）知識(shí)目標(biāo)：掌握余弦定理兩種表示形式，解決兩類基本的解三角形問(wèn)題。

（2）能力目標(biāo)：通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系。

（3）情感目標(biāo)：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造輕松愉快的教學(xué)氛圍，在教學(xué)中體會(huì)形數(shù)美的統(tǒng)一，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，給學(xué)生成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

我將本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)設(shè)為掌握余弦定理，教學(xué)難點(diǎn)設(shè)為初步應(yīng)用余弦定理解三角形問(wèn)題。

二、教法與學(xué)法

1、教法選擇：根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容及學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，我選擇創(chuàng)設(shè)情境教學(xué)法、探究教學(xué)法和引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法相結(jié)合。以學(xué)生自主探究、合作交流為主，教師啟發(fā)引導(dǎo)為輔。

2、教學(xué)組織形式：師生互動(dòng)、生生互動(dòng)。

3、學(xué)法指導(dǎo)：巴甫洛夫曾指出：“方法是最主要和最基本的東西”，因此學(xué)之有法，才能學(xué)之有效，學(xué)之有趣。根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)，我在學(xué)法上指導(dǎo)學(xué)生：

①如何探究問(wèn)題②遇到新的問(wèn)題時(shí)如何轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題③做好評(píng)價(jià)與反思。

4、教學(xué)手段

根據(jù)數(shù)學(xué)課的特點(diǎn)，我采用的教具是：多媒體和黑板相結(jié)合。利用多媒體進(jìn)行動(dòng)態(tài)和直觀的演示，輔助課堂教學(xué)，為學(xué)生提供感性材料，幫助學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)余弦定理。對(duì)證明過(guò)程和知識(shí)體系板書(shū)演示，力爭(zhēng)與學(xué)生的思維同步。學(xué)具是：紙張、直尺、量角器。

三、教學(xué)過(guò)程

為了實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)中注意突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，我將從

創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入課題；

引導(dǎo)探究、獲得性質(zhì)；

應(yīng)用遷移、交流反思；

拓展升華、發(fā)散思維；

小結(jié)歸納、布置作業(yè)

五個(gè)層次進(jìn)行教學(xué)，具體過(guò)程如下：過(guò)程省略。

四、板書(shū)設(shè)計(jì)：

板書(shū)是課堂教學(xué)必不可少的組成部分，為了再現(xiàn)本節(jié)課的知識(shí)體系，滲透結(jié)構(gòu)思想，突出本節(jié)課的重點(diǎn)，我將這樣設(shè)計(jì)板書(shū)。性質(zhì)的證明和習(xí)題解答是學(xué)生完成的，讓學(xué)生寫(xiě)到黑板上，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤可及時(shí)糾正；我將本節(jié)課的知識(shí)體系展示到黑板上，利于學(xué)生理清思路。

余弦定理教案篇3

如何證明余弦定理

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類推。

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

=casin∠ABC.

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

因?yàn)锳B=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

因?yàn)閖AC=0，

jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

過(guò)A作，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根據(jù)向量的運(yùn)算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

,設(shè) 軸、軸方向上的單位向量分別為、，將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知

化簡(jiǎn)得b2-a2-c2=-2accos B.

這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理.

參考文獻(xiàn)：

【1】孟燕平?抓住特征，靈活轉(zhuǎn)換?數(shù)學(xué)通報(bào)第11期.

余弦定理教案篇4

一、說(shuō)教材? 《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，是解決有關(guān)斜三角形問(wèn)題以及應(yīng)用問(wèn)題的一個(gè)重要定理，它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了“邊”與“角”的互化，從而使“三角”與“幾何”產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量提供了理論依據(jù)，同時(shí)也為判斷三角形形狀，證明三角形中的有關(guān)等式提供了重要依據(jù)。根據(jù)上述教材內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的`認(rèn)知結(jié)構(gòu)，心理特征及原有知識(shí)水平，我將本課的教學(xué)目標(biāo)定為： ⒈知識(shí)與技能：掌握余弦定理的內(nèi)容及公式；能初步運(yùn)用余弦定理解決一些斜三角形； ⒉過(guò)程與方法：在探究學(xué)習(xí)的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)到余弦定理可以解決某些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，幫助學(xué)生提高運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。 ⒊情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)；在運(yùn)用余弦定理的過(guò)程中，讓學(xué)生逐步養(yǎng)成實(shí)事求是，扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問(wèn)題，認(rèn)識(shí)世界；通過(guò)本節(jié)的運(yùn)用實(shí)踐，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，應(yīng)用價(jià)值； ⒋本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：運(yùn)用余弦定理探求任意三角形的邊角關(guān)系，解決與之有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，運(yùn)用余弦定理解決一些與測(cè)量以及幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。 ⒌本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：靈活運(yùn)用余弦定理解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。 ⒍本節(jié)課的教學(xué)關(guān)鍵是:熟練掌握并靈活應(yīng)用余弦定理解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。下面為了講清重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，我再?gòu)慕谭ê蛯W(xué)法上談?wù)?/p>

余弦定理教案篇5

篇一：“余弦定理”教學(xué)設(shè)計(jì)

射陽(yáng)縣教育局教研室王克亮

教學(xué)目標(biāo):(1)掌握余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的度量問(wèn)題.

課前準(zhǔn)備:(1)自制一個(gè)如圖所示的道具.

(2)課前,教者在黑板上畫(huà)好如圖所示的三個(gè)三角形.

固定聯(lián)結(jié)點(diǎn)

塑料棒1

細(xì)繩

可動(dòng)聯(lián)結(jié)點(diǎn)

可轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn) 塑料棒2

道具

b B B

教學(xué)過(guò)程:

一、情境創(chuàng)設(shè) 提出問(wèn)題

[1]情境引入

師:首先請(qǐng)看兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題:

B D

C E

[2]提出問(wèn)題

請(qǐng)問(wèn):(1)這兩個(gè)問(wèn)題能用正弦定理來(lái)解決嗎? 生:不能.

(2)那么,這兩個(gè)問(wèn)題之間有聯(lián)系嗎? 生:互逆.

二、問(wèn)題探究知識(shí)建構(gòu)

問(wèn)題1 在?ABC中,已知CB?a,CA?b(其中a?b),當(dāng)?C從小到大變化時(shí),AB的長(zhǎng)度的變化趨勢(shì)如何?

續(xù)問(wèn): 若將?C的范圍擴(kuò)大到[00,1800],特別地:當(dāng)?C?00,?C?900,?C?1800這三種特殊情形時(shí),AB的長(zhǎng)度分別是多少?

生:當(dāng)?C?00時(shí),AB?a?b；當(dāng)?C?900時(shí)

,AB?；當(dāng)?C?1800

時(shí),AB?a?b.

師:我們不妨把這三個(gè)結(jié)論在形式上寫(xiě)得更接近些,即

當(dāng)?C?00時(shí),AB?當(dāng)?C?900時(shí),AB?當(dāng)?C?1800時(shí),AB?B

問(wèn)題2 請(qǐng)你根據(jù)上述三個(gè)特例的結(jié)果,試猜想:當(dāng)?C??(00???1800)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度是多少?

(在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,小組討論交流后請(qǐng)學(xué)生回答) 生

:AB?問(wèn)題3 你能驗(yàn)證該猜想嗎?請(qǐng)?jiān)囈辉?

方法一:

證: (1)當(dāng)?C??為銳角時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AD?BC于D.

則AB2?BD2?AD2?(a?bcos?)2?(bsin?)2=a2?b2?2abcos?.

(2)當(dāng)?C??為直角時(shí),結(jié)論顯然成立.

(3)當(dāng)?C??為鈍角時(shí), 過(guò)點(diǎn)A作AD?BC交BC的延長(zhǎng)線于D. 則AB?BD?AD?(a?bcos(???))?(bsin(???))

?(a?bcos?)?(bsin?)=a?b?2abcos?.

綜上所述,

均有AB?故猜想成立.

師:這種思路是構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來(lái)計(jì)算AB的長(zhǎng),但要注意這里要分三種情況討論.

方法二:

????????????????2????????2

證:因?yàn)锳B?AC?CB,所以AB?(AC?CB)

????2????2????????

?AC?CB?2AC?CB?a2?b2?2abcos(???)?a2?b2?2abcos?,

即AB?故猜想成立.

師:這種方法的思路是構(gòu)造向量,借助向量的運(yùn)算來(lái)證題.將向量等式轉(zhuǎn)化數(shù)量等式常用的手段是作數(shù)量積.

方法三:

證:以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

????

則B(a,0),A(bcos?,bsin?),則BA?(bcos??a,bsin?),所以

????2

|AB|?(bcos??a)2?(bsin??0)2=a2?b2?2abcos?,

????

即AB?|AB|?故猜想成立.

當(dāng)然,我們還可以從其它途徑來(lái)驗(yàn)證這一猜想,這里就不再討論了,有興趣的同學(xué)課后我們可以作些交流.

問(wèn)題4 在三角形中,如何用符號(hào)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言表示出上述結(jié)論? (提示:根式的表示形式不如平方的形式來(lái)得美觀.)

c2?a2?b2?2abcosC,

生:符號(hào)語(yǔ)言:在△ABC中,有a2?b2?c2?2bccosA,

b2?a2?c2?2accosB.

文字語(yǔ)言:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

a2?b2?c2b2?c2?a2a2?c2?b2

生:將上述結(jié)論變形為: cosC?,cosA?,cosB?.

2ab2bc2ac

師:這是余弦定理的另一種表現(xiàn)形式.對(duì)于余弦定理的這兩種形式,我們?cè)诮忸}中應(yīng)該靈活地加以選用.

感悟:(1)在第一組式子中,當(dāng)C=90°時(shí),即有c2?a2?b2.所以,勾股定理是余弦定理的特殊情形,余弦定理可以看做是勾股定理的推廣.

(2)在第二組式子中,我們考察式子左右兩邊的符號(hào),不難發(fā)現(xiàn):

三、數(shù)學(xué)應(yīng)用深化理解

例1 在△ABC中,已知b=3,c=1,A=60°,求a.

解析:由余弦定理,得a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1?cos600?7,

所以a?問(wèn):在此條件下,其它元素可求嗎?

反思:(1)利用余弦定理,可以解決“已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個(gè)角”的問(wèn)題.

(2)用余弦定理求邊的長(zhǎng)度時(shí),切記最后的結(jié)果要開(kāi)平方. 師: 情境1就是這種類型的問(wèn)題,我們也不妨看一下解答.

解析: 在?ABC中,因?yàn)锳C?182m,BC?126m,?ACB?630,則由余弦定理,得

AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?1822?1262?2?182?126cos630 ?1822?1262?2?182?126?0.454?28177.15,

所以AB?168m.

答:A，B兩地之間隧道的長(zhǎng)度約為168m. 例2 在?ABC中,已知a=7,b=5,c=3,求A.

b2?c2?a252?32?721

解析:由余弦定理,得cosA????,

2bc2?5?32

所以A=120°.

問(wèn):在此條件下,其它兩個(gè)角可求嗎? 眾生:可求.

反思: (1)利用余弦定理,可以解決“已知三邊,求三個(gè)角”的問(wèn)題. 師:情境2就是這種類型的問(wèn)題,我們不妨看一下解答.

解析:在?ABC中,因?yàn)閏?4,b?5,a?6,則由余弦定理,得

b2?c2?a252?42?62

cosA???0.125,,所以A?82.80；

2bc2?5?4

答:彎折后,?BAC?82.80.

反思:(2)利用余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是建立出相應(yīng)的三角形的模型.同時(shí),要注意最后結(jié)果的精確度的要求.

變式:(1)在△ABC中,已知a2+b2+ab=c2,求角C的大小.

a2?b2?c2?ab11222222

???,即cosC??, 解析:由a+b+ab=c,得a?b?c??ab,則

2ab2ab22

所以C?1200.

反思:(3)在解三角形時(shí),由邊的條件式求角時(shí),別忘了余弦定理；同時(shí)要注重余弦定理的逆用.

變式:(2)若三條線段的長(zhǎng)分別為5,6,7,則用這三條線段( ). A.能組成直角三角形 B.能組成銳角三角形

C.能組成鈍角三角形 D.不能組成三角形

思考:(1)若用長(zhǎng)為5,6,x的三條線段構(gòu)成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

?x?6?x?6??

解析:(1)由?x?5?6或?5?x?6,

?x?11或1?x??x2?52?62?62?x2?52??

(2)要證: B≤60°,只要證:cosB?

1c?a?b1???22ca21

所以cosB?,故B≤60°.

1. 2

c2?a2?(

而cosB?

c?a2

)

13c2?3a2?6ca3(c?a)2??0, ?=

8ca8ca2ca2

四、思維提升鞏固拓展

[1]課堂小結(jié)

思維啟迪----從本節(jié)課的討論與研究中,我們獲得了以下的一些思維啟迪:

(1)本節(jié)課上,對(duì)于余弦定理的發(fā)現(xiàn),我們是從三個(gè)特例開(kāi)始的,這遵循了“從特殊到一般”的思維策略.

[2]作業(yè)布置

必做作業(yè):教材第16頁(yè)習(xí)題1.2第1,2,3,4題. 選做作業(yè):教材第16頁(yè)習(xí)題1.2第12題.

課后探究: (1) 思考:若用長(zhǎng)為5,6,x的三條線段構(gòu)成的三角形是鈍角三角形,則正數(shù)x的取值范圍是________.

(2)在?ABC中,已知a +c =2b,求證:B≤45°.

篇二：關(guān)于余弦定理初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

對(duì)余弦定理的探究，教材是從直角三角形入手，通過(guò)向量知識(shí)給予證明的.一是進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)向量工具性的認(rèn)識(shí)，二是感受向量法證明余弦定理的奇妙之處，感受向量法在解決問(wèn)題中的威力.課后仍鼓勵(lì)學(xué)生探究余弦定理的其他證明方法，推出余弦定理后，可讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言敘述出來(lái)，并讓學(xué)生結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)明確：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角;如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角;如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的幾種變形式，并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn)，在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解、化簡(jiǎn)的目的.

應(yīng)用余弦定理及其另一種形式，并結(jié)合正弦定理，可以解決以下問(wèn)題：(1)已知兩邊和它們的夾角解三角形;(2)已知三角形的三邊解三角形.在已知兩邊及其夾角解三角形時(shí)，可以用余弦定理求出第三條邊，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知三邊解三角形的問(wèn)題.在已知三邊和一個(gè)角的情況下，求另一個(gè)角既可以應(yīng)用余弦定理的另一種形式，也可以用正弦定理.用余弦定理的另一種形式，可以(根據(jù)角的余弦值)直接判斷角是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜.用正弦定理計(jì)算相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來(lái)確定角的大小.

根據(jù)教材特點(diǎn)，本內(nèi)容安排2課時(shí).一節(jié)重在余弦定理的推導(dǎo)及簡(jiǎn)單應(yīng)用，一節(jié)重在解三角形中兩個(gè)定理的綜合應(yīng)用.

三維目標(biāo)

1.通過(guò)對(duì)余弦定理的探究與證明，掌握余弦定理的另一種形式及其應(yīng)用;了解余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系;知道解三角形問(wèn) 題的幾種情形.

2.通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索，提高數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，加深對(duì)數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用的認(rèn)識(shí);同時(shí)通過(guò)正弦定理、余弦定理數(shù)學(xué)表達(dá)式的變換，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美.

3.加深對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)，本節(jié)的主要數(shù)學(xué)思想是量化的數(shù)學(xué)思想、分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想;這些數(shù)學(xué)思想是對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理性的、本質(zhì)的、高度抽象的、概括的認(rèn)識(shí)，具有普遍的指導(dǎo)意義，它是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要組成部分，有利于加深學(xué)生對(duì)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：掌握余弦定理;理解余弦定理的推導(dǎo)及其另一種形式，并能應(yīng)用它們解三角形.

教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的證明及其基本應(yīng)用以及結(jié)合正弦定理解三角形.

課時(shí)安排

2課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

第1課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.(類比導(dǎo)入)在探究正弦定理的證明過(guò)程中，從直角三角形的特殊情形入手，發(fā)現(xiàn)了正弦定理.現(xiàn)在我們?nèi)匀粡闹苯侨切蔚倪@種特殊情形入手，然后將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再適當(dāng)運(yùn)用勾股定理進(jìn)行探索，這種導(dǎo)入比較自然流暢，易于學(xué)生接受.

思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入)如果已知一個(gè)三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判斷方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形，能否把這個(gè)邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化出來(lái)呢?也就是從已知的兩邊和它們的夾角能否計(jì)算出三角形的另一邊和另兩個(gè)角呢?根據(jù)我們掌握的數(shù)學(xué)方法，比如說(shuō)向量法，坐標(biāo)法，三角法，幾何法等，類比正弦定理的證明，你能推導(dǎo)出余弦定理嗎?

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

??1?通過(guò)對(duì)任意三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的邊角量化，我們發(fā)現(xiàn)了正弦定理，解決了兩類解三角形的問(wèn)題.那么如果已知一個(gè)三角形的兩條邊及這兩邊所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.怎樣已知三角形的兩邊及這兩邊夾角的條件下解三角形呢?

?2?能否用平面幾何方法或向量方法或坐標(biāo)方法等探究出計(jì)算第三邊長(zhǎng)的關(guān)系式或計(jì)算公式呢?

?3?余弦定理的內(nèi)容是什么?你能用文字語(yǔ)言敘述它嗎?余弦定理與以前學(xué)過(guò)的關(guān)于三角形的什么定理在形式上非常接近?

?4?余弦定理的另一種表達(dá)形式是什么?

?5?余弦定理可以解決哪些類型的解三角形問(wèn)題?怎樣求解?

?6?正弦定理與余弦定理在應(yīng)用上有哪些聯(lián)系和區(qū)別?

活動(dòng)：根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，結(jié)合課件“余弦定理猜想與驗(yàn)證”，教師引導(dǎo)學(xué)生仍從特殊情形入手，通過(guò)觀察、猜想、證明而推廣到一般.

如下圖，在直角三角形中，根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊，即勾股定理，那么對(duì)于任意三角形，能否根據(jù)已知兩邊及夾角來(lái)表示第三邊呢?下面，我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識(shí)來(lái)研究這一問(wèn)題.

如下圖，在△ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，試根據(jù)b、c、∠A來(lái)表示a.

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問(wèn)題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形.在直角三角形內(nèi)通過(guò)邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于點(diǎn)D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理通過(guò)CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用邊角關(guān)系表示，DB可利用AB，AD表示，進(jìn)而在Rt△ADC內(nèi)求解.探究過(guò)程如下：

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則在Rt△CDB中，根據(jù)勾股定理，得

a2=CD2+BD2.

∵在Rt△ADC中，CD2=b2-AD2，

又∵BD2=(c-AD)2=c2-2c?AD+AD2，

∴a2=b2-AD2+c2-2c?AD+AD2=b2+c2-2c?AD.

又∵在Rt△ADC中，AD=b?cosA，

∴a2=b2+c2-2bccosA.

類似地可以證明b2=c2+a2-2cacosB.

c2=a2+b2-2abcosC.

另外，當(dāng)A為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論，當(dāng)A為直角時(shí)，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論.

這就是解三角形中的另一個(gè)重要定理——余弦定理.下面類比正弦定理的證明，用向量的方法探究余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量知識(shí)的工具性作用.

教師與學(xué)生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出現(xiàn)的，又涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，學(xué)生很容易想到向量的數(shù)量積的定義式：a?b=|a||b|cosθ，其中θ為a，b的夾角.

用向量法探究余弦定理的具體過(guò)程如下：

如下圖，設(shè)CB→=a，CA→=b，AB→=c，那么c=a-b，

|c|2=c?c=(a-b)?(a-b)

=a?a+b?b-2a?b

=a2+b2-2abcosC.

所以c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

這個(gè)定理用坐標(biāo)法證明也比較容易，為了拓展學(xué)生的思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)法證明，過(guò)程如下：

如下圖，以C為原點(diǎn)，邊CB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(bcosC，bsinC)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式

AB=?bcosC-a?2+?bsinC-0?2，

∴c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C，

整理，得c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明：a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC

余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，每一個(gè)等式中都包含四個(gè)不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個(gè)角，知道其中的三個(gè)量，就可以求得第四個(gè)量.從而由三角形的三邊可確定三角形的三個(gè)角，得到余弦定理的另一種形式：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察、分析余弦定理的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)余弦定理與以前的關(guān)于三角形的勾股定理在形式上非常接近，讓學(xué)生比較并討論它們之間的關(guān)系.學(xué)生容易看出，若△ABC中，C=90°，則cosC=0，這時(shí)余弦定理變?yōu)閏2=a2+b2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推廣;勾股定理是余弦定理的特例.另外，從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角;如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角;如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角.從以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣.

應(yīng)用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)解三角形的問(wèn)題：

①已知三角形的三邊解三角形，這類問(wèn)題是三邊確定，故三角也確定，有解;

②已知兩邊和它們的夾角解三角形，這類問(wèn)題是第三邊確定，因而其他兩個(gè)角也確定，故解.不會(huì)產(chǎn)生利用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的判斷解的取舍的問(wèn)題.

把正弦定理和余弦定理結(jié)合起來(lái)應(yīng)用，能很好地解決解三角形的問(wèn)題.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)定理可解決的問(wèn)題類型會(huì)發(fā)現(xiàn)：如果已知的是三角形的三邊和一個(gè)角的情況，而求另兩角中的某個(gè)角時(shí)，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么這兩種方法哪個(gè)會(huì)更好些呢?教師與學(xué)生一起探究得到：若用余弦定理的另一種形式，可以根據(jù)余弦值直接判斷角是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜.用正弦定理計(jì)算相對(duì)比較簡(jiǎn)單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來(lái)確定角的大小，所以一般應(yīng)該選擇用正弦定理去計(jì)算比較小的邊所對(duì)的角.教師要點(diǎn)撥學(xué)生注意總結(jié)這種優(yōu)化解題的技巧.

討論結(jié)果：

(1)、(2)、(3)、(6)見(jiàn)活動(dòng).

(4)余弦定理的另一種表達(dá)形式是：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

(5)利用余弦定理可解決兩類解三角形問(wèn)題：

一類是已知三角形三邊，另一類是已知三角形兩邊及其夾角.

應(yīng)用示例

例1如圖，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.

活動(dòng)：本例是利用余弦定理解決的第二類問(wèn)題，可讓學(xué)生獨(dú)立完成.

解：由余弦定理，得

c2=a2+b2-2abcos120°，

因此c=52+42-2×5×4×?-12?=61.

例2如圖，在△ABC中，已知a=3，b=2，c=19，求此三角形各個(gè)角的大小及其面積.(精確到0.1)

活動(dòng)：本例中已知三角形三邊，可利用余弦定理先求出邊所對(duì)的角，然后利用正弦定理再求出另一角，進(jìn)而求得第三角.教材中這樣安排是為了讓學(xué)生充分熟悉正弦定理和余弦定理.實(shí)際教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生自己探求解題思路，比如學(xué)生可能會(huì)三次利用余弦定理分別求出三個(gè)角，或先求出最小邊所對(duì)的角再用正弦定理求其他角，這些教師都要給予鼓勵(lì)，然后讓學(xué)生自己比較這些方法的不同或優(yōu)劣，從而深刻理解兩個(gè)定理的.

解：由余弦定理，得

cos∠BCA=a2+b2-c22ab=32+22-?19?22×3×2=9+4-1912=-12，

因此∠BCA=120°，

再由正弦定理，得

sinA=asin∠BCAc=3×3219=33219≈0.596 0，

因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合題意，舍去).

因此∠B=180°-∠A-∠BCA≈23.4°.

設(shè)BC邊上的高為AD，則

AD=csinB=19sin23.4°≈1.73.

所以△ABC的面積≈12×3×1.73≈2.6.

點(diǎn)評(píng)：在既可應(yīng)用正弦定理又可應(yīng)用余弦定理時(shí)，體會(huì)兩種方法存在的差異.當(dāng)所求的角是鈍角時(shí)，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理則不能直接判定.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，已知a=14，b=20，c=12，求A、B和C.(精確到1°)

解：∵cosA=b2+c2-a22bc=202+122-1422×20×12=0.725 0，

∴A≈44°.

∵cosC=a2+b2-c22ab=142+202-1222×14×20=113140≈0.807 1，

∴C≈36°.

∴B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°.

例3如圖，△ABC的頂點(diǎn)為A(6,5)，B(-2,8)和C(4,1)，求∠A.(精確到0.1°)

活動(dòng)：本例中三角形的三點(diǎn)是以坐標(biāo)的形式給出的，點(diǎn)撥學(xué)生利用兩點(diǎn)間距離公式先求出三邊，然后利用余弦定理求出∠A.可由學(xué)生自己解決，教師給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).

解：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得

AB=[6-?-2?]2+?5-8?2=73，

BC=?-2-4?2+?8-1?2=85，

AC=?6-4?2+?5-1?2=25.

在△ABC中，由余弦定理，得

cosA=AB2+AC2-BC22AB?AC=2365≈0.104 7，

因此∠A≈84.0°.

點(diǎn)評(píng)：三角形三邊的長(zhǎng)作為中間過(guò)程，不必算出精確數(shù)值.

變式訓(xùn)練

用向量的數(shù)量積運(yùn)算重做本例.

解：如例3題圖，AB→=(-8,3)，AC→=(-2，-4)，

∴|AB→|=73，|AC→|=20.

∴cosA=AB→?AC→|AB→||AC→|

=-8×?-2?+3×?-4?73×20

=2365≈0.104 7.

因此∠A≈84.0°.

例4在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，求c及S△ABC.

活動(dòng)：根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角C，再利用正弦定理求出邊c，而三角形面積由公式S△ABC=12acsinB可以求出.若用余弦定理求c，可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立關(guān)于c的方程，亦能達(dá)到求c的目的.

解法一：由正弦定理，得8sinA=7sin60°，

∴A1=81.8°，A2=98.2°.

∴C1=38.2°，C2=21.8°.

由7sin60°=csinC，得c1=3，c2=5，

∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

解法二：由余弦定理，得b2=c2+a2-2cacosB，

∴72=c2+82-2×8×ccos60°.

整理，得c2-8c+15=0，

解之，得c1=3，c2=5.∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

點(diǎn)評(píng)：在解法一的思路里，應(yīng)注意用正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果，避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處，體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處，即可以用之建立方程，從而運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去解決，故解法二應(yīng)引起學(xué)生的注意.

綜合上述例題，要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三角形時(shí)的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形，同時(shí)注意余弦定理在求角時(shí)的優(yōu)勢(shì)以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊及一角解三角形可用余弦定理解之.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.已知c=2，C=60°.

(1)若△ABC的面積等于3，求a，b;

(2)若sinB=2sinA，求△ABC的面積.

解：(1)由余弦定理及已知條件，得a2+b2-2abcos60°=c2，即a2+b2-ab=4，

又因?yàn)椤鰽BC的面積等于3，所以12absinC=3，ab=4.

聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2.

(2)由正弦定理及已知條件，得b=2a，

聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，b=2a，解得a=233，b=433.

所以△ABC的面積S=12absinC=233.

知能訓(xùn)練

1.在△ABC中，已知C=120°，兩邊a與b是方程x2-3x+2=0的兩根，則c的值為…

( )

A.3 B.7 C.3 D.7

2.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為x2+x+1，x2-1,2x+1(x>1)，求三角形的角.

答案：

1.D 解析：由題意，知a+b=3，ab=2.

在△ABC中，由余弦定理，知

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab

=(a+b)2-ab

=7，

∴c=7.

2.解：比較得知，x2+x+1為三角形的邊，設(shè)其對(duì)角為A.

由余弦定理，得

cosA=?x2-1?2+?2x+1?2-?x2+x+1?22?x2-1??2x+1?

=-12.

∵0

即三角形的角為120°.

課堂小結(jié)

1.教師先讓學(xué)生回顧本節(jié)課的探究過(guò)程，然后再讓學(xué)生用文字語(yǔ)言敘述余弦定理，準(zhǔn)確理解其實(shí)質(zhì)，并由學(xué)生回顧可用余弦定理解決哪些解三角形的問(wèn)題.

2.教師指出：從方程的觀點(diǎn)來(lái)分析，余弦定理的每一個(gè)等式都包含了四個(gè)不同的量，知道其中三個(gè)量，便可求得第四個(gè)量.要通過(guò)課下作業(yè)，從方程的角度進(jìn)行各種變形，達(dá)到辨明余弦定理作用的目的.

3.思考本節(jié)學(xué)到的探究方法，定性發(fā)現(xiàn)→定量探討→得到定理.

作業(yè)

課本習(xí)題1—1A組4、5、6;習(xí)題1—1B組1～5.

設(shè)計(jì)感想

本教案的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了“民主教學(xué)思想”，教師不主觀、不武斷、不包辦，讓學(xué)生充分發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，合作探究，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，力求在課堂上人人都會(huì)有“令你自己滿意”的探究成果.這樣能夠不同程度地開(kāi)發(fā)學(xué)生的潛能，且使教學(xué)內(nèi)容得以鞏固和延伸.“發(fā)現(xiàn)法”是常用的一種教學(xué)方法，本教案設(shè)計(jì)是從直角三角形出發(fā)，以歸納——猜想——證明——應(yīng)用為線索，用恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題通過(guò)啟發(fā)和點(diǎn)撥，使學(xué)生把規(guī)律和方法在愉快的氣氛中探究出來(lái)，而展現(xiàn)的過(guò)程合情合理，自然流暢，學(xué)生的主體地位得到了充分的發(fā)揮.

縱觀本教案設(shè)計(jì)流程，引入自然，學(xué)生探究到位，體現(xiàn)新課程理念，能較好地完成三維目標(biāo)，課程內(nèi)容及重點(diǎn)難點(diǎn)也把握得恰到好處.環(huán)環(huán)相扣的設(shè)計(jì)流程會(huì)強(qiáng)烈地感染著學(xué)生積極主動(dòng)地獲取知識(shí)，使學(xué)生的探究欲望及精神狀態(tài)始終處于狀態(tài).在整個(gè)教案設(shè)計(jì)中學(xué)生的思維活動(dòng)量大，這是貫穿整個(gè)教案始終的一條主線，也應(yīng)是實(shí)際課堂教學(xué)中的一條主線.

備課資料

一、與解三角形有關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題

1.向量方法證明三角形中的射影定理

如圖，在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c.

∵AC→+CB→=AB→，

∴AC→?(AC→+CB→)=AC→?AB→.

∴AC→?AC→+AC→?CB→=AC→?AB→.

∴|AC→|2+|AC→||CB→|cos(180°-C)=|AB→||AC→|cosA.

∴|AC→|-|CB→|cosC=|AB→|cosA.

∴b-acosC=ccosA，

即b=ccosA+acosC.

同理，得a=bcosC+ccosB，c=bcosA+acosB.

上述三式稱為三角形中的射影定理.

2.解斜三角形題型分析

正弦定理和余弦定理的每一個(gè)等式中都包含三角形的四個(gè)元素，如果其中三個(gè)元素是已知的(其中至少有一個(gè)元素是邊)，那么這個(gè)三角形一定可解.

關(guān)于斜三角形的解法，根據(jù)所給的條件及適用的定理可以歸納為下面四種類型：

(1)已知兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊，如A、B、a，解△ABC.

解：①根據(jù)A+B+C=π，求出角C;

②根據(jù)asinA=bsinB及asinA=csinC，求b、c.

如果已知的是兩角和它們的夾邊，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照②來(lái)求解.求解過(guò)程中盡可能應(yīng)用已知元素.

(2)已知兩邊和它們的夾角，如a、b、C，解△ABC.

解：①根據(jù)c2=a2+b2-2abcosC，求出邊c;

②根據(jù)cosA=b2+c2-a22bc，求出角A;

③由B=180°-A-C，求出角B.

求出第三邊c后，往往為了計(jì)算上的方便，應(yīng)用正弦定理求角，但為了避免討論角是鈍角還是銳角，應(yīng)先求較小邊所對(duì)的角(它一定是銳角)，當(dāng)然也可以用余弦定理求解.

(3)已知兩邊及其中一條邊所對(duì)的角，如a、b、A，解△ABC.

解：①asinA=bsinB，經(jīng)過(guò)討論求出B;

②求出B后，由A+B+C=180°，求出角C;

③再根據(jù)asinA=csinC，求出邊c.

(4)已知三邊a、b、c，解△ABC.

解：一般應(yīng)用余弦定理求出兩角后，再由A+B+C=180°，求出第三個(gè)角.

另外，和第二種情形完全一樣，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)角求出后，可以根據(jù)正弦定理求出第二個(gè)角，但仍然需注意要先求較小邊所對(duì)的銳角.

(5)已知三角，解△ABC.

解：滿足條件的三角形可以作出無(wú)窮多個(gè)，故此類問(wèn)題解不.

3.“可解三角形”與“需解三角形”

解斜三角形是三角函數(shù)這章中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是求解立體幾何和解析幾何問(wèn)題的一個(gè)重要工具.但在具體解題時(shí)，有些同學(xué)面對(duì)較為復(fù)雜(即圖中三角形不止一個(gè))的斜三角形問(wèn)題，往往不知如何下手.至于何時(shí)用正弦定理或余弦定理也是心中無(wú)數(shù)，這既延長(zhǎng)了思考時(shí)間，更影響了解題的速度和質(zhì)量.但若明確了“可解三角形”和“需解三角形”這兩個(gè)概念，則情形就不一樣了.

所謂“可解三角形”，是指已經(jīng)具有三個(gè)元素(至少有一邊)的三角形;而“需解三角形”則是指需求邊或角所在的三角形.當(dāng)一個(gè)題目的圖形中三角形個(gè)數(shù)不少于兩個(gè)時(shí)，一般來(lái)說(shuō)其中必有一個(gè)三角形是可解的，我們就可先求出這個(gè)“可解三角形”的某些邊和角，從而使“需解三角形”可解.在確定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正確地判斷它們的類型，合理地選擇正弦定理或余弦定理作為解題工具，求出需求元素，并確定解的情況.

“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能縮短求解斜三角形問(wèn) 題的思考時(shí)間.一題到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底.分析問(wèn)題的思路也從“試試看”“做做看”等不大確定的狀態(tài)而變?yōu)椤坝械姆攀浮钡厝ネ诰颍ヌ骄?

二、備用習(xí)題

1.△ABC中，已知b2-bc-2c2=0，a=6，cosA=78，則△ABC的面積S為( )

A.152 B.15 C.2 D.3

2.已知一個(gè)三角形的三邊為a、b和a2+b2+ab，則這個(gè)三角形的角是( )

A.75° B.90° C.120° D.150°

3.已知銳角三角形的兩邊長(zhǎng)為2和3，那么第三邊長(zhǎng)x的取值范圍是( )

A.(1,5) B.(1，5) C.(5，5) D.(5，13)

4.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度，則這個(gè)新三角形的形狀為( )

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.由增加的長(zhǎng)度確定

5.(1)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知a=3，b=3，C=30°，則A=__________.

(2)在△ABC中，三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊邊長(zhǎng)分別為a=3，b=4，c=6，則bccosA+cacosB+abcosC的值為_(kāi)_________.

6.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，并且sinC=2sinBcosA，試判斷△ABC的形狀.

7.在△ABC中，設(shè)三角形面積為S，若S=a2-(b -c)2，求tanA2的值.

參考答案：

1.A 解析：由b2-bc-2c2=0，即(b+c)(b-2c)=0，得b=2c;①

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，即6=b2+c2-74bc.②

解①②，得b=4，c=2.

由cosA=78，得sinA=158，

∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×158=152.

2.C 解析：設(shè)角為θ，由余弦定理，得a2+b2+ab=a2+b2-2abcosθ，

∴cosθ=-12.∴θ=120°.

3.D 解析：若x為邊，由余弦定理，知4+9-x22×2×3>0，即x2

若x為最小邊，則由余弦定理知4+x2-9>0，即x2>5，

∴x>5.綜上，知x的取值范圍是5

4.A 解析：設(shè)直角三角形的三邊為a，b，c，其中c為斜邊，增加長(zhǎng)度為x.

則c+x為新三角形的最長(zhǎng)邊.設(shè)其所對(duì)的角為θ，由余弦定理知，

cosθ=?a+x?2+?b+x?2-?c+x?22?a+x??b+x?=2?a+b-c?x+x22?a+x??b+x?>0.

∴θ為銳角，即新三角形為銳角三角形.

5.(1)30° (2)612 解析：(1)∵a=3，b=3，C=30°，由余弦定理，有

c2=a2+b2-2abcosC=3+9-2×3×3×32=3，

∴a=c，則A=C=30°.

(2)∵bccosA+cacosB+abcosC=b2+c2-a22+c2+a2-b22+a2+b2-c22

=a2+b2+c22=32+42+622=612.

6.解：由正弦定理，得sinCsinB=cb，

由sinC=2sinBcosA，得cosA=sinC2sinB=c2b，

又根據(jù)余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc，

故c2b=b2+c2-a22bc，即c2=b2+c2-a2.

于是，得b2=a2，故b=a.

又因?yàn)?a +b+c)(a+b-c)=3ab，

故(a+b)2-c2=3ab.由a=b，得4b2-c2=3b2，

所以b2=c2，即b=c.故a=b=c.

因此△ABC為正三角形.

7.解：S=a2-(b-c)2，又S=12bcsinA，

∴12bcsinA=a2-(b-c)2，

有14sinA=-?b2+c2-a2?2bc+1，

即14?2sinA2?cosA2=1-cosA.

∴12?sinA2?cosA2=2sin2A2.

∵sinA2≠0，故12cosA2=2 sinA2，∴tanA2=14.

第2課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回顧正弦定理、余弦定理的內(nèi)容及表達(dá)式，回顧上兩節(jié)課所解決的解三角形問(wèn)題，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并結(jié)合三角、向量、幾何等知識(shí)我們會(huì)探究出什么樣的解題規(guī)律呢?由此展開(kāi)新課.

思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入)我們?cè)趹?yīng)用正弦定理解三角形時(shí)，已知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角往往得出不同情形的解，有時(shí)有一解，有時(shí)有兩解，有時(shí)又無(wú)解，這究竟是怎么回事呢?本節(jié)課我們從一般情形入手，結(jié)合圖形對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步的探究，由此展開(kāi)新課.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問(wèn)題

?1?回憶正弦定理、余弦定理及其另一種形式的表達(dá)式，并用文字語(yǔ)言敘述其內(nèi)容.能寫(xiě)出定理的哪些變式?

?2?正、余弦定理各適合解決哪類解三角形問(wèn)題?

?3?解三角形常用的有關(guān)三角形的定理、性質(zhì)還有哪些?

?4?為什么有時(shí)解三角形會(huì)出現(xiàn)矛盾，即無(wú)解呢?比如：,①已知在△ABC中，a=22 cm，b=25 cm，A=135°，解三角形;,②已知三條邊分別是3 cm，4 cm，7 cm，解三角形.

活動(dòng)：結(jié)合課件、幻燈片等，教師可把學(xué)生分成幾組互相提問(wèn)正弦定理、余弦定理的內(nèi)容是什么?各式中有幾個(gè)量?有什么作用?用方程的思想寫(xiě)出所有的變形(包括文字?jǐn)⑹?，讓學(xué)生回答正、余弦定理各適合解決的解三角形類型問(wèn)題、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積定理等.可讓學(xué)生填寫(xiě)下表中的相關(guān)內(nèi)容：

解斜三角形時(shí)可

用的定理和公式適用類型備注

余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=b2+a2-2bacosC (1)已知三邊

(2)已知兩邊及其夾角

類型(1)(2)有解時(shí)只有一解

正弦定理

asinA=bsinB=csinC=2R

(3)已知兩角和一邊

(4)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角類型(3)在有解時(shí)只有一解，類型(4)可有兩解、一解或無(wú)解

三角形面積公式

S=12bcsinA

=12acsinB

=12absinC

(5)已知兩邊及其夾角

對(duì)于正弦定理，教師引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出其變式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，利用幻燈片更能直觀地看出解三角形時(shí)的邊角互化.對(duì)于余弦定理，教師要引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出其變式(然后教師打出幻燈片)：∠A>90°?a2>b2+c2;∠A=90°?a2=b2+c2;∠A

以上內(nèi)容的復(fù)習(xí)回顧如不加以整理，學(xué)生將有雜亂無(wú)章、無(wú)規(guī)碰撞之感，覺(jué)得好像更難以把握了，要的就是這個(gè)效果，在看似學(xué)生亂提亂問(wèn)亂說(shuō)亂寫(xiě)的時(shí)候，教師適時(shí)地打出幻燈片(1張)，立即收到耳目一新，主線立現(xiàn)、心中明朗的感覺(jué)，幻燈片除以上2張外，還有：

asinA=bsinB=csinC=2R;a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC;cosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，cosC=a2+b2-c22ab.

出示幻燈片后，必要時(shí)教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況略作點(diǎn)評(píng).

與學(xué)生一起討論解三角形有時(shí)會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情況.如問(wèn)題(4)中的①會(huì)出現(xiàn)如下解法：

根據(jù)正弦定理，sinB=bsinAa=25sin133°22≈0.831 1.

∵0°

于是C=180°-(A+B)≈180°-(133°+56.21°)=-9.21°或C=180°-(A+B)≈180°-(133°+123.79°)=-76.79°.

到這里我們發(fā)現(xiàn)解三角形竟然解出負(fù)角來(lái)，顯然是錯(cuò)誤的.問(wèn)題出在哪里呢?在檢驗(yàn)以上計(jì)算無(wú)誤的前提下，教師引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件.由a=22 cm，b=25 cm，這里a

討論結(jié)果：

(1)、(3)、(4)略.

(2)利用正弦定理和余弦定理可解決以下四類解三角形問(wèn)題：

①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.

②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角).

③已知三邊，求三個(gè)角.

④已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角.

應(yīng)用示例

例1在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，b=acosC且△ABC的邊長(zhǎng)為12，最小角的正弦值為13.

(1)判斷△ABC的形狀;

(2)求△ABC的面積.

活動(dòng)：教師與學(xué)生一起共同探究本例，通過(guò)本例帶動(dòng)正弦定理、余弦定理的知識(shí)串聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生觀察條件b=acosC，這是本例中的關(guān)鍵條件.很顯然，如果利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有2RsinB=2RsinA?cosC.若利用余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有b=a?a2+b2-c22ab，兩種轉(zhuǎn)化策略都是我們常用的.引導(dǎo)學(xué)生注意對(duì)于涉及三角形的三角函數(shù)變換.內(nèi)角和定理A+B+C=180°非常重要，常變的角有A2+B2=π2-C2，2A+2B+2C=2π，sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)，sinA2=cosB+C2，cosA2=sinB+C2等，三個(gè)內(nèi)角的大小范圍都不能超出(0°，180°).

解：(1)方法一：∵b=acosC，

∴由正弦定理，得sinB=sinA?cosC.

又∵sinB=sin(A+C)，∴sin(A+C)=sinA?cosC，

即cosA?sinC=0.

又∵A、C∈(0，π)，∴cosA=0，即A=π2.

∴△ABC是A=90°的直角三角形.

方法二：∵b=acosC，

∴由余弦定理，得b=a?a2+b2-c22ab，

2b2=a2+b2-c2，即a2=b2+c2.

由勾股定理逆定理，知△ABC是A=90°的直角三角形.

(2)∵△ABC的邊長(zhǎng)為12，由(1)知斜邊a=12.

又∵△ABC最小角的正弦值為13，

∴Rt△ABC的最短直角邊長(zhǎng)為12×13=4.

另一條直角邊長(zhǎng)為122-42=82，

∴S△ABC=12×4×82=162.

點(diǎn)評(píng)：以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正弦定理和余弦定理綜合考查邏輯分析和計(jì)算推理能力是高考命題的一個(gè)重要方向.因此要特別關(guān)注三角函數(shù)在解三角形中的靈活運(yùn)用，及正、余弦定理的靈活運(yùn)用.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，且cosA=45.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若b=2，△ABC的面積S=3，求a.

解：(1)sin2B+C2+cos2A=1-cos?B+C?2+cos2A

=1+cosA2+2cos2A-1=5950.

(2)∵cosA=45，∴sinA=35.

由S△ABC=12bcsinA得3=12×2c×35，解得c=5.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得a2=4+25-2×2×5×45=13，

∴a=13.

例2已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，若a=7，c=5，∠A=120°，求邊長(zhǎng)b及△ABC外接圓半徑R.

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察已知條件，有邊有角，可由余弦定理先求出邊b，然后利用正弦定理再求其他.點(diǎn)撥學(xué)生注意體會(huì)邊角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作用.

解：由余弦定理，知a2=b2+c2-2bccosA，即b2+52-2×5×bcos120°=49，

∴b2+5b-24=0.

解得b=3.(負(fù)值舍去).

由正弦定理：asinA=2R，即7sin120°=2R，解得R=733.

∴△ABC中，b=3，R=733.

點(diǎn)評(píng)：本題直接利用余弦定理，借助方程思想求解邊b，讓學(xué)生體會(huì)這種解題方法，并探究其他的解題思路.

變式訓(xùn)練

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2+c2=a2+3bc，求：

(1)A的大小;

(2)2sinB?cosC-sin(B-C)的值.

解：(1)由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，

∴∠A=30°.

(2)2sinBcosC-sin(B-C)

=2sinBcosC-(sinB?cosC-cosBsinC)

=sinBcosC+cosBsinC

=sin(B+C)

=sinA

=12.

例3如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC=3，求：

(1)AB的長(zhǎng);

(2)四邊形ABCD的面積.

活動(dòng)：本例是正弦定理、余弦定理的靈活應(yīng)用，結(jié)合三角形面積求解，難度不大，可讓學(xué)生自己獨(dú)立解決，體會(huì)正、余弦定理結(jié)合三角形面積的綜合應(yīng)用.

解：(1)因?yàn)椤螧CD=75°，∠ACB=45°，所以∠ACD=30°.

又因?yàn)椤螧DC=45°，

所以∠DAC=180°-(75°+ 45°+ 30°)=30°.所以AD=DC=3.

在△BCD中，∠CBD=180°-(75°+ 45°)=60°，

所以BDsin75°=DCsin60°，BD =3sin75°sin60°=6+22.

在△ABD中，AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×6-24= 5，所以AB=5.

(2)S△ABD=12×AD×BD×sin75°=12×3×6+22×6+24=3+234.

同理， S△BCD=3+34.

所以四邊形ABCD的面積S=6+334.

點(diǎn)評(píng)：本例解答對(duì)運(yùn)算能力提出了較高要求，教師應(yīng)要求學(xué)生“列式工整、算法簡(jiǎn)潔、運(yùn)算正確”，養(yǎng)成規(guī)范答題的良好習(xí)慣.

變式訓(xùn)練

如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2.

(1)求cos∠CBE的值;

(2)求AE.

解：(1)因?yàn)椤螧CD=90°+60°=150°，

CB=AC=CD，

所以∠CBE=15°.

所以cos∠CBE=cos(45°-30°)=6+24.

(2)在△ABE中，AB=2，

由正弦定理，得AEsin?45°-15°?=2sin?90°+15°?，

故AE=2sin30°cos15°=2×126+24=6-2.

例4在△ABC中，求證：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.

活動(dòng)：此題所證結(jié)論包含關(guān)于△ABC的邊角關(guān)系，證明時(shí)可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過(guò)正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，若是余弦形式則通過(guò)余弦定理;二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過(guò)正弦定理.另外，此題要求學(xué)生熟悉相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式，如sin2B=2sinBcosB等，以便在化為角的關(guān)系時(shí)進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形.

證法一： (化為三角函數(shù))

a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2?2sinB?cosB+(2RsinB)2?2sinA?cosA=8R2sinA?sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2?2RsinA?2RsinB?sinC=2absinC.

所以原式得證.

證法二： (化為邊的等式)

左邊=a2?2sinBcosB+b2?2sinAcosA=a2?2b2R?a2+c2-b22ac+b2?2a2R?b2+c2-a22bc=ab2Rc(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=ab2Rc?2c2=2ab?c2R=2absinC.

點(diǎn)評(píng)：由邊向角轉(zhuǎn)化，通常利用正弦定理的變形式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后，要注意三角函數(shù)公式的運(yùn)用，在此題用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA?cosA，正弦兩角和公式sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB;由角向邊轉(zhuǎn)化，要結(jié)合正弦定理變形式以及余弦定理形式二.

篇三：關(guān)于余弦定理初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

變式訓(xùn)練

在△ABC中，求證：

(1)a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C;

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).

證明：(1)根據(jù)正弦定理，可設(shè)

asinA=bsinB= csinC= k，

顯然 k≠0，所以

左邊=a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C=右邊.

(2)根據(jù)余弦定理，得

右邊=2(bcb2+c2-a22bc+cac2+a2-b22ca+aba2+b2-c22ab)

=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊.

知能訓(xùn)練

1.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的三邊分別為a、b、c.若△ABC的面積S=c2-(a-b)2，則tanC2等于( )

A.12 B.14 C.18 D.1

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足4sin2A+C2-cos2B=72.

(1)求角B的度數(shù);

(2)若b=3，a+c=3，且a>c，求a、c的值.

答案：

1.B 解析：由余弦定理及面積公式，得

S=c2-a2-b2+2ab=-2abcosC+2ab=12absinC，

∴1-cosCsinC=14.

∴tanC2=1-cosCsinC=14.

2.解：(1)由題意，知4cos2B-4cosB+1=0，∴cosB=12.

∵0

(2)由余弦定理，知3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=9-3ac，

∴ac=2.①

又∵a+c=3，②

解①②聯(lián)立的方程組，得a=2，c=1或a=1，c=2.

∵a>c，∴a=2，c=1.

課堂小結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課我們共同探究的解三角形問(wèn)題，特別是已知兩邊及其一邊的對(duì)角時(shí)解的情況，通過(guò)例題及變式訓(xùn)練，掌握了三角形中邊角互化的問(wèn)題以及聯(lián)系其他知識(shí)的小綜合問(wèn)題.學(xué)到了具體問(wèn)題具體分析的良好思維習(xí)慣.

教師進(jìn)一步點(diǎn)出，解三角形問(wèn)題是確定線段的長(zhǎng)度和角度的大小，解三角形需要利用邊角關(guān)系，三角形中，有六個(gè)元素：三條邊、三個(gè)角;解三角形通常是給出三個(gè)獨(dú)立的條件(元素)，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形，兩個(gè)條件(元素)就夠了.正弦定理與余弦定理是刻畫(huà)三角形邊角關(guān)系的重要定理，正弦定理適用于已知兩角一邊，求其他要素;余弦定理適用于已知兩邊和夾角，或者已知三邊求其他要素.

作業(yè)

課本本節(jié)習(xí)題1—1B組6、7.

補(bǔ)充作業(yè)

1.在△ABC中，若tanAtanB=a2b2，試判斷△ABC的形狀.

2.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，A=60°，B>C，b、c是方程x2-23x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△ABC的面積為32，求△ABC的三邊長(zhǎng).

解答：1.由tanAtanB=a2b2，得sinA?cosBcosA?sinB=a2b2，

由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，

∴sinA?cosBcosA?sinB=4R2sin2A4R2sin2B.

∴sinA?cosA=sinB?cosB，

即sin2A=sin2B.

∴A+B=90°或A=B，

即△ABC為等腰三角形或直角三角形.

2.由韋達(dá)定理，得bc=m，S△ABC=12bcsinA=12msin60°=34m=32，

∴m=2.

則原方程變?yōu)閤2-23x+2=0，

解得兩根為x=3±1.

又B>C，∴b>c.

故b=3+1，c=3-1.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=6，得a=6.

∴所求三角形的三邊長(zhǎng)分別為a=6，b=3+1，c=3-1.

設(shè)計(jì)感想

本教案設(shè)計(jì)的思路是：通過(guò)一些典型的實(shí)例來(lái)拓展關(guān)于解三角形的各種題型及其解決方法，具體解三角形時(shí)，所選例題突出了函數(shù)與方程的思想，將正弦定理、余弦定理視作方程或方程組，處理已知量與未知量之間的關(guān)系.

本教案的設(shè)計(jì)注重了一題多解的訓(xùn)練，如例4給出了兩種解法，目的是讓學(xué)生對(duì)換個(gè)角度看問(wèn)題有所感悟，使學(xué)生經(jīng)常自覺(jué)地從一個(gè)思維過(guò)程轉(zhuǎn)換到另一個(gè)思維過(guò)程，逐步培養(yǎng)出創(chuàng)新意識(shí).換一個(gè)角度看問(wèn)題，變通一下，也許會(huì)有意想不到的效果.

備課資料

一、正弦定理、余弦定理課外探究

1.正、余弦定理的邊角互換功能

對(duì)于正、余弦定理，同學(xué)們已經(jīng)開(kāi)始熟悉，在解三角形的問(wèn)題中常會(huì)用到它，其實(shí)，在涉及到三角形的其他問(wèn)題中，也常會(huì)用到它們.兩個(gè)定理的特殊功能是邊角互換，即利用它們可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而使許多問(wèn)題得以解決.

【例1】已知a、b為△ABC的邊，A、B分別是a、b的對(duì)角，且sinAsinB=32，求a+bb的值.

解：∵asinA=bsinB，∴sinAsinB=ab.又sinAsinB=32(這是角的關(guān)系)，

∴ab=32(這是邊的關(guān)系).于是，由合比定理，得a+bb=3+22=52.

【例2】已知△ABC中，三邊a、b、c所對(duì)的角分別是A、B、C，且2b=a+c.

求證：sinA+sinC=2sinB.

證明：∵a+c=2b(這是邊的關(guān)系)，①

又asinA=bsinB=csinC，∴a=bsinAsinB，②

c=bsinCsinB.③

將②③代入①，得bsinAsinB+bsinCsinB=2b.整理，得sinA+sinC=2sinB(這是角的關(guān)系).

2.正、余弦定理的巧用

某些三角習(xí)題的化簡(jiǎn)和求解，若能巧用正、余弦定理，則可避免許多繁雜的運(yùn)算，從而使問(wèn)題較輕松地獲得解決，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：

【例3】求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.

解：原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°，

∵20°+10°+150°=180°，∴20°、10°、150°可看作一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角.

設(shè)這三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊依次是a、b、c，由余弦定理，得a2+b2-2abcos150°=c2.(_

而由正弦定理，知a=2Rsin20°，b=2Rsin10°，c=2Rsin150°，代入(_式，得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=14.∴原式=14.

二、備用習(xí)題

1.在△ABC中，已知a=11，b=20，A=130°，則此三角形( )

A.無(wú)解 B.只有一解

C.有兩解 D.解的個(gè)數(shù)不確定

2.△ABC中，已知(a+c)(a-c)=b2+bc，則A等于( )

A.30° B.60° C.120° D.150°

3.△ABC中，若acosB=bcosA，則該三角形一定是( )

A.等腰三角形但不是直角三角形

B.直角三角形但不是等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

4.△ABC中，tanA?tanB

A.銳角三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.以上都有可能

5.在△ABC中，若∠B=30°，AB=23，AC=2，則△ABC的面積是__________.

6.在△ABC中，已知A=120°，b=3，c=5，求：

(1)sinBsinC;

(2)sinB+sinC.

7.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a、b、c，且cos〈AB→，AC→〉=14.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若a=4，b+c=6，且b

參考答案：

1.A 解析：∵a90°，因此無(wú)解.

2.C 解析：由已知，得a2-c2=b2+bc，∴b2+c2-a2=-bc.

由余弦定理，得

cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12.

∴A=120°.

3.D 解析：由已知條件結(jié)合正弦定理，得

sinAcosB=sinBcosA，即sinA?cosA=sinB?cosB，

∴sin2A=sin2B.

∴2A=2B或2A=180°-2B，

即A=B或A+B= 90°.

因此三角形為等腰三角形或直角三角形.

4.B 解析：由已知條件，得sinAcosA?sinBcosB0，cosCcosAcosB

說(shuō)明cosA，cosB，cosC中有且只有一個(gè)為負(fù).

因此三角形為鈍角三角形.

5.23或3 解析：由ACsin30°=ABsinC，知sinC=32.

若∠C=60°，則△ABC是直角三角形，S△ABC=12AB×AC=23.

若∠C=120°，則∠A=30°，S△ABC=12AC×AB?sin30°=3.

6.解法一：(1)∵b=3，c=5，A=120°，

∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×(-12)=49.∴a=7.

由正弦定理，得sinB=bsinAa=3×327=3314，sinC=csinAa=5314，

∴sinBsinC=45196.

(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.

解法二：(1)由余弦定理，得a=7，

由正弦定理a=2RsinA，得R=a2sinA=733，

∴sinB=b2R=32×733=3314，sinC=c2R=5314.

∴sinBsinC=45196.

(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.

7.解：(1)sin2B+C2+cos2A=12[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)=12(1+cosA)+(2cos2A-1)=12(1+14)+(18-1)=-14.

(2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，

即a2=(b+c)2-2bc-2bccosA

余弦定理教案篇6

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容及其解析

1.內(nèi)容: 余弦定理

2.解析: 余弦定理是繼正弦定理教學(xué)之后又一關(guān)于三角形的邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化的一個(gè)重要定理。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的結(jié)果，就是“在任意三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”，“如果已知兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊及其所夾的角相等，則這兩個(gè)三角形全等”。同時(shí)學(xué)生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量關(guān)系。在高中階段，學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握任意三角形中邊角之間的定量關(guān)系，從而進(jìn)一步運(yùn)用它們解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生能更深地體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，數(shù)學(xué)服務(wù)于生活。

二、目標(biāo)及其解析

目標(biāo)：

1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會(huì)初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。

2、通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。解析：

1、在發(fā)現(xiàn)和證明余弦定理中，通過(guò)聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

2、能用余弦定理解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，可以培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是有用的。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

1、通過(guò)前一節(jié)正弦定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能解決這樣兩類解三角形的問(wèn)題：

①已知三角形的任意兩個(gè)角與邊，求其他兩邊和另一角；②已知三角形的任意兩個(gè)角與其中一邊的對(duì)角，計(jì)算另一邊的對(duì)角，進(jìn)而計(jì)算出其他的邊和角。

而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計(jì)算出另一邊和另兩個(gè)角的問(wèn)題上，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關(guān)系的另一種定量關(guān)系。所以，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明上。

2、在以往的教學(xué)中存在學(xué)生認(rèn)知比較單一，對(duì)余弦定理的證明方法思考也比較單一，而

本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)就在于余弦定理的證明。如何啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化多角度地對(duì)余弦定理進(jìn)行證明，從而突破這一難點(diǎn)。

3、學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，學(xué)生在解三角形中，如何適當(dāng)?shù)剡x擇定理以達(dá)到更有效地解題，也是本節(jié)內(nèi)容應(yīng)該關(guān)注的問(wèn)題，特別是求某一個(gè)角有時(shí)既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時(shí)，教學(xué)中應(yīng)注意讓學(xué)生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

四、教學(xué)支持條件分析

為了將學(xué)生從繁瑣的計(jì)算中解脫出來(lái)，將精力放在對(duì)定理的證明和運(yùn)用上，所以本節(jié)中復(fù)雜的計(jì)算借助計(jì)算器來(lái)完成。當(dāng)使用計(jì)算器時(shí)，約定當(dāng)計(jì)算器所得的三角函數(shù)值是準(zhǔn)確數(shù)時(shí)用等號(hào)，當(dāng)取其近似值時(shí)，相應(yīng)的運(yùn)算采用約等號(hào)。但一般的代數(shù)運(yùn)算結(jié)果按通常的運(yùn)算規(guī)則，是近似值時(shí)用約等號(hào)。

五、教學(xué)過(guò)程

（一）教學(xué)基本流程

教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問(wèn)題1：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b

2?！驹O(shè)計(jì)意圖】：引導(dǎo)學(xué)生從最簡(jiǎn)單入手，從而通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形。師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從特殊入手，用已有的初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識(shí)來(lái)研究這一問(wèn)題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關(guān)系。

學(xué)生1：在△ABC中，如圖4，過(guò)C作CD⊥AB，垂足為D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD

= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?2=a?b?2abcos(?1??2)?a?b?2abcosC

D圖

4學(xué)生2：如圖5，過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D。

圖

5則：c?AD?BD

2?b?CD?(a?CD)?a?b?2a?CD?a?b?2abcosC

學(xué)生3：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC

類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

【設(shè)計(jì)意圖】：首先肯定學(xué)生成果，進(jìn)一步的追問(wèn)以上思路是否完整，可以使學(xué)生的思維更加嚴(yán)密。

師生活動(dòng)：得出了余弦定理，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比、轉(zhuǎn)化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。

教師：在前面學(xué)習(xí)正弦定理的證明過(guò)程種，我們用向量法比較簡(jiǎn)便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會(huì)有什么想法？

【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)類比、聯(lián)想，讓學(xué)生的思維水平得到進(jìn)一步鍛煉和提高，體驗(yàn)到成功的樂(lè)趣。

學(xué)生4：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???2

2?（c）?（a?b）

?2?2??

?a?b?2a?b?2?2?2??

即c?a?b?2a?b?cosC?c?a?b?2abcosC

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】：由向量又聯(lián)想到坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生從直角坐標(biāo)中用解析法證明定理。

學(xué)生7：如圖7，建立直角坐標(biāo)系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB

?(acosC?b)?(asinC)

?a?b?2abcosC

【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)以上平面幾何知識(shí)、向量法、解析法引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)證明余弦定理，更好地讓學(xué)生主動(dòng)投入到整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，拓展學(xué)生思維空

間的深度和廣度。

二、探究定理余弦定理：

2222222

2?b?c?2bccosA,b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC

余弦定理推論： cosA?

b?c?a

2bc，cosB?

a?c?b

2ac

222，cosC?

a?b?c

2ab

222

解決類型：（1）已知三角形的三邊，可求出三角；

（2）已知三角形的任意兩邊與兩邊的夾角，可求出另外一邊和兩角。

三、例題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問(wèn)題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內(nèi)角。

四、目標(biāo)檢測(cè)

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個(gè)三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個(gè)銳角 B．兩個(gè)銳角，一個(gè)直角 C．兩個(gè)銳角，一個(gè)鈍角 D．以上都不對(duì) 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個(gè)內(nèi)角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

五、小結(jié)

本節(jié)課的主要內(nèi)容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標(biāo)等各個(gè)不同的方面進(jìn)行探究，得出的余弦定理無(wú)論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過(guò)是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡(jiǎn)捷、和諧、對(duì)稱”的美，其變式即推論也很協(xié)調(diào)。

【設(shè)計(jì)意圖】：在學(xué)生探究數(shù)學(xué)美，欣賞美的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)造化之神奇，學(xué)生可以

興趣盎然地掌握公式特征、結(jié)構(gòu)及其他變式。

學(xué)案

1．2 余弦定理

班級(jí)學(xué)號(hào)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、使學(xué)生掌握余弦定理及推論，并會(huì)初步運(yùn)用余弦定理及推論解三角形。

2、通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

二、例題與問(wèn)題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

三、目標(biāo)檢測(cè)

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

配餐作業(yè)

一、基礎(chǔ)題(A組)

1.在△ABC中，若acosA?bcosB，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形

B.直角三角形D.等腰或直角三角形

2.△ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4，那么cosC?（）

A.4B.3C.?

D.?

3.在△ABC中，已知a?2，b?3，C=120°，則sinA的值為（）

2157

A.38B.7 C.19 D.3

4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a?5，則此三角形的最大邊長(zhǎng)為。5.△ABC中，如果a?6，b?63，A=30°，邊c?。

二、鞏固題(B組)

6.在△ABC中，化簡(jiǎn)bcosC?ccosB?（）

b?c

a?c

a?b

A.a

B.C.D.7.已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、a?ab?b，則三角形的最大內(nèi)角是（）A.135°

B.120°

C.60°

D.90°

8.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x?7x?6?0的根，則另一邊長(zhǎng)為（）

A.52B.16

C.4D.2

9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，則∠B的大小是。

三、提高題(C組

tanB

?2a?cc

10.在△ABC中，a,b,c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且tanCa?b?c?，2ab，（1）求C；（2）求A。

cosB

b2a?c

11.在△ABC中，a,b,c分別是A、B、C的對(duì)邊，且cosC（1）求角B的大?。唬?）若b?

??，a?c?4，求a的值；

余弦定理教案篇7

各位評(píng)委老師，

下午好！今天我說(shuō)課的題目是余弦定理，說(shuō)課的內(nèi)容為余弦定理第二課時(shí)，下面我將從說(shuō)教材、說(shuō)學(xué)情、說(shuō)教法和學(xué)法、說(shuō)教學(xué)過(guò)程、說(shuō)板書(shū)設(shè)計(jì)這四個(gè)方面來(lái)對(duì)本課進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明：

一、說(shuō)教材

（一）教材地位與作用

《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理以及必修4中的任意角、誘導(dǎo)公式以及恒等變換，為后面學(xué)習(xí)三角函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，因此本節(jié)課有承上啟下的作用。本節(jié)課是解決有關(guān)斜三角形問(wèn)題以及應(yīng)用問(wèn)題的一個(gè)重要定理，它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了“邊”與“角”的互化，從而使“三角”與“幾何”產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量提供了理論依據(jù)，同時(shí)也為判斷三角形形狀，證明三角形中的有關(guān)等式提供了重要依據(jù)。

（二）教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材內(nèi)容分析以及新課程標(biāo)準(zhǔn)，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，心理特征及原有知識(shí)水平，我將本課的教學(xué)目標(biāo)定為：

⒈知識(shí)與技能：

掌握余弦定理的內(nèi)容及公式；能初步運(yùn)用余弦定理解決一些斜三角形

⒉過(guò)程與方法：

在探究學(xué)習(xí)的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)到余弦定理可以解決某些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，幫助學(xué)生提高運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

⒊情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)；在運(yùn)用余弦定理的過(guò)程中，讓學(xué)生逐步養(yǎng)成實(shí)事求是，扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問(wèn)題，認(rèn)識(shí)世界；通過(guò)本節(jié)的運(yùn)用實(shí)踐，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，應(yīng)用價(jià)值；

（三）本節(jié)課的重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是：運(yùn)用余弦定理探求任意三角形的邊角關(guān)系，解決與之有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，運(yùn)用余弦定理解決一些與測(cè)量以及幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)難點(diǎn)是：靈活運(yùn)用余弦定理解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)關(guān)鍵是：熟練掌握并靈活應(yīng)用余弦定理解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

下面為了講清重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，我再?gòu)慕谭ê蛯W(xué)法上談?wù)劊?/p>

二、說(shuō)學(xué)情

從知識(shí)層面上看，高中學(xué)生通過(guò)前一節(jié)課的學(xué)習(xí)已經(jīng)掌握了余弦定理及其推導(dǎo)過(guò)程；從能力層面上看，學(xué)生初步掌握運(yùn)用余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的斜三角形問(wèn)題的技能；從情感層面上看，學(xué)生對(duì)教學(xué)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性，但在探究問(wèn)題的能力以及合作交流等方面的發(fā)展不夠均衡。

三、說(shuō)教法和學(xué)法

貫徹的指導(dǎo)思想是把“學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生”,倡導(dǎo)“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式。讓學(xué)生自主探索學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，解決問(wèn)題。

四、說(shuō)教學(xué)過(guò)程

下面為了完成教學(xué)目標(biāo)，解決教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，課堂教學(xué)我準(zhǔn)備按以下五個(gè)環(huán)節(jié)展開(kāi)：

環(huán)節(jié)⒈復(fù)習(xí)引入

由于本節(jié)課是余弦定理的第一課時(shí)，因此先領(lǐng)著學(xué)生回顧復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，采用提問(wèn)的方式，找同學(xué)回答余弦定理的內(nèi)容及公式，并且讓學(xué)生回想公式推導(dǎo)的思路和方法，這樣一來(lái)可以檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握情況，二來(lái)也為新課作準(zhǔn)備。

環(huán)節(jié)⒉應(yīng)用舉例

在本環(huán)節(jié)中，我將給出兩道典型例題

△ABC的頂點(diǎn)為A（6,5），B（-2,8）和C（4,1），求（精確到）。

已知三點(diǎn)A（1,3），B（-2,2），C（0,-3），求△ABC各內(nèi)角的大小。

通過(guò)利用余弦定理解斜三角形的思想，來(lái)對(duì)這兩道例題進(jìn)行分析和講解；本環(huán)節(jié)的目的在于通過(guò)典型例題的解答，鞏固學(xué)生所學(xué)的知識(shí)，進(jìn)一步深化對(duì)于余弦定理的認(rèn)識(shí)和理解，提高學(xué)生的理解能力和解題計(jì)算能力。

環(huán)節(jié)⒊練習(xí)反饋

練習(xí)B組題，1、2、3;習(xí)題1-1A組，1、2、3

在本環(huán)節(jié)中，我將找學(xué)生到黑板做題，期間巡視下面同學(xué)的做題情況，加以糾正和講解；通過(guò)解決書(shū)后練習(xí)題，鞏固學(xué)生當(dāng)堂所學(xué)知識(shí)，同時(shí)教師也可以及時(shí)了解學(xué)生的掌握情況，以便及時(shí)調(diào)整自己的教學(xué)步調(diào)。

環(huán)節(jié)⒋歸納小結(jié)

在本環(huán)節(jié)中，我將采用師生共同總結(jié)-交流-完善的方式，首先讓學(xué)生自己總結(jié)出余弦定理可以解決哪些類型的問(wèn)題，再由師生共同完善，總結(jié)出余弦定理可以解決的兩類問(wèn)題：⑴已知三邊，求各角；⑵已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角。本環(huán)節(jié)的目的在于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自己總結(jié)；讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)的形成、發(fā)展、完善的過(guò)程。

環(huán)節(jié)⒌課后作業(yè)

必做題：習(xí)題1-1A組，6、7;習(xí)題1-1B組，2、3、4、5

選做題：習(xí)題1-1B組7,8,9.

基于因材施教的原則，在根據(jù)不同層次的學(xué)生情況，把作業(yè)分為必做題和選做題，必做題要求所有學(xué)生全部完成，選做題要求學(xué)有余力的學(xué)生完成，使不同程度的學(xué)生都有所提高。本環(huán)節(jié)的目的是讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固和深化所學(xué)的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力。

五、說(shuō)板書(shū)

在本節(jié)課中我將采用提綱式的板書(shū)設(shè)計(jì)，因?yàn)樘峋V式-條理清楚、從屬關(guān)系分明，給人以清晰完整的印象，便于學(xué)生對(duì)教材內(nèi)容和知識(shí)體系的理解和記憶。

2025勾股定理教案模板十一篇

本篇優(yōu)秀的“勾股定理教案”文章是幼兒教師教育網(wǎng)編輯認(rèn)真挑選的結(jié)果，如果您想要隨時(shí)查看本文請(qǐng)記得收藏。根據(jù)教學(xué)要求老師在上課前需要準(zhǔn)備好教案課件，教案課件里的內(nèi)容是老師自己去完善的。?學(xué)生課堂反應(yīng)的不同可以幫助教師制定不同的教學(xué)策略。

勾股定理教案(篇1)

(一)本節(jié)內(nèi)容在全書(shū)和章節(jié)的地位

這節(jié)課是九年制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)(華東版)，八年級(jí)第十九章第二節(jié)“勾股定理”第一課時(shí)。勾股定理是學(xué)生在已經(jīng)掌握了直角三角形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它是直角三角形的一條非常重要的性質(zhì)，是幾何中最重要的定理之一，它揭示了一個(gè)三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，它可以解決直角三角形的主要依據(jù)之一，在實(shí)際生活中用途很大。教材在編寫(xiě)時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力和觀察分析問(wèn)題的能力;通過(guò)實(shí)際分析，拼圖等活動(dòng)，使學(xué)生獲得較為直觀的印象;通過(guò)聯(lián)系比較，理解勾股定理，以便于正確的進(jìn)行運(yùn)用。

(二)三維教學(xué)目標(biāo)：

1.【知識(shí)與能力目標(biāo)】

⒈理解并掌握勾股定理的內(nèi)容和證明，能夠靈活運(yùn)用勾股定理及其計(jì)算;

⒉通過(guò)觀察分析，大膽猜想，并探索勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作、合作交流、邏輯推理的能力。

2.【過(guò)程與方法目標(biāo)】

在探索勾股定理的過(guò)程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察-猜想-歸納-驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)思想，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的思想方法。

3.【情感態(tài)度與價(jià)值觀】通過(guò)介紹中國(guó)古代勾股方面的成就，激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)祖國(guó)和熱愛(ài)祖國(guó)悠久文化的思想感情，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感和鉆研精神。

勾股定理教案(篇2)

1.知識(shí)與技能目標(biāo)：會(huì)用勾股定理及直角三角形的判定條件解決實(shí)際問(wèn)題,逐步培養(yǎng)“數(shù)形結(jié)合”和“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)能力。

2.過(guò)程與方法目標(biāo)：發(fā)展學(xué)生的分析問(wèn)題能力和表達(dá)能力。經(jīng)歷勾股定理的應(yīng)用過(guò)程，熟練掌握其應(yīng)用方法，明確應(yīng)用的條件。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過(guò)自主學(xué)習(xí)的發(fā)展體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的感受;通過(guò)有關(guān)勾股定理的歷史講解，對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育教育

在本章中，我們探索了直角三角形的三邊關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上得到了勾股定理，并學(xué)習(xí)了如何利用拼圖驗(yàn)證勾股定理，介紹了勾股定理的用途;本章后半部分學(xué)習(xí)了勾股定理的逆定是以及它的應(yīng)用.其知識(shí)結(jié)構(gòu)如下：

1.勾股定理：

直角三角形兩直角邊的______和等于_______的平方.就是說(shuō)，對(duì)于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有：————————————.這就是勾股定理.

勾股定理揭示了直角三角形___之間的數(shù)量關(guān)系，是解決有關(guān)線段計(jì)算問(wèn)題的重要依據(jù).

勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意兩邊的長(zhǎng)度，求第三邊的長(zhǎng).這里一定要注意找準(zhǔn)斜邊、直角邊;二要熟悉公式的變形：

“若三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形為_(kāi)_______.”這一命題是勾股定理的逆定理.它可以幫助我們判斷三角形的形狀.為根據(jù)邊的關(guān)系解決角的有關(guān)問(wèn)題提供了新的方法.定理的證明采用了構(gòu)造法.利用已知三角形的邊a,b,c(a2+b2=c2)，先構(gòu)造一個(gè)直角邊為a,b的直角三角形，由勾股定理證明第三邊為c,進(jìn)而通過(guò)“SSS”證明兩個(gè)三角形全等，證明定理成立.

3.勾股定理的作用：

已知直角三角形的兩邊，求第三邊;

勾股定理的逆定理是用來(lái)判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的，但在判定一個(gè)三角形是否是直角三角形時(shí)應(yīng)首先確定該三角形的邊，當(dāng)其余兩邊的平方和等于邊的平方時(shí)，該三角形才是直角三角形.勾股定理的逆定理也可用來(lái)證明兩直線是否垂直，這一點(diǎn)同學(xué)

勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不僅可以判定三角形是否為直角三角形，還可以判定哪一個(gè)角是直角，從而產(chǎn)生了證明兩直線互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通過(guò)計(jì)算來(lái)證明，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

三角形的三邊分別為a、b、c，其中c為邊，若，則三角形是直角三角形;若，則三角形是銳角三角形;若，則三角形是鈍角三角形.所以使用勾股定理的逆定理時(shí)首先要確定三角形的邊.

求：(1) 陰影部分是正方形; (2) 陰影部分是長(zhǎng)方形; (3) 陰影部分是半圓.

2. 如圖，以Rt△ABC的三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓，試探索三個(gè)半圓的面積之間的關(guān)系.

例(山東濱州)如圖2，已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高，AD=8，則邊BC的長(zhǎng)為( )

【強(qiáng)化訓(xùn)練】：1.在直角三角形中,若兩直角邊的長(zhǎng)分別為5cm，7cm ，則斜邊長(zhǎng)為 .

2.(易錯(cuò)題、注意分類的思想)已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)為4、5，則另一條邊長(zhǎng)的平方是

3、已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12，求斜邊上的高.(結(jié)論：直角三角形的兩條直角邊的積等于斜邊與其高的積，ab=ch)

例、(09年湖南長(zhǎng)沙)如圖1所示，等腰中，，

是底邊上的高，若，求 ①AD的長(zhǎng);②ΔABC的面積.

例、(09年濱州)某樓梯的側(cè)面視圖如圖3所示，其中米，，

，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長(zhǎng)度應(yīng)為 .

分析：如何利用所學(xué)知識(shí)，把折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直線問(wèn)題，是問(wèn)題解決的關(guān)鍵。仔細(xì)觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)，所有臺(tái)階的高度之和恰好是直角三角形ABC的直角邊BC的長(zhǎng)度，所有臺(tái)階的寬度之和恰好是直角三角形ABC的直角邊AC的長(zhǎng)度，只需利用勾股定理，求得這兩條線段的長(zhǎng)即可。

1、小強(qiáng)想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多2米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)4米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來(lái)嗎?

【強(qiáng)化訓(xùn)練】：折疊矩形ABCD的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處,已知AB=4cm,BC=5cm,求CF 和EC。.

例、如右圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中的正方形的邊長(zhǎng)為5，則正方形A，B，C，D的面積的和為

一個(gè)是正方形的邊長(zhǎng)與面積的關(guān)系，另一個(gè)是正方形的面積與直角三角形直角邊與斜邊的關(guān)系。

例1：分別以下列四組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：(1)3、4、5(2)5、12、13(3)8、15、17(4)4、5、6，其中能夠成直角三角形的有

【強(qiáng)化訓(xùn)練】：已知△ABC中，三條邊長(zhǎng)分別為a=n-1， b=2n， c=n+1(n>1).試判斷該三角形是否是直角三角形，若是，請(qǐng)指出哪一條邊所對(duì)的角是直角.

例：如圖是一塊地，已知AD=4m，CD=3m，∠D=90°，AB=13m，BC=12m，求這塊地的面積。

例、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A’B’C’D’的表面上，求從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C’的最短距離.

【強(qiáng)化訓(xùn)練】：如圖一個(gè)圓柱，底圓周長(zhǎng)6cm，高4cm，一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則最少要爬行 cm

1.設(shè)直角三角形的三條邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則這個(gè)直角三角形的面積是_____.

2.直角三角形的兩直角邊分別為5cm，12cm，其中斜邊上的高為( ).

3.如圖，△ABC的三邊分別為AC=5，BC=12，AB=13，將△ABC沿AD折疊，使AC落在AB上，求DC的長(zhǎng).

4.如圖，一只鴨子要從邊長(zhǎng)分別為16m和6m的長(zhǎng)方形水池一角M游到水池另一邊中點(diǎn)N，那么這只鴨子游的最短路程應(yīng)為多少米?

5.一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是3，高是8的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長(zhǎng)是

8.(海南省中考題)如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站建在距A站多少千米處?

5.一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是3，高是8的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長(zhǎng)是

則該地毯的長(zhǎng)度至少是米。

勾股定理教案(篇3)

勾股定理它揭示的是直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系。它在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起過(guò)重要的作用，在現(xiàn)時(shí)世界中也有著廣泛的作用。學(xué)生通過(guò)對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對(duì)直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解。

（二）教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與能力：掌握勾股定理，并能運(yùn)用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。過(guò)程與方法：經(jīng)歷探索及驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程,了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法，發(fā)展學(xué)生的合情推理意識(shí)、主動(dòng)探究的習(xí)慣，感受數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的思想。情感態(tài)度與價(jià)值觀：激發(fā)愛(ài)國(guó)熱情，體驗(yàn)自己努力得到結(jié)論的成就感，體驗(yàn)數(shù)學(xué)充滿探索和創(chuàng)造，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美感,從而了解數(shù)學(xué),喜歡數(shù)學(xué)。

（三）教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷探索及驗(yàn)證勾股定理的過(guò)程，并能用它來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的辦法：發(fā)揮學(xué)生的主體作用,通過(guò)學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中探索、在探索中領(lǐng)悟、在領(lǐng)悟中理解。

二、教法與學(xué)法分析：

學(xué)情分析:七年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備一定的觀察、歸納、猜想和推理的能力．他們?cè)谛W(xué)已學(xué)習(xí)了一些幾何圖形的面積計(jì)算方法（包括割補(bǔ)、拼接）,但運(yùn)用面積法和割補(bǔ)思想來(lái)解決問(wèn)題的意識(shí)和能力還不夠。另外，學(xué)生普遍學(xué)習(xí)積極性較高，課堂活動(dòng)參與較主動(dòng)，但合作交流的能力還有待加強(qiáng)．

教法分析:結(jié)合七年級(jí)學(xué)生和本節(jié)教材的特點(diǎn),在教學(xué)中采用“問(wèn)題情境----建立模型----解釋?xiě)?yīng)用---拓展鞏固”的模式, 選擇引導(dǎo)探索法。把教學(xué)過(guò)程轉(zhuǎn)化為學(xué)生親身觀察，大膽猜想，自主探究，合作交流，歸納總結(jié)的過(guò)程。

學(xué)法分析:在教師的組織引導(dǎo)下，學(xué)生采用自主探究合作交流的研討式學(xué)習(xí)方式,使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。

1、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題 2、實(shí)驗(yàn)操作，模型構(gòu)建 3、回歸生活，應(yīng)用新知 4、知識(shí)拓展，鞏固深化5、感悟收獲，布置作業(yè)

(1)圖片欣賞勾股定理數(shù)形圖 1955年希臘發(fā)行美麗的勾股樹(shù)20xx年國(guó)際數(shù)學(xué)的一枚紀(jì)念郵票大會(huì)會(huì)標(biāo)

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)圖形欣賞,感受數(shù)學(xué)美,感受勾股定理的文化價(jià)值。

(2) 某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來(lái)救火，了解到每層樓高3米，消防隊(duì)員取來(lái)6。5米長(zhǎng)的云梯，如果梯子的底部離墻基的距離是2。5米，請(qǐng)問(wèn)消防隊(duì)員能否進(jìn)入三樓滅火?

設(shè)計(jì)意圖:以實(shí)際問(wèn)題為切入點(diǎn)引入新課，反映了數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際生活，產(chǎn)生于人的需要，也體現(xiàn)了知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，解決問(wèn)題的過(guò)程也是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，從而引出下面的環(huán)節(jié)。

問(wèn)題一:對(duì)于等腰直角三角形，正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面積有何關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖:這樣做利于學(xué)生參與探索，利于培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

問(wèn)題二:對(duì)于一般的直角三角形，正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面積也有這個(gè)關(guān)系嗎？(割補(bǔ)法是本節(jié)的難點(diǎn),組織學(xué)生合作交流)

設(shè)計(jì)意圖:不僅有利于突破難點(diǎn)，而且為歸納結(jié)論打下基礎(chǔ)，讓學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力在無(wú)形中得到提高。

通過(guò)以上實(shí)驗(yàn)歸納總結(jié)勾股定理。

設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生通過(guò)合作交流，歸納出勾股定理的雛形，培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力，同時(shí)發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，體驗(yàn)了從特殊—— 一般的認(rèn)知規(guī)律。

讓學(xué)生解決開(kāi)頭情景中的問(wèn)題，前呼后應(yīng)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí)，增加學(xué)以致用的樂(lè)趣和信心。

基礎(chǔ)題,情境題,探索題。

設(shè)計(jì)意圖:給出一組題目，分三個(gè)梯度，由淺入深層層練習(xí)，照顧學(xué)生的個(gè)體差異，關(guān)注學(xué)生的個(gè)性發(fā)展。知識(shí)的運(yùn)用得到升華。

基礎(chǔ)題: 直角三角形的一直角邊長(zhǎng)為3，斜邊為5，另一直角邊長(zhǎng)為X，你可以根據(jù)條件提出多少個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題？你能解決所提出的問(wèn)題嗎？

設(shè)計(jì)意圖:這道題立足于雙基．通過(guò)學(xué)生自己創(chuàng)設(shè)情境，鍛煉了發(fā)散思維．

情境題:小明媽媽買(mǎi)了一部29英寸（74厘米）的電視機(jī)。小明量了電視機(jī)的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕只有58厘米長(zhǎng)和46厘米寬，他覺(jué)得一定是售貨員搞錯(cuò)了。你同意他的想法嗎？

設(shè)計(jì)意圖:增加學(xué)生的生活常識(shí)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活，并用于生活。

探索題: 做一個(gè)長(zhǎng)，寬，高分別為50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根長(zhǎng)為70厘米的木棒能否放入，為什么？試用今天學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明。

設(shè)計(jì)意圖:探索題的難度相對(duì)大了些，但教師利用教學(xué)模型和學(xué)生合作交流的方式，拓展學(xué)生的思維、發(fā)展空間想象能力。

2、搜集有關(guān)勾股定理證明的資料。

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2?b2?c2

設(shè)計(jì)說(shuō)明:1、探索定理采用面積法，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)和諧、寬松的情境，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合及從特殊到一般的思想方法．

2、讓學(xué)生人人參與，注重對(duì)學(xué)生活動(dòng)的評(píng)價(jià)，一是學(xué)生在活動(dòng)中的投入程度；二是學(xué)生在活動(dòng)中表現(xiàn)出來(lái)的思維水平、表達(dá)水平。

勾股定理教案(篇4)

各位考官，大家好，我是X號(hào)考生，今天我說(shuō)課的內(nèi)容是《勾股定理的逆定理》。根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)，我將以教什么，怎么教，為什么這么教為思路開(kāi)展我的說(shuō)課，首先，我先來(lái)說(shuō)說(shuō)我對(duì)教材的理解。

教材分析是上好一堂課的前提條件，在上好一堂課之前，我首先談一談對(duì)教材的理解。

一、說(shuō)教材

“勾股定理的逆定理”一節(jié)?是在上節(jié)“勾股定理”之后繼續(xù)學(xué)習(xí)的一個(gè)直角三角形的判斷定理，它是前面知識(shí)的繼續(xù)和深化。勾股定理的逆定理是初中幾何學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容之一，是今后判斷某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解題中將有十分廣泛的應(yīng)用，同時(shí)在應(yīng)用中滲透了利用代數(shù)計(jì)算的方法證明幾何問(wèn)題的思想，為將來(lái)學(xué)習(xí)解析幾何埋下了伏筆，所以本節(jié)也是本章的重要內(nèi)容之一。

二、說(shuō)學(xué)情

中學(xué)生心理學(xué)研究指出，初中階段是智力發(fā)展的關(guān)鍵年齡，學(xué)生邏輯思維從經(jīng)驗(yàn)型逐步向理論型發(fā)展，觀察能力、記憶能力和想象能力也隨著迅速發(fā)展。學(xué)生此前學(xué)習(xí)了三角形有關(guān)的知識(shí)，掌握了直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，學(xué)生在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)勾股定理的逆定理可以加深理解。

三、說(shuō)教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)數(shù)學(xué)課標(biāo)的要求和教材的具體內(nèi)容結(jié)合學(xué)生實(shí)際我確定了如下教學(xué)目標(biāo)。

【知識(shí)與技能】

理解勾股定理的逆定理的證明方法并能證明勾股定理的逆定理。利用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形。

【過(guò)程與方法】

通過(guò)勾股定理的逆定理的證明，體會(huì)數(shù)與形結(jié)合方法在問(wèn)題解決中的作用，并能運(yùn)用勾股定理的逆定理解決相關(guān)問(wèn)題。

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】

通過(guò)一系列富有探究性的問(wèn)題，滲透與他人交流、合作的意識(shí)和探究精神。

四、說(shuō)教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：勾股定理逆定理的應(yīng)用;

難點(diǎn)：探究勾股定理逆定理的證明過(guò)程。

五、說(shuō)教學(xué)方法

科學(xué)合理的教學(xué)方法能使教學(xué)效果事半功倍，達(dá)到教與學(xué)的和諧完美統(tǒng)一。基于此，我準(zhǔn)備采用的教法是講練結(jié)合法，小組討論法。

六、說(shuō)教學(xué)過(guò)程

(一)導(dǎo)入新課

在導(dǎo)入新課環(huán)節(jié)，我會(huì)采用溫故知新的導(dǎo)入方法，先讓學(xué)生回顧勾股定理有關(guān)知識(shí)，并引入本節(jié)課的課題——勾股定理逆定理。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)復(fù)習(xí)回顧能很好地將新舊知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生形成對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。并且由舊知開(kāi)始，能很好地幫助學(xué)生克服畏難情緒。

(二)探究新知

一開(kāi)課我就提出了與本節(jié)課關(guān)系密切、學(xué)生用現(xiàn)有的知識(shí)可探索卻又解決不好的問(wèn)題去提示本節(jié)課的探究宗旨，演示古代埃及人把一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后便得到一個(gè)直角三角形這是為什么?這個(gè)問(wèn)題一出現(xiàn)，馬上激起學(xué)生已有知識(shí)與待研究知識(shí)的認(rèn)識(shí)沖突，引起了學(xué)生的重視激發(fā)了學(xué)生的興趣，因而全身心地投入到學(xué)習(xí)中來(lái)創(chuàng)造了我要學(xué)的氣氛，同時(shí)也說(shuō)明了幾何知識(shí)來(lái)源于實(shí)踐不失時(shí)機(jī)地讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)就在身邊。

因?yàn)閹缀蝸?lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，對(duì)初二學(xué)生來(lái)說(shuō)選擇適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)讓他們從個(gè)體實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中開(kāi)始學(xué)習(xí)可以提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和參與意識(shí)，所以勾股定理的逆定理不是由教師直接給出的，而是讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手折紙?jiān)诰唧w的實(shí)踐中觀察滿足條件的三角形直觀感覺(jué)上是什么三角形，再用直角三角形插入去驗(yàn)證猜想。

這樣設(shè)計(jì)是因?yàn)楣垂啥ɡ砟娑ɡ淼淖C明方法是學(xué)生第一次見(jiàn)，它要求按照已知條件作一個(gè)直角三角形，根據(jù)學(xué)生的智能狀況學(xué)生是不容易想到的，為了突破這個(gè)難點(diǎn)，我讓學(xué)生動(dòng)手裁出了一個(gè)兩直角邊與所折三角形兩條較小邊相等的直角三角形，通過(guò)操作驗(yàn)證兩三角形全等，從而不僅顯示了符合條件的三角形是直角三角形，還孕育了輔助線的添法，為后面進(jìn)行邏輯推理論證提供了直觀的數(shù)學(xué)模型。

接下來(lái)就是利用這個(gè)數(shù)學(xué)模型，從理論上證明這個(gè)定理。從動(dòng)手操作到證明，學(xué)生自然地聯(lián)想到了全等三角形的性質(zhì)，證明它與一個(gè)直角三角形全等順利作出了輔助直角三角形，整個(gè)證明過(guò)程自然無(wú)神秘感，實(shí)現(xiàn)了從生動(dòng)直觀向抽象思維的轉(zhuǎn)化，同時(shí)學(xué)生親身體會(huì)了動(dòng)手操作——觀察——猜測(cè)——探索——論證的全過(guò)程。這樣學(xué)生不是被動(dòng)接受勾股定理的逆定理?因而使學(xué)生感到自然、親切。學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性有所提高，使學(xué)生確實(shí)在學(xué)習(xí)過(guò)程中享受到自我創(chuàng)造的快樂(lè)。

在同學(xué)們完成證明之后，可讓他們對(duì)照課本把證明過(guò)程嚴(yán)格的閱讀一遍充分發(fā)揮教科書(shū)的作用養(yǎng)成學(xué)生看書(shū)的習(xí)慣這也是在培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力。

(三)鞏固提高

本著由淺入深的原則安排了三個(gè)題目。演示第一題比較簡(jiǎn)單(判斷下列三條線段組成的三角形是不是直角三角形，比如15、8、17;13、14、15等等)讓學(xué)生口答讓所有的學(xué)生都能完成。

第二題則進(jìn)了一層用字母代替了數(shù)字，繞了一個(gè)彎，既可以檢查本課知識(shí)又可以提高靈活運(yùn)用以往知識(shí)的能力。

思維提高了課堂教學(xué)的效果和利用率。在變式訓(xùn)練中我還采用講、說(shuō)、練結(jié)合的方法，教師通過(guò)觀察、提問(wèn)、巡視、談話等活動(dòng)、及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，隨時(shí)反饋調(diào)節(jié)教法同時(shí)注意加強(qiáng)有針對(duì)性的個(gè)別指導(dǎo)把發(fā)展學(xué)生的思維和隨時(shí)把握學(xué)生的學(xué)習(xí)效果結(jié)合起來(lái)。

(四)小結(jié)作業(yè)

在小結(jié)環(huán)節(jié)，我會(huì)隨機(jī)詢問(wèn)學(xué)生勾股定理的逆定理是什么?如果判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用需要注意點(diǎn)什么等問(wèn)題，先讓學(xué)生歸納本節(jié)知識(shí)和技能，然后教師作必要的補(bǔ)充，尤其是注意總結(jié)思想方法培養(yǎng)能力方面比如輔助線的添法。

設(shè)計(jì)意圖：這樣設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生以反思的形式回憶本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)知識(shí)的印象，有利于學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成。

由于學(xué)生的思維素質(zhì)存在一定的差異，教學(xué)要貫徹“因材施教”的原則，為此我安排了兩組作業(yè)。第一組是基礎(chǔ)題，我會(huì)用ppt出示關(guān)于勾股定理的逆定理的計(jì)算題目，這樣有利于學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，以及提高他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。第二組是開(kāi)放性題目，讓學(xué)生課后思考總結(jié)一下判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法。

勾股定理教案(篇5)

尊敬的各位領(lǐng)導(dǎo)、各位老師，大家好：

我叫李朝紅，是第十四中學(xué)的一名教師。我今天說(shuō)課的題目《勾股定理的逆定理》，選自人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章第二節(jié)，本節(jié)課共分兩個(gè)課時(shí)，我今天分析的是第一個(gè)課時(shí)，下面我將從教材、教法學(xué)法、教學(xué)過(guò)程、教學(xué)反思四個(gè)方面進(jìn)行闡述。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了勾股定理，全等三角形的判定等相關(guān)知識(shí)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打好了基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)好本節(jié)課不但可以鞏固學(xué)生已有的知識(shí)，而且為后面利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否直角三角形等相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。

2、教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)支配著教學(xué)過(guò)程，教學(xué)目標(biāo)的制定和落實(shí)是實(shí)施課堂教學(xué)的關(guān)鍵?？紤]到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征及本班學(xué)生的實(shí)際情況，我制定了如下教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：掌握勾股定理的逆定理，會(huì)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否直角三角形。

過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)勾股定理的逆定理的探索，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與形成

過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合和由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

情感、態(tài)度、價(jià)值觀：在探究勾股定理的逆定理的活動(dòng)中，滲透與他人交流、合作的意識(shí)和探究精神.

3、重點(diǎn)難點(diǎn)

本著課程標(biāo)準(zhǔn)，在吃透教材的基礎(chǔ)上，我確立了如下的教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解并掌握勾股定理的逆定理，并會(huì)應(yīng)用。

難點(diǎn)：理解勾股定理的逆定理的推導(dǎo)。

二、教法學(xué)法分析

八年級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)是思維比較活躍，喜歡發(fā)表自己的見(jiàn)解，善于進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，所以我將采用啟發(fā)教學(xué)與誘導(dǎo)教學(xué)相結(jié)合的方法，老師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,讓學(xué)生動(dòng)手操作，動(dòng)腦思考，動(dòng)口表達(dá)，積極參與到本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中來(lái)，在鍛煉學(xué)生思考、觀察、實(shí)踐能力的同時(shí)，使其科學(xué)文化修養(yǎng)與思想道德修養(yǎng)進(jìn)一步提升。

教法學(xué)法分析完畢，我再來(lái)分析一下教學(xué)過(guò)程，這是我本次說(shuō)課的重點(diǎn)。

三、教學(xué)過(guò)程分析：

（一）創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

1、展示圖片：古埃及人制作直角的方法

2、讓學(xué)生試一試用一根繩子確定直角

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)古埃及人制作直角的方法，提出讓學(xué)生動(dòng)手操作，進(jìn)而使學(xué)生產(chǎn)生好奇心：“這樣就能確定直角嗎”，激發(fā)學(xué)生的求知欲，點(diǎn)燃其學(xué)習(xí)的激情，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)也使學(xué)生感受到幾何來(lái)源于生活，服務(wù)于生活的道理，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

（二）動(dòng)手檢測(cè)，提出假設(shè)

在本環(huán)節(jié)中通過(guò)情境中的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分別用（1）6cm,8cm,10cm （2）5 cm、12cm、13cm （3）3.5 cm 、12cm、 12.5 cm

上面三組線段為邊畫(huà)出三角形，猜測(cè)驗(yàn)證出其形狀。

再引導(dǎo)啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生從上面的活動(dòng)中歸納思考：如果一個(gè)三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2=c2，那這個(gè)三角形是直角三角形嗎？在整個(gè)過(guò)程的活動(dòng)中，盡量給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，以平等身份參與到學(xué)生活動(dòng)中來(lái)，對(duì)其實(shí)踐活動(dòng)予以指導(dǎo)。讓學(xué)生通過(guò)作圖、測(cè)量等實(shí)踐活動(dòng),給出合理的假設(shè)與猜測(cè)。整個(gè)環(huán)節(jié)通過(guò)設(shè)置的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口相結(jié)合，激活學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，合理的推測(cè)能力，嚴(yán)密的邏輯思維能力和靈活的動(dòng)手實(shí)踐能力。

(三) 探索歸納，證明假設(shè)：

勾股定理逆定理的證明與以往不同，需要構(gòu)造直角三角形才能完成，如何構(gòu)造直角三角形就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵。如果直接將問(wèn)題拋給學(xué)生證明，他們定會(huì)無(wú)從下手，所以為了解決這一問(wèn)題，突破這個(gè)難點(diǎn)，我先

1、讓學(xué)生畫(huà)了一個(gè)三邊長(zhǎng)度為3cm，4cm，5cm的三角形和一個(gè)以3cm，4cm為直角邊的直角三角形，剪下其中的直角三角形放在另一個(gè)三角形上看出現(xiàn)了什么情況？并請(qǐng)學(xué)生簡(jiǎn)單說(shuō)明理由。通過(guò)操作驗(yàn)證兩三角形全等，從而顯示了符合條件的三角形是直角三角形，

2、然后在黑板上畫(huà)一個(gè)三邊長(zhǎng)為ａ、ｂ、ｃ，且滿足 a2+b2=c2的△ABC，與一個(gè)以ａ、ｂ為直角邊的直角三角形，讓學(xué)生觀察它們之間有什么聯(lián)系呢？你們又是如何想的？試說(shuō)明理由。通過(guò)推理證明得出勾股定理的逆定理。

在這個(gè)過(guò)程中，首先讓學(xué)生從特殊的實(shí)例中動(dòng)手操作到證明，學(xué)生自然地聯(lián)想到了全等三角形的判定，進(jìn)而由特殊到一般發(fā)現(xiàn)三邊長(zhǎng)為ａ、ｂ、ｃ，且滿足 a2+b2=c2的△ABC與以ａ、ｂ為直角邊的直角三角形的關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從特殊的實(shí)例動(dòng)手到證明，進(jìn)而由特殊到一般，順利地利用構(gòu)建法證明了勾股定理的逆定理，整個(gè)過(guò)程自然、無(wú)神秘感，實(shí)現(xiàn)從直觀印象向抽象思維的轉(zhuǎn)化，同時(shí)學(xué)生親身體會(huì)了“操作——觀察——猜測(cè)——探索——論證”的過(guò)程，體驗(yàn)了“特殊到一般，個(gè)性到共性”的偉大數(shù)學(xué)思想在實(shí)際中的應(yīng)用。

這樣學(xué)生不是被動(dòng)接受勾股定理的逆定理，因而使學(xué)生感到自然、親切，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性有所提高。使學(xué)生確實(shí)在學(xué)習(xí)過(guò)程中享受到自我創(chuàng)造的快樂(lè)。

（四）學(xué)以致用、鞏固提升

本著由淺入深的原則，安排了三個(gè)題。第一題比較簡(jiǎn)單，判斷由a,b,c組成的三角形是不是直角三角形？（1）a=15 b=8 c=17 (2)a=13 b=15 c=14.讓學(xué)生仿照課本上的例題，獨(dú)立完成，教師提醒書(shū)寫(xiě)格式。并說(shuō)明像15，8，17能夠成為直角三角形的三條邊長(zhǎng)的正整數(shù)，我們稱為勾股數(shù)。第二題我改變題的形式，把一些符合a+b=c的三角形放入網(wǎng)格中讓學(xué)生運(yùn)用勾股定理及其逆定理來(lái)說(shuō)明理由。第三題是求一個(gè)不規(guī)則四邊形的面積，讓學(xué)生思考如何添加輔助線，把它分成一個(gè)直角三角形和一個(gè)非直角但能判定是直角的三角形，讓學(xué)生運(yùn)用勾股定理及其逆定理證明并求解。

設(shè)計(jì)意圖：采用啟發(fā)教學(xué)與誘導(dǎo)教學(xué)方法相結(jié)合的方法分層練習(xí)，由淺入深地逐步提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，達(dá)到鞏固知識(shí)，學(xué)以致用的目的

（五）回顧總結(jié)，強(qiáng)化認(rèn)知

課堂小結(jié)以填空體的形式檢測(cè)、歸納總結(jié)

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生以填空題的形式進(jìn)行總結(jié)，不僅能夠起到檢測(cè)的目的，而且?guī)椭鷮W(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，起到重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，產(chǎn)生高度重視的效果。

(六)作業(yè)布置

教材33頁(yè)練習(xí)

設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)學(xué)生對(duì)勾股定理逆定理的理解，使學(xué)生的練習(xí)范圍拓展到多個(gè)題型。

教學(xué)反思：本節(jié)課以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)，通過(guò)啟發(fā)與誘導(dǎo)，使學(xué)生動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考、動(dòng)口表達(dá)，讓學(xué)生在實(shí)踐與探究中發(fā)揮自我，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的自主性與積極性，整個(gè)過(guò)程注重了學(xué)生課上知識(shí)的形成與鞏固，以及學(xué)生各方面素質(zhì)的培養(yǎng)。總之本節(jié)課的知識(shí)目標(biāo)基本達(dá)成，能力目標(biāo)基本實(shí)現(xiàn)，情感目標(biāo)基本落實(shí)。

以上是我對(duì)本節(jié)課的理解，還望各位老師指正。

勾股定理教案(篇6)

本節(jié)課為人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十八章第一節(jié)，教材64頁(yè)至66頁(yè)（不含探究1）的內(nèi)容。其內(nèi)容包括章前對(duì)勾股定理整章的引入：2002年北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽及“趙爽弦圖”的簡(jiǎn)介，反映了我國(guó)古代對(duì)勾股定理的研究成果，是對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育的良好素材。教材正文中從畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形的邊之間的數(shù)量關(guān)系這一事實(shí)引入對(duì)勾股定理的探究，用面積法得到勾股定理的結(jié)論，而后教材又重點(diǎn)從“趙爽弦圖”的方法對(duì)勾股定理進(jìn)行了詳細(xì)的論證；課后習(xí)題18.1的第1、2、7、11、12等題目針對(duì)勾股定理的內(nèi)容適當(dāng)?shù)募右造柟蹋貏e是第11、12題側(cè)重對(duì)面積法運(yùn)用的鞏固。

勾股定理是幾何中幾個(gè)重要定理之一，揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是對(duì)直角三角形性質(zhì)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和深入，它可以解決許多直角三角形中的計(jì)算問(wèn)題，在實(shí)際生活中用途很大。它不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域而且在其他自然科學(xué)領(lǐng)域中也被廣泛地應(yīng)用，而說(shuō)明數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，是人們生活的基本工具。

學(xué)生接受勾股定理的內(nèi)容“在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”這一事實(shí)從學(xué)習(xí)的角度不難，包括對(duì)它的應(yīng)用也不成問(wèn)題。但對(duì)勾股定理的論證，教材中介紹的面積證法即：依據(jù)圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積就不會(huì)改變。學(xué)生接受起來(lái)有障礙（是第一次接觸面積法），因此從面積的“分割”“補(bǔ)全”兩種方法進(jìn)行演示同時(shí)學(xué)生動(dòng)手親自拼接圖形構(gòu)成“趙爽弦圖”并親自驗(yàn)證三個(gè)正方形之間的面積關(guān)系得到勾股定理的證明。有利的讓學(xué)生經(jīng)歷了“感知、猜想、驗(yàn)證、概括、證明”的認(rèn)知過(guò)程，感觸知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展、形成以提高學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力。

本節(jié)的后續(xù)學(xué)習(xí)中，對(duì)勾股定理運(yùn)用的探究和勾股定理逆命題的論證和應(yīng)用，都是將圖形與數(shù)量緊密的結(jié)合，將有利的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)以提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。同時(shí)也為后期學(xué)習(xí)四邊形、圓中的有關(guān)計(jì)算及計(jì)算物體面積奠定基礎(chǔ)，因此本節(jié)課無(wú)論從知識(shí)的角度還是從數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等層面都起著舉足輕重的作用。為此，教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的內(nèi)容教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的論證

勾股定理教案(篇7)

《勾股定理》教學(xué)設(shè)計(jì)范文

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

勾股定理的探究、證明及簡(jiǎn)單應(yīng)用.

2.內(nèi)容解析

勾股定理的內(nèi)容是：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么

.它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.在直角三角形中，已知任意兩邊長(zhǎng)，就可以求出第三邊長(zhǎng).勾股定理常用來(lái)求解線段長(zhǎng)度或距離問(wèn)題.

勾股定理的探究是從特殊的等腰直角三角形出發(fā)，到網(wǎng)格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，體現(xiàn)了從特殊到一般的探探索、發(fā)現(xiàn)和證明的過(guò)程.證明勾股定理的關(guān)鍵是利用割補(bǔ)法求以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，提出一般的猜想，并獲得定理的證明.

我國(guó)古代在數(shù)學(xué)方面又許多杰出的研究成果，對(duì)于勾股定理的研究就是一個(gè)突出的例子.教學(xué)中可以介紹我國(guó)古代在勾股定理的證明和應(yīng)用方面取得的成就和作出的貢獻(xiàn)，以培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感;圍繞證明勾股定理的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和信心.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：探索并證明勾股定理.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.教學(xué)目標(biāo)

(1)經(jīng)歷勾股定理的探究過(guò)程.了解關(guān)于勾股定理的文化歷史背景，通過(guò)對(duì)我國(guó)古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感.

(2)能用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.

2.目標(biāo)解析

(1)學(xué)生通過(guò)觀察直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)的正方形面積之間的關(guān)系，歸納并合理地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示勾股定理的結(jié)論.理解趙爽弦圖的意義及其證明勾股定理的思路，能通過(guò)割補(bǔ)法構(gòu)造圖形證明勾股定理.了解勾股定理相關(guān)的史料，知道我國(guó)古代在研究勾股定理上的杰出成就.

(2)學(xué)生能運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，關(guān)鍵是已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)能求第三條邊的長(zhǎng)度.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

勾股定理是反映直角三角形三邊關(guān)系的一個(gè)特殊的結(jié)論.在正方形網(wǎng)格中比較容易發(fā)現(xiàn)以等腰直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積關(guān)系，進(jìn)而得出三邊之間的關(guān)系.但要從等腰直角三角形過(guò)渡到網(wǎng)格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，學(xué)生有較大困難.學(xué)生第一次嘗試用構(gòu)造圖形的方法來(lái)證明定理存在較大的困難，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是要想到用合理的割補(bǔ)方法求以斜邊為邊的正方形的面積.因此，在教學(xué)中需要先引導(dǎo)學(xué)生觀察網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系，然后思考沒(méi)有網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系，再將這種關(guān)系表示成邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，這有利于學(xué)生自然合理地發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理.

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：勾股定理的探究和證明.

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境復(fù)習(xí)引入

國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)是最高水平的全球性數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì)”.2002年在北京召開(kāi)了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì).右圖就是大會(huì)會(huì)徽的圖案.你見(jiàn)過(guò)這個(gè)圖案嗎?它由哪些我們學(xué)過(guò)的基本圖形組成?這個(gè)圖案有什么特別的意義?前面我們學(xué)習(xí)了有關(guān)三角形的知識(shí)，我們知道，三角形有三個(gè)角和三條邊.

問(wèn)題1 三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系明確嗎?三條邊的數(shù)量關(guān)系明確嗎?

師生活動(dòng) 教師引導(dǎo)，學(xué)生回答。

【設(shè)計(jì)意圖】回顧三角形的內(nèi)角和是180°以及三角形任何兩邊的和大于第三邊，由三角形三邊的不等關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生思考，三角形三邊之間是否存在等量關(guān)系.

我們學(xué)習(xí)過(guò)等腰三角形，知道等腰三角形是兩邊相等的特殊的三角形，它有許多特殊的性質(zhì).研究特例是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)方向，直角三角形是有一個(gè)角為直角的特殊三角形，中國(guó)古代人把直角三角形中較短的直角邊叫做“勾”，較長(zhǎng)的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”.

直角三角形中最長(zhǎng)的邊是哪條邊?為什么?它們除了大小關(guān)系，有沒(méi)有更具體的數(shù)量關(guān)系呢?這就是我們要研究的問(wèn)題.

2.觀察思考，探究定理

問(wèn)題2 相傳2500多年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.三個(gè)正方形A，B，C的面積有什么關(guān)系?

畢達(dá)哥拉斯(公元前數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。

師生活動(dòng) 學(xué)生觀察圖形，分析、思考其中隱含的規(guī)律.通過(guò)直接數(shù)等腰直角三角形的個(gè)數(shù)，或者用割補(bǔ)的方法將小正方形A，B中的等腰直角三角形補(bǔ)成一個(gè)大正方形，得出結(jié)論：小正方形A，B的面積之和等于大正方形C的面積.

追問(wèn) 由這三個(gè)正方形A，B，C的邊長(zhǎng)構(gòu)成的等腰直角三角形三條邊長(zhǎng)之間有怎樣的特殊關(guān)系?

師生活動(dòng) 教師引導(dǎo)學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，歸納出：等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

【設(shè)計(jì)意圖】從最特殊的直角三角形入手，通過(guò)觀察正方形面積關(guān)系得到三邊關(guān)系，對(duì)等腰直角三角形邊長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行初步的一般化.

問(wèn)題3 在網(wǎng)格中的一般的'直角三角形，以它的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形A，B，C的面積是否也有類似的關(guān)系?

師生活動(dòng) 學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，分別求出A，B，C的面積并尋求它們之間的關(guān)系.

追問(wèn) 正方形A，B，C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的關(guān)系?

師生活動(dòng) 學(xué)生獨(dú)立思考后分組討論，難點(diǎn)是求以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形面積，可由師生共同總結(jié)得出可以通過(guò)割、補(bǔ)兩種方法求出其面積，教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上歸納方法---割補(bǔ)法.可求得C的面積為13，教師引導(dǎo)學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方歸納出：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

【設(shè)計(jì)意圖】為方便計(jì)算，網(wǎng)格中的直角三角形邊長(zhǎng)通常設(shè)定為整數(shù)，進(jìn)一步體會(huì)面積割補(bǔ)法，為探究無(wú)網(wǎng)格背景下直角三角形三邊關(guān)系打下基礎(chǔ)，提供方法.

問(wèn)題4 通過(guò)前面的探究活動(dòng)，思考：直角三角形三邊之間應(yīng)該有什么關(guān)系?

師生活動(dòng) 教師引導(dǎo)學(xué)生表述：如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為，，斜邊長(zhǎng)為，那么

【設(shè)計(jì)意圖】在網(wǎng)格背景下通過(guò)觀察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三邊關(guān)系后，猜想直角三角形的三邊關(guān)系是很容易的.

問(wèn)題5 以上直角三角形的邊長(zhǎng)都是具體的數(shù)值，一般情況下，如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，我們的猜想仍然成立嗎?

師生活動(dòng) 要求學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，用a，b表示c.如圖，用“割”的方法可得;用“補(bǔ)”的方法可得.這兩個(gè)式子經(jīng)過(guò)整理都可以得到即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.中國(guó)人稱它為“勾股定理”，外國(guó)人稱它為“畢達(dá)哥拉斯定理”.

【設(shè)計(jì)意圖】從網(wǎng)格驗(yàn)證到脫離網(wǎng)格，通過(guò)割補(bǔ)構(gòu)造圖形和計(jì)算推導(dǎo)出一般結(jié)論.

問(wèn)題6 歷史上各國(guó)對(duì)勾股定理都有研究，下面我們看看我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家趙爽對(duì)勾股定理的研究，并通過(guò)小組合作完成教科書(shū)拼圖法證明勾股定理.

師生活動(dòng) 教師展示“弦圖”，并介紹：這個(gè)圖案是公元3世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，趙爽根據(jù)此圖指出：四個(gè)全等的直角三角形(朱實(shí))可以如圖圍成一個(gè)大正方形，中間部分是一個(gè)小正方形(黃實(shí)).我們剛才用割的方法證明使用的就是這個(gè)圖形，教師介紹勾股定理相關(guān)史料，勾股定理的證明方法據(jù)說(shuō)有400多種，有興趣的同學(xué)可以搜集研究一下.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)拼圖活動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，為學(xué)生提供從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，發(fā)展學(xué)生的形象思維，使學(xué)生對(duì)定理的理解更加深刻，體會(huì)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想.通過(guò)對(duì)趙爽弦圖的介紹，了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明所做出的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)民族自豪感，通過(guò)了解勾股定理的證明方法，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.

3.初步應(yīng)用，鞏固新知

例1 畫(huà)一個(gè)直角三角形

，

，它的兩直角邊分別是

，量一量它的斜邊

是多少厘米?算一算，你量的結(jié)果對(duì)嗎?

師生活動(dòng) 學(xué)生操作，教師個(gè)別指導(dǎo).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力并正確運(yùn)用勾股定理解決直角三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題.通過(guò)測(cè)量進(jìn)一步驗(yàn)證勾股定理所得結(jié)論的正確性.

例2 在直角三角形中，各邊的長(zhǎng)如圖，求出未知邊的長(zhǎng)度.

師生活動(dòng) 學(xué)生計(jì)算，教師檢驗(yàn).

【設(shè)計(jì)意圖】勾股定理是通過(guò)構(gòu)造圖形法通過(guò)面積關(guān)系進(jìn)行證明的.所以勾股定理本質(zhì)上是反映面積關(guān)系的.如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為

，

，斜邊長(zhǎng)為

，那么

.通過(guò)對(duì)等式變形，可以得出直角三角形三邊之間的關(guān)系：

;

.在直角三角形中，已知兩邊，求第三邊，應(yīng)用勾股定理求解，也可建立方程解決問(wèn)題，滲透方程思想.

例3 螞蟻沿圖中的折線從A點(diǎn)爬到D點(diǎn)，一共爬了多少厘米?

師生活動(dòng) 學(xué)生觀察、思考、計(jì)算，教師檢驗(yàn).

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)實(shí)際問(wèn)題背景，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

4.歸納小結(jié)，反思提高

師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：

(1)勾股定理總結(jié)的是什么數(shù)量關(guān)系?

(2)勾股定理有什么作用?

(3)閱讀教科書(shū)，總結(jié)教科書(shū)提供的勾股定理的其他證明方法.了解中國(guó)人的偉大和外國(guó)人的智慧.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生從不同角度談本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受到中國(guó)數(shù)學(xué)文化博大精深和數(shù)學(xué)的美，感悟數(shù)形結(jié)合的思想，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信.

5.布置作業(yè)

(1)教科書(shū)第28頁(yè)第1題;

(2)通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)收集定理的多種證法.自主探究定理的證明.

五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

1.直角三角形的周長(zhǎng)為12，斜邊長(zhǎng)為5，其面積為( )

A.12 B.10 C.8 D.6

【設(shè)計(jì)意圖】勾股定理的簡(jiǎn)單計(jì)算，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)和面積知識(shí)進(jìn)行求解.

2.等邊三角形的高是h，則它的面積是( )

【設(shè)計(jì)意圖】勾股定理的應(yīng)用和三角形的面積公式.

3.直角三角形

中，

，

，求

和

勾股定理教案(篇8)

一是讓學(xué)生自己回顧總結(jié)本節(jié)的收獲。(多數(shù)為具體的知識(shí)和方法)。

二是教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)家敏銳的觀察力和勤于思考的作風(fēng)，不斷提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，適時(shí)對(duì)大家進(jìn)行思想教育。

通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，讓我更深刻地認(rèn)識(shí)到：

1.新課改理念只有全面滲透到教育教學(xué)工作中，與平時(shí)工作緊密結(jié)合，才能夠促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展;

2.教師要充分利用課堂內(nèi)容為整體課程目標(biāo)服務(wù)，不要僅限于本節(jié)課的知識(shí)目標(biāo)與要求，就知識(shí)“教”知識(shí)，而要通過(guò)知識(shí)的學(xué)習(xí)獲得學(xué)習(xí)這些知識(shí)的方法，同時(shí)，還要充分利用課堂對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感態(tài)度價(jià)值觀的教育，真正讓教材成為教育學(xué)生的素材，而不是學(xué)科教學(xué)的全部;

3.要相信學(xué)生的能力，為學(xué)生創(chuàng)造自我學(xué)習(xí)和創(chuàng)造的機(jī)會(huì)。我相信：只要堅(jiān)持不懈地這樣去做，不但能很好地實(shí)施新課改，實(shí)現(xiàn)教育的本來(lái)目標(biāo)，而且也一定能讓學(xué)生“考出”好的成績(jī)。

勾股定理教案(篇9)

一、教材分析

本節(jié)課是九年制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（蘇科版）八年級(jí)上冊(cè)第二章第一節(jié)“勾股定理”的第一課時(shí)．在本節(jié)課以前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)三角形的一些知識(shí)，如三角形的三邊不等關(guān)系，三角形全等的判定等。也學(xué)過(guò)不少利用圖形面積來(lái)探求數(shù)式運(yùn)算規(guī)律的例子，如探求乘法公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則等。在學(xué)生這些原有的認(rèn)知水平基礎(chǔ)上，探求直角三角形的又一重要性質(zhì)——勾股定理。讓學(xué)生的知識(shí)形成知識(shí)鏈，讓學(xué)生已具有的數(shù)學(xué)思維能力得以充分發(fā)揮和發(fā)展。

在探求勾股定理的過(guò)程中，蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想。把三角形有一個(gè)直角“形”的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為三邊之間的“數(shù)”的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的典范；把探求邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為探求面積的關(guān)系，將邊不在格線上的圖形轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的格點(diǎn)圖形，是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)；先探求特殊的直角三角形的三邊關(guān)系，再猜測(cè)一般直角三角形的三邊關(guān)系，再解決一些特殊直角三角形的問(wèn)題，這是特殊——一般——特殊的思想。在本節(jié)課，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問(wèn)題串，提供學(xué)生活動(dòng)的方案，讓學(xué)生在活動(dòng)中思考，在思考中創(chuàng)新，認(rèn)識(shí)和理解勾股定理，并能利用勾股定理解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)直角三角形的計(jì)算問(wèn)題．

二、教學(xué)目標(biāo)

1、讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)到形再由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，經(jīng)歷探求三個(gè)正方形面積間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三邊數(shù)量關(guān)系的過(guò)程。并從過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展將未知轉(zhuǎn)化為已知，由特殊推測(cè)一般的合情推理能力。

2、讓學(xué)生經(jīng)歷拼圖實(shí)驗(yàn)、計(jì)算面積的過(guò)程，在過(guò)程中養(yǎng)成獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣；讓各類型的學(xué)生在這些過(guò)程中發(fā)揮自己特長(zhǎng)，通過(guò)解決問(wèn)題增強(qiáng)自信心，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；通過(guò)老師的介紹，感受勾股定理的文化價(jià)值．

3、能說(shuō)出勾股定理，并能用勾股定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題．

三、教學(xué)重點(diǎn)

勾股定理的探索過(guò)程．

四、教學(xué)難點(diǎn)

將邊不在格線上的圖形轉(zhuǎn)化為邊在格線上的圖形，以便于計(jì)算圖形面積．

五、教學(xué)方法與教學(xué)手段

采用探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)，提供適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境．給學(xué)生自主探究交流的空間，引導(dǎo)學(xué)生有目的地探索．

六、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境提出問(wèn)題

1．同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)三角形的一些基本知識(shí)，如果一個(gè)三角形的兩條邊分別長(zhǎng)6和8，你知道第三邊的長(zhǎng)嗎？你知道第三邊長(zhǎng)的范圍嗎？

2．如果又已知這兩邊的夾角，那么第三邊的長(zhǎng)是多少？

3．已知直角三角形的兩邊的長(zhǎng)，如何求第三邊的長(zhǎng)呢？這節(jié)課就讓我們一起來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題．板書(shū)：直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系．

（這是對(duì)三角形三邊的不等關(guān)系和三角形全等的判定的回顧，從學(xué)生從原有的認(rèn)知水平出發(fā)，揭示這節(jié)課產(chǎn)生的根源，符合學(xué)生的認(rèn)知心理，也自然地引出本節(jié)課的目標(biāo)．讓學(xué)生體會(huì)到當(dāng)一般性的問(wèn)題不好解決時(shí)，可以先將一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題來(lái)研究．）

（二）實(shí)踐探索猜想歸納

1、用什么方法來(lái)探求板書(shū)：直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系呢？

回憶我們?cè)?jīng)利用圖形面積探索過(guò)數(shù)學(xué)公式，大家還記得在哪用過(guò)嗎？

（學(xué)生討論）

課件展示：平方差公式、完全平方公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．

今天，讓我們?cè)囈辉囃ㄟ^(guò)計(jì)算圖形的面積能不能得到直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系．

（從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，將探求邊長(zhǎng)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為探求面積之間的關(guān)系，讓學(xué)生覺(jué)得解決今天問(wèn)題的方法并不陌生，增強(qiáng)探索問(wèn)題的信心．）

2、（課件展示圖2）觀察圖形，我們分別以直角三角形ABC的三邊為邊向形外作三個(gè)正方形．若將圖形①、②、③、④、⑤剪下，用它們可以拼一個(gè)與正方形ABDE大小一樣的正方形嗎？

（同位利用教師提供的學(xué)案，合作拼圖。）

通過(guò)拼圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（如圖3，以BC為邊的正方形面積與以AC為邊的正方形面積的和等于以AB為邊的正方形面積．拼圖活動(dòng)，引發(fā)了學(xué)生的猜想，增加了研究的趣味性，鍛煉了學(xué)生的空間思維能力和動(dòng)手能力．體現(xiàn)了活動(dòng)——數(shù)學(xué)的思想．）

3、拼圖活動(dòng)引發(fā)我們的靈感；運(yùn)算推演

證實(shí)我們的猜想．為了計(jì)算面積方便，我們可

將這幅圖形放在方格紙中．如果每一個(gè)小方格的邊長(zhǎng)記作“1”，請(qǐng)你求出圖中三個(gè)正方形的面積（圖4）．

（學(xué)生容易回答SP=9，SQ=16。）

你是如何得到的？

（可以數(shù)圖形中的小方格的個(gè)數(shù)，也可以通

過(guò)正方形面積公式計(jì)算得到。）

如何計(jì)算？

（的求法是這節(jié)課的難點(diǎn)，這時(shí)可讓學(xué)生先在學(xué)案上獨(dú)立分析，再通過(guò)小組交流，最后由小組代表到臺(tái)前展示．學(xué)生可能提出割（圖5）、補(bǔ)（圖6）、平移（圖7）、旋轉(zhuǎn)（圖8）等方法，旋轉(zhuǎn)這種方法只適用于斜邊為整數(shù)的情況，沒(méi)有一般性，若有學(xué)生提出，應(yīng)提醒學(xué)生．)

4、肯定學(xué)生的研究成果，進(jìn)而讓學(xué)生打開(kāi)書(shū)回顧課本上的提示．從小明、小麗的方法中你能得到什么啟發(fā)？

（把圖形進(jìn)行“割”和“補(bǔ)”，即把不能利用網(wǎng)格線直接計(jì)算面積的圖形轉(zhuǎn)化成可以利用網(wǎng)格線直接計(jì)算面積的圖形，讓學(xué)生體會(huì)將較難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的思想）

5、再給出直角邊為5和3的直角三角形（圖9），讓學(xué)生計(jì)算分別以三邊作為邊所作的正方形面積．

（這是轉(zhuǎn)化思想，也是“割補(bǔ)”方法的再一次應(yīng)用．在

前面的探求過(guò)程中有的學(xué)生沒(méi)能自己做出來(lái)，提供再一次的機(jī)會(huì)，可讓全體學(xué)生再次感受轉(zhuǎn)化思想，體驗(yàn)成功的樂(lè)趣．）

通過(guò)計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)這三個(gè)正方形面積間有什么關(guān)系嗎？

(SP+SQ=SR，要給學(xué)生留有思考時(shí)間．)

6、通過(guò)以上的實(shí)驗(yàn)、操作、計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)以直角三角形的各邊為邊所作的正方形的面積之間有什么關(guān)系呢？同學(xué)們還有什么疑問(wèn)嗎？

（以直角邊為邊所作的`正方形的面積和等于以斜邊為邊所作的正方形的面積。如果學(xué)生提出我們討論的都是邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形情況，那么邊長(zhǎng)是小數(shù)時(shí)，結(jié)論是否成立？教師就演示以下實(shí)驗(yàn)。）

利用方格紙，我們方便計(jì)算直角邊為整數(shù)的情況，若直角邊為小數(shù)時(shí)，所得到的正方形面積之間也有如上關(guān)系嗎？

將網(wǎng)格線去掉，利用《幾何畫(huà)板》的度量工具可以看到SP+SQ=SR．

（利用幾何畫(huà)板的高效性、動(dòng)態(tài)性反映這一過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到更多的特殊情形，從而為歸納提供基礎(chǔ)，這樣歸納的結(jié)論更具有一般性，學(xué)生的印象也更深刻．）

7、我們這節(jié)課是探索直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系．至此，你對(duì)直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系有什么發(fā)現(xiàn)？

（面積是邊長(zhǎng)的平方，面積間的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)間的等量關(guān)系，即直角三角形三邊的等量關(guān)系：兩直角邊的平方和等于下邊的平方．）

（這一問(wèn)題的結(jié)論是本節(jié)課的點(diǎn)睛之筆，應(yīng)充分讓學(xué)生總結(jié)，交流，表達(dá)．）

8、用彎曲的手臂形象地表示勾、股、弦的概念，板書(shū)勾股定理，進(jìn)而給出字母表達(dá)式．一段緊張的探索過(guò)程之后，播放一段有關(guān)勾股歷史的錄音．

（這樣既活躍了課堂氣氛，又展現(xiàn)了勾股歷史，激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)祖國(guó)悠久歷史文化，

激勵(lì)學(xué)生發(fā)奮學(xué)習(xí)的情感．）

9、閱讀課本，提出問(wèn)題

（讓學(xué)生有將知識(shí)內(nèi)化為自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程，教師巡視，對(duì)有困難的同學(xué)給予幫助，促進(jìn)全班同學(xué)共同進(jìn)步，體現(xiàn)面向全體的教學(xué)原則．）

（三）課堂練習(xí) 鞏固新知

1．完成課本第45頁(yè)練習(xí)第1題、第2題．

（1）求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)：

（2）求下列圖中未知數(shù)x、y、z的值：

（充分利用課本，在前面閱讀的基礎(chǔ)上做課本上的練習(xí)題。提問(wèn)學(xué)生口答，老師再規(guī)范板書(shū)一題．通過(guò)對(duì)勾股定理的基本應(yīng)用，讓學(xué)生知道已知直角三角形三邊中的任意兩邊，可以求第三邊．）

2、如圖：一塊長(zhǎng)約80 m、寬約60 m的長(zhǎng)方形草坪，被幾個(gè)不自覺(jué)的學(xué)生沿對(duì)角線踏出了一條斜“路”，這種情況在生活中時(shí)有發(fā)生。請(qǐng)問(wèn)同學(xué)們：

（1）這幾位同學(xué)為什么不走正路，走斜“路”？

（2）他們知道走斜“路”比正路少走幾步嗎？

（3）他們這樣這樣做，值得嗎？

（這是一道貼近學(xué)生生活的實(shí)例，在勾股定理的運(yùn)用中滲透了德育教育．）

（四）課堂小結(jié) 布置作業(yè)

1、通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲？有什么疑問(wèn)？你認(rèn)為還有什么要繼續(xù)探索的問(wèn)題？

（學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲，可以是知識(shí)、應(yīng)用、數(shù)學(xué)思想方法以及獲取新知的途徑等．給學(xué)生自由的空間，鼓勵(lì)學(xué)生多說(shuō)．這樣引導(dǎo)學(xué)生從多角度對(duì)本節(jié)課歸納總結(jié)，感悟點(diǎn)滴，使學(xué)生將知識(shí)系統(tǒng)化，提高學(xué)生的綜合表達(dá)能力．如果學(xué)生沒(méi)有提出繼續(xù)要探討的問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：直角三角形的三邊有特殊的等量關(guān)系，一般三角形三邊是否也存在一種等量關(guān)系呢？再展示上課開(kāi)始的問(wèn)題：如果一個(gè)三角形的兩條邊分別長(zhǎng)6和8，這兩邊的夾角確定了，你知道第三邊的長(zhǎng)是多少？這是我們今后將要探討的內(nèi)容，首尾呼應(yīng)，激發(fā)學(xué)生不滿足于現(xiàn)狀，有不斷提出新問(wèn)題的欲望，即培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)．）

2、作業(yè)

（1）課本第471頁(yè)第2題，并完成第45頁(yè)的實(shí)驗(yàn)。

（2）在以下網(wǎng)頁(yè)中你可以找到有關(guān)勾股定理的豐富的內(nèi)容，請(qǐng)你結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)

和從網(wǎng)上或書(shū)本上自學(xué)到的知識(shí)寫(xiě)一篇有關(guān)勾股定理的小論文，題目自定，一周后交給課代表并展示交流．

（作業(yè)的多元化、多層次，有利于全體學(xué)生的全面素質(zhì)發(fā)展。）教育大全

七、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明：

本節(jié)課根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)采用“觀察--猜想--歸納--驗(yàn)證--應(yīng)用”的教學(xué)方法，這一流程體現(xiàn)了知識(shí)發(fā)生、形成和發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)到觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證的思想和數(shù)形結(jié)合的思想．

本節(jié)課從學(xué)生的原有認(rèn)知出發(fā)提出問(wèn)題，揭示這節(jié)課產(chǎn)生的根源，符合學(xué)生的認(rèn)知心理．教科書(shū)設(shè)計(jì)了在方格紙上通過(guò)計(jì)算面積的方法探究勾股定理的活動(dòng)，在此基礎(chǔ)上，為了更好地展示這一探索過(guò)程，本節(jié)課先讓學(xué)生回顧利用圖形面積探求數(shù)學(xué)公式的經(jīng)歷，以此確定研究方法．繼而設(shè)計(jì)了剪紙活動(dòng)，從中引發(fā)學(xué)生的猜想，再利用幾何畫(huà)板這一工具帶領(lǐng)學(xué)生從直角邊分別為3和4的直角三角形到更多的任意直角三角形的研究，讓學(xué)生充分經(jīng)歷這一觀察、猜想、歸納的過(guò)程．其中SR的求法是探求過(guò)程中的難點(diǎn)，應(yīng)讓學(xué)生充分地思考、討論、總結(jié)方法．通過(guò)對(duì)特殊到一般的考查，讓學(xué)生主動(dòng)建立由數(shù)到形，由形到數(shù)的聯(lián)想，從中使學(xué)生不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，歸納出直角三角形三邊數(shù)量之間的關(guān)系．在教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生采用觀察分析，自主探索，合作交流的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)的動(dòng)手，動(dòng)腦，動(dòng)口的學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人．

除了探究出勾股定理的內(nèi)容以外，本節(jié)課還適時(shí)地向?qū)W生展現(xiàn)勾股定理的歷史，特別是通過(guò)介紹我國(guó)古代在勾股定理研究和運(yùn)用方面的成就，激發(fā)學(xué)生愛(ài)國(guó)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感和探索創(chuàng)新的精神．

練習(xí)反饋中既有勾股定理的基本應(yīng)用，還有貼近學(xué)生生活的實(shí)例，既讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)知識(shí)應(yīng)用于生活的成就感，又使學(xué)生深刻了解勾股定理的廣泛應(yīng)用．題目的設(shè)計(jì)中滲透了德育教育，拓展了學(xué)生的空間思維，使得一節(jié)幾何課全面地考查了學(xué)生的各方面思維．

讓學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲，從內(nèi)容，到數(shù)學(xué)思想方法，到獲取知識(shí)的途徑等方面．給學(xué)生自由的空間，鼓勵(lì)學(xué)生多說(shuō)．這樣引導(dǎo)學(xué)生從多角度對(duì)本節(jié)課歸納總結(jié)，感悟點(diǎn)滴，使學(xué)生將知識(shí)系統(tǒng)化，提高學(xué)生素質(zhì)，鍛煉學(xué)生的綜合及表達(dá)能力．

作業(yè)為了達(dá)到提高鞏固的目的，提供給學(xué)生網(wǎng)址是為了拓展學(xué)生的視野，以期學(xué)生能主動(dòng)地探求對(duì)勾股定理更深入的認(rèn)識(shí)．

勾股定理教案(篇10)

學(xué)會(huì)觀察圖形，勇于探索圖形間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

(1)經(jīng)歷一般規(guī)律的探索過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。

(2)在將實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何圖形過(guò)程中，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想。

(1)通過(guò)有趣的問(wèn)題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

(2)在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性。

教學(xué)重點(diǎn)：

探索、發(fā)現(xiàn)事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實(shí)際問(wèn)題。

教學(xué)難點(diǎn)：

利用數(shù)學(xué)中的建模思想構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實(shí)際問(wèn)題。

如圖：在一個(gè)圓柱石凳上，若小明在吃東西時(shí)留下了一點(diǎn)食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？

學(xué)生分為4人活動(dòng)小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內(nèi)討論每種方案的路線計(jì)算方法，通過(guò)具體計(jì)算，總結(jié)出最短路線。讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：沿圓柱體母線剪開(kāi)后展開(kāi)得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究?jī)牲c(diǎn)連線最短問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)利用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的方法：建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)圖，計(jì)算。

李叔叔想要檢測(cè)雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺。

（1）你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？

（2）李叔叔量得AD長(zhǎng)是30厘米，AB長(zhǎng)是40厘米，BD長(zhǎng)是50厘米，AD邊垂直于AB邊嗎？為什么？

（3）小明隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn)AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？

1．甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn)，某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6/h的速度向正東行走，1小時(shí)后乙出發(fā)，他以5/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙兩人相距多遠(yuǎn)？

2．如圖，臺(tái)階A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它怎么走最近？并求出最近距離。

3．有一個(gè)高為1、5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分為0、5米，問(wèn)這根鐵棒有多長(zhǎng)？

內(nèi)容：如何利用勾股定理及逆定理解決最短路程問(wèn)題？

勾股定理教案(篇11)

1．靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問(wèn)題．

2．進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)．

創(chuàng)設(shè)情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法．

⑵依題意畫(huà)出圖形；

⑶依題意可得PR=12×1。5=18，PQ=16×1。5=24，QR=30；

⑷因?yàn)?42+182=302，PQ2+PR2=QR2，根據(jù)勾股定理的逆定理，知∠QPR=90°；

⑸∠PRS=∠QPR―∠QPS=45°．

小結(jié)：讓學(xué)生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識(shí)．

例2（補(bǔ)充）一根30米長(zhǎng)的細(xì)繩折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長(zhǎng)度比較短邊長(zhǎng)7米，比較長(zhǎng)邊短1米，請(qǐng)你試判斷這個(gè)三角形的形狀．

分析：⑴若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長(zhǎng)；

⑵設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長(zhǎng)5、12、13；

⑶根據(jù)勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形為直角三角形．

解略．

本題幫助培養(yǎng)學(xué)生利用方程思想解決問(wèn)題，進(jìn)一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)．

正弦定理教案

正弦定理教案【篇1】

正弦定理教案【篇2】

正弦定理教案【篇3】

正弦定理教案【篇4】

正弦定理教案【篇5】

正弦定理教案【篇6】

正弦定理教案【篇7】

正弦定理教案【篇8】

正弦定理教案【篇9】

正弦定理教案【篇10】

正弦定理教案【篇11】

正弦定理教案通用9篇

正弦定理教案(篇1)

正弦定理教案(篇2)

正弦定理教案(篇3)

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正弦定理教案(篇8)

正弦定理教案(篇9)

正弦定理教案錦集11篇

正弦定理教案 篇1

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正弦定理教案 篇4

正弦定理教案 篇5

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余弦定理教案

余弦定理教案 篇1

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余弦定理教案 篇7

2025勾股定理教案模板十一篇

勾股定理教案(篇1)

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